2025年九年级数学中考三轮冲刺训练函数类型应用题综合训练（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练函数类型应用题综合训练
1．某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，这两种商品的进价、售价如表所示：
进价（元/件） 售价（元/件）
甲种商品 15 20
乙种商品 25 35
设购进甲种商品x（1≤x≤79，且x为整数）件，售完此两种商品总利润为y元．
（1）该商场计划最多投入1500元用于购进这两种商品共80件，求至少购进甲种商品多少件？
（2）求y与x的函数关系式；
（3）若售完这些商品，商场可获得的最大利润是　 　元．
2．某超市销售甲、乙两种商品，这两种商品的进价和售价如下表所示，预计购进乙种商品的数量y（个）与甲种商品的数量x（个）之间的关系如图．
甲 乙
进价（元/个） 15 30
售价（元/个） 20 39
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市准备用不超过6000元购进甲、乙两种商品，问该超市至少购进多少个甲种商品？
（3）在（2）的条件下，若超市将购进的甲，乙商品全部售出，则可获得的最大利润是多少？
3．某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
4．南沙区某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元，经市场调查发现：目前销量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80，x＝50时，y＝100，在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单位为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元．
5．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件．若规定每天该商品的销售量不低于300件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
6．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A、B城往C、D两乡运肥料的平均费用如下表．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
A城（出） B城（出）
C乡（人） 20元/吨 15元/吨
D乡（人） 25元/吨 30元/吨
（1）A城和B城各多少吨肥料？
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，总运费为y元，求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；
（3）由于更换车型，使B城运往D乡的运费每吨减少a元（a＞0），其余路线运费不变，若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，求a的最大整数值．
7．为加强校园文化建设，我校准备打造校园文化墙，需要甲、乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的费用为每平方米50元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，甲种石材使用面积不少于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
8．某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务，小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数关系如图1所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图2所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，直接写出小张种植每亩蔬菜的工资是　 　元，小张应得的工资总额是　 　元，此时，小李应得的报酬是　 　元；
（2）当0≤n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式，并求出总费用最大为多少元．
9．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元．
（1）求文具袋和圆规的单价；
（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干，文具店给出两种优惠方案：
方案一：购买一个文具袋还送1个圆规
方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．
①设购买圆规m个（m≥20），则选择方案一的总费用为　 　，选择方案二的总费用为　 　．
②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由．
10．为奖励在社会实践活动中表现优异的同学，某校准备购买一批文具袋和水性笔作为奖品．已知文具袋的单价是水性笔单价的5倍，购买5支水性笔和3个文具袋共需60元
（1）求文具袋和水性笔的单价；
（2）学校准备购买文具袋10个，水性笔若干支（超过10支）．文具店给出两种优惠方案：
A：购买一个文具袋，赠送1支水性笔
B：购买水性笔10支以上，超出10支的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折
①设购买水性笔x支，选择方案A的总费用为y1元，选择方案B的总费用为y2元，分别求出y1，y2与x的函数关系式；
②该学校选择哪种方案更合算？请说明理由．
11．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）写出每件产品A的销售利润z与上市时间t的关系式；
（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
12．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
13．红星食品厂独家生产具有地方特色的某种食品，产量y1（万千克）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）满足函数关系式y1＝﹣0.5x+11、经市场调查发现：该食品市场需求量y2（万千克）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）的关系如图所示．当产量小于或等于市场需求量时，食品将被全部售出；当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的食品，剩余食品由于保质期短将被无条件销毁．
