【中考押题卷】2025年上海市中考数学模拟预测卷四（含解析）

2025年上海市中考数学模拟预测卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2024 邗江区校级模拟）的相反数是（　　）
A．7 B． C．﹣7 D．
2．（4分）（2022 新兴县校级模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
3．（4分）（2022 南京二模）某街道组织居民进行核酸检测，其中五天的志愿者人数安排计划如表．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
人数 10 16 6 12 6
由于检测地点变化，周三的志愿者人数实际有11位．与计划相比，这五天参与的志愿者人数（　　）
A．平均数增加1，中位数增加5
B．平均数增加5，中位数增加1
C．平均数增加1，中位数增加1
D．平均数增加5，中位数增加5
4．（4分）（2025 东港区校级一模）现有四张航天相关卡片，正面如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，先从中随机抽取一张后放回，洗匀，再从中随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）（2024秋 厦门期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE，点C的对应点是E．下列角中，是旋转角的是（　　）
A．∠ABC B．∠CBD C．∠ABD D．∠ABE
6．（4分）（2024秋 龙胜县期中）关于反比例函数y的图象性质，下列说法正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．图象经过点（1，3）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y随x的增大而减小
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2025春 裕华区校级期中）已知2m＝10，2n＝5，计算：2m﹣n＝ 　 　 ．
8．（4分）（2023 静安区二模）已知f（x）＝x﹣1，那么　 　 ．
9．（4分）（2022秋 静安区校级期中）在实数范围内分解因式4x2﹣2x﹣1＝　 　 ．
10．（4分）（2024 徐汇区二模）方程x＝0的根是 　 　 ．
11．（4分）（2023秋 广元期末）2023年，“广元造”农特产参加了“消费启杭 共助奔富”“第九届农业发展博览会”等市场拓展活动30余场次，累计涉及广元黄茶、苍溪红心猕猴桃、剑门龚牛肉等100余种本土名优特新产品参展，拉动销售额超5亿元．数据5亿用科学记数法表示为 　 　 ．
12．（4分）（2024秋 静安区校级期中）如果关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是　 　 ．
13．（4分）（2024秋 浦东新区校级期中）计算：　 　 ．
14．（4分）（2025 德阳模拟）如图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　 　 cm．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
15．（4分）（2024春 兴庆区校级期中）在一定范围内，弹簧的长度y（cm）与它所挂物体的质量x（kg）之间的关系是yx+10，如果该弹簧最长可以拉伸到16cm，那么它所挂物体的最大质量是 　 　 ．
16．（4分）（2024秋 朝阳区校级期末）如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若AB＝4，AD＝6，则AE的长为　 　 ．
17．（4分）若一个正五边形的边长为4，则该正五边形的周长为 　 　 ．
18．（4分）（2025 平遥县一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝3，点D是斜边AB的中点，过点B作BE⊥CD交CD的延长线点E，连接AE，则AE＝ 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2024秋 道里区校级月考）先化简，再求值：，其中x＝4sin45°+2cos60°．
20．（10分）（2024春 建邺区校级期末）利用数轴确定不等式组的解集，并写出它的所有整数解．
21．（10分）（2022秋 上杭县校级月考）已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，交BD于点G，连接AG．
（1）求证：CG＝CD；
（2）如图，若AD＝4，BC＝10，求⊙O的半径．
22．（10分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”“合格”和“不合格”三个等级，数据处理后制成如图①②所示的折线统计图和扇形统计图．
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）根据以上信息提出你的合理建议．（提一条即可）
23．（12分）（2025 闵行区二模）已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．
（1）求证：AF2＝FG FE；
（2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（12分）（2022秋 北仑区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
（3）在该抛物线的对称轴上有一动点P，连接PA和PC．试问：是否存在PA+PC的最小值？如有，求出点P的坐标．
25．（14分）（2022 定远县二模）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在线段AB上，AE＝AC，求证：DE平分∠ADB；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G．若FB＝FC，求证：DE2＝BD DG；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC，若BC＝5，，AD＝2AE，求AC的长．
2025年上海市中考数学模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2024 邗江区校级模拟）的相反数是（　　）
A．7 B． C．﹣7 D．
【考点】相反数；绝对值；实数的性质．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：7，则的相反数是﹣7．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，相反数的定义以及实数的性质，明确“在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数”是解题的关键．
2．（4分）（2022 新兴县校级模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：6﹣3x≥0，
解得：x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3．（4分）（2022 南京二模）某街道组织居民进行核酸检测，其中五天的志愿者人数安排计划如表．
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
人数 10 16 6 12 6
由于检测地点变化，周三的志愿者人数实际有11位．与计划相比，这五天参与的志愿者人数（　　）
A．平均数增加1，中位数增加5
B．平均数增加5，中位数增加1
C．平均数增加1，中位数增加1
D．平均数增加5，中位数增加5
