【中考押题卷】2025年广东省广州市中考数学模拟预测卷（含解析）

2025年广州市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025 广陵区一模）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．|m|＜|n| B．m+n＞0 C．m﹣n＜0 D．mn＞0
2．（3分）（2025 浙江模拟）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望字”．已知月球距离地球的距离约为384000km，将384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×105 B．384×103 C．3.84×103 D．0.384×106
3．（3分）（2024秋 遵义期中）将直角三角板（含30°）和直尺按如图方式摆放，则∠1的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．（3分）（2022 华龙区校级模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝a5 B．a a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
5．（3分）（2023秋 郑州期末）甲、乙两名战士在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下：甲：8，6，7，7，9，10，7，5，4，7；乙：7，9，8，5，6，7，7，6，7，8；以下选项正确的是（　　）
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的方差大于乙的方差
C．甲的中位数大于乙的中位数
D．甲的众数大于乙的众数
6．（3分）（2025 合肥二模）当x＞0时，下列函数值y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝﹣5x+1 B． C．y＝﹣x2 D．y＝﹣x2+2x
7．（3分）（2024秋 洞口县期中）方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根
D．两个根分别为一个正根，一个负根
8．（3分）（2022 阿克苏地区一模）如图，O的直径AB＝8，∠A＝30°，点P在线段AB上，则PC的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（3分）（2024 顺庆区二模）数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测角仪在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知点C，D，B在同一条直线上，测角仪离地面高度CE＝1m，CD＝2m，则AB高（　　）
A．（2）m B．（1）m C．（3）m D．（2）m
10．（3分）护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）（R＞0）的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．该护眼台灯的电压为110V
C．若I≤5A，则R≥44Ω
D．当R＝55Ω时，I＝6A
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 东城区校级模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）（2024 海淀区校级模拟）分式方程的解x＝　 　 ．
13．（3分）计算2025×5.052﹣2025×4.952的结果是 　 　 ．
14．（3分）（2025 朝阳区一模）图①是小区围墙上的镂空花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其示意图（阴影部分为镂空花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝60cm，点C、D分别为OA、OB上靠近点O的三等分点，则这个镂空花窗的面积为 　 　 cm2（结果保留π）．
15．（3分）（2024秋 苏州期末）对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于3n，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，则c的值为 　 　 ．
16．（3分）（2025 杭州一模）菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E．若AB＝2BB'＝4，则CE的长为　 　 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2025 中宁县二模）解不等式组：．
18．（4分）（2022秋 道外区校级期中）化简求值：（2x+3y）2﹣（2x+y） （2x﹣y），其中x，y．
19．（6分）（2023秋 西城区校级期中）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，可得△A′C'B．
作法：
①在射线BP上截BA'＝BA；
②以点B为圆心，BC长为半径作弧，以点A′为圆心，AC长为半径作弧，两弧在射线BP的右侧交于点C′；
③连接A'C'，BC'，则△A'C'B即为所求．
经过上述操作可知△A'C'B与△ACB的关系是 　 　 ，理由是 　 　 ．
（2）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等．
20．（6分）（2024 黄石开学）在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
21．（8分）（2025 禄丰市一模）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为x，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为y．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出（x，y）所有可能出现的结果；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
22．（10分）（2023 长安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接AO，若∠AOB＝90°，AB＝4，求⊙O的半径．
23．（10分）（2024 广西三模）综合与实践
小涛在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围会如何呢？小涛尝试从函数的角度进行探究：
【建立模型】设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长分别为x，y，则，即，那么满足要求的（x，y）可以看作是函数与的图象在第 　 　 象限内的公共点坐标．
【画出图象】
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x，的图象
则的图象可以看成是y＝﹣x的图象向上平移 　 　 个单位长度得到.