（1）求y2与x的函数关系式；
（2）当销售价格为多少时，产量等于市场需求量？
（3）若该食品每千克的生产成本是2元，试求厂家所得利润W（万元）与销售价格x（元/千克）（2≤x≤10）之间的函数关系式．
14．善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；
（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；
（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？
大？
参考答案
1.【解答】解：（1）由题意可得，
15x+25（80﹣x）≤1500，
解得，x≥50，
又∵1≤x≤79，且x为整数，
∴50≤x≤79，且x为整数，
∴至少购进甲种商品50件；
（2）由题意可得，
y＝（20﹣15）x+（35﹣25）（80﹣x）＝﹣5x+800，
即y与x的函数关系式为y＝﹣5x+800；
（3）∵y＝﹣5x+800，1≤x≤79，且x为整数，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝795，
故答案为：795．
2．【解答】解：（1）设函数表达式为：y＝kx+b，
将（50，250）、（200，100）代入上式并解得：k＝﹣1，b＝300，
故y＝﹣x+300；
（2）由题意得：15x+30（﹣x+300）≤6000，
解得：x≥200，
该超市至少购进200个甲种商品；
（3）设获得的利润为w，则w＝（20﹣15）x+（39﹣30）y＝﹣4x+2700，
∵﹣4＜0，
∴w随x的增大而减小，
当x＝200时，w取得最大值为：1900，
答：获得的最大利润是1900元．
3．【解答】解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，
则y＝（128+8x）（100﹣x﹣80）＝﹣8x2+32x+2560，
即y与x之间的函数解析式是y＝﹣8x2+32x+2560；
（2）∵y＝﹣8x2+32x+2560＝﹣8（x﹣2）2+2592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2592，
∴销售单价为：100﹣2＝98（元），
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
4．【解答】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意得，
解得：k＝﹣2，b＝200，
∴y＝﹣2x+200（30≤x≤70）；
（2）w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2x2+260x﹣6450
＝﹣2（x﹣65）2+2000；
（3）w＝﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤70，
∴x＝65时，w有最大值为2000元，
∴当销售单价为65元时，该公司日获利最大，为2000元．
5．【解答】解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，
则y＝（x﹣30）[100+10（60﹣x）]
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵100+10（60﹣x）≥300，
∴x≤40，
又∵当x＜50时，y随x的增大而增大，
∴当x＝40时，y有最大值，且为3000，
答：当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是3000元．
6．【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得，
解得 ．
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从B城运往D乡肥料x吨，则运往B城运往C乡（300﹣x）吨
从A城运往D乡肥料（260﹣x）吨，则运往C乡（x﹣60）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y＝20（x﹣60）+25（260﹣x）+15（300﹣x）+30x＝10x+9800，
由于函数是一次函数，k＝10＞0，
∵，
∴60≤x≤260
所以当x＝60时，运费最少，最少运费是10400元．
（3）从B城运往D乡肥料x吨，由于B城运往D乡的运费每吨减少a（a＞0）元，
所以y＝20（x﹣60）+25（260﹣x）+15（300﹣x）+（30﹣a）x＝（10﹣a）x+9800，
若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，则10﹣a＞0，而且x＝60时，y≥10040，
∴（10﹣a）×60+9800≥10040
解得：a≤6，
若C、D两乡的总运费最小值不少于10040元，a的最大整数值为6．
7．【解答】解：（1）①0≤x≤300时
设y＝kx+b（k≠0）
过（0，0），（300，24000）
，
解得，
∴y＝80x，
②x＞300时
设y＝kx+b（k≠0）
过（300，24000），（500，30000）
，解得，
∴y＝30x+15000，
∴y＝；
（2）设甲种花卉种植为 xm2，则乙种花卉种植（600﹣x）m2
，
∴300≤x≤400，
设费用为W元，
W＝30x+15000+50（600﹣x），
即W＝﹣20x+45000，
∵﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
即甲400m2，乙200m2时，
Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．
8．【解答】解：（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是（160+120）＝140元，
小张应得的工资总额是：140×20＝2800元，
此时，小李种植水果：30﹣20＝10亩，
小李应得的报酬是1500元；
故答案为：140；2800；1500；
（2）当0≤n≤10时，设z＝k′n，
∴函数图象经过点（10，1500），
∴k′＝150，
∴z＝150n；
当10＜n≤30时，设z＝kn+b（k≠0），
∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），
