【中考押题卷】2025年北京市中考数学模拟预测卷四（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题卷】2025年北京市中考数学模拟预测卷四（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-18 05:17:04 | ||
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文档简介
2025年北京市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023春 萧县期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2024春 麒麟区校级期中）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
3．（2分）（2023秋 武进区校级期中）若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
4．（2分）（2023 美兰区模拟）一个不透明的袋子中有4个分别标有数字1，2，﹣1，﹣2的球，这些球除所标的数字不同外其它都相同．若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2024秋 宜州区期末）已知关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
6．（2分）（2022秋 蓬莱区期中）天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万公里用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103
7．（2分）（2025 安徽模拟）如图，已知∠AOB，用直尺、圆规作∠AOB的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C．
③画射线OC，OC即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．SAS
C．SSS
D．全等三角形对应角相等
8．（2分）（2024秋 长安区期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③EF＝4BE；④S△CEF＝1；⑤S△ABE．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024秋 永吉县期末）当x＝ 时，分式无意义．
10．（2分）（2024春 鲤城区校级月考）分解因式：a2xy﹣b2xy＝ ．
11．（2分）（2022 市中区二模）方程的解是 ．
12．（2分）（2024 南岗区校级开学）为了估计松花江中鱼的数量，先捕捉10尾鱼全部做上标记后放回江里；过了一段时间后，重新捕捉100尾，数一数带有标记的鱼有4尾，据此可估计松花江中大约有鱼 尾．
13．（2分）（2024秋 张店区校级月考）如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝ ．
14．（2分）（2024秋 吉林期中）如图，BC为⊙O的直径，弦CD∥OA．若∠C＝50°，则∠A＝ °．
15．（2分）（2024春 牟平区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF；②∠DAE＝∠EAF；③AE2＝AD AF；④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论是 ．（填写序号）
16．（2分）（2022秋 温州校级期中）数学家莫伦发现了第一个完美长方形，即在一个长方形内切割出数个大小不一样的小正方形，小红尝试用10个大小不同的正方形拼完美长方形（如图），已知编号①的正方形边长为1，编号②的正方形边长为a，则编号⑤的正方形边长为 （用含a的式子表示）；经过测算，当a＝1.2时，恰好拼成完美长方形，则该完美长方形的周长为 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2025 兴宁市一模）计算：．
18．（5分）（2021 甘州区校级开学）解不等式组：．
19．（5分）（2023秋 福山区校级月考）已知实数a满足a（a+1）＝1，求的值．
20．（5分）（2022春 南关区校级月考）如图，在矩形ABCD中，BF⊥AC于点F，过点D作DE∥AC，过点A作AE⊥DE于点E，连结EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形．
（2）若AC＝8，∠ACB＝30°，则DE的长为 ．
21．（5分）（2022春 新野县期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
22．（5分）（2024 海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数．y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且过点A（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
23．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
24．（6分）（2022 洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作⊙O的切线EG交BC于点G．
（1）求证：EG⊥BC；
（2）若AF＝6，tan∠B，求BE的长．
25．（6分）（2020秋 广陵区期末）“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的M处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了N处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离y（米）与小亮行走的时间x（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度为 米/分，M、N两处的路程为 米；
（2）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（3）求小明与小亮相距120m时小亮行走的时间．
26．（6分）（2025 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当x0＝1，m＝n时，求t的值；
（2）当t＞1时，若对于1﹣t＜x0＜t﹣1，都有m＞n，求t的取值范围．
27．（7分）（2024春 崇阳县期末）数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（1）课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG．请你在图1中补全图形并证明结论；
（2）若点E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°．
①如图2，连接CF，请你求出∠DCF的大小；
②填空：如图3，连接DF，当，时，则△ADF的面积为 ．
28．（7分）（2025 海淀区校级模拟）对于平面直角坐标系xOy中的点P与⊙C，若将点P绕着点C旋转α（0°＜α＜180°）得到点Q，直线PQ刚好与⊙C相切，则称点P为⊙C的“α旋切点”．
（1）已知⊙O的半径为1，
①在点，P2（﹣1，0），中，点 是⊙O的“α旋切点”，其中α＝ ；
②已知点，点N为⊙O的“120°旋切点”，且，求点N的坐标；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，3），C（0，t），若线段AB上每个点都是⊙C的“α旋切点”，且0＜α≤90°，直接写出t的取值范围．
2025年北京市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023春 萧县期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2分）（2024春 麒麟区校级期中）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先由直角三角形的性质得出∠AFE＝48°，再根据平行线的性质得出∠2＝∠AFE＝48°．
【解答】解：∵AE⊥EF，∠1＝42°，
∴∠AFE＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AFE＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查垂线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．（2分）（2023秋 武进区校级期中）若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
【考点】实数与数轴；实数大小比较；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，然后逐项判断即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a＜b，﹣a＞b，a+b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，熟练掌握数轴的性质及实数的大小比较方法是解题的关键．
4．（2分）（2023 美兰区模拟）一个不透明的袋子中有4个分别标有数字1，2，﹣1，﹣2的球，这些球除所标的数字不同外其它都相同．若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两个球上的两个数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
1 2 ﹣1 ﹣2
1 （1，2） （1，﹣1） （1，﹣2）
2 （2，1） （2，﹣1） （2，﹣2）
﹣1 （﹣1，1） （﹣1，2） （﹣1，﹣2）
﹣2 （﹣2，1） （﹣2，2） （﹣2，﹣1）
共有12种等可能的结果，其中这两个球上的两个数字之积为负数的结果有：（1，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，1），（﹣2，2），共8种，
∴这两个球上的两个数字之积为负数的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．（2分）（2024秋 宜州区期末）已知关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
【解答】解：依题意可得，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＞0，解得k＜1，
∴k≠0，
∴k＜1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．熟练掌握该知识点是关键．