【研究图象】平移直线，观察两函数的图象．
①当直线y＝﹣x平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，直接写出公共点的坐标及周长m的值．
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．
【结论运用】求面积为9的矩形的周长m的取值范围．
24．（12分）（2022 济源一模）已知抛物线y1＝ax2﹣2ax+a+4（a≠0）．
（1）求抛物线y1的顶点坐标；
（2）如图，当a＝﹣1时，抛物线y1与x轴的负半轴、y轴分别交于点A、点B．
①将抛物线y1向右平移，使点A与原点重合．求平移后的抛物线y2的解析式；
②点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作x轴的平行线l，若点P在由点B向顶点运动的过程中，直线l与抛物线y1、y2共有4个交点，请直接写出点P的纵坐标yp的取值范围．
25．（12分）（2022秋 汕尾期中）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？　 　 （填“是”或“否”），∠BOE＝　 　 度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B'和C'，使AB'＝AC'，连接B′C′，将△AB'C'绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
2025年广州市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025 广陵区一模）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．|m|＜|n| B．m+n＞0 C．m﹣n＜0 D．mn＞0
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据实数m，n在数轴上的对应点的位置得到m和n的取值范围，逐个进行判断即可．
【解答】解：由题意得：﹣2＜n＜﹣1，3＜m＜4，m＞n，
A、∵3＜|m|＜4，1＜|n|＜2，∴|m|＞|n|，故A选项错误；
B、∵|m|＞|n|，m+n＞0，故B选项正确；
C、∵m＞n，∴m﹣n＞0，故C选项错误；
D、∵﹣2＜n＜﹣1，3＜m＜4，∴mn＜0，故D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，绝对值，熟练掌握实数与数轴的对应关系是解题的关键．
2．（3分）（2025 浙江模拟）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望字”．已知月球距离地球的距离约为384000km，将384000用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×105 B．384×103 C．3.84×103 D．0.384×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2024秋 遵义期中）将直角三角板（含30°）和直尺按如图方式摆放，则∠1的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由两直线平行，内错角相等，即可得到答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
4．（3分）（2022 华龙区校级模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A．a2+2a3＝a5 B．a a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a a2＝a1+2＝a3，故本选项正确；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项错误；
D、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记性质并理清指数的变化是解题的关键．
5．（3分）（2023秋 郑州期末）甲、乙两名战士在相同条件下各射击10次，每次命中的环数如下：甲：8，6，7，7，9，10，7，5，4，7；乙：7，9，8，5，6，7，7，6，7，8；以下选项正确的是（　　）
A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的方差大于乙的方差
C．甲的中位数大于乙的中位数
D．甲的众数大于乙的众数
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】B
【分析】本题考查平均数、方差、中位数和众数，解题的关键是掌握相关知识．分别求出甲、乙的平均数、方差、中位数、众数，即可求解．
【解答】解：A、∵7，7，
∴甲的平均数等于乙的平均数，A错误；
B、∵2.8，
2，
∴甲的方差大于乙的方差，B正确；
C、∵甲的中为数为：7，乙的中位数为：7，
∴甲的中位数等于乙的中位数，C错误；
D、∵甲的众数为7，乙的众数为7，
∴甲的众数等于乙的众数，D错误；
故选：B．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
6．（3分）（2025 合肥二模）当x＞0时，下列函数值y随x增大而增大的是（　　）
A．y＝﹣5x+1 B． C．y＝﹣x2 D．y＝﹣x2+2x
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】分别根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐项分析即可得出结论．
【解答】解：A、一次函数y＝﹣5x+1的﹣5＜0，函数值y随x增大而减小，不符合题意；
B、反比例函数的﹣5＜0，当x＞0时，函数值y随x增大而增大，正确，符合题意；
C、二次函数y＝﹣x2的﹣1＜0，开口向下，当x＞0时，函数值y随x增大而减小，不符合题意；
D、二次函数y＝﹣x2+2x的﹣1＜0，开口向下，对称轴x＝1，当x＞1时，函数值y随x增大而减小，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．
7．（3分）（2024秋 洞口县期中）方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根
D．两个根分别为一个正根，一个负根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
