§6.4 万有引力理论的成就（2课时）
学习目标
了解万有引力定律在天文学上的应用、会用万有引力定律计算天体的质量和密度、通过求解太阳.地球的质量，培养理论联系实际的运用能力。
通过学习用万有引力定律发现未知天体的过程，懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辨证唯物主义观点
激情投入，交流、讨论。掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
学习重点：掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
学习难点：掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
预习案
一.天体质量的估算
对一个物体的物理特性进行测量的方法主要 ( http: / / www.21cnjy.com )有两种：直接测量和间接测量。而直接测量往往很困难，无法测出结果，所以间接测量就成为一种非常有用的方法，但间接测量需要科学方法和科学理论作为依据。
1:求天体质量的方法主要有两种:一种方 ( http: / / www.21cnjy.com )法是在不考虑地球自转的影响时，地面上物体受到的引力大小等于物体的重力，,即引力=重力：mg=GMm/R2; 已知地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,地球半径为R,则地球质量M=__ M=gR2/G ；另一种方法是根据天体的圆周运动,即其向心力由万有引力提供：某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运行，运行的周期是T。已知引力常量为G，这个行星的质量M=______4π2r3/GT2 __________
2:卡文迪许用扭秤测量了铅球间的作用力 ( http: / / www.21cnjy.com )大小，得到了引力常量G，进而计算了地球的质量。从而使得万有引力定律进入定量计算领域，有了更实用的意义。
3:天体表面的重力加速度，某行星表面物体受到行星的引力大小等于物体在该行星表面的重力，解得:。式中M为行星质量，R为行星半径
二．未知天体的发现：
问题的发现：天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运动时，发现用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与实际观测到的结果不相符，发生了偏离。
两种观点：一是万有引力定律不准确；二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏离。
亚当斯和勒维耶的计算及预言：亚当斯和勒维耶相 ( http: / / www.21cnjy.com )信未知行星的存在（即第二种假设）。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。
伽勒的发现：1846年，德国科学家伽 ( http: / / www.21cnjy.com )勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星。和预言的位置只差1度。在理论指导下进行有目的的观察，用观察到的事实结果验证了万有引力定律的准确性。1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常的分析，发现了冥王星。未知天体的发现是根据已知天体的轨道偏离，由万有引力定律推测并计算未知天体的轨道并预言它的位置从而发现未知天体。
探究案：
探究一：解决天体运动问题的基本思路
很多天体运动都可以近似地看成圆周运动，其向心力由万有引力提供
探究二： 如何估算天体的密度？
一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星,并 ( http: / / www.21cnjy.com )进入靠近该行星表面的圆形轨道,宇航员进行预定的考察工作,宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度 说明理由及推导过程. ρ=3π/GT2
假如一个近地卫星（离地高度忽略，运动半径等于地球半径R）的运行周期是T。有:，解得地球质量为___________;由于地球的体积为可以计算地球的密度为:______________.
