山西省太原市2024-2025学年高二下学期期中学业诊断数学试题(含详解)

山西省太原市2024 2025学年高二下学期期中学业诊断数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．等差数列中，，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．等比数列中，，，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
4．函数的极小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的单调递减区间是（ ）
A．和 B．和 C． D．
7．已知等差数列的前n项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．的极小值为-4
C．有三个零点 D．的对称中心为（1，-2）
10．已知数列满足，，是的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A．是等比数列 B．
C． D．
11．已知等比数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的单调递增区间为 ．
13．已知数列的前项和为，，则 .
14．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求的值域.
16．已知数列的前项和为，且满足.
(1)求的通项公式；
(2)在等差数列中，，，求数列的前n项和.
17．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围.
18．已知数列的前项积为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意，恒成立，求实数的最大值.
19．已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若在上有零点，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由等差数列的性质可知：，又，
所以，
故选B.
2．【答案】C
【详解】由题设，则.
故选C.
3．【答案】D
【详解】若数列的公比为，则，故.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由题设，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以函数的极小值为.
故选A.
5．【答案】D
【详解】由题设，若的公比为，则，，
所以，则.
故选D.
6．【答案】C
【详解】由题设且，
当，则，在上单调递减，
当，则，在上单调递增，
所以单调递减区间是.
故选C.
7．【答案】C
【详解】令的公差为，又，则，即，
由的公差为1，且，则，
所以，又，故，
所以，则，故，故、，A、B错；
，则、，C对、D错.
故选C.
8．【答案】D
【详解】令，则，即在R上单调递减，
所以，则，，，，
由，则，
所以，，，.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】由，
可得：，
由，可得：或，
由，可得，
所以在和单调递增，在单调递减，A错，
在处取到极小值，B对，
在取得极大值，结合单调性可知有两个零点，C错，
又，
所以的对称中心为，D对，
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】由题设，且，则是首项、公比均为2的等比数列，
所以，则，故，A对，B错；
由，则，C对；
由，
所以，D对.
故选ACD.
11．【答案】ACD
【详解】令的公比为，则，，故，
所以，令且，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
若时，而，矛盾！所以，
对于且，则，即在上单调递增，
所以，则在上恒成立，
故，所以，A对；
由且，则，，C、D对；
当，，则，
所以，即，B错.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】函数f（x）＝ex﹣x的导数为f′（x）＝ex﹣1，
由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得x＞0.
13．【答案】30
【详解】由题设.
14．【答案】
【详解】由，
可得：，
即，
构造函数，易知单调递增，
所以，
等价于在恒成立，
即在恒成立，
构造函数，
，易得时，，
时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围是.
15．【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）由题设，
当或，，则在、上单调递增，
当，，则在上单调递减，
所以的增区间为、，减区间为；
（2）由（1）知，在、上单调递增，在上单调递减，
且，，，，
所以时，的值域为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①，当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，即，
故为首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，，，
设的公差为，则，解得，
所以，，
故，
所以，
两式相减得，
所以.
17．【答案】(1)答案见解析；
(2)或.
【详解】（1）由题设，
当或，，在、上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以极大值为，极小值为.
（2）由时，趋向于，时，趋向于，且，
结合（2）知，在上，且，

要使函数恰有两个零点，则或.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）当，则，故，所以，
由，故，可得，
由，则，
所以是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得，则，故，
所以，
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以；
（3）由（2）得，原不等式等价于，
令，，
则，
故，即，
所以在上单调递增，故，即实数的最大值.
19．【答案】(1)
(2)1
(3)1
【详解】（1）当时，，，
则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程，
即；
（2）
①当时，即时，
易知的解集为，，的解集为，
所以在，单调递增，在单调递减；
②当时，即，恒成立，
所以在上单调递增；
③当时，即，
易知的解集为，，的解集为，
所以在，单调递增，在单调递减；
④当，即时，
由可得：，由，可得：，
所以在单调递增，在单调递减；
综上：时，在，单调递增，在单调递减；
时，在上单调递增；
时，在，单调递增，在单调递减；
时，在单调递增，在单调递减；
（3）由（2）得当时，在上递增，，此时在上无零点，不合题意；
当时，在上递减，在上递增，，取时，
证明不等式，，
设，，则，，
设，，则，
则在上单调递增，则，即在上恒成立，
则在上单调递增，则，即，，
用替换得，
则，
，
，
，使得符合题意；
综上，的取值范围为．