江西省南昌市进贤县第二中学等多校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题(含详解)

江西省进贤县第二中学等多校联考2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．2与32的等比中项为（ ）
A．8 B．17 C． D．
2．函数在上的平均变化率为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
3．如图，直线l是曲线在点处的切线，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
4．若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．若数列满足，则（ ）
A．0 B． C．3 D．1
6．若函数，数列满足，则的前n项和（ ）
A． B．
C． D．
7．有一个宽为20厘米，高为60厘米的长方体容器如图所示，右侧面是一个活塞，容器中装有2000毫升的水，活塞的初始位置（距左侧面）为5厘米，水面高度为20厘米．当活塞位于距左侧面x厘米的位置时，水面高度为y厘米，则当时，水面高度y的瞬时变化率为（ ）
A． B． C．5 D．
8．曲线与曲线的公切线的斜率为（ ）
A．或 B．e或 C．1或e D．1或
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则下列函数在处的导数值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
10．记等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．是递增数列
11．已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．2是的一个正周期 D．2是的一个正周期
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 ．
13．古人通过圭表测日影长度来确定节气．一年之中，日影最长，白昼最短的一天被定为冬至；日影最短，白昼最长的一天被定为夏至；日影长度适中的为春分或秋分．具体来说，从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒，大寒、立春，雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列，例如冬至，立春的日影长之和为24.9尺，清明、谷雨的日影长之和为16.5尺，则谷雨的日影长为 尺．
14．小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，月利率为个月还清．
（1）已知从当年4月开始，后面每月的8日都还款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商品实际付款 元；
（2）若从当年4月开始，后面每月的8日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为 元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：）
四、解答题（本大题共5小题）
15．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知数列的前n项和满足为常数，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若直线是曲线的一条切线，求切点的坐标；
(3)设函数为曲线上任意一点，求曲线C在点P处的切线斜率的最小值．
18．对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”．
(1)若，求的值．
(2)设．
①求的通项公式；
②若数列满足，且的前n项和为，证明：．
19．已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
(1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列；
(2)求第3次操作取到红球的概率；
(3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和．
参考答案
1．【答案】C
【详解】设2与32的等比中项为，
则，所以.
故选C.
2．【答案】C
【详解】平均变化率为.
故选C
3．【答案】D
【详解】由图可知：直线l过点和，则直线l的斜率，
由导数的几何意义可得.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得，
所以不等式的解集为.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由条件可知，，，，，... ，
所以数列的周期为3，所以.
故选A.
6．【答案】A
【详解】因为，则，
又因为，可得，
可知数列是以首项，公比的等比数列，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】根据水的体积可得：，即，
则，令，可得，
所以水面高度y的瞬时变化率为.
故选B.
8．【答案】B
【详解】对于，则，
设切点为，则切线斜率，
可得切线方程为，即；
对于，则，
设切点为，则切线斜率，
可得切线方程为，即；
由题意可得，
由可得，
则，整理可得，解得或，
所以公切线斜率为或.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，设，，，故A正确；
对于B，设，，，故B正确；
对于C，设，，
所以，故C错误；
对于D，设，，
所以，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】，则，故A错误；
，故B正确；
，，得，所以的最小值为，故C正确；
由，，得，所以数列是递增数列，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】对于选项A：因为，求导可得，
令，则，即，故A错误；
对于选项B：因为，即，
又因为，则，
即，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于选项CD：因为，求导可得，
又因为，即，
可得，所以2是的一个正周期，故D正确；
由可得，
即，所以2是的一个正周期，故C正确；
故选BCD.
12．【答案】1
【详解】因为，则，
所以.
13．【答案】7.9
【详解】设冬至开始的十二个节气的日影长度依次为，公差为，
由题意可得，即，解得，
可得，即谷雨的日影长为7.9尺.
14．【答案】 2340
【详解】（1）设第n个月付款元，则，
所以购买这件商品实际付款，
所以购买这件商品实际付款元；
（2）设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息增值为元.
则，
可得，
整理可得，
所以每月还款金额为元.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），；
（2），
（3），.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件可知，，得，
即，当时，，得，
当时，，
所以，
得，
当时，成立，
所以；
（2）因为，
所以，
，
，
，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为.
（2）切线即为，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，即，
可得，消去可得，
且，则，可得，，
所以切点坐标为.
（3）由（1）可知：，，
构建，
可知的定义域为，且，
可得曲线C在点P处的切线斜率
当且仅当，时，等号成立，
所以曲线C在点P处的切线斜率的最小值为.
18．【答案】(1)
(2)①；②证明见详解
【详解】（1）由题意可设：，则，
若，则，
且，可得，
所以.
（2）①由（1）可得，
若，则，
且，可得，
所以的通项公式；
②因为，即，
则，
可得，
所以.
19．【答案】(1)
1 3
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，
的所有可能取值为1,3，
,
故的分布列为
1 3
（2）由题意，
（方法一）设事件表示第次取到红球，
则
（方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为．
（3）由题意及（1）（2）得，
设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为．
由操作规则可知，
当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球，
当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球，
即，其中．
因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
故．
即