6．（2分）（2022秋 蓬莱区期中）天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万公里用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5500万＝55000000＝5.5×107．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
7．（2分）（2025 安徽模拟）如图，已知∠AOB，用直尺、圆规作∠AOB的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C．
③画射线OC，OC即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．SAS
C．SSS
D．全等三角形对应角相等
【考点】作图—基本作图；直线的性质：两点确定一条直线；全等三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据作图过程证明△MOC≌△NOC（SSS），得∠MOC＝∠NOC，所以OC是∠AOB的平分线，进而可以进行判断．
【解答】解：由作图过程可知：OM＝ON，MC＝NC，
在△MOC和△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
∴作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是SAS．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点确定一条直线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（2分）（2024秋 长安区期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③EF＝4BE；④S△CEF＝1；⑤S△ABE．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】①依据“HL”判定Rt△ABE和Rt△ADF全等得BE＝DF，再根据BC＝CD可对结论①进行判断；
②根据△CEF是等腰直角三角形得∠CEF＝45°，则∠AEC＝∠AEF+∠DEF＝105°，进而可求出∠AEB的度数，由此可对结论②进行判断；
③设正方形ABCD的边长为a，BE＝DF＝b，a＞b，则CE＝CF＝a﹣b，由勾股定理得a2+b2＝4，2（a﹣b）2＝4，由此解出，，则4BE，由此可对结论③进行判断；
④根据CE＝CF＝a﹣b可求出△CEF的面积，进而可对结论④进行判断；
⑤根据ab＝1可求出△ABE的面积，进而可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵△AEF是等边三角形且边长是2，
∴AE＝AF＝EF＝2，∠AEF＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
故结论①正确；
②∵CE＝CF，∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠DEF＝105°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝75°，
故结论②正确；
③设正方形ABCD的边长为a，BE＝DF＝b，a＞b，
则CE＝CF＝a﹣b，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
∴a2+b2＝4，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴2（a﹣b）2＝4，
∴a﹣b，
由2（a﹣b）2＝4，得a2+b2﹣2ab＝2，
∴2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝6，
∴由，解得，，
∴4BE＝4b，
又∵EF＝2，
∴EF≠4BE，
∴结论③不正确；
④∴CE＝CF＝a﹣b，
∴S△CEFCE CF1，
故结论④正确；
⑤∵2ab＝2，
∴ab＝1，
∴S△ABEAB AEab，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理构造方程组求解是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024秋 永吉县期末）当x＝ 1 时，分式无意义．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1．
【分析】分式无意义的条件是分母为0，据此解答即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1＝0，
解得x＝1，
即当x＝1时，分式无意义．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于零．
10．（2分）（2024春 鲤城区校级月考）分解因式：a2xy﹣b2xy＝ xy（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】xy（a+b）（a﹣b）．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2xy﹣b2xy
＝xy（a2﹣b2）
＝xy（a+b）（a﹣b），
故答案为：xy（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握运用提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
11．（2分）（2022 市中区二模）方程的解是 x＝﹣2 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x﹣1）2﹣6＝x2﹣1，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2分）（2024 南岗区校级开学）为了估计松花江中鱼的数量，先捕捉10尾鱼全部做上标记后放回江里；过了一段时间后，重新捕捉100尾，数一数带有标记的鱼有4尾，据此可估计松花江中大约有鱼 250 尾．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】250．
【分析】由题意可知：重新捕捉100尾，数一数带有标记的鱼有4尾，可以知道，在样本中，有标记的占到，而在总体中，有标记的共有10尾，根据比例即可解答．
【解答】解：可估计松花江中大约有鱼10250（尾）．
故答案为：250．
【点评】本题考查的是用样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
13．（2分）（2024秋 张店区校级月考）如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝ 12 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA BO的值，从而求出△AOB的面积．
【解答】解：∵△BCE的面积为8，
∴BC OE＝6，
∴BC OE＝12，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，
又∵∠ABC＝∠EOB，
∴△ABC∽△EOB，
∴，
∴AB OB＝BC OE
∴k＝AB OB＝BC OE＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明△ABC∽△EOB，得到AB OB ＝BC OE．
14．（2分）（2024秋 吉林期中）如图，BC为⊙O的直径，弦CD∥OA．若∠C＝50°，则∠A＝ 25 °．
【考点】圆周角定理；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】25．
【分析】首先根据平行线的性质∠C＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理得∠B∠AOC＝25°，最后利用等边对等角证得∠A＝∠B＝25°．
【解答】解：∵CD∥OA，
∴∠C＝∠AOC＝50°，
∴∠B∠AOC＝25°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了圆周角定理和平行线的性质，正确理解定理是关键，本题是一个基础题．
15．（2分）（2024春 牟平区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF；②∠DAE＝∠EAF；③AE2＝AD AF；④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】设CF＝m，则BF＝3CF＝3m，由正方形的性质得∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝CB＝BF+CF＝m+3m＝4m，则DE＝EC＝2m，可证明2，则△ADE∽△ECF，可判断①正确；所以2，∠DAE＝∠CEF，则，∠D＝∠AEF＝90°，所以△DAE∽△EAF，则∠DAE＝∠EAF，可判断②正确；由，得AE2＝AD AF，可判断③正确；再求得AE＝2m，EFm，则S△AEFAE EF＝5m2，而S△ECFCF EC＝m2，所以S△AEF＝5S△ECF，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：设CF＝m，则BF＝3CF＝3m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝CB＝BF+CF＝m+3m＝4m，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝ECCD＝2m，
∵2，2，
∴，
∴△ADE∽△ECF，
故①正确；
∴2，∠DAE＝∠CEF，
∴，∠AED+∠CEF＝∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AED+∠CEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△DAE∽△EAF，
∴∠DAE＝∠EAF，，
故②正确；
∴AE2＝AD AF，
故③正确；
∵AE2m，EFm，
∴S△AEFAE EF2mm＝5m2，
∵S△ECFCF ECm×2m＝m2，
∴S△AEF＝5S△ECF，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明△ADE∽△ECF是解题的关键．
16．（2分）（2022秋 温州校级期中）数学家莫伦发现了第一个完美长方形，即在一个长方形内切割出数个大小不一样的小正方形，小红尝试用10个大小不同的正方形拼完美长方形（如图），已知编号①的正方形边长为1，编号②的正方形边长为a，则编号⑤的正方形边长为 3a+1 （用含a的式子表示）；经过测算，当a＝1.2时，恰好拼成完美长方形，则该完美长方形的周长为 44.8 ．
【考点】代数式求值；数学常识；列代数式．
【专题】整式；推理能力．
【答案】3a+1，44.8．
【分析】列式分别表示出各正方形的边长，即可求得此题结果．
【解答】解：∵编号①的正方形边长为1，编号②的正方形边长为a，
∴编号③的正方形边长为a+1，编号④的正方形边长为a+1+a＝2a+1，