原方程可化为2x2x+3＝0，
则0，
所以原方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．（3分）（2022 阿克苏地区一模）如图，O的直径AB＝8，∠A＝30°，点P在线段AB上，则PC的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】连接BC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由∠A＝30°得出BC＝4，求出AC＝4，当CP⊥AB时，CP最小，CPAC＝2得出答案．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝8，∠A＝30°，
∴BC＝4，AC＝4，
当CP⊥AB时，PC最小，
∵∠A＝30°，
∴CPAC＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（3分）（2024 顺庆区二模）数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测角仪在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知点C，D，B在同一条直线上，测角仪离地面高度CE＝1m，CD＝2m，则AB高（　　）
A．（2）m B．（1）m C．（3）m D．（2）m
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】延长EF，交AB于点H，设HF＝x米，在Rt△AHF中，可得AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，tan30°，求出x的值，进而可得出答案．
【解答】解：延长EF，交AB于点H，
由题意得，HB＝DF＝CE＝1米，CD＝FE＝2米，
设HF＝x米，
则EH＝HF+FE＝（x+2）米，
在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，
∴∠FAH＝45°，
∴AH＝HF＝x米，
在Rt△AHE中，tan30°，
解得x1，
∴AB＝AH+BH1+1（米）．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
10．（3分）护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）（R＞0）的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．该护眼台灯的电压为110V
C．若I≤5A，则R≥44Ω
D．当R＝55Ω时，I＝6A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】依据题意，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数性质逐项分析判断即可．
【解答】解：由题意，I，
∴U＝2×110＝220．
∴该反比例函数的解析式为I，故A错误．
∴该护眼台灯的电压为220V，故B错误．
若I≤5A，
∴5．
∴R≥44Ω，故C正确．
又当R＝55Ω时，I＝220÷55＝4（A），
∴D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2025 东城区校级模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x　 ．
【考点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式．
【专题】二次根式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出5x﹣1≥0，再求出x的取值范围即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须5x﹣1≥0，
解得：x，
所以x的取值范围是x．
故答案为：x．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能根据二次根式有意义的条件得出5x﹣1≥0是解此题的关键．
12．（3分）（2024 海淀区校级模拟）分式方程的解x＝　　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：去分母得：
2x＝3﹣2×2（x﹣1），
去括号得：
2x＝3﹣4x+4，
移项，合并同类项得：
6x＝7，
∴x，
经检验，x是原方程的解，
∴x．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．
13．（3分）计算2025×5.052﹣2025×4.952的结果是 　2025　 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】2025．
【分析】先提公因式法2025，再运用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝2025×（5.052﹣4.952）
＝2025×（5.05+4.95）×（5.05﹣4.95）
＝2025×10×0.1
＝2025．
故答案为：1．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
14．（3分）（2025 朝阳区一模）图①是小区围墙上的镂空花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其示意图（阴影部分为镂空花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝60cm，点C、D分别为OA、OB上靠近点O的三等分点，则这个镂空花窗的面积为 　（900π﹣200）　 cm2（结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（900π﹣200）．
【分析】利用三角形和扇形的面积公式分别求出△COD和扇形AOB的面积，再根据“镂空花窗的面积＝扇形AOB的面积﹣△COD的面积”计算即可．
【解答】解：∵OA＝OB＝60cm，点C、D分别为OA、OB上靠近点O的三等分点，
∴OC＝OD60＝20（cm），
∴SRt△COD OC OD 20×20＝200（cm2），S扇形AOBπ×602＝900π（cm2），
∴S阴影＝S扇形AOB﹣SRt△COD ＝（900π﹣200）（cm2）．