∴，
解得，
所以，z＝120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y＝km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴，
解得，
∴y＝﹣2m+180，
∵m+n＝30，
∴n＝30﹣m，
∴①当10＜m≤20时，10≤n＜20，
w＝m（﹣2m+180）+120n+300，
＝m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，
＝﹣2m2+60m+3900，
②当20＜m≤30时，0≤n＜10，
w＝m（﹣2m+180）+150n，
＝m（﹣2m+180）+150（30﹣m），
＝﹣2m2+30m+4500，
所以，w与m之间的函数关系式为w＝．
9．【解答】解：（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元．
（2）①设购买圆规m个，选择方案一的总费用为：20×15+3（m﹣20）＝3m+240（元）；
选择方案二的总费用为：20×15+10×3+3×80%（m﹣10）＝2.4m+306（元）
故答案为：（3m+240）元；（2.4m+306）元．
②当m＝100时，3m+240＝540，2.4m+306＝546，
∵540＜546，
∴选择方案一更合算．
10．【解答】解：（1）设水性笔的单价m元，文具袋的单价为5m元，
根据题意得：5m+3×5m＝60
解得：m＝3，则5m＝15
答：文具袋的单价为15元，水性笔的单价的为3元．
（2）①根据题意得：y1＝10×15+3（x﹣10）＝3x+120
y2＝10×15+3×10+3×0.8×（x﹣10）＝2.4x+156
②若y1＞y2时，3x+120＞2.4x+156
解得：x＞60
若y1＝y2时，3x+120＝2.4x+156
解得：x＝60
若y1＜y2时，3x+120＜2.4x+156
解得：x＜60
答：当购买数量大于60支时，选择B方案更合算；
当购买数量等于60支时，选择A方案或选择B方案均可；
当购买数量小于60支时，选择A方案更合算；
11．【解答】解：（1）由图1可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y＝kt，
∵点（30，60）在图象上，∴60＝30k，
∴k＝2，即y＝2t；
当30＜t≤40时，设市场的日销售量y＝k1t+b，
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，
∴
解得k1＝﹣6，b＝240．
∴y＝﹣6t+240．
故y＝；
（2）由图②可得：
当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为z＝3t；
当20＜t≤40时，每件产品的日销售利润为z＝60；
故z＝；
（3）①当0≤t≤20时，
w＝3t 2t＝6t2．
t＝20时，w的最大值为2400（万元）；
②当20＜t≤30时，
w＝2t 60＝120t．
t＝30时，w的最大值为3600（万元）；
③当30＜t≤40时，
w＝60（﹣6t+240）
＝﹣360t+14400
∵k＝﹣360＜0，
∴w随t的增大而减小．
∴w＜﹣360×30+14400
即w＜3600（万元）
∴第30天取最大利润3600万元．
12．【解答】解：（1）由图1可得，
当0≤t≤30时，设市场的日销售量y＝kt，
∵点（30，60）在图象上，∴60＝30k，
∴k＝2，即y＝2t；
当30＜t≤40时，设市场的日销售量y＝k1t+b，
∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴
解得k1＝﹣6，b＝240．
∴y＝﹣6t+240．
综上可知，当0≤t≤30时，市场的日销售量y＝2t；
当30＜t≤40时，市场的日销售量y＝﹣6t+240．
（2）方法一：由图2得：
当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为z＝3t；
当20＜t≤40时，每件产品的日销售利润为z＝60．
∴当0≤t≤20时，产品的日销售利润z＝3t×2t＝6t2；
∴当t＝20时，产品的日销售利润z最大等于2400万元．
当20＜t≤30时，产品的日销售利润z＝60×2t＝120t．
∴当t＝30时，产品的日销售利润z最大等于3600万元；
当30＜t≤40时，产品的日销售利润z＝60×（﹣6t+240）；
∴当t＝30时，产品的日销售利润z最大等于3600万元．
综上可知，当t＝30天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
方法二：由图10知，当t＝30（天）时，市场的日销售量达到最大60万件；又由图11知，当t＝30（天）时产品的日销售利润达到最大60元/件，所以当t＝30（天）时，市场的日销售利润最大，最大值为3600万元．
13．【解答】解：（1）设y2＝kx+b，把点（10，4），（2，12）代入函数关系式得
解得
所以y2＝﹣x+14；
（2）当y1＝y2时
﹣0.5x+11＝﹣x+14
解得x＝6
即当销售价格为6元时，产量等于市场需求量；
（3）当y1≤y2，即2≤x≤6时，厂家所得利润为
w＝y1（x﹣2）＝（﹣0.5x+11）（ x﹣2）＝﹣0.5x2+12x﹣22
当y1＞y2，即6＜x≤10时，厂家所得利润为
w＝xy2﹣2y1＝x（﹣x+14）﹣2（﹣0.5x+11）＝﹣x2+15x﹣22
14．【解答】解：（1）由图1，设y＝kx（k≠0）．当x＝1时，y＝2，
解得k＝2
∴y＝2x（0≤x≤20）
（2）中的收益量y与反思时间x的函数关系必须分段：
由图2，当0≤x＜4时，设y＝a（x﹣4）2+16（a≠0），
由已知，当x＝0时，y＝0
∴0＝16a+16，
∴a＝﹣1
∴y＝﹣（x﹣4）2+16即y＝﹣x2+8x
当4≤x≤10时，y＝16．
因此，函数关系式为：
当0≤x＜4时，y＝﹣（x﹣4）2+16；
当4≤x≤10时，y＝16．
（3）设小迪用于回顾反思的时间为x（0≤x≤10）分钟，学习收益总量为y，
则她用于解题的时间为（20﹣x）分钟．
当0≤x＜4时，y＝﹣x2+8x+2（20﹣x）＝﹣（x﹣3）2+49
∵a＝﹣1＜0
∴函数有最大值，
当x＝3时，有最大值49；
当4≤x≤10时，y＝16+2（20﹣x）＝56﹣2x，y随x的增大而减小，
因此当x＝4时，有最大值48．
综合以上，当x＝3时，有最大值49，此时20﹣x＝17．
即小迪用于回顾反思的时间为3分钟，用于解题的时间为17分钟时，学习的总收益量最大．
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