陕西省安康市2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷(含详解)

陕西省安康市2024 2025学年高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设数列的前项积，则（ ）
A． B． C． D．
2．“杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．15
3．某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．是的极大值点
C．当时， D．在区间上单调递减
5．已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在处取得极大值，则（ ）
A．0 B．12 C．16 D．96
7．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ）
A．15种 B．28种 C．31种 D．63种
8．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ）
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
10．设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ）
A．的实轴长为
B．
C．若，则直线的斜率为
D．若，则
11．已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．
B．
C．和均为等比数列
D．除以3的余数为1
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点处的切线方程为 .
13．已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为 .
14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为 ，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为
四、解答题（本大题共5小题）
15．求二项展开式中的特定项或指定项的系数
(1)在的展开式中，求的系数．
(2)的展开式中，求的系数．
16．设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，.
(1)求的方程；
(2)记点.
（ⅰ）求点到直线距离的最大值；
（ⅱ）当时，求的面积.
17．已知正项数列的前项和满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，.
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.
19．记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点.
(1)若，求的广义反曲点；
(2)已知函数有三个广义反曲点：
（ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数；
（ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线.
参考答案
1．【答案】A
【详解】数列的前项积，即；
所以，当时，，符合上式，
当时， ，
由题意可得.
故选A.
2．【答案】B
【详解】由杨辉三角知：第1行：，，
第2行：，，，
第3行：，，，，
第4行：，，，，，
由此可得第行，第个数为，
所以第9行第9个数是.
故选B.
3．【答案】D
【详解】设最长步道为，由题意可得，则.
故选D.
4．【答案】C
【详解】
根据上面导函数图象，可知：在区间上大于零，所以在区间上单调递增，故A正确；
由图可知，且在左边附近是大于零，在右边附近是小于零，
即可判断在左边附近是单调递增，在右边附近是单调递减，
所以在时取到极大值，故B正确；
由图可知当时，，故C错误；
由图可判断时，，故在区间上单调递减，故D正确；
故选C.
5．【答案】C
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选C
6．【答案】A
【详解】因为，
由题意，所以或，
经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此.
故选A.
7．【答案】C
【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，
所以满足条件的去法数为种；
若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有种；
故该宿舍同学的去法共有种．
故选C.
8．【答案】D
【详解】因为，所以为奇函数，
又，故在上单调递增，
由，得，所以，
若，，即，只需，
令，由对勾函数的性质可知在上单调递增，
故，故.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，
与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误；
若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，
《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，
故共有种观看顺序，故B正确；
若将6部电影每2部一组随机分为3组，
则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，
故分组方式为，故C错误；
若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组，
按1和5，有种分组方式；
按2和4，有种分组方式；
按3和3，有种分组方式，
所以共有31种分组方式，故D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】设为双曲线的半焦距，则2，
由，即，所以的实轴长为，故A正确；
由于关于原点中心对称，关于原点中心对称，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以，故B正确；
由，解得，所以，
所以直线斜率即直线斜率，，故C错误；
由，，可得，，
则，所以，
又，所以，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】对于A，令可得，令可得，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
故，故B错误；
对于C，由题意可得，所以数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，①，同理可得，
所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确；
对于D，①-②得.所以，，
因为展开后最后一项为-1，其余各项均能被9整除，所以能被3整除，故D错误.
故选AC.
12．【答案】（或）
【详解】易得，，故曲线在点处的切线方程为.
13．【答案】11
【详解】由等差数列的定义可得，则，
所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11.
14．【答案】 /
【详解】由题意可得的离心率为，
不妨记点在轴上方，则，
由可知，解得，，
故可知点到直线的距离，
设，则，由余弦定理知，
即，解得，
故，所以，故，
设则故，
即，解得，
故，，
在中，利用正弦定理得，代入数据得.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中的系数为.
（2）解：由，
要使得含有项，可得，
其中中含的项为，
所以的系数为．
16．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）显然，当轴时，，
联立，得到，即或，
于是，解得，
故的方程为.
（2）（ⅰ），不妨设，即.
点到的距离，取等条件：，
故点到距离的最大值为.
（ⅱ）设，，联立，
有，于是，，
，得到，
故此时点到的距离，
故的面积.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对于正项数列，令得，解得，
即可得，，
两式相减得到，
即，
故，于是是常数列，
可得，
故．
（2）由（1）可得，
故，
，
两式相减得到
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）平面平面，
，
平面，
平面，
又平面，
，
又平面
平面，
又平面；
（2）由（1）可知，又，
，底面为菱形，为的中点，
是等边三角形，
由（1）知，
所以四棱锥的体积.
，
如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，
平面法向量为，
设平面法向量为，
则
令，则
为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为
故平面与平面的夹角为
19．【答案】(1)
(2)（ⅰ）有三个；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1），
记，则，
所以，
又，所以的广义反曲点是.
（2）（ⅰ），
记，，
记，
设的广义反曲点的横坐标分别为，则是的全部零点.
同理，设，则，
记，若是的广义反曲点的横坐标，则.
由，
所以，，是的全部零点，
所以的广义反曲点有三个.
（ⅱ）由题意可转化为证明，，使得，
即证，，使得是方程的解，
即方程有三个解.
由，
所以，
即，
由解得，
代入成立，所以满足条件，
即的三个广义反曲点共直线.