故答案为：（900π﹣200）．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握三角形和扇形面积计算公式是解题的关键．
15．（3分）（2024秋 苏州期末）对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于3n，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，则c的值为 　2　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】新定义；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】2．
【分析】先设二次函数y＝x2+7x+2c的三倍点为（m，3m），然后即可得到方程m2+4m+2c＝0，再根据二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，可知方程m2+4m+2c＝0有两个相等的实数根，从而可以求得c的值．
【解答】解：设二次函数y＝x2+7x+2c的三倍点为（m，3m），
则3m＝m2+7m+2c，
∴m2+7m+2c﹣3m＝0，
∴m2+4m+2c＝0，
∵二次函数y＝x2+7x+2c有且只有一个“三倍数”，
∴Δ＝42﹣4×1×2c＝0，
解得c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答．
16．（3分）（2025 杭州一模）菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E．若AB＝2BB'＝4，则CE的长为　　 ．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．
【答案】．
【分析】如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠AB′B，根据平行线的性质得到∠B′CF＝∠AB′B，根据相似三角形的性质得到FC，由旋转可知DD′＝BB′＝2求得C′D＝2，又由CF∥C′D，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F，
∵菱形AB′C′D′中，AB′∥C′D′，
∴AB′∥CF∥C′D′，
∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B，
∵∠AB′C′＝∠B，
∴∠FB′C＝∠BAB′，
∵AB′∥FC，
∴∠B′CF＝∠AB′B，
∵AB＝2BB'＝4，
∴B′C＝BB′＝2，
∴△ABB′∽△B′CF，
∴，
∴，
∴FC＝1，
由旋转可知，△ABB′≌△ADD′，
∴DD′＝BB′＝2，
∴C′D＝2，
又由CF∥C′D，
∴△C′DE∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴CE．
故答案为：．
【点评】本题主要考查旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，正确地作出辅助线是解题关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）（2025 中宁县二模）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x≤3；
解不等式②得，x，
所以不等式组的解集为：．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．（4分）（2022秋 道外区校级期中）化简求值：（2x+3y）2﹣（2x+y） （2x﹣y），其中x，y．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】12xy+10y2，．
【分析】先用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，化简后将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x，y时，
原式＝12（）+10×（）2
＝﹣2+10
＝﹣2
．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式，把所求式子化简．
19．（6分）（2023秋 西城区校级期中）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）已知△ABC，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，可得△A′C'B．
作法：
①在射线BP上截BA'＝BA；
②以点B为圆心，BC长为半径作弧，以点A′为圆心，AC长为半径作弧，两弧在射线BP的右侧交于点C′；
③连接A'C'，BC'，则△A'C'B即为所求．
经过上述操作可知△A'C'B与△ACB的关系是 　△A'C'B≌△ACB　 ，理由是 　SSS　 ．
（2）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA，OB的距离相等．
【考点】作图﹣旋转变换；角平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）△A'C'B≌△ACB；SSS．
（2）见解答．
【分析】（1）根据全等三角形的判定可得答案．
（2）作∠AOB的平分线，交MN于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）由作图可得，BC＝BC'，AC＝A'C'，
∵BA'＝BA，
∴△A'C'B≌△ACB（SSS）．
故答案为：△A'C'B≌△ACB；SSS．
（2）如图2，点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键．
20．（6分）（2024 黄石开学）在浓度为15%的盐水中加入39千克水和1千克盐，浓度变为10%，这时，再加入多少千克盐，浓度变为20%？
【考点】一元一次方程的应用；百分数的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】再加入12.5千克盐，浓度变为20%．
【分析】先设原来有15%的盐水x千克，根据“浓度变为10%”列方程求出x的值，再依据新浓度列出算式计算即可．
【解答】解：设原来有15%的盐水x千克，
由题意，得（15% x+1）÷（x+39+1）＝10%，
解得：x＝60，
