5.6 向心加速度
学习目标
学习重点, 能说出匀速圆周运动中加速度的产生原因，学会向心加速度的确定方法和计算公式．
教学习点, 学会向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用．
预习案：
自主学习
1.在匀速圆周运动中，由于线速度____ ( http: / / www.21cnjy.com )____________，所以是变速运动，角速度 ；_____________(“存在”或“不存在”)加速度。
2.速度的变化量Δv有大小，也有方向，也是__________。
3.实例和理论推导都说明了向心加速度的方向是__________.任何做______圆周运动的物体的加速度都指向圆心。
4、请同学们看两例：
(1)图1中的地球受到什么力的作用 这个力可能沿什么方向
(2)图2中的小球受到几个力的作用 这几个力的合力沿什么方向
5、做匀速圆周运动的物体所受的力或合外力指 ( http: / / www.21cnjy.com )向圆心，所以物体的加速度也指向圆心．在理论上，分析速度方向的变化，可以得出结论：“任何做匀速圆周运动的物体的加速度方向都指向 圆心 ”
探究案：
探究一
匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？
探究二、速度变化量
请在图中标出速度变化量△v
探究三、向心加速度方向理论分析
（请同学们阅读教材p21页“做一做”栏目，并思考以下问题：）
(1)在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么
由于是匀速圆周运动，vA和vB的长度是一样的
(2)将vA的起点移到B点时要注意什么
为便于对vA和vB做比较，将vA的起点移到B点，同时保持vA的长度和方向不变。
(3)如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量△v？
以vA的箭头端为起点、vB的箭头端为终点做矢量，△v就是质点由A点运动到B点的速度变化量
(4)△v／△t表示的意义是什么
是质点从A点运动到B点的平均加速度。由于与△v的方向相同，它代表了加速度的方向
(5)△v与圆的半径平行吗 在什么条件下，△v与圆的半径平行 △v的延长线并不通过圆心，为什么说这个加速度是“指向圆心”的
△v并不与圆的半径平行，但当△t很小很小时 ( http: / / www.21cnjy.com )，A和B两点非常接近，vA和vB也非常接近。由于vA和vB的长度相等，它们与△v组成等腰三角形，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，或说△v指向圆心了。
探究四、向心加速度大小的表达式
an= v2/r , an= ω2r
过关检测案：
1．下列说法正确的是（ ）
A.匀速圆周运动是一种匀速运动 B.匀速圆周运动是一种匀变速运动
C.匀速圆周运动是一种变加速运动 D.做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
2、于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ）
A它描述的是线速度方向变化的快慢?B.它描述的是周期变化快慢
C它是线速度大小变化的快慢 ? D.它描述的是角速度变化的快慢?
3.关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是（ ）
A.在赤道上，向心加速度最大 B.在两极，向心加速度最大
C.在地球上各处，向心加速度一样大
D.随纬度的升高，向心加速度的值逐渐减少
4.甲、乙两质点绕同一圆心 ( http: / / www.21cnjy.com )做匀速圆周运动，甲的转动半径是乙的3/4，当甲转60周时，乙转45周，甲、乙两质点的向心加速度之比为___________。
5．在图所示传动装置中，已知大轮的半径 ( http: / / www.21cnjy.com )是小轮半径的3倍，A和B两点分别是在两轮的边缘上，C点离大轮轴距离等于小球半径，若不打滑，则它们的线速度之比vA:vB:vC=_________,角速度之比ωA：ωB：ωC=__________，向心加速度之比aA：aB：aC=_________________。
6．下列关于向心加速度的说法中，正确的是 ( )
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
7．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com )．转动半径比为3:4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们所受的向心加速度之比为( )
A．3:4 B．4:3 C．4:9 D．9:16
8.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期与向心加速度的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．角速度大的向心加速度一定大 B．线速度大的向心加速度一定大
C．线速度与角速度乘积大的向心加速度一定大 D．周期小的向心加速度一定大
9、某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（ ）
A． B． C． D．
,
10、如图所示，O1为皮带传动的主 ( http: / / www.21cnjy.com )动轮的轴心，轮半径为r1,O2为从动轮的轴心，轮半径为r2,r3为固定在从动轮上的小轮半径，已知r2=2r1,r3=1.5r1。A、B和C分别是3个轮边缘上的点，质点Ａ、Ｂ、Ｃ的向心加速度之比是（ ）
