【中考押题卷】2025年上海市中考数学模拟预测卷三（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题卷】2025年上海市中考数学模拟预测卷三（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-18 05:17:26 | ||
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文档简介
2025年上海市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2024秋 承德县期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159 B． C． D．
2．（4分）（2024 亭湖区校级模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a2）4＝a8 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a2+a3＝a5
3．（4分）（2025春 宝应县期中）下列事件中的必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．打开电视，正在播放新闻
C．天空出现三个太阳
D．三角形内角和为180°
4．（4分）（2022秋 安徽月考）2022年北京冬奥会的火炬写有全世界名字的正六边形雪花引导牌（如图①）共同构成的．如图②是其中一片雪花引导牌，已知点G是正六边形ABCDEF的边AF，DE的延长线的交点，则∠G＝（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．（4分）（2021秋 大祥区校级期末）已知小红5岁，爸爸32岁，如果x年后小红年龄是爸爸年龄的，那么可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）（2024 宝山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2022秋 河北区期中）有理数﹣6的相反数是 ．
8．（4分）（2024春 古浪县期末）计算：2 ．
9．（4分）（2022春 新田县期中）因式分解9x2﹣36y2＝ ．
10．（4分）（2025 徐州模拟）当x＝ 时，分式与的值互为相反数．
11．（4分）（2022秋 龙华区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a﹣4＝0的一个根为0，则a的值为 ．
12．（4分）（2024秋 淮南期末）2025年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》、《蛟龙行动》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
13．（4分）（2024春 安康期末）若一次函数y＝kx+2（k≠0），y随x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
14．（4分）（2025 城阳区一模）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：克），得到的数据如下：
50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，49.97，50.00，49.99．
当一个工件的质量x（单位：克）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 ．
15．（4分）（2022 丰县二模）如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝1，BC＝FG＝4．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα＝ ．
16．（4分）（2024秋 普陀区校级期中）如图．已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心，，，那么用向量表示向量 ．
17．（4分）（2024秋 桥西区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB＝ ；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
18．（4分）（2024 神木市模拟）如图，在 ABDC中，连接BC，BC＝4，∠ABC＝120°，E是边CD上一动点，连接BE，以BE为边向左侧作等边△BEF，连接FC，则FC的最小值是 ．
三．解答题（共7小题，满分68分）
19．（10分）（2022 历城区二模）计算：（）﹣12cos60°﹣|﹣2|．
20．（10分）观察下面给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2﹣3x+4＝0，x3+x﹣1＝0，x3﹣2x2+3＝x，y3+2y2﹣5y﹣1＝0．
21．（10分）（2025 方城县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数图象上的一点，以点P为圆心，PO长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点．
（2）若，求点P的坐标．
22．（2024秋 未央区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的长．
23．（12分）（2024秋 涡阳县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求CE的长．
24．（12分）（2024秋 思明区校级期中）已知抛物线M：y＝x2﹣ax﹣2a﹣4，其中a＞0，点B在对称轴上．
（1）若抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0．
①求a的值；
②若直线l：y＝x﹣4与抛物线M交于点P，Q，求△PQN的面积；
（2）已知点A（﹣2，0）在抛物线M上，将点B绕点A顺时针旋转90°，得到点C，试探究：对于任意正数a，是否总存在点B使得点C在抛物线M上？请通过计算说明理由．
25．（14分）（2024 沙洋县模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
2025年上海市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2024秋 承德县期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159 B． C． D．
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：由有理数及无理数的概念知，3.14159、、，是有理数，是无理数．
故选：D．
【点评】本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（4分）（2024 亭湖区校级模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a2）4＝a8 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a2+a3＝a5
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（a2）4＝a8，故A符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故C不符合题意；
D、a2与a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（4分）（2025春 宝应县期中）下列事件中的必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．打开电视，正在播放新闻
C．天空出现三个太阳
D．三角形内角和为180°
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】概率及其应用．
【答案】D
【分析】在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义逐项验证即可得到答案．
【解答】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，这是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻，这是随机事件，不符合题意；
C、天空出现三个太阳，这是不可能事件，不符合题意；