（60+39+1）（1﹣10% ）÷（1﹣20% ）﹣（60+39+1）
＝100×（1﹣0.1）÷（1﹣0.2）﹣100
＝90÷0.8﹣100
＝112.5﹣100
＝12.5（千克），
答：再加入12.5千克盐，浓度变为20%．
【点评】本题考查百分数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
21．（8分）（2025 禄丰市一模）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为x，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为y．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出（x，y）所有可能出现的结果；
（2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）见解答；
（2）游戏规则公平，理由见解答．
【分析】（1）列表可得所有等可能结果；
（2）从表格中得出取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果数，继而求出小东、小华讲的概率，从而得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
共有12种等可能的结果；
（2）游戏规则公平，理由如下：
由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种，
∴由小东讲的概率为，
则由小华讲的概率为1，
∵，
∴此游戏规则公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）（2023 长安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接AO，若∠AOB＝90°，AB＝4，求⊙O的半径．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）⊙O的半径为22．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，得∠ODB＝∠CBD，由切线的性质得∠ODC＝∠BAC＝90°，则DO∥AB，所以∠ODB＝∠ABD，则∠CBD＝∠ABD，所以BD平分∠ABC；
（2）设OB＝DO＝r，由OD∥AB，得△DOC∽△ABC，则，所以DO CB＝AB CO，再证明△COD≌△ABO，得CO＝AB＝4，于是得r（4+r）＝4×4，解方程求出符合题意的r的值即可．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ODC＝∠BAC＝90°，
∴DO∥AB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：设OB＝DO＝r，
∵OD∥AB，
∴△DOC∽△ABC，
∴，
∴DO CB＝AB CO，
∵∠COD＝∠ABO，DO＝OB，∠ODC＝∠BAC＝90°，
∴△COD≌△ABO（ASA），
∴CO＝AB＝4，
∴r（4+r）＝4×4，
解得r1＝22，r2＝﹣22（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径为22．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（10分）（2024 广西三模）综合与实践
小涛在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围会如何呢？小涛尝试从函数的角度进行探究：
【建立模型】设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长分别为x，y，则，即，那么满足要求的（x，y）可以看作是函数与的图象在第 　一　 象限内的公共点坐标．
【画出图象】
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝﹣x，的图象
则的图象可以看成是y＝﹣x的图象向上平移 　　 个单位长度得到.
【研究图象】平移直线，观察两函数的图象．
①当直线y＝﹣x平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，直接写出公共点的坐标及周长m的值．
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．
【结论运用】求面积为9的矩形的周长m的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数综合题；运算能力；推理能力．
【答案】【建立模型】一；
【画出图象】；
【研究图象】①（2，2），8；
②0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8；
【结论运用】m≥12．
【分析】【建立模型】由x＞0，y＞0，可得（x，y）在第一象限；
【画出图象】求出y＝﹣x与x轴的交点坐标，即可求解；
【研究图象】①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解；
【结论运用】联立方程组，可得2x2﹣mx+18＝0，由根的判别式可求解．
【解答】解：【建立模型】x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
故答案为：一；
【画出图象】∵y＝﹣x与x轴的交点为（，0），
∴y＝﹣x+的图象可以看成是由y＝﹣x的图象向右平移个单位长度得到，
故答案为：；
【研究图象】①联立方程组可得，
整理得：x2mx+4＝0，
∵两图象有唯一交点，
∴Δm2﹣16＝0，
∴m＝8，
∴x28x+4＝0，
解得：x＝2，
∴交点坐标为（2，2），
故答案为：（2，2），8；
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8；
【结论运用】设相邻的两边长为x、y，则x y＝9，2（x+y）＝m，即y，y＝﹣x，
联立方程组可得，
整理得：2x2﹣mx+18＝0，
∵两函数有交点，
∴Δ＝m2﹣4×2×18≥0，
解得m≥12或m≤﹣12（不符合题意，舍去），
∴m≥12．
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）（2022 济源一模）已知抛物线y1＝ax2﹣2ax+a+4（a≠0）．
（1）求抛物线y1的顶点坐标；
（2）如图，当a＝﹣1时，抛物线y1与x轴的负半轴、y轴分别交于点A、点B．
