21.2解一元二次方程 单元作业设计（含答案） 人教版（2024）数学九年级上册

《§21.2解一元二次方程》单元作业设计
单元作业编制说明
单元作业性质
新授课单元作业
二、单元分析
本单元是人教版九年级数学上册第21章第二个自然单元，前面承接了一元二次方程以及一元二次方程的根的概念，后面顺接一元二次方程的实际应用，是本章内容中重要的单元之一．本单元的主要内容是用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程、根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况以及一元二次方程根与系数的关系.学生在学习一元一次方程、二元一次方程组时对解方程的基本思路降次消元和转化思想等已比较熟悉，为本单元学习打下基础，而用直接开方法解一元二次方程学生在之前平方根的学习中对=a已有所接触,有一些直观的理解.因此本单元的授课是在学生已有知识和经验的基础上，来系统地研究如何解一元二次方程.一元二次方程的解法是本节单元的重点内容，不仅可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，还对今后学习解可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础.同时也是回归和解决实际问题的关键，学好这部分的主要难点是使学生理解配方法，从而能用配方法、公式法解数字系数的一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等，了解一元二次方程的根与系数的关系.因此，在本单元的学习中，除了让学生掌握以上一元二次方程解法的基础知识外，还应通过大量一元二次方程的解法训练，来培养学生的数感，从中感受一元二次方程的根的判别式的意义以及根与系数的关系，能通过系数表示方程的根，能用方程的根表示系数.使学生在这样的过程中，感悟符号表达对于数学发展的作用，积累用数学符号进行一般性推理的经验.
三、总体设计思路
关于§21.2解一元二次方程，在本单元作业设计中我主要从以下四个方面入手：
1.解一元二次方程是初中学生必备的基本技能之一，是以作业中大量方程解法的技能训练是必要的。但除此之外学生对配方法、一元二次方程根的判别式、以及一元二次方程的根与系数的关系的理解与掌握是有一定困难的.所以除了解法训练外，合理设计探究性问题让学生不断从通过用系数表示方程的根，能用方程的根表示系数.来培养学生的数感，感受一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系；
2.本单元后续将继续学习“实际问题与一元二次方程”，在此前学习一元二次方程概念时也通过实际问题列方程得到概念，学生有一定的根据实际问题列一元二次方程的基础.因此，本单元中的作业设计会涉及到一些简单的一元二次方程的应用背景，为后续的学习作铺垫；
3.作业中应包括不同层次的练习，从易到难，满足不同层次学生的需求，让每个层次的学生都能有所得；设计了基础性作业、综合应用性作业、探究拓展性作业、综合实践性作业四个层次的作业，落实课程标准所设立的课程目标，重视基本知识、基本技能、基本思 想、基本活动经验的考查，注重能力立意与素养导向；
4.设计实践性作业（跨课时作业），培育学生创新意识、应用意识与现实情境下的综合实践能力，与基础性作业、综合应用性作业的功能形成互补，培养学生的数学核心素养，提升数学思维方法．
为此在作业中我做了如下设计：
1.在每课时作业的第一部分我设计了基础性作业（基础夯实），帮助学生理解概念、掌握方法、熟练技能，符合学生现有的认知水平、学习经验和生活经验。基础性作业主要源于教材，满足基础较为薄弱的学生的学习需求，增强他们的学习信心，让他们也能在数学学习上获得成就感．