D、三角形内角和为180°，这是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，熟记各个事件的定义，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解决问题的关键．
4．（4分）（2022秋 安徽月考）2022年北京冬奥会的火炬写有全世界名字的正六边形雪花引导牌（如图①）共同构成的．如图②是其中一片雪花引导牌，已知点G是正六边形ABCDEF的边AF，DE的延长线的交点，则∠G＝（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据任意多边形的外角和都是360°可得∠GFE＝∠GEF＝60°，然后再利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠GFE＝∠GEF60°，
∴∠G＝180°﹣∠GEF﹣∠GFE＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握任意多边形的外角和都是360°是解题的关键．
5．（4分）（2021秋 大祥区校级期末）已知小红5岁，爸爸32岁，如果x年后小红年龄是爸爸年龄的，那么可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“x年后小红年龄是爸爸年龄的”即可列出方程．
【解答】解：根据题意得5+x（32+x）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系是解决问题的关键．
6．（4分）（2024 宝山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，，
∴，
设AC＝x，BC＝2x，
∴ABx＝5，
∴x，
∴AC，BC＝2，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴CD2，
∵⊙C与线段AB有两个交点，
∴2＜R，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2022秋 河北区期中）有理数﹣6的相反数是 6 ．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感；符号意识．
【答案】6．
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：有理数﹣6的相反数是：6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了相反数，正确记忆相关概念是解题关键．
8．（4分）（2024春 古浪县期末）计算：2 1 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2
2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．（4分）（2022春 新田县期中）因式分解9x2﹣36y2＝ 9（x+2y）（x﹣2y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】9（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝9（x2﹣4y2）
＝9（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：9（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（4分）（2025 徐州模拟）当x＝ 0 时，分式与的值互为相反数．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论．
【解答】解：∵分式与的值互为相反数，
∴．
∴x+2＝2﹣x．
∴x＝0．
经检验，x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
11．（4分）（2022秋 龙华区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a﹣4＝0的一个根为0，则a的值为 4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】把x＝0代入方程x2+x+a﹣4＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝0代入方程x2+x+a﹣4＝0得：a﹣4＝0，
∴a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a﹣4＝0是解此题的关键．
12．（4分）（2024秋 淮南期末）2025年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》、《蛟龙行动》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及二人恰好选择同一部影片观看的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》、《蛟龙行动》四部影片分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，
∴二人恰好选择同一部影片观看的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．（4分）（2024春 安康期末）若一次函数y＝kx+2（k≠0），y随x的增大而减小，则k的值可以是 ﹣1（答案不唯一，k＜0即可） ．（写出一个即可）
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣1（答案不唯一，k＜0即可）．
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2（k≠0），y随x的增大而减小，
∴k＜0，
则k的值可以是﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一，k＜0即可）．
【点评】本题考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的性质是解题关键．
14．（4分）（2025 城阳区一模）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：克），得到的数据如下：
50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，49.97，50.00，49.99．
当一个工件的质量x（单位：克）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 180个 ．
【考点】用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】180个．
【分析】先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘总数200即可求解．
【解答】解：10个工件中为一等品的有50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，50.00，49.99这9个，
∴这200个工件中一等品的个数为：200180（个）．
故答案为：180个．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
15．（4分）（2022 丰县二模）如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝1，BC＝FG＝4．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα＝ ．
【考点】矩形的性质；解直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，
∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝MD，
∵sinα＝sin∠DMC，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝KM＝a cm，则CM＝（8﹣a）cm，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝1+（4﹣a）2，
∴a（cm），
∴sinα＝sin∠DMC，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数定义等知识；求MD的长是本题的关键．
16．（4分）（2024秋 普陀区校级期中）如图．已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心，，，那么用向量表示向量 ．