【考点】中位数；加权平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数的意义进行选择即可．
【解答】解：当周三的志愿者人数实际有6位时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为6、6、10、12、16，故中位数为10，平均数10；
当星期三志愿者为11位时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为6、10、11、12、16，故中位数为11；平均数11，此时平均数增加了1，中位数增加了1，
故选：C．
【点评】本题考查了平均数、中位数，掌握平均数、中位数的意义是解题的关键．
4．（4分）（2025 东港区校级一模）现有四张航天相关卡片，正面如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上，洗匀放好，先从中随机抽取一张后放回，洗匀，再从中随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；中心对称图形；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【解答】解：以上4张卡片分别用A、B、C、D表示，其中卡片C是中心对称图形，
先从中随机抽取一张后放回，洗匀，再从中随机抽取一张，列表如下：
第二次第一次 A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的结果有1种，
∴这两次抽取的卡片正面图案均是中心对称图形的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，中心对称图形，概率公式，解题的关键是正确列表得到所有的等可能的结果数．
5．（4分）（2024秋 厦门期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE，点C的对应点是E．下列角中，是旋转角的是（　　）
A．∠ABC B．∠CBD C．∠ABD D．∠ABE
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】由旋转得，旋转角为∠ABD和∠CBE．
【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE，点C的对应点是E，
∴旋转角为∠ABD和∠CBE．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
6．（4分）（2024秋 龙胜县期中）关于反比例函数y的图象性质，下列说法正确的是（　　）
A．图象位于第二、四象限
B．图象经过点（1，3）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．
【解答】解：A、k＝3＞0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；
B、当x＝1时，y＝3，所以图象经过点（1，3），故符合题意；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、k＝3＞0，在每一象限内y随x的增大而减小，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2025春 裕华区校级期中）已知2m＝10，2n＝5，计算：2m﹣n＝ 　2　 ．
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【解答】解：2m﹣n
＝2m÷2n
＝10÷5
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（4分）（2023 静安区二模）已知f（x）＝x﹣1，那么　　 ．
【考点】函数值；负整数指数幂．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】．
【分析】把x代入函数解析式即可．
【解答】解：当x时，f（）＝（）﹣1．
故答案为：．
【点评】本题考查求函数值和负整数指数幂，把自变量取值代入函数解析式即可．
9．（4分）（2022秋 静安区校级期中）在实数范围内分解因式4x2﹣2x﹣1＝　　 ．
【考点】实数范围内分解因式．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】．
【分析】先配成完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝（4x2﹣2x），
故答案为：．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，关键是用配方法把原式转化为完全平方公式与平方差公式的形式．
10．（4分）（2024 徐汇区二模）方程x＝0的根是 　x＝1　 ．
【考点】无理方程．
【专题】二次根式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x＝1．
【分析】移项后方程两边平方得出2x﹣1＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：x＝0，
移项，得x，
方程两边平方，得2x﹣1＝x2，
x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0，
x﹣1＝0，
x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解．
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
11．（4分）（2023秋 广元期末）2023年，“广元造”农特产参加了“消费启杭 共助奔富”“第九届农业发展博览会”等市场拓展活动30余场次，累计涉及广元黄茶、苍溪红心猕猴桃、剑门龚牛肉等100余种本土名优特新产品参展，拉动销售额超5亿元．数据5亿用科学记数法表示为 　5×108　 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】5×108．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5亿＝500000000＝5×108．
故答案为：5×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（4分）（2024秋 静安区校级期中）如果关于x的方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是　k　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k．
【分析】需要分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程进行解答．
【解答】解：①当k＝0时，2k+1≠0，该方程是一元一次方程，有实数根；
②当k≠0时，Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＞0，
整理的：4k+1＞0，
解得：k，
故k的取值范围是k且k≠0．
综合①②k是取值范围是k．
故答案为：k．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
13．（4分）（2024秋 浦东新区校级期中）计算：　　 ．
【考点】*平面向量．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键．
14．（4分）（2025 德阳模拟）如图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝80cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝32°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　94.8　 cm．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】94.8．