2.在每课时作业的第二部分我设计了综合应用性作业（技能提升），提升学生数学核心素养，主要在基本知识技能巩固的基础上进行技能的叠加，侧重于促进学生数学能力发展、数学思想方法形成和数学思维品质提升。但总体难度不高，学生“跳一跳，能够得到”，帮助学生进一步理解知识巩固技能的同时，满足知识掌握较好的学生的学习需求，让学习较为薄弱的学生也能有所挑战．
3.在每课时作业的第三部分设计了探究拓展性作业（探究拓展），其主要源于教材，但又高于教材，注重作业问题的启发性、层次性、逻辑性和适度的挑战性。本部分设计了本课时与下课时知识链接的思考题，引导学生发现解法之间的联系，为下节课课堂探究做铺垫.探究拓展性作业以发展学生数学能力和数学思维水平为最终目的，需要学生细读研究，注意培养学生的迁移能力，提高学生发现问题、提出问题的能力.主要用于“吃不饱”的学生进行探索和思考，让中上学生也能有所挑战．
4.在一些课时作业的最后部分我设计了综合实践性作业（实践活动），培育学生创新意识、应用意识与现实情境下的综合实践能力.例如第2课时配方解方程的最后，设计通过阅读材料，让学生明白配方不仅可以解方程、比较两个式子的大小，还能用于求代数式的最值，第（1）（2）小题对例题进行举一反三运用求最值，第（3）小题通过对花园面积的研究，渗透解决实际问题的思想，从简单的矩形面积列式，利用配方求最值，渗透函数思想，为后续一元二次方程实际应用做下铺垫.在第3课时设计了一道韦达定理探究问题，在学习完公式法后，通过问题串的形式让学生通过解多个方程，较容易发现形式方程的两根之和与两根之积与系数之间的关系，再提出二次项系数不为1的情况给学生思考，让他们去独立探究验证，渗透韦达定理的知识，培养计算推理能力，为日后韦达定理的理解与应用打下良好基础.在第5课时设计一道跨课时实践性作业，需要学生从本课时起到下一章二次函数结束的学习过程中，分步完成，并在二次函数小结时进行交流、展示.引导学生大胆猜想，思考如何由已学的知识解决未知的问题，将数学模型应用到实际生活中，最后通过后续学习的知识验证猜想，得到结论.培养学生用数学的眼光看世界，用数学模型解决实际问题的数学思维.
单元课时作业规划表
课时顺序 课时名称 作业目标
第1课时 直接开平方法 1.掌握用直接开平方法解形如和的一元二次方程， 2．掌握用直接开平方法解能转化成的一元二次方程， 体会化归的思想方法．
第2课时 配方法 1.会把方程通过配方化为的形式，体会事物间相互转化的数学思想方法； 2.掌握用配方法解简单数字系数的一元二次方程．
第3课时 公式法 1．体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，会用求根公式求一元二次方程的根； 2．理解求根公式的通用性和值的意义．
第4课时 因式分解法 1．掌握用因式分解法解数字系数的一元二次方程，进一步体会化归思想方法； 2．会灵活选择合适的因式分解方法解一元二次方程．
第5课时 一元二次方程的解法综合 1．掌握熟练地解一元二次方程，进一步体会化归思想方法—降次； 2．会灵活选用方法解一元二次方程.
第6课时 一元二次方程根的判别式 1．理解根的判别式的意义，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 2．会根据一元二次方程根的情况确定参数的取值范围.
第7课时 一元二次方程根与系数的关系 1．了解一元二次方程根与系数关系和推导过程； 2．能用系数表示方程的根，能用方程的根表示系数．
第二部分 作业正文
“§21.2解一元二次方程”单元作业
说明：“§21.2解一元二次方程”是我市现用初中九年级数学人教版教材中的自然单元.本单元包括7个课时，各课时的主要内容分别为：
第1课时：直接开平方法
第2课时：配方法
第3课时：公式法
第4课时：因式分解法
第5课时：一元二次方程的解法综合
第6课时：一元二次方程根的判别式
第7课时：一元二次方程根与系数的关系
本单元作业包括课时作业和实践性作业（跨课时作业）.