编号⑤的正方形边长为2a+1+a＝3a+1，编号⑥的正方形边长为3a+1+（a﹣1）＝4a，
编号⑦的正方形边长为4a﹣1，编号⑨的正方形边长为4a﹣1﹣1﹣（a+1）＝3a﹣3，
编号⑧的正方形边长为4a﹣1+（3a﹣3）＝7a﹣4，
∴该完美长方形的周长为：
2×[4a+（4a﹣1）+（7a﹣4）+（3a+1）+4a]
＝2×（4a+4a﹣1+7a﹣4+3a+1+4a）
＝2×（22a﹣4），
∴当a＝1.2时，
原式＝2×（22×1.2﹣4）
＝2×（26.4﹣4）
＝2×22.4
＝44.8，
故答案为：3a+1，44.8．
【点评】此题考查了根据几何图形列代数式并计算求值的能力，关键是能准确各正方形间边长间的数量关系并进行计算求解．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2025 兴宁市一模）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2.5．
【分析】利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝3+12＝2.5．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）（2021 甘州区校级开学）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x＜3．
【分析】分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
【解答】解：由1﹣x，得：x＜3，
由x﹣1＞0，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力及确定不等式组解集的口诀．
19．（5分）（2023秋 福山区校级月考）已知实数a满足a（a+1）＝1，求的值．
【考点】分式的化简求值；单项式乘多项式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】﹣2022．
【分析】首先由a（a+1）＝1得到，a2+a＝1，然后将变形代入求解即可．
【解答】解：∵a（a+1）＝1，
∴，a2+a＝1，
∴
＝a2+a﹣2023
＝1﹣2023
＝﹣2022．
【点评】此题考查了分式的化简求值，单项式乘多项式，解题的关键是正确将分式变形．
20．（5分）（2022春 南关区校级月考）如图，在矩形ABCD中，BF⊥AC于点F，过点D作DE∥AC，过点A作AE⊥DE于点E，连结EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形．
（2）若AC＝8，∠ACB＝30°，则DE的长为 6 ．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）6．
【分析】（1）根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定解答即可；
（2）由直角三角形的性质可求AB和AF的长，由平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∴∠EDA＝∠FCB．
∵AE⊥DE，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠CFB＝90°，
在△DEA和△CFB中，
，
∴△DEA≌△CFB（AAS）．
∴DE＝CF，
又∵DE∥AC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵AC＝8，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴ABAC＝4，∠BAC＝60°，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF＝30°，
∴AFAB＝2，
∴CF＝6，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．（5分）（2022春 新野县期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【分析】设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“前3小时两人共加工126件，后5小时内，甲比乙多加工了15件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，
依题得：，
解得：．
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（5分）（2024 海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数．y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且过点A（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝2x+1；（2）m．
【分析】（1）先根据直线平行得出k＝2，再将点A（1，3）代入y＝2x+b，求出b的值，即可求得一次函数的解析式．
（2）在函数y＝2x+1中，当x＝2时，y＝5，求出临界点坐标得到m值，根据条件确定m的范围即可．
【解答】解：（1）∵次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，
∴k＝2，
将点A（1，3）代入y＝2x+b，
得2+b＝3，解得b＝1，
∴这个一次函数的表达式为y＝2x+1；
（2）在函数y＝2x+1中，当x＝2时，y＝5，
函数y＝mx过点（2，5）和（0，0），
此时，m，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴m．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数和不等式的关系，数形结合解答此题的关键．
23．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 50 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 13 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ 93 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 八 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 160 人．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）50；
（2）13；
（3）93；
（4）八；
（5）160．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
（3）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（4）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（5）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，C组的频数为50﹣4﹣6﹣7﹣20﹣13（人），
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为93（分），因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即m＝93，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4＞49.2，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）400160（名），
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
24．（6分）（2022 洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作⊙O的切线EG交BC于点G．
（1）求证：EG⊥BC；
（2）若AF＝6，tan∠B，求BE的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）8．
【分析】（1）连接OE，如图，根据斜边上的中线性质得到DA＝DB，则∠1＝∠B，再证明∠2＝∠B得到OE∥BC，然后根据切线的性质得到EG⊥OE，从而得到EG⊥BC；
（2）连接OE．过O点作OH⊥AF于H，如图，根据垂径定理得到AH＝FH＝3，先证明∠3＝∠B得到tan∠3，则在Rt△AOH中利用正切的定义和勾股定理可计算出OF＝4，OA＝5，所以BD＝AD＝10，接着根据勾股定理得到∠AED＝90°，然后在Rt△BDE中利用正切的定义和勾股定理可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG为⊙O的切线，
∴EG⊥OE，
∴EG⊥BC；
（2）解：连接OE．过O点作OH⊥AF于H，如图，则AH＝FHAF＝3，
∵OH∥AB，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠B，
∴tan∠3＝tan∠B，
在Rt△AOH中，tan∠3，
∴OFAH＝4，
∴OA5，
∴BD＝AD＝10，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△BDE中，∵tanB，
∴设DE＝3x，BE＝4x，
∴BD＝5x，
即5x＝10，
解得x＝2，
∴BE＝4x＝8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理和解直角三角形．
25．（6分）（2020秋 广陵区期末）“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的M处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了N处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离y（米）与小亮行走的时间x（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度为 80 米/分，M、N两处的路程为 1040 米；
（2）点B的坐标是 （15.6，260） ，点C的坐标是 （17.6，0） ．
（3）求小明与小亮相距120m时小亮行走的时间．
【考点】一次函数的应用；函数的图象．
【专题】函数及其图象；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）80，1040；
（2）（15.6，260），（17.6，0）；
（2）4分或分．
【分析】（1）设小明的速度为v米/分，根据二人出发13分钟时“小明的路程﹣小亮的路程＝390”列关于v的方程并求解即可求出小明的速度；二人出发13分钟时小明先到达N处，小明13分钟所走的路程即为M、N两处的路程；