计算天体质量（或密度）。应用万有引力定律 ( http: / / www.21cnjy.com )计算天体质量的基本思路和方法是将围绕某天体的行星的运动看成圆周运动，根据行星运动的向心力由它们间的万有引力提供建立方程，求出天体质量（或密度）。
能力训练案
例1：地球和月球的中心距离大约是r=4×108m，试估算地球的质量。估算结果要求保留一位有效数字。
解析：月球是绕地球做匀速运动的天体 ( http: / / www.21cnjy.com )，它运动的向心力由地球对它的引力提供。根据牛顿定律和万有引力定律，可以列式求出地球质量。月球绕地球运动的周期约为27.3天，由于本题是估算，且只要求结果保留一位有效数字，可以取月球周期T=30天。
设地球质量为M，月球质量为m，有
得到地球质量
拓展：本题主要是依据课本计算太阳 ( http: / / www.21cnjy.com )质量的思路和方法进行计算，从中体会解题思路和方法。由于有关天体的数据计算比较复杂，要注意细心、准确，提高自己的估算能力。
例2：已知地球半径R约为6.4×106 ( http: / / www.21cnjy.com )m，地球质量M约为6×1024kg，引力常量G为6.67×10-11Nm2/kg2，近地人造地球卫星的周期T近约为85min，估算月球到地心的距离。
解析：本题的研究对象为月 ( http: / / www.21cnjy.com )球，可以认为它绕地球做匀速圆周运动，圆周运动的向心力由地球对它的引力提供。本题还可以用到一个常识，即月球的周期T为一个月，约为30天。
解法一：对月球，万有引力提供向心力，有
（m为月球质量） 得：
答：月球到地心的距离为4×108m。
解法二：对月球 设地面上有一物体质量为m’，在不考虑地球自转时有
，得 代入上式得到
答：月球到地心的距离为4×108m。
解法三：利用开普勒第三定律求解：
得: =4×108m
答：月球到地心的距离为4×108m。
拓展：本题方法一和方法二，仍然依据“将天体运动看成圆周运动，天体和中心天体间得万有引力提供向心力”的思路解题。方法一利用地球质量和引力常量，方法二运用地球表面物体的重力近似等于引力，作了替换。这种方法常常会被采用。方法三则运用开普勒第三定律解决勒问题。学习中要开阔思路，多练习从不同角度去思考问题。
例3：两个星球组成双星，它 ( http: / / www.21cnjy.com )们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
解析:双星之间的相互引力提供它们做匀速圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )运动的向心力，由于向心力总指向圆心，所以圆心在两星的连线上，且它们的角速度相同。如图所示，虚线圆是它们的轨道。
设它们的质量分别是m1、m2，两星到圆心的距离分别是L1、L2，做圆周运动的周期为T，根据万有引力提供向心力，有
由于 解得：
拓展：对于这种问题，不仅要明确万有引力提供向 ( http: / / www.21cnjy.com )心力，还要注意到天体运动的特点和空间位置分布，特别要注意，万有引力中的距离L和两星做圆周运动的半径L1、L2之间的区别。另外要明确两星运动之间的联系，即向心力、周期相同。
能力训练
1．设在地球上和在x天体上，以相同的初速 ( http: / / www.21cnjy.com )度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为K，则地球质量与x天体的质量比为（ B ）
A．1 B．K C．K2 D．1/K
解析：mg＝G，g＝GH＝，g＝两式联立求解得：M∶M′＝K∶1 答案：B
2．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（ ）
Ａ．1 Ｂ．1/9 Ｃ．1/4 Ｄ．1/16
解析：本题考查万有引力定律的简单应用．地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有
F＝G＝mg， 答案：D
3.关于万有引力定律应用于天文学研究上的事实,下列说法中正确的是( BC )
A.天王星.海王星和冥王星都是运用万有引力定律,经过大量计算以后发现的
B.在18世纪已发现的7个行 ( http: / / www.21cnjy.com )星中，人们发现第七个行星天王星的运动轨道总是根据万有引力定律计算出来的理论轨道有较大的偏差,于是有人推测在天王星轨道外还有一个行星,是它的存在引起上述偏差.