【考点】三角形的重心；*平面向量．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可．
【解答】解：根据点G是△ABC的重心可以得到：，
∴，
∴，
∵G是△ABC的重心，由三角形的重心的特点可以得到：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算、三角形法则、三角形重心的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
17．（4分）（2024秋 桥西区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB＝ 10 ；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；列代数式；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）或；
（3）或或．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB即可；
（2）依题意得BP＝2t，AQ＝2t，则AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，再根据∠C＝90°得当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，有以下两种情况：①当∠PQA＝90°时，②当∠QPA＝90°时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出t的值即可；
（3）（3）先求出OAPA＝5﹣t；再分三种情况进行讨论：①当OQ⊥AB时，②当OQ⊥AC时，③当OQ⊥BC时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出t的值即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB10；
故答案为：10，
（2）依题意得：BP＝2t，AQ＝2t，则AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，
∵∠C＝90°，
∴当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，有以下两种情况：
当∠PQA＝90°或∠QPA＝90°时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，
此时点Q在线段AC上运动；
①当∠PQA＝90°时，如图1所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴AP：AB＝AQ：AC，
∴（10﹣2t）：10＝2t：8，
解得：t；
②当∠QPA＝90°时，如图2所示：
∵△AQP∽△ABC，
∴AP：AC＝AQ：AB，
∴（10﹣2t）：8＝2t：10，
解得：t，
∴当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，t的值为或；
（3）∵点O为PA的中点，
∴OAPA＝5﹣t；
依题意有以下三种情况：
①当OQ⊥AB时，如图3所示：
∵∠AOQ＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AQO∽△ABC，
∴OA：AC＝AQ：AB，
∴（5﹣t）：8＝2t：10，
解得：t；
②当OQ⊥AC时，如图4所示：
∵∠AQO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴OA：AB＝AQ：AC，
∴（5﹣t）：10＝2t：8，
解得：t；
③当OQ⊥BC时，如图5所示：
∵AC+CQ＝2t，
∴CQ＝2t﹣AC＝2t﹣8，
∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，OB＝AB﹣OA＝10﹣（5﹣t）＝5+t，
∵∠BQO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BQO∽△BCA，
∴BQ：BC＝BO：AB，
∴（14﹣2t）：6＝（5+t）：10，
解得：t．
综上所述：当OQ与△ABC的一边垂直时，t的值为或或．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，列代数式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
18．（4分）（2024 神木市模拟）如图，在 ABDC中，连接BC，BC＝4，∠ABC＝120°，E是边CD上一动点，连接BE，以BE为边向左侧作等边△BEF，连接FC，则FC的最小值是 2 ．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“SAS”可证△FCB≌△EBH，可得CF＝EH，当EH⊥AB时，EH有最小值为CN的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AB至H，使BH＝BC，连接CH，过点C作CN⊥BH于N，连接EH，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，
∵∠CNB＝90°，BC＝BH＝4，
∴BNCB＝2，CNBN＝2，
∵△DEF是等边三角形，
∴FB＝EB，∠FBE＝60°＝∠CBH，
∴∠EBH＝∠FBC，
∴△FCB≌△EBH（SAS），
∴CF＝EH，
∴当EH有最小值时，FC有最小值，
∵点E，点F分别是直线CD，直线AB上一点，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值为CN的长，
∴FC的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分68分）
19．（10分）（2022 历城区二模）计算：（）﹣12cos60°﹣|﹣2|．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
【解答】解：（）﹣12cos60°﹣|﹣2|
＝3﹣3+22
＝3﹣3+1﹣2
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
20．（10分）观察下面给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2﹣3x+4＝0，x3+x﹣1＝0，x3﹣2x2+3＝x，y3+2y2﹣5y﹣1＝0．
【考点】高次方程．
【专题】方程思想；推理能力．
【答案】一元三次方程；含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程．
【分析】根据方程的特点：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程可得此方程的名称为一元三次方程．
【解答】解：它们的共同特征是：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程，这种方程的名称是一元三次方程，
定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程；
故答案为：一元三次方程；含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程．
【点评】本题主要考查了一元三次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义．
21．（10分）（2025 方城县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数图象上的一点，以点P为圆心，PO长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点．
（2）若，求点P的坐标．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）P（﹣3，2）．
【分析】（1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；
（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），得出OA＝2OM＝﹣2m，OB＝2ON＝2n，进而利用，求出nm，P是反比例函数图象上的一点，则mn＝﹣6，把nm代入，解得m＝﹣3，进而求得n＝2，得到P（﹣3，2）．
【解答】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；
（2）解：∵P是反比例函数图象上的一点，
设设点P坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），则mn＝﹣6，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），