A.1：2：3 Ｂ.2：4：3 Ｃ.8：4：3 Ｄ.3：6：2
学后反思：
C
B A A
A
B
C
B
C
A
r1
r2
r3
O15.6 向心加速度
学习目标
知识与技能
1．能说出速度变化量和向心加速度的概念．
2．能记住向心加速度和线速度、角速度的关系式．
3．会运用向心加速度公式求解有关问题．
过程与方法
体会速度变化量的处理特 ( http: / / www.21cnjy.com )点，体验向心加速度的导出过程，领会推导过程中用到的数学方法，教师启发、引导．学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果．
情感、与价值观
培养学生思维能力和分析问题的能 ( http: / / www.21cnjy.com )力，培养学生探究问题的热情，乐于学习的品质．特别是“做一做”的实施，要通过教师的引导让学生体会成功的喜悦．
学习重点, 能说出匀速圆周运动中加速度的产生原因，学会向心加速度的确定方法和计算公式．
教学习点, 学会向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用．
预习案：
自主学习
1.在匀速圆周运动中，由于线速度________________，所以是变速运动，角速度 ；_____________(“存在”或“不存在”)加速度。
2.速度的变化量Δv有大小，也有方向，也是__________。
3.实例和理论推导都说明了向心加速度的方向是__________.任何做______圆周运动的物体的加速度都指向圆心。
4、请同学们看两例：
(1)图1中的地球受到什么力的作用 这个力可能沿什么方向
(2)图2中的小球受到几个力的作用 这几个力的合力沿什么方向
5、做匀速圆周运动的物体所受 ( http: / / www.21cnjy.com )的力或合外力指向圆心，所以物体的加速度也指向圆心．在理论上，分析速度方向的变化，可以得出结论：“任何做匀速圆周运动的物体的加速度方向都指向 圆心 ”
探究案：
探究一
匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？
探究二、速度变化量
请在图中标出速度变化量△v
探究三、向心加速度方向理论分析
（请同学们阅读教材p21页“做一做”栏目，并思考以下问题：）
(1)在A、B两点画速度矢量vA和vB时，要注意什么
由于是匀速圆周运动，vA和vB的长度是一样的
(2)将vA的起点移到B点时要注意什么
为便于对vA和vB做比较，将vA的起点移到B点，同时保持vA的长度和方向不变。
(3)如何画出质点由A点运动到B点时速度的变化量△v？
以vA的箭头端为起点、vB的箭头端为终点做矢量，△v就是质点由A点运动到B点的速度变化量
(4)△v／△t表示的意义是什么
是质点从A点运动到B点的平均加速度。由于与△v的方向相同，它代表了加速度的方向
(5)△v与圆的半径平行吗 在什么条件下，△v与圆的半径平行 △v的延长线并不通过圆心，为什么说这个加速度是“指向圆心”的
△v并不与圆的半径平行，但当△t很小很 ( http: / / www.21cnjy.com )小时，A和B两点非常接近，vA和vB也非常接近。由于vA和vB的长度相等，它们与△v组成等腰三角形，当△t很小很小时，△v也就与vA（或vB）垂直，即与半径平行，或说△v指向圆心了。
探究四、向心加速度大小的表达式
an= v2/r , an= ω2r
能力训练案：
1、思考并完成课本“思考与讨论”栏目中提出的问题：
从公式an= v2/r看，向心加速度a ( http: / / www.21cnjy.com )n与圆周运动的半径r成反比；从公式an=ω2r看，向心加速度an与半径r成正比。这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度讨论这个问题。
(1)在y=kx这个关系中，说y与x成正比，前提是什么？
当k是常数时，y与x成正比
2、自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮 ( http: / / www.21cnjy.com )子的半径不一样，它们的边缘有三个点A、B、C，其中哪些点向心加速度的关系是用于“向心加速度与半径成正比”，哪些点是用于“向心加速度与半径成反比”？作出解释
不变时，与成反比
不变时，与成正比
例1 一质点沿着半径r = 1 m的圆周以n = 1 r/s的转速匀速转动，如图，试求：
(1)从A点开始计时，经过1/4 s的时间质点速度的变化；
(2)质点的向心加速度的大小。
解析 (1)求出1/4 s的时间连接质点的半径转过的角度是多少；
(2)求出质点在A点和1/4 s末线速度的大小和方向。
(3)由矢量减法作出矢量三角形。
(4)明确边角关系，解三角形求得Δv的大小和方向。
(5)根据an=v2/r 或an=ω2r求出向心加速度的大小。
答案 (1)Δv=2πm/s 方向与OA连线成45°角指向圆心O (2)a=4π2m/s2
例2 关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A．它是描述角速度变化快慢的物理量
B．它是描述线速度大小变化快慢的物理量
C．它是描述线速度方向变化快慢的物理量
D．它是描述角速度方向变化快慢的物理量
解析 (1)从匀速圆周运动的特点入手思考，匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速圆周运动其角速度不变，线速度的大小不变，线速度方向总是与半径垂直在不断变化，半径转过多少度，线速度的方向就改变多少度。故答案为C