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，由锐角三角函数定义求出AE、BF的长，即可解决问题．
【解答】解：如图2，过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，
则∠AEC＝∠BFD＝90°，
∵AC＝BD＝80cm，∠ACP＝∠BDQ＝32°，sin∠ACEsin32°≈0.53，sin∠BDFsin32°≈0.53，
∴AE＝BF≈0.53×80＝42.4（cm），
∴通过闸机的物体的最大宽度为2AE+AB≈2×42.4+10＝94.8（cm），
故答案为：94.8．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
15．（4分）（2024春 兴庆区校级期中）在一定范围内，弹簧的长度y（cm）与它所挂物体的质量x（kg）之间的关系是yx+10，如果该弹簧最长可以拉伸到16cm，那么它所挂物体的最大质量是 　15kg　 ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】15kg．
【分析】将y＝16代入yx+10求出x的值即可．
【解答】解：当y＝16时，得x+10＝16，
解得x＝15，
∴它所挂物体的最大质量是15kg．
故答案为：15kg．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握已知函数值求自变量的方法是解题的关键．
16．（4分）（2024秋 朝阳区校级期末）如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若AB＝4，AD＝6，则AE的长为　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由矩形的性质得∠A＝90°，由折叠得BE＝DE＝6﹣AE，由AB2+AE2＝BE2，得42+AE2＝（6﹣AE）2，求得AE，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，
∴∠A＝90°，DE＝6﹣AE，
由折叠得BE＝DE，
∴BE＝6﹣AE，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴42+AE2＝（6﹣AE）2，
解得AE，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出BE＝6﹣AE，进而正确地列出方程是解题的关键．
17．（4分）若一个正五边形的边长为4，则该正五边形的周长为 　20　 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【答案】20．
【分析】根据正五边形的周长公式解答即可．
【解答】解：∵正五边形的边长为4，
∴该正五边形的周长为4×5＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正五边形周长的计算，正确地求出正五边形周长是解题的关键．
18．（4分）（2025 平遥县一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，BC＝3，点D是斜边AB的中点，过点B作BE⊥CD交CD的延长线点E，连接AE，则AE＝ 　　 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，解Rt△ABCDE∠ABC＝30°，AB，∠BAC＝60°，根据直角三角形斜边中线性质得CD＝AD＝BD，则△DAC是等边三角形，进而得∠BDE＝∠ADC＝60°，解Rt△BDE得DE，则CE，再解Rt△CEH得EF，CF，则AF，然后在Rt△AEF中，由勾股定理即可求出AE的长．
【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，如图所示：
在Rt△ABC中，AC，BC＝3，
∴tan∠ABC，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝60°，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∴△DAC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACE＝60°，
∴∠BDE＝∠ADC＝60°，
∵BE⊥CD，
在Rt△BDE中，cos∠BDE，
∴DE＝BD cos∠BDEcos60°，
∴CE＝CD+DE，
在Rt△CEH中，sin∠ACE，cos∠ACE，
∴EF＝CE sin∠ACEsin60°，CF＝CE cos∠ACEcos60°，
∴AF＝AC﹣CF，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE．
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2024秋 道里区校级月考）先化简，再求值：，其中x＝4sin45°+2cos60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】直接将原式通分进而分解因式后再化简，把已知代入得出答案．
【解答】解：原式
，
∵x＝4sin45°+2cos60°＝4221，
∴原式．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
20．（10分）（2024春 建邺区校级期末）利用数轴确定不等式组的解集，并写出它的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】见解析．
【分析】求出各个不等式的解集，再寻找解集的公共部分即可．
【解答】解：解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤4，
所以原不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
所以原不等式组的整数解为：0，1，2，3，4．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．
21．（10分）（2022秋 上杭县校级月考）已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，交BD于点G，连接AG．
（1）求证：CG＝CD；
（2）如图，若AD＝4，BC＝10，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由余角的性质得到∠FGB＝∠BAE，由对顶角的性质得到∠EGC＝∠FGB，因此∠BAE＝∠EGC，由圆周角定理得到∠CDE＝∠BAE，推出∠EGC＝∠CDE，因此CD＝CG．
（2）作直径BM，连接CM，由圆周角定理得到∠BCM＝90°，∠M＝∠BAE，由三角形内角和定理得到∠ABE＝∠MBC，由圆周角定理得到，因此CM＝AD＝4，由勾股定理求出BM2，即可求出圆的半径．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，CF⊥AB，
∴∠FBG+∠FGB＝∠FBG+∠BAE＝90°，
∴∠FGB＝∠BAE，
∵∠EGC＝∠FGB，
∴∠BAE＝∠EGC，
∵∠CDE＝∠BAE，
∴∠EGC＝∠CDE，
∴CD＝CG．
（2）解：作直径BM，连接CM，
∴∠BCM＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠BCM＝∠AEB，
∵∠M＝∠BAE，
∴∠ABE＝∠MBC，
∴，
∴CM＝AD＝4，
∵BC＝10，
∴BM2，
∴⊙O的半径是．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由以上知识点停推出∠EGC＝∠CDE，．