且OM＝﹣m，ON＝n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA＝﹣2m；
N为OB中点，OB＝2n，
∵，
∴，即，
∴nm，
∴m （m）＝﹣6，
∴m2＝9，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴n（﹣3）＝2，
∴P（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，熟练利用反比例函数的性质得出OA，OB的长是解题关键．
22．（2024秋 未央区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【答案】．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的 性质得出，再代入求值即可．
【解答】解：∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB＝3，AD＝2，AC＝8，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
23．（12分）（2024秋 涡阳县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求CE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）证AB＝CB，得 ABCD是菱形，再由菱形的性质得AC⊥BD，可得∠AOB＝∠BOE＝90°，再由BE⊥AB，可得∠EBA＝90°，从而得出∠BEO＝∠ABO，然后证△ABO∽△BEO即可；
（2）由勾股定理得OB＝6，由△ABO∽△BEO，得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°．
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BEO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEO，
∴△ABO∽△BEO；
（2）解：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∵△ABO∽△BEO，
∴，即，
解得，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）（2024秋 思明区校级期中）已知抛物线M：y＝x2﹣ax﹣2a﹣4，其中a＞0，点B在对称轴上．
（1）若抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0．
①求a的值；
②若直线l：y＝x﹣4与抛物线M交于点P，Q，求△PQN的面积；
（2）已知点A（﹣2，0）在抛物线M上，将点B绕点A顺时针旋转90°，得到点C，试探究：对于任意正数a，是否总存在点B使得点C在抛物线M上？请通过计算说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）①a＝2，②15；
（2）存在，理由见解答．
【分析】（1）①抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0，则点N是抛物线的顶点，即可求解；
②由△PQN的面积HN×（xQ﹣xP）6×（4+1）＝15，即可求解；
（2）求出点C（m﹣2，a﹣2），将点C代入抛物线表达式得：a﹣2＝（m﹣2）2﹣a（m﹣2）﹣2a﹣4，得到Δ＞0，即可求解．
【解答】解：（1）①抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0，
则点N是抛物线的顶点，
则xa＝1，即a＝2，
②由①得：抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣8，
联立上式和y＝x﹣4得：x﹣4＝x2﹣2x﹣8，
解得：x＝4或﹣1，
即点P、Q的横坐标分别为：﹣1，4；
过点N作NH∥y轴交PQ于点H，
由抛物线的表达式知，点N（1，﹣9），
当x＝1时，y＝x﹣4＝﹣3，则NH＝6，
则△PQN的面积HN×（xQ﹣xP）6×（4+1）＝15；
（2）存在，理由：
由题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°，抛物线的对称轴为直线xa，故设点M（a，m），
将线段向右平移2个单位，此时点B（a+2，m），此时，将AB顺时针旋转90°，此时点B（m，a﹣2），
将此时的线段向左平移2个单位，此时的点B，即为点C（m﹣2，a﹣2），
将点C代入抛物线表达式得：a﹣2＝（m﹣2）2﹣a（m﹣2）﹣2a﹣4，
整理得：m2﹣（4+a）ma+2＝0，
则Δ＝（4+a）2﹣4（a+2）＝a2+6a+8，
∵a＞0，则Δ＞0，
即方程有两个不相等的实数根，即总存在点B使得点C在抛物线M上．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的旋转、面积的计算，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（14分）（2024 沙洋县模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】（1）连接OD，利用三角形的内心的性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，平行线的判定定理和平行四边形的定义解答即可；
（3）连接CD，设AC与BD交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，利用圆周角定理和勾股定理得到AC，利用平行线的性质，三角形的内心的性质和等腰三角形的判定定理得到HG＝HB，设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得x值，进而AG＝AC﹣CG＝3；利用直角三角形的边角关系定理，圆周角定理得到，设GD＝a，则CD＝2a，利用勾股定理得到a值，利用相似三角形的判定与性质求得BG；利用平行线的性质，三角形的内心的性质和等腰三角形的判定定理得到AK＝EK，设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴OD⊥AC，
∵DF∥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点A为弧BD的中点，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（3）解：连接CD，设AC与B交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，如图，
∵⊙O的半径长为5，
∴BC＝10，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AC8．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABD＝∠BCD．
∵GH∥AB，
∴∠HGB＝∠ABD，
∴∠HGB＝∠DBC，
∴HG＝HB，
设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∴，
∴x，
∴GH，
∴，
∴CG＝5，
∴AG＝AC﹣CG＝3．
∴tan∠ABD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴tan∠ACDtan∠ABD，
设GD＝a，则CD＝2a，
∵GD2+CD2＝CG2，
∴a2+（2a）2＝52，
∵a＞0，
∴a．
∴GD．
∵∠BAC＝∠BDC，∠AGB＝∠DGC，
∴△ABG∽△DCG，
∴，
∴，
∴BG＝3．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠GAE．
∵EK∥AC，
∴∠AEK＝∠GAE，
∴∠AEK＝∠BAE，
∴AK＝EK，
设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BGA，
∴，
∴，
∴y＝2，
∴，
∴BE＝2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的内心的性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，添加辅助线构造等腰三角形和相似三角形是解题的关键．
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一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2024秋 承德县期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159 B． C． D．