拓展：从公式an=v2/r看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式an=rω2看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？
分析 我们注意到，在公式y=kx中， ( http: / / www.21cnjy.com )说y与x成正比的前提条件是k为定值。同理，在公式an=v2/r中，当v为定值时，an与r成反比；在公式an=rω2中，当ω为定值时，an与r成正比。因此，这两个结论是在不同的前提下成立的，并不矛盾。
拓展： 如图1所示，自行车的大齿轮、小 ( http: / / www.21cnjy.com )齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？作出解释。
分析 大、小齿轮用链条相连，因此两轮边缘 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点线速度必相等，即有vA=vB=v。又aA=v2/rA，aB=v2/rB，所以A、B两点的向心加速度与半径成反比。
小齿轮与后轮共轴，因此两者有共同的角速度，即有ωB=ωC=ω，又aB=rBω2，aC=rCω2，所以B、C两点的向心加速度与半径成正比。
例3 如图所示为质点P、Q做匀速圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知（ ）
A．质点P线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
解析 根据图象提供的曲线的性质建立起 ( http: / / www.21cnjy.com )质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断。答案：A
拓展:在利用图象解决物理问题时，要注意 ( http: / / www.21cnjy.com )充分挖掘图象中所携带的信息，如：一个量随另一个量如何变化；变化的确切数量关系；斜率多大，其物理意义是什么 截距、面积各有什么意义等。同时还要注意把物理图象和具体的物理情景结合起来，考虑应该选取哪一个规律或公式解决问题。
【能力训练】
1．由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（ B ）
A．地球表面各处具有相同大小的线速度 B．地球表面各处具有相同大小的角速度
C．地球表面各处具有相同大小的向心加速度 D．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心
2．下列关于向心加速度的说法中，正确的是（ A ）
A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
3．由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则（ BC ）
A．它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1 B．它们的线速度之比v1∶v2=2∶1
C．它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1 D．它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1
4．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是（ D ）
A．由a=v2/r，知a与r成反比 B．由a=ω2r，知a与r成正比
C．由ω=v/r，知ω与r成反比 D．由ω=2πn，知ω与转速n成正比
5．A、B两小球都在水平面上 ( http: / / www.21cnjy.com )做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为（ D ）
A．1：1 B．2：1 C．4：1 D．8：1
6．如图所示皮带传动轮，大 ( http: / / www.21cnjy.com )轮直径是小轮直径的3倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距离等于小轮半径，转动时皮带不打滑。则A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC= ，向心加速度大小之比aA∶aB∶aC= 。
7．如图所示，定滑轮的半径r=2 cm，绕 ( http: / / www.21cnjy.com )在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a=2 m/s2做匀加速运动。在重物由静止下落1 m的瞬间，滑轮边缘上的P点的角速度ω=_____ rad/s，向心加速度a=_____ m/s2。
过关检测案：
巩固提高
1．下列说法正确的是（ ）
A.匀速圆周运动是一种匀速运动 B.匀速圆周运动是一种匀变速运动
C.匀速圆周运动是一种变加速运动 D.做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
2、于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是（ ）
A它描述的是线速度方向变化的快慢?B.它描述的是周期变化快慢
C它是线速度大小变化的快慢 ? D.它描述的是角速度变化的快慢?