（2）点A的横坐标为13与2.6之和，M、N两处的路程减去B点时小亮走的路程即为点A的纵坐标；设C（t，0），当二人相遇时，小亮走的路程与小明返回后与N处的距离之和为M、N两处的路程，据此列关于t的方程并求解即可；
（3）分别求出OA段和BC段的函数关系式，当y＝120时列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：（1）设小明的速度为v米/分，则13（v﹣50）＝390，
解得v＝80，
80×13＝1040（米），
∴小明的速度为80米/分，M、N两处的路程为1040米．
故答案为：80，1040．
（2）13+2.6＝15.6（分），
1040﹣50×15.6＝260（米），
∴点B的坐标是（15.6，260）；
设C（t，0），当二人相遇时，得50t+80（t﹣15.6）＝1040，
解得t＝17.6，
∴点C的坐标是（17.6，0）．
故答案为：（15.6，260），（17.6，0）．
（3）OA段的函数关系式为y＝（80﹣50）x＝30x（0≤x≤13），
当y＝120时，得30x＝120，
解得x＝4；
设BC段的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标B（15.6，260）和C（17.6，0）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴BC段的函数关系式为y＝﹣130x+2288（15.6≤x≤17.6），
当y＝120时，得﹣130x+2288＝120，
解得x．
综上，小明与小亮相距120m时小亮行走的时间为4分或分．
【点评】本题考查一次函数的应用、函数的图象，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
26．（6分）（2025 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当x0＝1，m＝n时，求t的值；
（2）当t＞1时，若对于1﹣t＜x0＜t﹣1，都有m＞n，求t的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）2；
（2）2≤t≤4．
【分析】（1）由题意可知点A（x0，m），B（3，n）关于直线x＝t对称，据此即可求得t2．
（2）分两种情况讨论，利用二次函数的增减性得到关于t的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）当m＝n时，点A（x0，m），B（3，n）关于对称轴对称，
∵x0＝1，抛物线的对称轴为直线x＝t，
∴t2．
（2）∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的开口向上，
∵对称轴为x＝t，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，
∵点A（x0，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，
∴点B（3，n）关于直线x＝t的对称点B′为（2t﹣3，n）在此抛物线上，
①当1＜t＜3时，则2t﹣3＜t，
∵m＞n，且x0＜t﹣1＜t，2t﹣3＜t，
∴x0＜2t﹣3，
∴t﹣1≤2t﹣3，
∴t≥2，
∴2≤t＜3；
②当t≥3时，
∵m＞n，且x0＜t﹣1＜t，
∴x0＜3，
∴t﹣1≤3，
∴t≤4，
∴3≤t≤4，
综上，t的取值范围是2≤t≤4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
27．（7分）（2024春 崇阳县期末）数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（1）课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG．请你在图1中补全图形并证明结论；
（2）若点E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°．
①如图2，连接CF，请你求出∠DCF的大小；
②填空：如图3，连接DF，当，时，则△ADF的面积为 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答．
（2）①45°．
②．
【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，根据正方形的性质和等边对等角的性质，证明△AEG≌△EFC（ASA），即可得出结论；
（2）①在AB上截取AH＝CE，连接EH，根据正方形的性质和等腰三角形的性质，证明△AEH≌△EFC（SAS），得到∠ECF＝∠AHE＝135°，即可求出∠DCF的大小；
②过点F作MN∥CD，分别交AD延长线于点M，BC延长线于点N，则四边形CNMD是矩形，再证明△CNF是等腰直角三角形，得到CN＝FN，，设FN＝CN＝DM＝x，则，，DF＝2x，利用勾股定理，求出x＝1，进而得出，即可求出△ADF 的面积．
【解答】（1）证明：如图，取AB的中点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90，
∵点E是BC的中点，点G是AB的中点，
∴，，
∴BE＝CE＝BG＝AG，
∴，
∴∠AGE＝135°，
∵CF是正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEG和△EFC中，
，
∴△AEG≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：①如图，在AB上截取AH＝CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90，
∴AB﹣AH＝BC﹣CE，
即BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEH和△EFC中，
∴△AEH≌△EFC（SAS），
∴∠ECF＝∠AHE＝135°，
∴∠DCF＝45°；
②如图，过点F作MN∥CD，分别交AD延长线于点M，BC延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AM∥BN，，
∴四边形CNMD是矩形，
∴DM＝CN，，∠M＝∠N＝90°，
由①可知∠DCF＝45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN＝FN，，
设FN＝CN＝DM＝x，则，，
∵，
∴DF＝2x，
在Rt△DMF中，，
∴x＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
28．（7分）（2025 海淀区校级模拟）对于平面直角坐标系xOy中的点P与⊙C，若将点P绕着点C旋转α（0°＜α＜180°）得到点Q，直线PQ刚好与⊙C相切，则称点P为⊙C的“α旋切点”．
（1）已知⊙O的半径为1，
①在点，P2（﹣1，0），中，点 P3 是⊙O的“α旋切点”，其中α＝ 90° ；
②已知点，点N为⊙O的“120°旋切点”，且，求点N的坐标；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，3），C（0，t），若线段AB上每个点都是⊙C的“α旋切点”，且0＜α≤90°，直接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】新定义；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①P3，90°；②N（0，2）或（，﹣1）；
（2）或．
【分析】（1）①由定义可知，若点P不能在⊙C内部或⊙C上，只能在圆外，进而即可判断P3是⊙O的“α旋切点”，再根据切线的性质求出α即可；
②由题易得点N在点M为圆心，半径为的圆上，又由ON＝OQ，∠NOQ＝120°，可得OQ＝2，所以点N在以O为圆心，2为半径的圆上，则该圆与⊙M的交点即为点N，然后根据勾股定理求解即可；
（2）要使得线段AB上每个点都是⊙C的“α切点”，且0＜α≤90°，则线段AB上每一个点都得在以C为圆心，半径为r的⊙C外部，且在以C为圆心，半径为的内部（或圆上），然后分类讨论求解，找到点C距离AB最大值和最小值．
【解答】解：（1）由定义可知，若点P在⊙C内部或⊙C上，则直线PQ一定会与⊙C有两个交点，此时不能与⊙C相切，
∴点P必须在圆外，
故P1、P2排除，点P3是⊙O的“α旋切点”，
将OP3绕点O旋转α得到OQ，
假设P3Q与⊙O相切于点G，
∵OG＝1，OP3，且∠OGP3＝90°，
∴cos∠GOP3，
∴∠GOP3＝45°＝∠OP3G，
∵OP3＝OQ，
∴∠OQP3＝45°，
∴∠P3OQ＝90°，即α＝90°；
故答案为：P3，90°；
②∵MN，
∴点N在以点M为圆心，半径为的圆上，如图1，
由题可知ON＝OQ，∠NOQ＝120°，
∴∠N＝∠Q＝30°，
如图2，由①可知△ONG是直角三角形，
∴ON＝2OG＝2，
∴点N在以O为圆心，2为半径的圆上，则该圆与⊙M的交点即为点N，如图1，
设N（x，y），
∵ON＝2，MN，
∴ON2＝x2+y2＝4，MN2＝（x）2+（y）2＝3，
∴，
解得或，
即N（0，2）或（，﹣1）；
（2）对于半径为r的⊙C的“α切点”P，且0＜α≤90°，
我们根据定义与（1）中思路可知道，
要使得线段AB上每个点都是⊙C的“α切点”，且0＜α≤90°，
则线段AB上每一个点都得在以C为圆心，半径为r的⊙C外部，且在以C为圆心，半径为的内部（或圆上）．
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为yx+3，AB中点为（﹣2，），
∴AB垂直平分线的解析式为yx，
设线段AB的垂直平分线与y轴交于点G，则G（0，），
①当点C在点B上方，即t＞3时，
则，
∴，即，
解得；
②当时，此时C到AB距离最近为，最远为CA，
∴，
则，即，
解得；
③当时，此时最近仍是，最远为CB，
则，即，
解得；
④当时，此时最近为CA，最远为CB，
则，即，
解得；
综上所述，或．
【点评】本题主要考查了新定义题型，正确理解题意以及动点轨迹识别能力是解题的关键．
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一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023春 萧县期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）（2024春 麒麟区校级期中）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
3．（2分）（2023秋 武进区校级期中）若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
4．（2分）（2023 美兰区模拟）一个不透明的袋子中有4个分别标有数字1，2，﹣1，﹣2的球，这些球除所标的数字不同外其它都相同．若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）（2024秋 宜州区期末）已知关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