第1课时 直接开平方法
一、作业目标
1.掌握用直接开平方法解形如和的一元二次方程，
2．掌握用直接开平方法解能转化成的一元二次方程， 体会化归的思想方法．
二、作业内容
【基础夯实】
1．有下列方程：
①x2﹣2x＝0；②9x2﹣25＝0；③（2x﹣1）2＝1；④．
其中能用直接开平方法做的是（　　）
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④
2．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为（　　）
A．x2+9＝0 B．﹣2x2＝0 C．x2﹣3＝0 D．（x﹣2）2＝0
3．一元二次方程x2＝4的解是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝±2
4．（1）一元二次方程x2﹣9＝0的解是 　 　；
（2）一元二次方程（x﹣5）2＝0的解为 　 　；
（3）一元二次方程（x﹣3）2＝8的解是 　 　．
5．解方程：
（1）4x2＝49 （2）（x﹣2）2＝16 （3）x2﹣4x+4＝0 （4）2（x+3）2﹣4＝0．
【设计意图】：第1题根据直接开平方形式来判定是否能直接开平方，培养学生对直接开
平方法形式的判断，作业第2-5题利用直接开平方解一元二次方程，让学生掌握直接开平方法解方程，以及降次的思想.
【技能提升】
1.如果关于x的方程（x﹣4）2＝m﹣1可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1
2.已知关于的一元二次方程 有一个根为0，则=_________．
3．一元二次方程的两个实数根互为相反数，则 ；
两根分别是 ．
4.若( x2+y2-2021 ) 2=1，则x2+y2=　 　．
5．解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【设计意图】：第1题考查用直接开平方法的条件形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）求参数的值，巩固直接开方法的形式；第2题与方程的解的意义结合，用直接开方法求k的值；第3题根据根互为相反数联想到用直接开方法，没有一次项从而解决问题；第4、5题渗透整体思想，再利用直接开方法解方程.
【探究拓展】
1.（1）在下列式子中，填上适当的数，使等式成立
①； ②；
③；④；
（2）尝试用直接开方法解方程：
2．若一元二次方程ax2﹣b＝0（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　 　．
3.关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1 D．无法求解
4．在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：a b＝a2﹣b2，求方程（4 3） x＝24的解．
【设计意图】：第1题意在引发学生思考不能直接直接开方的方程，要想办法配成能开方的，为引出配方法做铺垫；第2题根据可以直接开方的方程的特点可知两根互为相反数，从而得到m以及根的值，代回得到的值；第3题利用换元法，再用直接开方法解方程是解决问题的关键，渗透整体思想；第4题考查了学生的数学应用能力和解题技能，这是典型的新定义题型，与整式加减结合，按照题中给出的计算法则进行运算，后用直接开方法求解．
第2课时 配方法
一、作业目标
1.会把方程通过配方化为的形式，体会事物间相互转化的数学思想方法；
2.掌握用配方法解简单数字系数的一元二次方程．
二、作业内容
【基础夯实】
1．用配方法解方程，方程两边应同时（ ）
A．加上2 B．加上4 C．减去2 D．减去4
2．经过配方，方程可以变形为（ ）
A． B． C． D．
3.将一元二次方程x2+4x-5=0 化成(x+a)2=b（a,b 为常数）的形式，则a，b的值分别是( )
A. -2，-9 B. -2，9 C. 2，9 D. 2，-9
4.用配方法解方程
（1） （2）
（3） （4）
【设计意图】：第1题让学生掌握配方法的一般步骤；第2题培养学生掌握配方法，运用变形的思维方式来解方程；第3题设计意图是培养学生对配方法的使用，以及类比推理的能力.第4题设计意图是培养学生对配方法的使用，使学生体会转化的数学思想.
【技能提升】
1．一元二次方程x2+px+q＝0在用配方法配成（x+m）2＝n时，下面正确的是（　　）
A．m是p的一半 B．m是p的一半的平方
C．m是p的2倍 D．m是p的一半的相反数
2．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根，则该三角形的周长是　 　．
3．若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，利用所学知识判定△ABC的形状．
【设计意图】：第1题渗透配方思想的字母表达，为下节课做铺垫；第2题将配方法与等腰三角形的腰和底边关系结合，考察学生对配方法的掌握以及分类讨论思想的掌握；第3题培养学生对配方法的使用以及运用整体思想和平方式的非负性解题.