3.关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是（ ）
A.在赤道上，向心加速度最大 B.在两极，向心加速度最大
C.在地球上各处，向心加速度一样大
D.随纬度的升高，向心加速度的值逐渐减少
4.甲、乙两质点绕同一圆心做匀速圆周运动，甲 ( http: / / www.21cnjy.com )的转动半径是乙的3/4，当甲转60周时，乙转45周，甲、乙两质点的向心加速度之比为___________。
5．在图所示传动装置中，已知大轮的半径是小轮 ( http: / / www.21cnjy.com )半径的3倍，A和B两点分别是在两轮的边缘上，C点离大轮轴距离等于小球半径，若不打滑，则它们的线速度之比vA:vB:vC=_________,角速度之比ωA：ωB：ωC=__________，向心加速度之比aA：aB：aC=_________________。
6．下列关于向心加速度的说法中，正确的是 ( )
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
7．甲、乙两个物体都做匀速圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周运动．转动半径比为3:4，在相同的时间里甲转过60圈时，乙转过45圈，则它们所受的向心加速度之比为( )
A．3:4 B．4:3 C．4:9 D．9:16
8.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期与向心加速度的关系，下列说法中正确的是（ ）
A．角速度大的向心加速度一定大 B．线速度大的向心加速度一定大
C．线速度与角速度乘积大的向心加速度一定大 D．周期小的向心加速度一定大
9、某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为（ ）
A． B． C． D．
,
10、如图所示，O1为皮带传动的 ( http: / / www.21cnjy.com )主动轮的轴心，轮半径为r1,O2为从动轮的轴心，轮半径为r2,r3为固定在从动轮上的小轮半径，已知r2=2r1,r3=1.5r1。A、B和C分别是3个轮边缘上的点，质点Ａ、Ｂ、Ｃ的向心加速度之比是（ ）
A.1：2：3 Ｂ.2：4：3 Ｃ.8：4：3 Ｄ.3：6：2
预习案
自主学习
1. 大小不变，方向时刻改变 ；不变 。 存在
2.矢量 3.指向圆心；匀速 4. (1) 受到指向太阳的引力作用
(2)小球受到重力、支持力和绳子的拉力三个力的作用，其合力即为绳子的拉力，方向指向圆心。
5.圆心 6. an= v2/r , an= ω2r
探究案：
探究一.不是
探究四.
能力训练案
1.B 2.A 3.BC 4.D 5.D 6. 3∶3∶1，3∶1∶1 7. 100， 200
过关检测案
1.C 2.A 3.AD 4. 4﹕3 5. 3﹕3﹕1 1﹕3﹕1 9﹕3﹕1 6.A 7.B 8.D 9.A 10.
C
B A A
C
B
AC
A
B
C
B
C
A
r1
r2
r3
O1