2．（4分）（2024 亭湖区校级模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a2）4＝a8 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a2+a3＝a5
3．（4分）（2025春 宝应县期中）下列事件中的必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．打开电视，正在播放新闻
C．天空出现三个太阳
D．三角形内角和为180°
4．（4分）（2022秋 安徽月考）2022年北京冬奥会的火炬写有全世界名字的正六边形雪花引导牌（如图①）共同构成的．如图②是其中一片雪花引导牌，已知点G是正六边形ABCDEF的边AF，DE的延长线的交点，则∠G＝（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．（4分）（2021秋 大祥区校级期末）已知小红5岁，爸爸32岁，如果x年后小红年龄是爸爸年龄的，那么可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）（2024 宝山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2022秋 河北区期中）有理数﹣6的相反数是 ．
8．（4分）（2024春 古浪县期末）计算：2 ．
9．（4分）（2022春 新田县期中）因式分解9x2﹣36y2＝ ．
10．（4分）（2025 徐州模拟）当x＝ 时，分式与的值互为相反数．
11．（4分）（2022秋 龙华区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a﹣4＝0的一个根为0，则a的值为 ．
12．（4分）（2024秋 淮南期末）2025年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》、《蛟龙行动》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
13．（4分）（2024春 安康期末）若一次函数y＝kx+2（k≠0），y随x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
14．（4分）（2025 城阳区一模）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：克），得到的数据如下：
50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，49.97，50.00，49.99．
当一个工件的质量x（单位：克）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 ．
15．（4分）（2022 丰县二模）如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝1，BC＝FG＝4．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα＝ ．
16．（4分）（2024秋 普陀区校级期中）如图．已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心，，，那么用向量表示向量 ．
17．（4分）（2024秋 桥西区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB＝ ；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
18．（4分）（2024 神木市模拟）如图，在 ABDC中，连接BC，BC＝4，∠ABC＝120°，E是边CD上一动点，连接BE，以BE为边向左侧作等边△BEF，连接FC，则FC的最小值是 ．
三．解答题（共7小题，满分68分）
19．（10分）（2022 历城区二模）计算：（）﹣12cos60°﹣|﹣2|．
20．（10分）观察下面给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2﹣3x+4＝0，x3+x﹣1＝0，x3﹣2x2+3＝x，y3+2y2﹣5y﹣1＝0．
21．（10分）（2025 方城县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数图象上的一点，以点P为圆心，PO长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点．
（2）若，求点P的坐标．
22．（2024秋 未央区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的长．
23．（12分）（2024秋 涡阳县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求CE的长．
24．（12分）（2024秋 思明区校级期中）已知抛物线M：y＝x2﹣ax﹣2a﹣4，其中a＞0，点B在对称轴上．
（1）若抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0．
①求a的值；
②若直线l：y＝x﹣4与抛物线M交于点P，Q，求△PQN的面积；
（2）已知点A（﹣2，0）在抛物线M上，将点B绕点A顺时针旋转90°，得到点C，试探究：对于任意正数a，是否总存在点B使得点C在抛物线M上？请通过计算说明理由．
25．（14分）（2024 沙洋县模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
2025年上海市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2024秋 承德县期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14159 B． C． D．
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【解答】解：由有理数及无理数的概念知，3.14159、、，是有理数，是无理数．
故选：D．
【点评】本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（4分）（2024 亭湖区校级模拟）下列计算结果正确的是（ ）
A．（a2）4＝a8 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a2+a3＝a5
【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（a2）4＝a8，故A符合题意；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故C不符合题意；
D、a2与a3不能合并，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．（4分）（2025春 宝应县期中）下列事件中的必然事件是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．打开电视，正在播放新闻
C．天空出现三个太阳
D．三角形内角和为180°
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】概率及其应用．
【答案】D
【分析】在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义逐项验证即可得到答案．
【解答】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，这是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻，这是随机事件，不符合题意；
C、天空出现三个太阳，这是不可能事件，不符合题意；
D、三角形内角和为180°，这是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，熟记各个事件的定义，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解决问题的关键．
4．（4分）（2022秋 安徽月考）2022年北京冬奥会的火炬写有全世界名字的正六边形雪花引导牌（如图①）共同构成的．如图②是其中一片雪花引导牌，已知点G是正六边形ABCDEF的边AF，DE的延长线的交点，则∠G＝（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据任意多边形的外角和都是360°可得∠GFE＝∠GEF＝60°，然后再利用三角形的内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠GFE＝∠GEF60°，