6．（2分）（2022秋 蓬莱区期中）天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万公里用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103
7．（2分）（2025 安徽模拟）如图，已知∠AOB，用直尺、圆规作∠AOB的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C．
③画射线OC，OC即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．SAS
C．SSS
D．全等三角形对应角相等
8．（2分）（2024秋 长安区期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③EF＝4BE；④S△CEF＝1；⑤S△ABE．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024秋 永吉县期末）当x＝ 时，分式无意义．
10．（2分）（2024春 鲤城区校级月考）分解因式：a2xy﹣b2xy＝ ．
11．（2分）（2022 市中区二模）方程的解是 ．
12．（2分）（2024 南岗区校级开学）为了估计松花江中鱼的数量，先捕捉10尾鱼全部做上标记后放回江里；过了一段时间后，重新捕捉100尾，数一数带有标记的鱼有4尾，据此可估计松花江中大约有鱼 尾．
13．（2分）（2024秋 张店区校级月考）如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝ ．
14．（2分）（2024秋 吉林期中）如图，BC为⊙O的直径，弦CD∥OA．若∠C＝50°，则∠A＝ °．
15．（2分）（2024春 牟平区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF；②∠DAE＝∠EAF；③AE2＝AD AF；④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论是 ．（填写序号）
16．（2分）（2022秋 温州校级期中）数学家莫伦发现了第一个完美长方形，即在一个长方形内切割出数个大小不一样的小正方形，小红尝试用10个大小不同的正方形拼完美长方形（如图），已知编号①的正方形边长为1，编号②的正方形边长为a，则编号⑤的正方形边长为 （用含a的式子表示）；经过测算，当a＝1.2时，恰好拼成完美长方形，则该完美长方形的周长为 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2025 兴宁市一模）计算：．
18．（5分）（2021 甘州区校级开学）解不等式组：．
19．（5分）（2023秋 福山区校级月考）已知实数a满足a（a+1）＝1，求的值．
20．（5分）（2022春 南关区校级月考）如图，在矩形ABCD中，BF⊥AC于点F，过点D作DE∥AC，过点A作AE⊥DE于点E，连结EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形．
（2）若AC＝8，∠ACB＝30°，则DE的长为 ．
21．（5分）（2022春 新野县期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
22．（5分）（2024 海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数．y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且过点A（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
23．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 人．
24．（6分）（2022 洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作⊙O的切线EG交BC于点G．
（1）求证：EG⊥BC；
（2）若AF＝6，tan∠B，求BE的长．
25．（6分）（2020秋 广陵区期末）“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的M处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了N处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离y（米）与小亮行走的时间x（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度为 米/分，M、N两处的路程为 米；
（2）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（3）求小明与小亮相距120m时小亮行走的时间．
26．（6分）（2025 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当x0＝1，m＝n时，求t的值；
（2）当t＞1时，若对于1﹣t＜x0＜t﹣1，都有m＞n，求t的取值范围．
27．（7分）（2024春 崇阳县期末）数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（1）课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG．请你在图1中补全图形并证明结论；
（2）若点E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°．
①如图2，连接CF，请你求出∠DCF的大小；
②填空：如图3，连接DF，当，时，则△ADF的面积为 ．
28．（7分）（2025 海淀区校级模拟）对于平面直角坐标系xOy中的点P与⊙C，若将点P绕着点C旋转α（0°＜α＜180°）得到点Q，直线PQ刚好与⊙C相切，则称点P为⊙C的“α旋切点”．
（1）已知⊙O的半径为1，
①在点，P2（﹣1，0），中，点 是⊙O的“α旋切点”，其中α＝ ；
②已知点，点N为⊙O的“120°旋切点”，且，求点N的坐标；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，3），C（0，t），若线段AB上每个点都是⊙C的“α旋切点”，且0＜α≤90°，直接写出t的取值范围．
2025年北京市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）（2023春 萧县期中）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2分）（2024春 麒麟区校级期中）如图，AB∥CD，点E在CD上，AE⊥EF，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．38° B．42° C．48° D．58°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先由直角三角形的性质得出∠AFE＝48°，再根据平行线的性质得出∠2＝∠AFE＝48°．
【解答】解：∵AE⊥EF，∠1＝42°，
∴∠AFE＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠AFE＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查垂线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．（2分）（2023秋 武进区校级期中）若实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
【考点】实数与数轴；实数大小比较；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，然后逐项判断即可．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a＜b，﹣a＞b，a+b＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，熟练掌握数轴的性质及实数的大小比较方法是解题的关键．
4．（2分）（2023 美兰区模拟）一个不透明的袋子中有4个分别标有数字1，2，﹣1，﹣2的球，这些球除所标的数字不同外其它都相同．若从袋子中随机摸出两个球，则这两个球上的两个数字之积为负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两个球上的两个数字之积为负数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
1 2 ﹣1 ﹣2
1 （1，2） （1，﹣1） （1，﹣2）
2 （2，1） （2，﹣1） （2，﹣2）
﹣1 （﹣1，1） （﹣1，2） （﹣1，﹣2）
﹣2 （﹣2，1） （﹣2，2） （﹣2，﹣1）
共有12种等可能的结果，其中这两个球上的两个数字之积为负数的结果有：（1，﹣1），（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，1），（﹣2，2），共8种，
∴这两个球上的两个数字之积为负数的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．（2分）（2024秋 宜州区期末）已知关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足Δ＝b2﹣4ac＞0切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
【解答】解：依题意可得，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＞0，解得k＜1，
∴k≠0，
∴k＜1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．熟练掌握该知识点是关键．
6．（2分）（2022秋 蓬莱区期中）天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，已知火星与地球的近距离约为5500万公里，5500万公里用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．55×106 D．5.5×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5500万＝55000000＝5.5×107．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
7．（2分）（2025 安徽模拟）如图，已知∠AOB，用直尺、圆规作∠AOB的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C．
③画射线OC，OC即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．SAS
C．SSS
D．全等三角形对应角相等