C.海王星是运用万有引力定律,经过大量计算以后发现的
D. 冥王星是英国的亚当斯和法国的勒维列运用万有引力定律,经过大量计算以后发现的
4．火星的半径是地球半径的一半， ( http: / / www.21cnjy.com )火星质量约为地球质量的1/9，那么地球表面质量为50 kg的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的______倍．
解析：物体受地球的吸引力为
F＝G ①
物体受火星的吸引力为
F′＝G ②
两式相除得 答案：
5．对某行星的一颗卫星进行观测，已知它运行 ( http: / / www.21cnjy.com )的轨迹是半径为r的圆周，周期为T.则该行星质量为____________；若测得行星的半径为卫星轨道半径的1/4，则此行星表面重力加速度为____________。
6.假如地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起来(即完全失重)，那么地球上一天等于多少小时？(地球半径取6.4×106 m)
解析：由万有引力提供向心力，则
G＝mg＝m 2R＝m·R
所以T＝2 ＝2
＝2 s
＝16 ×102 s＝h＝1.396 h＝1.4 h
答案：1.4 h
过关检测案
1．物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（ D ）
A．地球的半径是月球半径的6倍 B．地球的质量是月球质量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
2．关于天体的运动，下列叙述正确的是（ D ）
A．地球是静止的，是宇宙的中心 B．太阳是宇宙的中心
C．地球绕太阳做匀速圆周运动 D．九大行星都绕太阳运动，其轨道是椭圆
3．假设火星和地球都是球体，火星质量M ( http: / / www.21cnjy.com )火和地球质量M地之比为M火/M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于（ ）
A．p/q2 B．pq2 C．p/q D．pq
解析：由G＝mg，得g＝ 所以，＝·()2＝P/q2
答案：A
4．为了计算地球的质量必须知道一些数据，下列各组数据加上已知的万有引力常量为G，可以计算地球质量的是（BC）
A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R
B．月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离R
C．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T D．地球自转周期T和地球的平均密度ρ
5.假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍.那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的( )
A. 倍 B. 倍 C.倍 D.2倍
【解析】选B.因第一宇宙速度即为地球近地卫星的线速度，由得v= ，故M不变，R变为原来的两倍时，v减小为原来的，B正确.
6.若已知地球半径为R，地球绕太阳公转的半径为r,公转的周期为T，万有引力常量为G，则由此可求出( )
A.地球的质量 B.太阳的质量 C.地球的密度 D.太阳的密度
【解析】选B.由G可求得中心天体太阳的质量，但不能求得地球质量m，故A、C错误，B正确；式中r为地球的轨道半径而非太阳半径，故太阳的密度无法求解，D错误.
7.质量为m的探月航天器在接近月球 ( http: / / www.21cnjy.com )表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动，已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A.线速度v= B.角速度ω=
C.运行周期T=2π D.向心加速度a=
【解析】选C.月球对探月航天器的万有引力提供探月航天器在月球附近做匀速圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律列方程得=mRω2 =ma，则探月航天器的线速度为v= ,选项A错误.其加速度a=,选项D错误.又知，在月球附近满足=mg=mRω2，因此探月航天器的角速度ω= ，其周期为T=，选项B错误、选项C正确.
8．两颗靠得很近的恒星，必须各以 ( http: / / www.21cnjy.com )一定的速率绕它们连线上某一点转动，才不至于由于万有引力的作用而将它们吸引到一起．已知这两颗恒星的质量为m1、m2，相距L，求这两颗恒星的转动周期．
解析：由万有引力定律和向心力公式来求即可．m1、m2做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2，它们的向心力是由它们之间的万有引力提供，所以
G＝m1R1 ①
G＝m2R2 ②
R1+R2＝L ③
由①②③得：
，得：R1＝L
代入①式
T2＝
所以：T＝2∏ 答案：2∏
习题课（§6.4 万有引力理论的成就）
1.2010年11月1日，我国成功发射 ( http: / / www.21cnjy.com )北斗COMPASS-G4地球静止轨道同步卫星.据了解这已是北斗二号卫星导航系统发射的第四颗地球静止轨道同步卫星，则对这四颗已发射的同步卫星，下列说法中正确的是( )
A.它们的运行速度大小相等，且都小于7.9 km/s
B.它们的运行周期可能不同
C.它们离地心的距离可能不同
D.它们的向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
【解析】选A.所有地球静止轨道同步 ( http: / / www.21cnjy.com )卫星的速度大小(小于第一宇宙速度7.9 km/s)、周期、离地心的高度都相等，所以A正确，B、C错误.地球静止轨道卫星的角速度ω同与赤道上物体的角速度ω赤相同，但它们的运动半径
r同>r赤，由a=rω2知，向心加速度关系为a同>a赤，D错误.