∴∠G＝180°﹣∠GEF﹣∠GFE＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握任意多边形的外角和都是360°是解题的关键．
5．（4分）（2021秋 大祥区校级期末）已知小红5岁，爸爸32岁，如果x年后小红年龄是爸爸年龄的，那么可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“x年后小红年龄是爸爸年龄的”即可列出方程．
【解答】解：根据题意得5+x（32+x）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系是解决问题的关键．
6．（4分）（2024 宝山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，，
∴，
设AC＝x，BC＝2x，
∴ABx＝5，
∴x，
∴AC，BC＝2，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴CD2，
∵⊙C与线段AB有两个交点，
∴2＜R，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2022秋 河北区期中）有理数﹣6的相反数是 6 ．
【考点】相反数．
【专题】实数；数感；符号意识．
【答案】6．
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：有理数﹣6的相反数是：6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了相反数，正确记忆相关概念是解题关键．
8．（4分）（2024春 古浪县期末）计算：2 1 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝2
2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．（4分）（2022春 新田县期中）因式分解9x2﹣36y2＝ 9（x+2y）（x﹣2y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】9（x+2y）（x﹣2y）．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝9（x2﹣4y2）
＝9（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：9（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（4分）（2025 徐州模拟）当x＝ 0 时，分式与的值互为相反数．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论．
【解答】解：∵分式与的值互为相反数，
∴．
∴x+2＝2﹣x．
∴x＝0．
经检验，x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
11．（4分）（2022秋 龙华区期中）关于x的一元二次方程x2+x+a﹣4＝0的一个根为0，则a的值为 4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】把x＝0代入方程x2+x+a﹣4＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝0代入方程x2+x+a﹣4＝0得：a﹣4＝0，
∴a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a﹣4＝0是解此题的关键．
12．（4分）（2024秋 淮南期末）2025年春节贺岁档影片即将上映，小明、小红二人准备在《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》、《蛟龙行动》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及二人恰好选择同一部影片观看的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将《哪吒之魔童闹海》、《封神第二部》、《唐探4》、《蛟龙行动》四部影片分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中二人恰好选择同一部影片观看的结果有4种，
∴二人恰好选择同一部影片观看的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
13．（4分）（2024春 安康期末）若一次函数y＝kx+2（k≠0），y随x的增大而减小，则k的值可以是 ﹣1（答案不唯一，k＜0即可） ．（写出一个即可）
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】﹣1（答案不唯一，k＜0即可）．
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2（k≠0），y随x的增大而减小，
∴k＜0，
则k的值可以是﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一，k＜0即可）．
【点评】本题考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的性质是解题关键．
14．（4分）（2025 城阳区一模）某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：克），得到的数据如下：
50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，49.97，50.00，49.99．
当一个工件的质量x（单位：克）满足49.98≤x≤50.02时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 180个 ．
【考点】用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】180个．
【分析】先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘总数200即可求解．
【解答】解：10个工件中为一等品的有50.02，49.98，50.00，49.99，50.01，50.02，50.00，50.00，49.99这9个，
∴这200个工件中一等品的个数为：200180（个）．
故答案为：180个．
【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
15．（4分）（2022 丰县二模）如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝1，BC＝FG＝4．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα＝ ．
【考点】矩形的性质；解直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，
∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝MD，
∵sinα＝sin∠DMC，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝KM＝a cm，则CM＝（8﹣a）cm，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝1+（4﹣a）2，
∴a（cm），
∴sinα＝sin∠DMC，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数定义等知识；求MD的长是本题的关键．
16．（4分）（2024秋 普陀区校级期中）如图．已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心，，，那么用向量表示向量 ．
【考点】三角形的重心；*平面向量．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】先求出，再利用三角形法则求出，然后利用三角形重心的性质求解即可．
【解答】解：根据点G是△ABC的重心可以得到：，
∴，
∴，
∵G是△ABC的重心，由三角形的重心的特点可以得到：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算、三角形法则、三角形重心的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
17．（4分）（2024秋 桥西区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）AB＝ 10 ；
