山西省阳泉市第一中学校2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题（含答案）

阳泉一中2024-2025学年第二学期高二年级期中考试试题
数学
考试时长： 120 分钟 总分： 150 分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．2
2. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.29 B. 0.71 C. 0.79 D. 0.855
3. 变量x，y具有线性相关关系，根据下表数据，利用最小二乘法可以得到其回归直线方程，则=（ ）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 2.5
4. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ）
A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种
5. 已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列有关排列数、组合数的等式中，不正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. 1 C. D.
8. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）．
A． B． C．0 D．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量~，则．
B. 若随机变量的方差，则．
C. 若，，，则事件与事件独立．
D. 若随机变量服从正态分布，若，则．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 精确到0.01的近似值为0.85
D. 除以15的余数为3
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题.写出该命题的否定 ．
13. 在的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）
14. 如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为_________.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（12分）已知或．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.（15分） 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2∶1．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的二项式系数；（用数字作答）
17. （15分）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
（1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
（2）在该三人小组获得“团体奖”条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
18.（17分） 某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置A，B，C三道题目．已知该同学答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的．
（1）求该同学所有题目都答对的概率；
（2）设该同学答对题目总数为X，求随机变量X的分布列与数学期望；
（3）若答对，，三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率．
19.（18分） 近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物 38 60 98
不养宠物 62 40 102
合计 100 100 200
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联．
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性．
阳泉一中2024-2025学年第二学期高二年级期中考试试题
数学
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B C C A C D A BCD ACD AC
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题.写出该命题的否定 ．
【答案】，使得
13. 在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）
解：由题设，，
当时，常数项为.
14. 如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为_________.
解：使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法；
使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法；
（使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色；
②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色）
使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法．
所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知或．
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
16. 在的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2∶1．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项的二项式系数；（用数字作答）
解：（1）由题意可得， 即，
即，故；
（2），
其展开式的通项公式，，
令，解得，
故展开式中含的项的二项式系数为；
17. 甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
（1）求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
（2）在该三人小组获得“团体奖”条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
解：（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”，
则，.
甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，
所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于.
故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为.
（2）由题意得.
事件“三人小组获得团体奖”，
则
.
甲乙丙同时通关的概率.
所以.
故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为.
18. 某同学参加冬奥会知识有奖问答竞赛，竞赛共设置A，B，C三道题目．已知该同学答对题的概率为，答对题的概率为，答对题的概率为．假设他回答每道题目正确与否是相互独立的．
（1）求该同学所有题目都答对的概率；
（2）设该同学答对题目总数为X，求随机变量X的分布列与数学期望；
（3）若答对，，三题分别得1分，2分，3分，答错均不得分，求该同学总分为3分的概率．
解：（1）该同学所有题目都答对的概率为，
（2）由题意可得：可能的取值为，
，
，
所以X的分布列为：
，
（3）该同学总分为分得情况为：只答对或只答对，
所以该同学总分为3分的概率：.
19. 近年来，宠物逐渐成为人们的精神寄托，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为．
（1）把频率作为概率，从中国家庭中随机取4户，求这4户中至少有3户养宠物的概率；
（2）随机抽取200名成年人，得到如下列联表：
成年男性 成年女性 合计
养宠物 38 60 98
不养宠物 62 40 102
合计 100 100 200
是否有的把握认为是否养宠物与性别有关？
（3）记2018-2023年年份代码依次为1，2，3，4，5，6，中国宠物经济产业年规模为（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得关于的回归方程为，且．求相关系数，并判断该回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，时有99%的把握认为变量有关联．
回归方程，其中，，相关系数，若，则认为与有较强的相关性．
解：（1）由题意得4户中至少有3户养宠物的概率为．
（2）因为，
所以有的把握认为是否养宠物与性别有关联．
（3）由的取值依次为，得，
因为回归方程为，
所以，
所以，
所以．
因为，所以与有较强的相关性，该回归方程有价值．