【探究拓展】
运用配方法解下列方程：
（2） （3） （4）
思考：如何用配方法解一般形式的一元二次方程？
2.已知，，当时候，比较与的大小．
3．解关于的方程
【设计意图】：第1题使得学生熟练掌握配方法解方程，也为下节课运用配方得到求根公式做铺垫；第2题考察两个多项式的大小比较，结合了整式加减、配方和完全平方式，利用作差法和配方比较两个式子的大小，让学生掌握配方的另一应用；第3题考察含参数的一元二次方程的配方，为下节课公式法的推导做个铺垫，培养学生的符号意识.
【实践活动】
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
【设计意图】：通过阅读材料，让学生明白配方不仅可以解方程、比较两个式子的大小，还能用于求代数式的最值，（1）（2）小题对例题进行举一反三运用，第（3）小题通过对花园面积的研究，渗透解决实际问题的思想，从简单的矩形面积列式，利用配方求最值，渗透函数思想.
公式法
一、作业目标
1．体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，会用求根公式求一元二次方程的根；
2．理解求根公式的通用性和值的意义．
二、作业内容
【基础夯实】
1.一元二次方程ax +bx+c=0(a，b，c都是常数，且a≠0)的求根公式是__________________，
用求根公式的前提条件是_______________.
2．用公式法解x2+3x＝1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（　　）
A．1，3，1 B．1，3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．﹣1，3，1
在方程2x2+4x=3中，b2-4ac 的值为（ ）
A.40 B.-40 C.8 D.-8
4．用公式法解方程：
（1） （2） （3）
【设计意图】：第1题熟知一元二次方程求根公式，通过求根公式渗透特殊到一般的数学思想；第2题使用求根公式前将方程化为一般式，确定 a，b，c 的值，培养学生的类比推理能力；第3题判断b2-4ac≥0 之后使用求根公式解一元二次方程，培养学生运用公式以及类比推理能力；第4题考察学生用公式法解一元二次方程的一般步骤以及求根公式的使用.
【技能提升】
1．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9
2．x是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
5．已知关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系数满足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，则该方程的根是 　 　．
4．已知a，b满足|b﹣2|0，则关于x的方程（1﹣a）x2+bx＝2﹣4a的解是 　 　．
5.用公式法解方程：（1） （2）2x2x+1＝0
【设计意图】：第1、3题观察系数满足的等式，考察学生对的根的理解；第2题根据公式法的公式，对应找到字母的值，写出一般式，学会辨析求根公式，培养学生的逆向思维；第4题技能叠加先利用绝对值和算术平方根的非负性得到a、b的值，再利用公式法解方程；第5题用公式法解系数较复杂的一元二次方程巩固一般步骤以及求根公式的使用.
【探究拓展】
1.（1）若，则 或 ；
（2）一元二次方程可化为两个一次方程为 和 ，由此得方程的解是 ．
（3）利用以上方法解方程：① ② ③
2．阅读下面例题：解方程．
解：设，原方程化为：, 解得：
当时，，解得：
当时，，即
，∴这个方程没有实数根．
∴原方程的根是3和-2．
请参照例题解方程：．
3.关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【设计意图】：第1题通过阅读材料引导学生发现因式分解解方程的便利，为下节课做铺垫；第2题利用换元法和公式法解方程，渗透整体思想；第3题考察用公式法解带参数的一元二次方程，再根据根是正整数求出m的值，提升学生的符号表达能力.
【实践活动】
解下列方程，将得到的根填入下面的表格中：
方程
（1）你能从上表观察到，与系数之间的关系吗？
（2）方程的两根为和，将方程化为的形式，你能看出，与，之间的关系吗
（3）若两根为和，是否满足以上关系呢？不满足的话，你能找到，与系数之间的关系吗？
（4）你能猜想一元二次方程 的两根为和与各系数，，之间的关系吗？
【设计意图】：这是一道韦达定理探究问题，在学习完公式法后，通过问题串的形式让学生通过解多个方程，较容易发现形式方程的两根之和与两根之积与系数之间的关系，再提出二次项系数不为1的情况给学生思考，让他们去独立探究验证，渗透韦达定理的知识，培养计算推理能力，为日后韦达定理的理解与应用打下良好基础.