（2）当Q在AC上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值；
（3）设点O是PA的中点，当OQ与△ABC的一边垂直时，请直接写出t的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；列代数式；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）或；
（3）或或．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB即可；
（2）依题意得BP＝2t，AQ＝2t，则AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，再根据∠C＝90°得当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，有以下两种情况：①当∠PQA＝90°时，②当∠QPA＝90°时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出t的值即可；
（3）（3）先求出OAPA＝5﹣t；再分三种情况进行讨论：①当OQ⊥AB时，②当OQ⊥AC时，③当OQ⊥BC时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出t的值即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB10；
故答案为：10，
（2）依题意得：BP＝2t，AQ＝2t，则AP＝AB﹣BP＝10﹣2t，
∵∠C＝90°，
∴当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，有以下两种情况：
当∠PQA＝90°或∠QPA＝90°时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，
此时点Q在线段AC上运动；
①当∠PQA＝90°时，如图1所示：
∵△APQ∽△ABC，
∴AP：AB＝AQ：AC，
∴（10﹣2t）：10＝2t：8，
解得：t；
②当∠QPA＝90°时，如图2所示：
∵△AQP∽△ABC，
∴AP：AC＝AQ：AB，
∴（10﹣2t）：8＝2t：10，
解得：t，
∴当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，t的值为或；
（3）∵点O为PA的中点，
∴OAPA＝5﹣t；
依题意有以下三种情况：
①当OQ⊥AB时，如图3所示：
∵∠AOQ＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AQO∽△ABC，
∴OA：AC＝AQ：AB，
∴（5﹣t）：8＝2t：10，
解得：t；
②当OQ⊥AC时，如图4所示：
∵∠AQO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴OA：AB＝AQ：AC，
∴（5﹣t）：10＝2t：8，
解得：t；
③当OQ⊥BC时，如图5所示：
∵AC+CQ＝2t，
∴CQ＝2t﹣AC＝2t﹣8，
∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，OB＝AB﹣OA＝10﹣（5﹣t）＝5+t，
∵∠BQO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BQO∽△BCA，
∴BQ：BC＝BO：AB，
∴（14﹣2t）：6＝（5+t）：10，
解得：t．
综上所述：当OQ与△ABC的一边垂直时，t的值为或或．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，列代数式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
18．（4分）（2024 神木市模拟）如图，在 ABDC中，连接BC，BC＝4，∠ABC＝120°，E是边CD上一动点，连接BE，以BE为边向左侧作等边△BEF，连接FC，则FC的最小值是 2 ．
【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“SAS”可证△FCB≌△EBH，可得CF＝EH，当EH⊥AB时，EH有最小值为CN的长，即可求解．
【解答】解：如图，延长AB至H，使BH＝BC，连接CH，过点C作CN⊥BH于N，连接EH，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，
∵∠CNB＝90°，BC＝BH＝4，
∴BNCB＝2，CNBN＝2，
∵△DEF是等边三角形，
∴FB＝EB，∠FBE＝60°＝∠CBH，
∴∠EBH＝∠FBC，
∴△FCB≌△EBH（SAS），
∴CF＝EH，
∴当EH有最小值时，FC有最小值，
∵点E，点F分别是直线CD，直线AB上一点，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值为CN的长，
∴FC的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分68分）
19．（10分）（2022 历城区二模）计算：（）﹣12cos60°﹣|﹣2|．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
【解答】解：（）﹣12cos60°﹣|﹣2|
＝3﹣3+22
＝3﹣3+1﹣2
＝﹣1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
20．（10分）观察下面给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．
x3+x2﹣3x+4＝0，x3+x﹣1＝0，x3﹣2x2+3＝x，y3+2y2﹣5y﹣1＝0．
【考点】高次方程．
【专题】方程思想；推理能力．
【答案】一元三次方程；含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程．
【分析】根据方程的特点：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程可得此方程的名称为一元三次方程．
【解答】解：它们的共同特征是：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程，这种方程的名称是一元三次方程，
定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程；
故答案为：一元三次方程；含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程．
【点评】本题主要考查了一元三次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义．
21．（10分）（2025 方城县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数图象上的一点，以点P为圆心，PO长为半径作圆，与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB．
（1）求证：P为线段AB的中点．
（2）若，求点P的坐标．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．
【专题】反比例函数及其应用；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）P（﹣3，2）．
【分析】（1）利用圆周角定理的推论得出AB是⊙P的直径即可；
（2）首先假设点P坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），得出OA＝2OM＝﹣2m，OB＝2ON＝2n，进而利用，求出nm，P是反比例函数图象上的一点，则mn＝﹣6，把nm代入，解得m＝﹣3，进而求得n＝2，得到P（﹣3，2）．
【解答】（1）证明：∵点A、O、B在⊙P上，且∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P直径，
即P为AB中点；
（2）解：∵P是反比例函数图象上的一点，
设设点P坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），则mn＝﹣6，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴M的坐标为（m，0），N的坐标为（0，n），
且OM＝﹣m，ON＝n，
∵点A、O、B在⊙P上，
∴M为OA中点，OA＝﹣2m；
N为OB中点，OB＝2n，
∵，
∴，即，
∴nm，
∴m （m）＝﹣6，
∴m2＝9，
∵m＜0，