2．一艘宇宙飞船在一个星球表面附近作圆形轨道环绕飞行，宇航员要估测该星球的密度，只需要（C）
A.测定飞船的环绕半径 B.测定行星的质量
C.测定飞船的环绕周期 D.测定飞船的环绕速度
3．已知地球半径约为6.4×106 ( http: / / www.21cnjy.com )m，又知月球绕地球的运动可近似看做圆周运动，则可估算出月球到地心的距离为________m．(结果保留一位有效数字)
解析：地球对月球的万有引力提供月球绕地球运转所需的向心力，月球绕地球运转的周期为27天，即
G＝m·r ①
T＝27×24×3600 s
G＝m′g ②
由①、②两式可得
r＝＝＝4×108 m 答案：4×108
4．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，用以上各量表示地球质量M＝________．
解析：地球表面上物体重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G 所以 M＝
答案：
5．太阳对木星的引力是4.17×102 ( http: / / www.21cnjy.com )3N，它们之间的距离是7.8×1011m，已知木星质量约为2×1027kg，求太阳的质量.1.9×1030kg
6．已知太阳光照射到地球 ( http: / / www.21cnjy.com )历时8分20秒，万有引力恒量为6.67×10-11Nm2/kg2.试估算太阳质量(保留一位有效数字).2.0×1030kg
7．在天文学中，把两颗相距很近的恒 ( http: / / www.21cnjy.com )星叫双星，这两颗星必须以一定的速度绕某一中心转动，才不至于被万有引力吸引到一起。已知两星的质量分别为m1和m2，距离为L，求两恒星转动中心的位置。
离m1距离
8．飞船以a＝g/2的加 ( http: / / www.21cnjy.com )速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为10 kg的物体重量为75 N．由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？(地球半径为6400 km， g＝10 m/s2)
解析：该题应用第二定律和万有引力的知识来求解，设物体所在位置高度为h，重力加速度为g′，物体在地球表面重力加速度为g，则
F-mg′＝ma ①
g′＝G ②
g＝G ③
由①式得：
g′＝-a＝-＝
由②、③得：
所以h＝R＝6400 km．
答案：6400 km
9.如图所示，在距一质量为m0、半径为R、密度均匀的大球体R处有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F1，当从大球体中挖去一半径为的小球体后(空腔的表面与大球体表面相切)，剩下部分对质点的万有引力为F2，求F1∶F2.
【解析】由于大球体被挖去一小球体后 ( http: / / www.21cnjy.com )，不能看做质点，不能直接应用万有引力定律，因此设想将挖出的小球体放回大球中，使之成为完整的均匀球体，则可应用万有引力定律算出完整球体与质点m之间的万有引力，再求出填充球对质点m的万有引力，将两个引力求差即可.
实心大球体对质点m的万有引力F1，可以看成挖去的小球体对质点m的万有引力F′和剩余部分对质点m的万有引力F2之和.即F1=F2+F′.
根据万有引力定律，实心大球体对质点m的万有引力F1= .
挖去的小球体的质量
m′0=ρ·m0.
挖去的小球体对质点m的万有引力
F′=G .
大球体剩余部分对质点m的万有引力F2为:
F2=F1-F′=G.
则.
答案：9∶7
【方法技巧】“补偿法”在求解万有引力中的应用技巧
等效处理方法是高中物理中常用的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种思维方法，是在保证效果相同的情况下，将陌生、复杂的问题变换成熟悉、简单的模型进行分析和研究的思维方法.在求解有关“挖除” 问题的万有引力时，不妨运用“补偿法”，紧扣规律的条件，先填补，后运算，往往会取得意想不到的效果.