①将抛物线y1向右平移，使点A与原点重合．求平移后的抛物线y2的解析式；
②点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作x轴的平行线l，若点P在由点B向顶点运动的过程中，直线l与抛物线y1、y2共有4个交点，请直接写出点P的纵坐标yp的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（1，4）；
（2）①y2＝﹣x2+4x；
②3≤yp或yp＜4．
【分析】（1）根据顶点坐标公式求出该函数图象的顶点的横坐标，代入y1＝ax2﹣2ax+a+4求出顶点的纵坐标，即可得抛物线y1的顶点坐标；
（2）①将抛物线y1写成顶点式，求出点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（﹣1，0），根据二次函数平移的性质即可得抛物线y2的解析式；
②画出图形，求出抛物线y1和抛物线y2的交点坐标，根据直线l与抛物线y1、y2共有4个交点，即可得点P的纵坐标yp的取值范围．
【解答】解：（1）∵y1＝ax2﹣2ax+a+4（a≠0）．
该函数图象的顶点的横坐标为：x1，
当x＝1时，y1＝a﹣2a+a+4＝4，
∴抛物线y1的顶点坐标为（1，4）；
（2）①当a＝﹣1时，该抛物线的解析式为y1＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令x＝0，则y1＝3，
令y1＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
故点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（﹣1，0），把y1的图象向右平移1个单位长度，点A与原点O重合，
此时抛物线y2＝﹣（x﹣1﹣1）2+4＝﹣x2+4x；
②平移的图象如下：
当y1＝y2时，﹣x2+2x+3＝﹣x2+4x，
解得x，
此时y1＝y2＝﹣（）2+4，
故y1、y2图象的交点C的坐标为（，），
∴P点的纵坐标在介于B点的纵坐标和C点的纵坐标之间移动，在C点的纵坐标和抛物线顶点的纵坐标之间移动，直线l与抛物线y1、y2共有4个交点，
∵点B的坐标为（0，3），抛物线y1的顶点坐标为（1，4），
∴当P的纵坐标为3≤yp或yp＜4时，直线l与抛物线y1、y2共有4个交点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数平移的性质．
25．（12分）（2022秋 汕尾期中）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．
①如图a，当θ＝20°时，△ABD与△ACE是否全等？　是　 （填“是”或“否”），∠BOE＝　120　 度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B'和C'，使AB'＝AC'，连接B′C′，将△AB'C'绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）①是，120；
②120°；
（2）当0°＜θ＜30°时，∠BOE＝∠BOC＝60°，
当θ＝30°时，点B，点O，点E共线．
当30°＜θ＜180°时，∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°．
【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；
②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE＝180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE＝60°，从而得解；
（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．
【解答】解：（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝20°，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵θ＝20°，
∴∠ABD＝∠AEC（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAE＝θ+∠BAC＝20°+60°＝80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE＝360°﹣80°﹣80°﹣80°＝120°；
故答案为：是，120；
②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，
∴AB＝AD＝AC＝AE，
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，
∴∠BAD＝∠CAE＝θ，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD＝180°，
∴∠AEC+∠ABD+∠BAD＝180°，
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE＝360°，
∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠DAE+∠BOE＝180°，
又∵∠DAE＝60°，
∴∠BOE＝120°；
（2）如图，∵ABAB′，ACAC′，
∴，
∴B′C′∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AB′C′是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），
＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ACE），
＝180°﹣（∠OBC+∠ACB+∠ABD），
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC），
＝180°﹣（60°+60°），
＝60°，
当0°＜θ＜30°时，∠BOE＝∠BOC＝60°，
当θ＝30°时，点B，点O，点E共线．
当30°＜θ＜180°时，∠BOE＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键．
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