因式分解法
一、作业目标
1．掌握用因式分解法解数字系数的一元二次方程，进一步体会化归思想方法；
2．会灵活选择合适的因式分解方法解一元二次方程．
二、作业内容
【基础夯实】
1.用因式分解法解一元二次方程（2x+4)(x-1)=0，将它转化为两个一元二次方程是（ ）
A. 2x-4=0，x-1=0 B. 2x-4=0，x+1=0
C. 2x+4=0，x-1=0 D. 2x+4=0，x+1=0
2．方程（x﹣2）（x+1）＝0的解是（　　）
A．2和﹣1 B．﹣2和1 C．﹣2和﹣1 D．2和1
3．方程x（x﹣2）＝3x的解为（　　）
A．x＝5 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝0，x2＝﹣5
4．若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根为3，﹣6，则二次三项式x2+px+q可分解为（　　）
A．（x﹣3）（x﹣6） B．（x﹣3）（x+6） C．（x+3）（x﹣6） D．（x+3）（x+6）
5.解方程：（1） （2）
（3） （4）
【设计意图】：第1题根据乘法性质得至少有一个因式等于0，并求出一元一次方程得解，让学生知道因式分解的本质是降次的思想；第2题根据乘法性质得至少有一个因式等于0，并求出一元一次方程得解.培养学生转化思想，将一元二次方程转化为一元一次方程.第3、5题利用因式分解法转换为几个整式的乘积的形式，学会用因式分解法解一元二次方程. 第4题利用因式分解法求根的过程可知，可将一般式方程写成根的乘积式，培养逆向思维.
【技能提升】
1．方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的解是（　　）
A．x＝5 B．x1＝5，x2＝2 C．x1＝1，x2＝2 D．x＝2
2．用因式分解法解一元二次方程（3x﹣4）2﹣25＝0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是3x﹣4+5＝0，则另一个方程是 　 　．
3．已知方程x2+kx+5＝0的一个根是﹣1，则k＝　 　，另一个根为　 　．
4．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的周长为 　 　．
5.已知方程（x2-x）2-4（x2-x）=-4 在实数范围内有解，求代数式 2x2-2x+1的值.
【设计意图】：第1、2题根据因式分解解一元二次方程，第3题根据方程根的定义得出原方程，利用因式分解求得一元二次方程得解，培养学生对因式分解法的使用.第4题根据因式分解解一元二次方程，在等腰三角形求周长时需要分类讨论，渗透分类讨论思想.第5题运用整体换元和因式分解法解一元二次方程，培养学生对因式分解法的使用，以及整体思想的运用.
【探究拓展】
1．已知斜边为13的直角三角形的两条直角边长分别为x，x＋7，求x的值．
2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．求小圆形场地的半径．
【设计意图】：第1题结合直角三角形勾股定理，第2题结合圆形面积，根据简单的应用背景列方程，让学生体会用因式分解法解方程更简便，渗透数形结合思想和培养解决问题的能力.
一元二次方程的解法综合
一、作业目标
1．掌握熟练地解一元二次方程，进一步体会化归思想方法—降次；
2．会灵活选用方法解一元二次方程.
二、作业内容
【基础夯实】
1．已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A．0 B．－2 C．2 D．4
2．方程的解是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不正确
3．用配方法解方程，方程两边同时（ ）
A．加上2 B．加上4 C．减去2 D．减去4
4．方程的解是
5． 选择合适的方法解下列方程：　
（1）3＝2 （2）
（3） （4）
（5）＋5＝ （6）
【设计意图】：第1题考察一元二次方程根的意义以及代数式求值，培养观察能力；第2-4题复习回顾因式分解、配方法解一元二次方程的易错点，巩固解法的掌握，第5题使学生能观察方程特点，灵活选择合适的解法来解一元二次方程.