10.已知月球半径为R，月球表面的 ( http: / / www.21cnjy.com )重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r=4R，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动.已知引力常量G.求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)月球的质量；
(2)飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
(3)飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间.
【解析】(1)设月球的质量为M，对月球表面上质量为m′的物体有得M=
(2)设飞船的质量为m，对于圆形轨道Ⅰ的飞船运动
有G
解得飞船在轨道Ⅰ运动的速率为v1=
(3)设飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T
有mg0=m()2R
解得T=2π
答案：(1) (2) (3) 2π
教后反思：
_____________________________________________________________________________________________________________________________________。§6.4 万有引力理论的成就（2课时）
学习目标
学习重点：掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
学习难点：掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
预习案
一.天体质量的估算
对一个物体的物理特性进行测量的方法主要有 ( http: / / www.21cnjy.com )两种：直接测量和间接测量。而直接测量往往很困难，无法测出结果，所以间接测量就成为一种非常有用的方法，但间接测量需要科学方法和科学理论作为依据。
1:求天体质量的方法主要有两种:一种方法是 ( http: / / www.21cnjy.com )在不考虑地球自转的影响时，地面上物体受到的引力大小等于物体的重力，,即引力=重力：mg=GMm/R2; 已知地球表面的重力加速度为g,引力常量为G,地球半径为R,则地球质量M=_______ ；另一种方法是根据天体的圆周运动,即其向心力由万有引力提供：某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运行，运行的周期是T。已知引力常量为G，这个行星的质量M=________________
2:卡文迪许用扭秤测量了铅球间的作用力大 ( http: / / www.21cnjy.com )小，得到了引力常量G，进而计算了地球的质量。从而使得万有引力定律进入定量计算领域，有了更实用的意义。
3:天体表面的重力加速度， ( http: / / www.21cnjy.com )某行星表面物体受到行星的引力大小等于_____________，解得:___________。式中M为行星质量，R为行星半径
二．未知天体的发现：
问题的发现：天文学家在用牛顿的引力理论 ( http: / / www.21cnjy.com )分析天王星运动时，发现用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与实际观测到的结果______________。
两种观点：一是____________；二是_____________________________
亚当斯和勒维耶的计算及预言：亚当斯 ( http: / / www.21cnjy.com )和勒维耶相信未知行星的存在（即第二种假设）。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出_________________________
伽勒的发现：1846年，德国科学家 ( http: / / www.21cnjy.com )伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星。和预言的位置只差1度。在理论指导下进行有目的的观察，用观察到的事实结果验证了万有引力定律的准确性。1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常的分析，发现了冥王星。未知天体的发现是根据已知天体的轨道偏离，由万有引力定律推测并计算未知天体的轨道并预言它的位置从而发现未知天体。
探究案：
探究一：解决天体运动问题的基本思路
探究二： 如何估算天体的密度？
一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星,并进入靠 ( http: / / www.21cnjy.com )近该行星表面的圆形轨道,宇航员进行预定的考察工作,宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度 说明理由及推导过程. ρ=3π/GT2
假如一个近地卫星（离地高度 ( http: / / www.21cnjy.com )忽略，运动半径等于地球半径R）的运行周期是T。有:___________，解得地球质量为___________;由于地球的体积为____________________可以计算地球的密度为:______________.
过关检测案
1．物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（ ）
A．地球的半径是月球半径的6倍 B．地球的质量是月球质量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6
2．关于天体的运动，下列叙述正确的是（ ）
A．地球是静止的，是宇宙的中心 B．太阳是宇宙的中心
C．地球绕太阳做匀速圆周运动
D．九大行星都绕太阳运动，其轨道是椭圆
3．假设火星和地球都是球 ( http: / / www.21cnjy.com )体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火/M地＝p，火星半径R火和地球半径R地之比为R火/R地＝q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地之比g火/g地等于（ ）
A．p/q2 B．pq2 C．p/q D．pq