22．（10分）为了加强食品安全管理，有关部门对某大型超市的甲、乙两种品牌食用油共抽取18瓶进行检测，检测结果分成“优秀”“合格”和“不合格”三个等级，数据处理后制成如图①②所示的折线统计图和扇形统计图．
（1）甲、乙两种品牌食用油各被抽取了多少瓶用于检测？
（2）根据以上信息提出你的合理建议．（提一条即可）
【考点】折线统计图；扇形统计图．
【专题】统计与概率；推理能力．
【答案】（1）甲、乙两种品牌食用油分别被抽取了10瓶、8瓶用于检测；
（2）甲种品牌食用油应加强安全生产管理．（答案不唯一，只要合理即可）
【分析】（1）根据折线统计图可知不合格的仅有1瓶，结合扇形统计图可知甲种品牌食用油有不合格的；用不合格的数量除以对应的百分数可得甲种品牌被抽的数量，进而求得乙种品牌被抽的数量；
（2）由以上信息可知甲种品牌食用油有不合格的，可从提高合格率这方面给出建议等．
【解答】解：（1）不合格的瓶数为1，结合扇形统计图可知这不合格的1瓶为甲种品牌食用油，
抽取甲种品牌食用油的瓶数为1÷10%＝10（瓶），
则抽取乙种品牌食用油的瓶数为18﹣10＝8（瓶）．
（2）甲种品牌食用油应加强安全生产管理．（答案不唯一，只要合理即可）．
【点评】本题考查折线统计图，正确读懂统计图是解题关键．
23．（12分）（2025 闵行区二模）已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G．
（1）求证：AF2＝FG FE；
（2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，求得∠DAE＝∠E，得到∠E＝∠FCD，求得CF2＝FG FE，由（1）知，AF2＝FG FE，得到AF＝CF，根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△GDF，
∴，
∵AD∥BE，
∴△EBF∽△ADF，
∴，
∴，
∴AF2＝FG FE；
（2）如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DAE＝∠E，
∵∠DAE＝∠FCD，
∴∠E＝∠FCD，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2＝FG FE，
由（1）知，AF2＝FG FE，
∴CF2＝AF2，
∴AF＝CF，
∵AO＝CO，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
24．（12分）（2022秋 北仑区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？
（3）在该抛物线的对称轴上有一动点P，连接PA和PC．试问：是否存在PA+PC的最小值？如有，求出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，B（3，0）；
（2）当﹣1＜x＜3时，y＜0；
（3）存在PA+PC的最小值，点P的坐标为（1，﹣2）．
【分析】（1）将（﹣1，0）和（0，﹣3）两点代入二次函数y＝x2+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式；利用抛物线解析式来求抛物线与x轴另一交点坐标；
（2）根据图象直接回答；
（3）由抛物线的对称性得点A、点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于点P，根据轴对称的性质以及两点之间线段最短可得PA+PC＝PB+PC＝BC，即最小值为线段BC的长，再由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，
得，
解得．
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，B（3，0）；
（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；
（3）连接BC交对称轴于点P，
∵点A、点B关于抛物线的对称轴对称，故PA+PC的最小值为PA+PC＝PB+PC＝BC，即最小值为线段BC的长，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
将点B（3，0），点C（0，﹣3）代入可得：，
解得：，
故直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P的坐标为（1，﹣2）．
【点评】本题是二次综合题，考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式．轴对称求最短路径等知识，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
25．（14分）（2022 定远县二模）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在线段AB上，AE＝AC，求证：DE平分∠ADB；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G．若FB＝FC，求证：DE2＝BD DG；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC，若BC＝5，，AD＝2AE，求AC的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠CAD，证明∠ADE＝∠ADC＝60°，证明∠BDE＝∠ADE，证明结论；
（2）证明△EBD∽△GCD，根据相似三角形的性质证明即可；
（3）在AB上取一点F，使AF＝AD，连接CF，证明△AFC≌△ADC，得到CF＝CD，∠ACF＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC，证明△DCE∽△BCF，根据相似三角形的性质求出CE，证明△EAD∽△DAC，求出AE，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
在△EAD和△CAD中，
，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∴∠EDB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝60°；
∴∠BDE＝∠ADE，即DE平分∠ADB；
（2）证明：∵FB＝FC，
∴∠EBD＝∠GCD，
∵∠BDE＝∠GDC＝60°，
∴△EBD∽△GCD，
∴，
由（1）可知：△EAD≌△CAD，
∴DE＝CD，
∴DE2＝BD DG；
（3）解：如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
在△AFC和△ADC中，
，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠ACF＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC，
∵∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝2∠ACD，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴，∠CED＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝2，
∴CE＝4，
∵∠AED＝180°﹣∠CED＝180°﹣∠BFC＝∠AFC＝∠ADC，∠EAD＝∠DAC，
∴△EAD∽△DAC，
∴，
∵AD＝2AE，
∴，
∴AE，
∴AC＝CE+AE＝4．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
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