【考点】作图—基本作图；直线的性质：两点确定一条直线；全等三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据作图过程证明△MOC≌△NOC（SSS），得∠MOC＝∠NOC，所以OC是∠AOB的平分线，进而可以进行判断．
【解答】解：由作图过程可知：OM＝ON，MC＝NC，
在△MOC和△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠MOC＝∠NOC，
∴OC是∠AOB的平分线．
∴作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是SAS．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点确定一条直线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（2分）（2024秋 长安区期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③EF＝4BE；④S△CEF＝1；⑤S△ABE．其中正确的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】①依据“HL”判定Rt△ABE和Rt△ADF全等得BE＝DF，再根据BC＝CD可对结论①进行判断；
②根据△CEF是等腰直角三角形得∠CEF＝45°，则∠AEC＝∠AEF+∠DEF＝105°，进而可求出∠AEB的度数，由此可对结论②进行判断；
③设正方形ABCD的边长为a，BE＝DF＝b，a＞b，则CE＝CF＝a﹣b，由勾股定理得a2+b2＝4，2（a﹣b）2＝4，由此解出，，则4BE，由此可对结论③进行判断；
④根据CE＝CF＝a﹣b可求出△CEF的面积，进而可对结论④进行判断；
⑤根据ab＝1可求出△ABE的面积，进而可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵△AEF是等边三角形且边长是2，
∴AE＝AF＝EF＝2，∠AEF＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
故结论①正确；
②∵CE＝CF，∠C＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠AEC＝∠AEF+∠DEF＝105°，
∴∠AEB＝180°﹣∠AEC＝75°，
故结论②正确；
③设正方形ABCD的边长为a，BE＝DF＝b，a＞b，
则CE＝CF＝a﹣b，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
∴a2+b2＝4，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴2（a﹣b）2＝4，
∴a﹣b，
由2（a﹣b）2＝4，得a2+b2﹣2ab＝2，
∴2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝6，
∴由，解得，，
∴4BE＝4b，
又∵EF＝2，
∴EF≠4BE，
∴结论③不正确；
④∴CE＝CF＝a﹣b，
∴S△CEFCE CF1，
故结论④正确；
⑤∵2ab＝2，
∴ab＝1，
∴S△ABEAB AEab，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理构造方程组求解是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）（2024秋 永吉县期末）当x＝ 1 时，分式无意义．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1．
【分析】分式无意义的条件是分母为0，据此解答即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1＝0，
解得x＝1，
即当x＝1时，分式无意义．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于零．
10．（2分）（2024春 鲤城区校级月考）分解因式：a2xy﹣b2xy＝ xy（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】xy（a+b）（a﹣b）．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2xy﹣b2xy
＝xy（a2﹣b2）
＝xy（a+b）（a﹣b），
故答案为：xy（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握运用提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键．
11．（2分）（2022 市中区二模）方程的解是 x＝﹣2 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝﹣2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：（x﹣1）2﹣6＝x2﹣1，
解得：x＝﹣2，
检验：把x＝﹣2代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2分）（2024 南岗区校级开学）为了估计松花江中鱼的数量，先捕捉10尾鱼全部做上标记后放回江里；过了一段时间后，重新捕捉100尾，数一数带有标记的鱼有4尾，据此可估计松花江中大约有鱼 250 尾．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】250．
【分析】由题意可知：重新捕捉100尾，数一数带有标记的鱼有4尾，可以知道，在样本中，有标记的占到，而在总体中，有标记的共有10尾，根据比例即可解答．
【解答】解：可估计松花江中大约有鱼10250（尾）．
故答案为：250．
【点评】本题考查的是用样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
13．（2分）（2024秋 张店区校级月考）如图，已知点A在反比例函数上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k＝ 12 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线．
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA BO的值，从而求出△AOB的面积．
【解答】解：∵△BCE的面积为8，
∴BC OE＝6，
∴BC OE＝12，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝∠EBO，
又∵∠ABC＝∠EOB，
∴△ABC∽△EOB，
∴，
∴AB OB＝BC OE
∴k＝AB OB＝BC OE＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明△ABC∽△EOB，得到AB OB ＝BC OE．
14．（2分）（2024秋 吉林期中）如图，BC为⊙O的直径，弦CD∥OA．若∠C＝50°，则∠A＝ 25 °．
【考点】圆周角定理；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】25．
【分析】首先根据平行线的性质∠C＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理得∠B∠AOC＝25°，最后利用等边对等角证得∠A＝∠B＝25°．
【解答】解：∵CD∥OA，
∴∠C＝∠AOC＝50°，
∴∠B∠AOC＝25°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了圆周角定理和平行线的性质，正确理解定理是关键，本题是一个基础题．
15．（2分）（2024春 牟平区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①△ADE∽△ECF；②∠DAE＝∠EAF；③AE2＝AD AF；④S△AEF＝5S△ECF，其中正确结论是 ①②③④ ．（填写序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】①②③④．
【分析】设CF＝m，则BF＝3CF＝3m，由正方形的性质得∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝CB＝BF+CF＝m+3m＝4m，则DE＝EC＝2m，可证明2，则△ADE∽△ECF，可判断①正确；所以2，∠DAE＝∠CEF，则，∠D＝∠AEF＝90°，所以△DAE∽△EAF，则∠DAE＝∠EAF，可判断②正确；由，得AE2＝AD AF，可判断③正确；再求得AE＝2m，EFm，则S△AEFAE EF＝5m2，而S△ECFCF EC＝m2，所以S△AEF＝5S△ECF，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：设CF＝m，则BF＝3CF＝3m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝CB＝BF+CF＝m+3m＝4m，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝ECCD＝2m，
∵2，2，
∴，
∴△ADE∽△ECF，
故①正确；
∴2，∠DAE＝∠CEF，
∴，∠AED+∠CEF＝∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣（∠AED+∠CEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠D＝∠AEF，
∴△DAE∽△EAF，
∴∠DAE＝∠EAF，，
故②正确；
∴AE2＝AD AF，
故③正确；
∵AE2m，EFm，
∴S△AEFAE EF2mm＝5m2，
∵S△ECFCF ECm×2m＝m2，
∴S△AEF＝5S△ECF，
故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明△ADE∽△ECF是解题的关键．
16．（2分）（2022秋 温州校级期中）数学家莫伦发现了第一个完美长方形，即在一个长方形内切割出数个大小不一样的小正方形，小红尝试用10个大小不同的正方形拼完美长方形（如图），已知编号①的正方形边长为1，编号②的正方形边长为a，则编号⑤的正方形边长为 3a+1 （用含a的式子表示）；经过测算，当a＝1.2时，恰好拼成完美长方形，则该完美长方形的周长为 44.8 ．
【考点】代数式求值；数学常识；列代数式．
【专题】整式；推理能力．
【答案】3a+1，44.8．
【分析】列式分别表示出各正方形的边长，即可求得此题结果．
【解答】解：∵编号①的正方形边长为1，编号②的正方形边长为a，
∴编号③的正方形边长为a+1，编号④的正方形边长为a+1+a＝2a+1，
编号⑤的正方形边长为2a+1+a＝3a+1，编号⑥的正方形边长为3a+1+（a﹣1）＝4a，
编号⑦的正方形边长为4a﹣1，编号⑨的正方形边长为4a﹣1﹣1﹣（a+1）＝3a﹣3，
编号⑧的正方形边长为4a﹣1+（3a﹣3）＝7a﹣4，
∴该完美长方形的周长为：