∴m＝﹣3，
∴n（﹣3）＝2，
∴P（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，熟练利用反比例函数的性质得出OA，OB的长是解题关键．
22．（2024秋 未央区期末）如图，在△ABC中，∠C＝∠ADE，AB＝3，AD＝2，AC＝8，求AE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【答案】．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的 性质得出，再代入求值即可．
【解答】解：∵∠C＝∠ADE，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AB＝3，AD＝2，AC＝8，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
23．（12分）（2024秋 涡阳县期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求CE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）证AB＝CB，得 ABCD是菱形，再由菱形的性质得AC⊥BD，可得∠AOB＝∠BOE＝90°，再由BE⊥AB，可得∠EBA＝90°，从而得出∠BEO＝∠ABO，然后证△ABO∽△BEO即可；
（2）由勾股定理得OB＝6，由△ABO∽△BEO，得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°．
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠BEO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠BEO，
∴△ABO∽△BEO；
（2）解：在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：，
∵△ABO∽△BEO，
∴，即，
解得，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）（2024秋 思明区校级期中）已知抛物线M：y＝x2﹣ax﹣2a﹣4，其中a＞0，点B在对称轴上．
（1）若抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0．
①求a的值；
②若直线l：y＝x﹣4与抛物线M交于点P，Q，求△PQN的面积；
（2）已知点A（﹣2，0）在抛物线M上，将点B绕点A顺时针旋转90°，得到点C，试探究：对于任意正数a，是否总存在点B使得点C在抛物线M上？请通过计算说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）①a＝2，②15；
（2）存在，理由见解答．
【分析】（1）①抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0，则点N是抛物线的顶点，即可求解；
②由△PQN的面积HN×（xQ﹣xP）6×（4+1）＝15，即可求解；
（2）求出点C（m﹣2，a﹣2），将点C代入抛物线表达式得：a﹣2＝（m﹣2）2﹣a（m﹣2）﹣2a﹣4，得到Δ＞0，即可求解．
【解答】解：（1）①抛物线M过点N（1，y0），且对于任意的实数x，都有y≥y0，
则点N是抛物线的顶点，
则xa＝1，即a＝2，
②由①得：抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣8，
联立上式和y＝x﹣4得：x﹣4＝x2﹣2x﹣8，
解得：x＝4或﹣1，
即点P、Q的横坐标分别为：﹣1，4；
过点N作NH∥y轴交PQ于点H，
由抛物线的表达式知，点N（1，﹣9），
当x＝1时，y＝x﹣4＝﹣3，则NH＝6，
则△PQN的面积HN×（xQ﹣xP）6×（4+1）＝15；
（2）存在，理由：
由题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°，抛物线的对称轴为直线xa，故设点M（a，m），
将线段向右平移2个单位，此时点B（a+2，m），此时，将AB顺时针旋转90°，此时点B（m，a﹣2），
将此时的线段向左平移2个单位，此时的点B，即为点C（m﹣2，a﹣2），
将点C代入抛物线表达式得：a﹣2＝（m﹣2）2﹣a（m﹣2）﹣2a﹣4，
整理得：m2﹣（4+a）ma+2＝0，
则Δ＝（4+a）2﹣4（a+2）＝a2+6a+8，
∵a＞0，则Δ＞0，
即方程有两个不相等的实数根，即总存在点B使得点C在抛物线M上．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的旋转、面积的计算，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（14分）（2024 沙洋县模拟）如图，BC是⊙O的直径，点A在弧BC上，点E是△ABC的内心，连接BE并延长交弧AC于点D，过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若点A为弧BD的中点，求证：四边形ACFD是平行四边形．
（3）连接AE，若⊙O的半径长为5，AB＝6，求线段BE的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2．
【分析】（1）连接OD，利用三角形的内心的性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用圆周角定理，平行线的判定定理和平行四边形的定义解答即可；
（3）连接CD，设AC与BD交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，利用圆周角定理和勾股定理得到AC，利用平行线的性质，三角形的内心的性质和等腰三角形的判定定理得到HG＝HB，设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得x值，进而AG＝AC﹣CG＝3；利用直角三角形的边角关系定理，圆周角定理得到，设GD＝a，则CD＝2a，利用勾股定理得到a值，利用相似三角形的判定与性质求得BG；利用平行线的性质，三角形的内心的性质和等腰三角形的判定定理得到AK＝EK，设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴OD⊥AC，
∵DF∥AC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点A为弧BD的中点，
∴．
由（1）知：，
∴，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CF，
∵DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（3）解：连接CD，设AC与B交于点G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点E作EK∥AC交AB于点K，如图，
∵⊙O的半径长为5，
∴BC＝10，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AC8．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABD＝∠BCD．
∵GH∥AB，
∴∠HGB＝∠ABD，
∴∠HGB＝∠DBC，
∴HG＝HB，
设HG＝BH＝x，则CH＝10﹣x，
∵GH∥AB，
∴△CGH∽△CAB，
∴，
∴，
∴x，
∴GH，
∴，
∴CG＝5，
∴AG＝AC﹣CG＝3．
∴tan∠ABD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴tan∠ACDtan∠ABD，
设GD＝a，则CD＝2a，
∵GD2+CD2＝CG2，
∴a2+（2a）2＝52，
∵a＞0，
∴a．
∴GD．
∵∠BAC＝∠BDC，∠AGB＝∠DGC，
∴△ABG∽△DCG，
∴，
∴，
∴BG＝3．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠GAE．
∵EK∥AC，
∴∠AEK＝∠GAE，
∴∠AEK＝∠BAE，
∴AK＝EK，
设AK＝EK＝y，则BK＝6﹣y，
∵EK∥AC，
∴△BEK∽△BGA，
∴，
∴，
∴y＝2，
∴，
∴BE＝2．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，三角形的内心的性质，角平分线的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，添加辅助线构造等腰三角形和相似三角形是解题的关键．
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