【技能提升】
是一元二次方程的一个根，则 ．
解方程：（1） （2）
（3） （4）
【设计意图】：第1题考察一元二次方程根的意义，并能利用因式分解法得到式子的值；第2题考察十字相乘法、整体因式分解，以及先化简后再用公式法解方程，渗透整体思想，培养学生灵活选择方法的能力.
【探究拓展】
阅读下面的例题：
解方程：
解：（1）当时，原方程化为。
解得(不合题意，舍去)
（2）当时，原方程化为，
解得(不合题意，舍去) ．
综合（1）（2）得原方程的根是．
请参照例题解方程：
【设计意图】：本题是一道材料阅读题，结合因式分解法和绝对值的意义进行考察，要求学生能根据材料步骤类比完成练习，培养学生类比推理能力和分类讨论思想.
【实践活动】
2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）
时间x（分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15
人数y（人） 0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，你能猜想出y与x之间的关系式吗？
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
（4）学习完下一章二次函数后，请你根据所学知识求出y与x之间的函数关系式，验证你的猜想是否正确.
【设计意图】：本道题是跨课时实践性作业，需要学生从本课时起到下一章二次函数结束的学习过程中，分步完成，并在二次函数小结时进行交流、展示.本道题一方面渗透社会主义核心价值观，另一方面体现数学与生活实际的密切联系，将数学模型应用到实际生活中，培养学生用数学的眼光看世界，用数学模型解决实际问题的数学思维.
一元二次方程根的判别式
一、作业目标
1．理解根的判别式的意义，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况；
2．会根据一元二次方程根的情况确定参数的取值范围.
二、作业内容
【基础夯实】
1．一元二次方程x2+2020＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的实数根有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知关于x的方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k B．k C．k D．k
4．一元二次方程（x﹣1）2＝﹣3x+1的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一根为﹣1
5.不解方程，判断下列方程根的情况
（1） （2）
【设计意图】：第1题考查一元二次方程根的判别式，熟练计算根的判别式，并且由根的判别式判断根的情况；第2题考查用判别式判断一元二次方程的根的情况；第3题根据判别式大于0和已知条件得到不等式求解，会根据方程的根的情况确定方程中字母系数的取值范围.第4题先将方程转化为标准形式，在判断△的正负，判断根的情况，培养学生的计算能力，并能运用判别式判别方程根的情况.第5题不解方程判断方程根的情况，先将方程转化为标准形式，在判断△的正负.使学生熟练运用判别式判别方程根的情况.
【技能提升】
1．关于x的一元二次方程x2+p＝0无实数根，则p的取值范围是（　　）
A．p为一切实数 B．p＞0
C．p＜0 D．p＝0
2．关于x的方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k≤1
3．关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
4．已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
【设计意图】：第1题考察用根的判别式或完全平方的非负性来得到参数的值；第2题题干是关于x的方程，所以“二次项系数可能为零”进行分类讨论，再求出k的取值范围，在探索一元二次方程根的情况与根的判别式的关系中体会分类讨论的思想.第3题根据一元二次方程的定义和根的判别式得到 m≠0，且△≥0，再进行求解，让学生学会利用根的判别式确定一元二次方程中待定字母的取值范围或值，并会求方程的整数解问题.第4题应用根的判别式证明方程根的情况，利用配方法和根的判别式来确定根的情况，提高学生解题的综合能力.
【探究拓展】
1.已知：关于x的方程：x2﹣2（k+1）x+k2+4＝0
（1）当k取何值时，方程有两个实数根？
（2）若△ABC是等腰三角形，BC＝4，AB、AC的长是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
2．已知关于x的方程.
（1）若b＝2，且2是此方程的根，求a的值；
（2）若此方程有实数根，当-3＜a＜-1，求b的取值范围.