2×[4a+（4a﹣1）+（7a﹣4）+（3a+1）+4a]
＝2×（4a+4a﹣1+7a﹣4+3a+1+4a）
＝2×（22a﹣4），
∴当a＝1.2时，
原式＝2×（22×1.2﹣4）
＝2×（26.4﹣4）
＝2×22.4
＝44.8，
故答案为：3a+1，44.8．
【点评】此题考查了根据几何图形列代数式并计算求值的能力，关键是能准确各正方形间边长间的数量关系并进行计算求解．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）（2025 兴宁市一模）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2.5．
【分析】利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝3+12＝2.5．
【点评】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）（2021 甘州区校级开学）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x＜3．
【分析】分别求出每个不等式的解集，继而可得答案．
【解答】解：由1﹣x，得：x＜3，
由x﹣1＞0，得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x＜3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力及确定不等式组解集的口诀．
19．（5分）（2023秋 福山区校级月考）已知实数a满足a（a+1）＝1，求的值．
【考点】分式的化简求值；单项式乘多项式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】﹣2022．
【分析】首先由a（a+1）＝1得到，a2+a＝1，然后将变形代入求解即可．
【解答】解：∵a（a+1）＝1，
∴，a2+a＝1，
∴
＝a2+a﹣2023
＝1﹣2023
＝﹣2022．
【点评】此题考查了分式的化简求值，单项式乘多项式，解题的关键是正确将分式变形．
20．（5分）（2022春 南关区校级月考）如图，在矩形ABCD中，BF⊥AC于点F，过点D作DE∥AC，过点A作AE⊥DE于点E，连结EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形．
（2）若AC＝8，∠ACB＝30°，则DE的长为 6 ．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）6．
【分析】（1）根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定解答即可；
（2）由直角三角形的性质可求AB和AF的长，由平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∴∠EDA＝∠FCB．
∵AE⊥DE，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠CFB＝90°，
在△DEA和△CFB中，
，
∴△DEA≌△CFB（AAS）．
∴DE＝CF，
又∵DE∥AC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵AC＝8，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴ABAC＝4，∠BAC＝60°，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF＝30°，
∴AFAB＝2，
∴CF＝6，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE＝CF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
21．（5分）（2022春 新野县期末）甲、乙两人同时加工一批零件，前3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【分析】设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合“前3小时两人共加工126件，后5小时内，甲比乙多加工了15件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，
依题得：，
解得：．
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（5分）（2024 海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数．y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，且过点A（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝2x+1；（2）m．
【分析】（1）先根据直线平行得出k＝2，再将点A（1，3）代入y＝2x+b，求出b的值，即可求得一次函数的解析式．
（2）在函数y＝2x+1中，当x＝2时，y＝5，求出临界点坐标得到m值，根据条件确定m的范围即可．
【解答】解：（1）∵次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象平行，
∴k＝2，
将点A（1，3）代入y＝2x+b，
得2+b＝3，解得b＝1，
∴这个一次函数的表达式为y＝2x+1；
（2）在函数y＝2x+1中，当x＝2时，y＝5，
函数y＝mx过点（2，5）和（0，0），
此时，m，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值都大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，
∴m．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数和不等式的关系，数形结合解答此题的关键．
23．（6分）（2023 襄阳）三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.75≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 92 92 100 57.4
八年级 92.6 m 100 49.2
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是 50 ；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是 13 ；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数m＝ 93 ；
（4）分析两个年级样本数据的对比表，你认为 八 年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有400名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有 160 人．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）50；
（2）13；
（3）93；
（4）八；
（5）160．
【分析】（1）由样本容量的定义即可得出答案；
（2）根据各组频数之和等于样本容量50进行计算即可；
（3）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（4）由七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论；
（5）求出样本中，八年级学生成绩不低于95分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，根据频率进行计算即可．
【解答】解：（1）由于“随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析”因此本次抽取八年级学生的样本容量是50，
故答案为：50；
（2）频数分布直方图中，C组的频数为50﹣4﹣6﹣7﹣20﹣13（人），
故答案为：13；
（3）将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为93（分），因此本次抽取八年级学生成绩的中位数是93分，即m＝93，
故答案为：93；
（4）样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于57.4＞49.2，
因此八年级学生成绩比较整齐，
故答案为：八；
（5）400160（名），
答：该校八年级400名学生中，成绩不低于95分的学生大约有160名．
【点评】本题考查频数分布直方图，样本容量，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的定义以及样本估计总体的方法是解决问题的前提．
24．（6分）（2022 洛阳三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作⊙O的切线EG交BC于点G．
（1）求证：EG⊥BC；
（2）若AF＝6，tan∠B，求BE的长．
【考点】切线的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）8．
【分析】（1）连接OE，如图，根据斜边上的中线性质得到DA＝DB，则∠1＝∠B，再证明∠2＝∠B得到OE∥BC，然后根据切线的性质得到EG⊥OE，从而得到EG⊥BC；
（2）连接OE．过O点作OH⊥AF于H，如图，根据垂径定理得到AH＝FH＝3，先证明∠3＝∠B得到tan∠3，则在Rt△AOH中利用正切的定义和勾股定理可计算出OF＝4，OA＝5，所以BD＝AD＝10，接着根据勾股定理得到∠AED＝90°，然后在Rt△BDE中利用正切的定义和勾股定理可计算出BE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵OA＝OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG为⊙O的切线，
∴EG⊥OE，
∴EG⊥BC；
（2）解：连接OE．过O点作OH⊥AF于H，如图，则AH＝FHAF＝3，
∵OH∥AB，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠B，
∴tan∠3＝tan∠B，
在Rt△AOH中，tan∠3，
∴OFAH＝4，
∴OA5，
∴BD＝AD＝10，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△BDE中，∵tanB，
∴设DE＝3x，BE＝4x，
∴BD＝5x，
即5x＝10，
解得x＝2，
∴BE＝4x＝8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理和解直角三角形．
25．（6分）（2020秋 广陵区期末）“扬州是个好地方”，小明与小亮相约利用周末时间去三湾生态公园游玩，他们从该公园的某条路上的M处同时出发，沿相同路线匀速前行，边走边赏景，但小明比小亮走得快一些，小亮的速度是50米/分，小明走到了N处停下，观望了一处风景2.6分钟后按原速沿原路匀速返回，直到两人相遇，如图是两人之间的距离y（米）与小亮行走的时间x（分）之间的函数图象．
