山西省2024-2025学年高二下学期4月份期中调研测试数学试题(含详解)

山西20242025学年高二年级4月份期中调研测试
数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.6位老师去3所不同的学校参观学习，每位老师可自由选择去其中的1所学校，则不同选择的种数为（ ）
A. B. C.18 D.9
2.设的导函数为，曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知某种零件的尺寸（单位：mm）在内的为合格品.某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A.910 B.940 C.960 D.970
4.设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（ ）
A.4 B.5 C.16 D.17
5.小明射击三次，每次射中的概率均为，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得0分，若射击三次后总得分为，则（ ）
A. B.12 C.15 D.18
6.某高校就业指导小组计划安排甲、乙等6人去4家不同的公司进行实习工作，每家公司至少安排1人，每人只去一家公司，则甲、乙去同一家公司的不同安排方法总数为（ ）
A.180 B.240 C.360 D.480
7.已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）.若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A.各项系数之和为1 B.二项式系数的和为6
C.常数项为60 D.的系数为-160
10.已知函数，其导函数为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.在区间上单调递减
C.无最大值，有最小值
D.若函数有两个零点，则
11.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含3题.规定答对一题得10分，答错不得分.若答对一题，则答对下一题的概率为；若答错一题，则答对下一题的概率为，若同学答对第1题的概率，则下列说法正确的是（ ）
A.“同学答对第1题”和“同学答错第1题”是互斥事件
B.若同学答错第1题，则同学得20分的概率为
C.若同学答对第1题，则同学答对第3题的概率为
D.“同学答对第1题”与“同学答对第3题”相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为_____.
13.设为首项不为0的等差数列的前项和，若，则_____.
14.已知，则_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大.
（1）求展开式中第3项的系数；
（2）求该展开式中系数最大的项.
16.（15分）
袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球.现从袋子中一次性摸出3个球.
（1）求摸出的红球个数多于黄球的概率；
（2）记摸出黄球的个数为，求的分布列及数学期望.
17.（15分）
已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18.（17分）
暑假来临之际，某校组织学生去敬老院进行慰问演出，计划表演合唱和跳舞两个节目，据统计，该校的学生只表演合唱，另外的学生既表演合唱又表演跳舞，每位学生若只表演合唱，则记1分；若既表演合唱又表演跳舞，则记2分.假设每位学生是否表演跳舞相互独立，视频率为概率.
（1）从该校学生中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望及方差；
（2）从该校学生中随机抽取若干人，在总得分为4的条件下，求抽取了3人的概率；
（3）从该校学生中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为，求数列的通项公式.
19.（17分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，是的两个极值点.
①求的取值范围；
②证明：.
山西2024~2025学年高二年级4月份期中调研测试 数学
参考答案、解析及评分细则
1.A根据分步乘法计数原理，可知每人的选择均有3种，故不同选择的种数为.
2.C由题知曲线在点处的切线的斜率为，所以.
3.B由零件的尺寸服从正态分布，且，得，所以该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数估计为.
4.B因为，所以，所以.
5.D设小明射中的次数为，则由题意可知，则，，因为射中一次得5分，没射中得0分，所以，则.
6.B将这6名成员分成四组，再分配到不同的公司，若成员人数为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为种；若成员人数为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为种，故不同的安排方法共有种.
7.D令，则.令，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增，且.结合以上结果，可得函数在上单调递增，则解得或.
8.D比四局，甲赢的概率为；比五局，甲第五局赢，甲赢的概率为；比六局，甲第六局赢，甲赢的概率为；比七局，甲第七局赢，甲赢的概率为，所以甲赢的概率为，所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为.
9.ACD令，则各项系数的和为，A正确；二项式系数的和为，B错误；展开式的通项为，令，得，所以常数项为，C正确；令，得，所以的系数为，D正确.
10.AC，，A正确；当或时，，单调递增；当时，，单调递减，B错误；作出的大致图象如图所示，知无最大值，有最小值，正确；又，，所以函数有两个零点，则或，D错误.
11.AC事件“同学答对第1题”与“同学答错第1题”不可能同时发生，所以是互斥事件，正确；
若同学答错第1题，设事件“第题答题正确”，，则事件“同学得20分”即事件，由概率乘法公式得，，B错误；
若同学答对第1题，设事件“第题答题正确”，“第题答题错误”，.则由全概率公式得，，C正确；
由C项知；若同学答对了第1题，设事件“第题答题正确”，“第题答题错误”，，由全概率公式可得，即；所以，即第1题回答是否正确对第3题答题正确的概率有影响，故“同学答对了第1题”与“同学答对第3题”不相互独立，D错误.
12.72先将除甲、乙外的3人排列，有种排法；再将甲、乙两人插空，有种排法，综上共有种不同排法.
13.2由得，，所以，故.
14.6075对等式两侧同时求导得，，令，得.
15.解：（1）由题意可知，解得，……3分
故展开式的通项为，……4分
令，则第3项的系数为.……6分
（2）法一：设第项的系数最大，则……9分
即解得.……12分
因为，所以，所以展开式中的系数最大的项为.……13分
法二：由（1）知展开式的通项为.
则第1，2，…，7项系数分别为1，24，60，160，240，192，64，……11分
所以展开式中系数最大的是第5项，即.……13分
16.解：（1）由题意可知，从7个球中取3个球，基本事件总数.……2分
设事件表示“取出的红球个数多于黄球”，表示“恰好取出3个红球”，表示“恰好取出2个红球1个黄球”，则，彼此互斥，且，，，……5分
所以摸出的红球个数多于黄球的概率.……7分
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，……8分
则，，，，……12分
所以的分布列为
Y 0 1 2 3
所以.……15分
17.解：（1）由，得，……1分
则当时，，……4分
所以.……6分
又时，满足，
所以.……7分
（2）由（1）知.……8分
设①，……9分
则②，……10分
①-②得：，……12分
所以，……13分
所以.……15分
18.解：（1）X的可能取值为2，3，4，
可得，，.……3分
所以的分布列如下表所示：
2 3 4
所以.……5分
.……7分
（2）设“总得分为4”为事件，“抽取了3人”为事件，
则，，……9分
所以在总得分为4的条件下，抽取了3人的概率为.……11分
（3）由题意可知，……12分
其中，……13分
所以，
又，所以是首项为1的常数列，故，……15分
所以，又，
所以是以首项为，公比为的等比数列，……16分
故，即.……17分
19.（1）解：，.……1分
若，则，此时函数在上单调递增；……2分
若，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.……3分
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.……4分
（2）①解：由题知，则.
令，则，函数存在两个零点，
令，得；令，得，
所以在上单调递减；在上单调递增，
所以，解得.……6分
由，令，求导可得，
令，得；令，得，
所以在上单调递减；在上单调递增，
所以，则.……8分
由，则当时，函数存在两个零点，
所以的取值范围为.……10分
②证明：由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根为，，由①不妨设，
令，
求导可得，由，当且仅当时取等号，则，
所以函数在上单调递增，由，则当时，可得，
由，且函数在上单调递减，得，即；……12分
由当时，，则函数在上单调递减，
由，则，所以，……13分
要证，只需证，
由，则令，
求导可得，令，则，……15分
所以函数在上单调递增，则当时，，即，
所以函数在上单调递增，则当时，，……16分
所以不等式在上恒成立，可得.
综上所述，.……17分