【设计意图】：第1题考查了根的判别式，三角形三边关系、等腰三角形的性质以及三角形的周长，解题的关键是：牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；以及等腰分BC为腰和BC为底两种情况考虑．培养学生对含参数方程求根的判别式解决问题的能力，渗透分类讨论思想.第2题利用一元二次方程根的定义和b代进去即可解决第（1）小题，第（2）小题考察判别式的意义和非负数的性质得到a、b的关系式，再根据不等式的性质求解.
一元二次方程根与系数的关系
一、作业目标
1．了解一元二次方程根与系数关系和推导过程；
2．能用系数表示方程的根，能用方程的根表示系数．
二、作业内容
【基础夯实】
1．方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3
2．若x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两根，则x1 x2的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
3．关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0的两根之和为4，则a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的一个实数根为1，求m的值及方程的另一个根．
【设计意图】：第1-3题考查一元二次方程根与系数关系，体验不解方程也能求出一元二次方程两根之和以及两根之积，让学生了解利用一元二次方程根与系数关系，求解各项系数，进一步了解一元二次方程的根与系数有密不可分的联系.第4题第（1）小题复习根的判别式的意义，第（2）小题让学生明白当已知方程一根时，可以利用一元二次方程根与系数关系求解另一个根和参数的值.
【技能提升】
1．已知方程的两根为、，则
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ．（5） ；
2．若m、n是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么　 　．
4．若等腰三角形的底边长为4，另两边长分别是关于x的方程x2﹣kx+9＝0的两个根，则k的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．
【设计意图】：第1题根据韦达定理得到两根之积与两根之和，从而计算出其他式子的值，让学生感受韦达定理在代数式求值中的运用，为第2题做铺垫，第2题将分式化简后运用韦达定理计算即可；第3题利用根与系数的关系求未知字母的值或范围，让学生了解利用一元二次方程根与系数关系，求解各项系数，进一步了解一元二次方程的根与系数有密不可分的联系.第3题考查等腰三角形与方程根之间的关系，进一步了解韦达定理的在几何问题中应用，让学生体会数形结
合思想.
【探究拓展】
1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x12+x2的值为（　　）
A．0 B．2 C．1 D．﹣1
2.关于x的方程＋bx＋1＝0的两根为＝1，＝2，则方程＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为 ．
3.已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若 且，试比较与的大小，并说明理由．
【设计意图】：第1题根据韦达定理计算出和后，根据根的意义将代入当成得到的式子，几个式子进行加减变形即可得出结果，让学生体会韦达定理在代数求值中的应用；第2题利用换元法和韦达定理综合以下就可以求解，渗透整体换元思想；第3题运用韦达定理表示和后代入用k表示y，再利用作差法比较两个式子的值的大小，培养学生计算推理能力.
第三部分 参考答案
第1课时 直接开平方法
【基础夯实】
1．C 2．A 3．D 4．（1）；（2）；（3）．
5．（1） （2） （3） （4）．
【技能提升】
1.D 2. 3．， 4.2020或2022 5．
【探究拓展】
1.（1）①25，5； ②；③36，6；④9，3；（2）
2．4 3.C 4．
第2课时 配方法
【基础夯实】
B 2．D 3.C 4.（1） （2）无实根
（3） （4）
【技能提升】
A 2．7
3．解：∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形．
【探究拓展】
（1） （2） （3） （4）
当时，
3．
【实践活动】
解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，
∵（m+）2≥0，
∴（m+）2+≥，
则m2+m+4的最小值是；
（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，
则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
第3课时 公式法
【基础夯实】
， 2．B 3.A
4．（1） （2） （3）
【技能提升】
1．B 2．A 3． 4．
5.（1） （2）
【探究拓展】
1.（1）=0或=0；（2）或，
（3）① ② ③
2．令 得到
解得，即
解得
3.解：（1）根据题意，得m≠1．
∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，
则x1，
x2＝1；
（2）由（1）知，x11，
∵方程的两个根都为正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，