（1）小明的速度为 80 米/分，M、N两处的路程为 1040 米；
（2）点B的坐标是 （15.6，260） ，点C的坐标是 （17.6，0） ．
（3）求小明与小亮相距120m时小亮行走的时间．
【考点】一次函数的应用；函数的图象．
【专题】函数及其图象；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）80，1040；
（2）（15.6，260），（17.6，0）；
（2）4分或分．
【分析】（1）设小明的速度为v米/分，根据二人出发13分钟时“小明的路程﹣小亮的路程＝390”列关于v的方程并求解即可求出小明的速度；二人出发13分钟时小明先到达N处，小明13分钟所走的路程即为M、N两处的路程；
（2）点A的横坐标为13与2.6之和，M、N两处的路程减去B点时小亮走的路程即为点A的纵坐标；设C（t，0），当二人相遇时，小亮走的路程与小明返回后与N处的距离之和为M、N两处的路程，据此列关于t的方程并求解即可；
（3）分别求出OA段和BC段的函数关系式，当y＝120时列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：（1）设小明的速度为v米/分，则13（v﹣50）＝390，
解得v＝80，
80×13＝1040（米），
∴小明的速度为80米/分，M、N两处的路程为1040米．
故答案为：80，1040．
（2）13+2.6＝15.6（分），
1040﹣50×15.6＝260（米），
∴点B的坐标是（15.6，260）；
设C（t，0），当二人相遇时，得50t+80（t﹣15.6）＝1040，
解得t＝17.6，
∴点C的坐标是（17.6，0）．
故答案为：（15.6，260），（17.6，0）．
（3）OA段的函数关系式为y＝（80﹣50）x＝30x（0≤x≤13），
当y＝120时，得30x＝120，
解得x＝4；
设BC段的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标B（15.6，260）和C（17.6，0）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴BC段的函数关系式为y＝﹣130x+2288（15.6≤x≤17.6），
当y＝120时，得﹣130x+2288＝120，
解得x．
综上，小明与小亮相距120m时小亮行走的时间为4分或分．
【点评】本题考查一次函数的应用、函数的图象，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
26．（6分）（2025 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当x0＝1，m＝n时，求t的值；
（2）当t＞1时，若对于1﹣t＜x0＜t﹣1，都有m＞n，求t的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）2；
（2）2≤t≤4．
【分析】（1）由题意可知点A（x0，m），B（3，n）关于直线x＝t对称，据此即可求得t2．
（2）分两种情况讨论，利用二次函数的增减性得到关于t的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）当m＝n时，点A（x0，m），B（3，n）关于对称轴对称，
∵x0＝1，抛物线的对称轴为直线x＝t，
∴t2．
（2）∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的开口向上，
∵对称轴为x＝t，
∴当x≤t时，y随x的增大而减小，
∵点A（x0，m），B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，
∴点B（3，n）关于直线x＝t的对称点B′为（2t﹣3，n）在此抛物线上，
①当1＜t＜3时，则2t﹣3＜t，
∵m＞n，且x0＜t﹣1＜t，2t﹣3＜t，
∴x0＜2t﹣3，
∴t﹣1≤2t﹣3，
∴t≥2，
∴2≤t＜3；
②当t≥3时，
∵m＞n，且x0＜t﹣1＜t，
∴x0＜3，
∴t﹣1≤3，
∴t≤4，
∴3≤t≤4，
综上，t的取值范围是2≤t≤4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
27．（7分）（2024春 崇阳县期末）数学课本上有一题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．求证AE＝EF．
（1）课本中给出证法提示：取AB的中点G，连接EG．请你在图1中补全图形并证明结论；
（2）若点E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEF是等腰直角三角形，∠AEF＝90°．
①如图2，连接CF，请你求出∠DCF的大小；
②填空：如图3，连接DF，当，时，则△ADF的面积为 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答．
（2）①45°．
②．
【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，根据正方形的性质和等边对等角的性质，证明△AEG≌△EFC（ASA），即可得出结论；
（2）①在AB上截取AH＝CE，连接EH，根据正方形的性质和等腰三角形的性质，证明△AEH≌△EFC（SAS），得到∠ECF＝∠AHE＝135°，即可求出∠DCF的大小；
②过点F作MN∥CD，分别交AD延长线于点M，BC延长线于点N，则四边形CNMD是矩形，再证明△CNF是等腰直角三角形，得到CN＝FN，，设FN＝CN＝DM＝x，则，，DF＝2x，利用勾股定理，求出x＝1，进而得出，即可求出△ADF 的面积．
【解答】（1）证明：如图，取AB的中点G，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90，
∵点E是BC的中点，点G是AB的中点，
∴，，
∴BE＝CE＝BG＝AG，
∴，
∴∠AGE＝135°，
∵CF是正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝∠BCD+∠DCF＝135°＝∠AGE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEG和△EFC中，
，
∴△AEG≌△EFC（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：①如图，在AB上截取AH＝CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90，
∴AB﹣AH＝BC﹣CE，
即BH＝BE，
∴∠BHE＝∠BEH＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
在△AEH和△EFC中，
∴△AEH≌△EFC（SAS），
∴∠ECF＝∠AHE＝135°，
∴∠DCF＝45°；
②如图，过点F作MN∥CD，分别交AD延长线于点M，BC延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AM∥BN，，
∴四边形CNMD是矩形，
∴DM＝CN，，∠M＝∠N＝90°，
由①可知∠DCF＝45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN＝FN，，
设FN＝CN＝DM＝x，则，，
∵，
∴DF＝2x，
在Rt△DMF中，，
∴x＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．
28．（7分）（2025 海淀区校级模拟）对于平面直角坐标系xOy中的点P与⊙C，若将点P绕着点C旋转α（0°＜α＜180°）得到点Q，直线PQ刚好与⊙C相切，则称点P为⊙C的“α旋切点”．
（1）已知⊙O的半径为1，
①在点，P2（﹣1，0），中，点 P3 是⊙O的“α旋切点”，其中α＝ 90° ；
②已知点，点N为⊙O的“120°旋切点”，且，求点N的坐标；
（2）已知点A（﹣4，0），B（0，3），C（0，t），若线段AB上每个点都是⊙C的“α旋切点”，且0＜α≤90°，直接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】新定义；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①P3，90°；②N（0，2）或（，﹣1）；
（2）或．
【分析】（1）①由定义可知，若点P不能在⊙C内部或⊙C上，只能在圆外，进而即可判断P3是⊙O的“α旋切点”，再根据切线的性质求出α即可；
②由题易得点N在点M为圆心，半径为的圆上，又由ON＝OQ，∠NOQ＝120°，可得OQ＝2，所以点N在以O为圆心，2为半径的圆上，则该圆与⊙M的交点即为点N，然后根据勾股定理求解即可；
（2）要使得线段AB上每个点都是⊙C的“α切点”，且0＜α≤90°，则线段AB上每一个点都得在以C为圆心，半径为r的⊙C外部，且在以C为圆心，半径为的内部（或圆上），然后分类讨论求解，找到点C距离AB最大值和最小值．
【解答】解：（1）由定义可知，若点P在⊙C内部或⊙C上，则直线PQ一定会与⊙C有两个交点，此时不能与⊙C相切，
∴点P必须在圆外，
故P1、P2排除，点P3是⊙O的“α旋切点”，
将OP3绕点O旋转α得到OQ，
假设P3Q与⊙O相切于点G，
∵OG＝1，OP3，且∠OGP3＝90°，
∴cos∠GOP3，
∴∠GOP3＝45°＝∠OP3G，
∵OP3＝OQ，
∴∠OQP3＝45°，
∴∠P3OQ＝90°，即α＝90°；
故答案为：P3，90°；
②∵MN，
∴点N在以点M为圆心，半径为的圆上，如图1，
由题可知ON＝OQ，∠NOQ＝120°，
∴∠N＝∠Q＝30°，
如图2，由①可知△ONG是直角三角形，
∴ON＝2OG＝2，
∴点N在以O为圆心，2为半径的圆上，则该圆与⊙M的交点即为点N，如图1，
设N（x，y），
∵ON＝2，MN，
∴ON2＝x2+y2＝4，MN2＝（x）2+（y）2＝3，
∴，
解得或，
即N（0，2）或（，﹣1）；
（2）对于半径为r的⊙C的“α切点”P，且0＜α≤90°，
我们根据定义与（1）中思路可知道，
要使得线段AB上每个点都是⊙C的“α切点”，且0＜α≤90°，
则线段AB上每一个点都得在以C为圆心，半径为r的⊙C外部，且在以C为圆心，半径为的内部（或圆上）．
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为yx+3，AB中点为（﹣2，），
∴AB垂直平分线的解析式为yx，
设线段AB的垂直平分线与y轴交于点G，则G（0，），
①当点C在点B上方，即t＞3时，
则，
∴，即，
解得；
②当时，此时C到AB距离最近为，最远为CA，
∴，
则，即，
解得；
③当时，此时最近仍是，最远为CB，
则，即，
解得；
④当时，此时最近为CA，最远为CB，
则，即，
解得；
综上所述，或．
【点评】本题主要考查了新定义题型，正确理解题意以及动点轨迹识别能力是解题的关键．
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