解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
【实践活动】
解下列方程，将得到的根填入下面的表格中：
方程
0 2 2 0
1 -4 -3 -4
2 3 5 6
中=，=；
的，
第4课时 因式分解法
【基础夯实】
1.C 2.A 3．B 4． B
5.（1） （2） （3） （4）
【技能提升】
1．B 2．3x﹣4-5＝0 3．k＝6，另一个根为-5．4．17
5.，解得
代入得到
【探究拓展】
2．
第5课时 一元二次方程的解法综合
【基础夯实】
1.D 2．C 3．B 4．
5． （1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
【技能提升】
1 4.（1） （2）
（3） （4）
【探究拓展】
当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0，
即x（x﹣1）＝0，
解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）；
当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，
即（x+3）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2，
∴原方程的根为x1＝﹣3，x2＝2．
【实践活动】
解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
∵当x＝0时，y＝0，
∴二次函数的关系式可设为：y＝ax2+bx，
由题意可得：，
解得：，
∴二次函数关系式为：y＝﹣10x2+180x，
②当9＜x≤15时，y＝810，
∴y与x之间的函数关系式为：y；
（2）设第x分钟时的排队人数为w人，
由题意可得：w＝y﹣40x，
①当0≤x≤9时，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，w的最大值＝490，
②当9＜x≤15时，w＝810﹣40x，w随x的增大而减小，
∴210≤w＜450，
∴排队人数最多时是490人，
要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x＝0，
解得：x＝20.25，
答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810，
解得m，
∵m是整数，
∴m的最小整数是2，
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
第6课时 一元二次方程根的判别式
【基础夯实】
1．D 2．C 3．A 4．C 5.（1）有两个不等实根 （2）无实根
【技能提升】
1．B 2．D
3．（1）根据题意得m≠0且Δ＝（2m﹣3）2﹣4m（m﹣1）≥0，
解得m且m≠0；
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程变形为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
4．解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k＝5时，原方程为：2x2+5x+2＝0，
∴（2x+1）（x+2）＝0，
∴，x2＝﹣2．
【探究拓展】
1.解：（1）∵方程有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+4）＝8k﹣12≥0，
∴k；
（2）①当BC为腰时，将x＝4代入原方程得：16﹣8（k+1）+k2+4＝0，
解得：k＝2或k＝6．
当k＝2时，原方程为x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
∵2、4、4能组成三角形，
∴C△ABC＝2+4+4＝10；
当k＝6时，原方程为x2﹣14x+40＝（x﹣4）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝4，x2＝10．
∵4、4、10不能组成三角形，
∴k＝6舍去；
②当BC为底时，方程x2﹣2（k+1）x+k2+4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+4）＝8k﹣12＝0，
解得：k．
将k代入原方程得：x2﹣5x（x）2＝0，
解得：x1＝x2．
∵、、4能组成三角形，
∴C△ABC4＝9．
综上所述：△ABC的周长为9或10．
2．解：（1）把b＝2，x＝2代入方程得4（a2+1）﹣4（a+2）+4+1＝0，解得a1＝a2＝，
即a的值为；
（2）根据题意得Δ＝4（a+b）2﹣4（a2+1）（b2+1）≥0，
∴（ab）2﹣2ab+1≤0，即（ab﹣1）2≤0，
∴ab﹣1＝0，
∴a＝，
∵﹣3＜a＜﹣1
∴﹣1＜b＜﹣．
第7课时 一元二次方程根与系数的关系
【基础夯实】
1．D 2．A 3．D
4．解：（1）由题意Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，
解得m≤2．
（2）将x＝1代入原方程可知：1﹣6+4m+1＝0，
∴m＝1，
将m＝1代入方程可得：x2﹣6x+5＝0，
∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，
∴x＝1或x＝5．
即方程的另一个根为5．
【技能提升】
1．（1）-2；（2）-1；（3）6；
（4）14．（5）；
2．C 3． 4．A
【探究拓展】
1．B 2.1
3.