陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二下学期第二次质量检测数学试卷(含详解)

陕西省咸阳市实验中学2024 2025学年高二下学期第二次质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（ ）
A． B．
C． D．
4．若数列满足，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（ ）
A．715种 B．572种 C．312种 D．286种
6．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
7．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．设正方体的棱长为为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．设与所成的角为，则的最大值为
D．当棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为
10．有五名志愿者参加社区服务，共服务周六 周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（ ）
A．只有1人未参加服务的选择种数是30种
B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种
C．只有1人未参加服务的选择种数是60种
D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种
11．设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．用数字0 2 5 7四个数可以组成 个无重复数字的三位数．
13．展开式中的项的系数为 ．（用数字作答）
14．设函数，若存在，使得在上的值域为，则实数的取值范围为
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项式，且．
(1)求的展开式中的第5项；
(2)求的二项式系数最大的项．
16．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
(1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
(2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
17．已知数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
18．如图，、、为圆锥的三条母线，．
(1)证明：；
(2)若圆锥的侧面积为，为底面直径，，求二面角的余弦值．
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】，所以，
故选C.
2．【答案】C
【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间(0,2)上单调递增，即当时, ;当x∈(0,2)时, .
因为可化为或，解得：0所以不等式的解集为.
故选C.
3．【答案】D
【详解】设椭圆焦距为，
则，则，所以椭圆的左焦点为，
所以双曲线的左顶点为，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线为.
故选D.
4．【答案】A
【详解】因为，，
所以，
，
，
，…，
可得，
则．
故选A.
5．【答案】D
【详解】本题可转化为将14个大小相同，质地均匀的小球分给甲，乙，丙，丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙（两端除外）当中插入3个隔板，可得分配的方案数为，所以不同的分配方法有286种．
故选D.
6．【答案】A
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，则，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，故.
故选A.
7．【答案】C
【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，
共有种分配方法；
若名志愿者以形式分为四个服务小组，
共有种分配方法.
故共有种分配方法.
故选C.
8．【答案】C
【详解】函数的定义域为，当时，恒成立，
即，构造函数，则，
所以，函数在区间上为增函数，
则对任意的恒成立，，
令，其中，则.
，所以函数在上单调递减；
又，所以.
因此，实数的取值范围是.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】如图（1），当点与重合时，与所成的角是.故错误.
如图（2），易证平面平面，平面，所以平面，故B正确.
如图（3），因为，所以与所成的角为.
因为平面，所以，所以，
当点与（或重合时最大，此时最大，易得.故C正确.
如图（3），因为，所以当点与重合时三棱锥体积最大，
此时三棱锥的外接球即为正方体的外接球.设外接球半径为，则，
所以，所以该三棱锥外接球的表面积为.故D正确.
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，
再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，
故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；
恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六 周天两天，有种选法，
再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，
故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，
故选AD
11．【答案】ACD
【详解】的展开式的通项为，所以，故选项A正确；
又，从而的展开式中的系数为，故选项错误；
令，得，
令，得，
两式相减得，所以，故选项C正确；
令得，故选项D正确；
故选ACD.
12．【答案】18
【详解】依题意，由数字0 2 5 7组成无重复数字的三位数，
百位有3种选择，十位有3种选择，个位还有2种选择，
由分步乘法计数原理，可得所求三位数有个.
13．【答案】
【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用，
该项为，所以展开式中的项的系数为.
14．【答案】
【详解】由题可得：，当时，，所以在上单调递增，
若存在，使得在上的值域为，则，即在上有两解，
令，，则，
当时，，当时，，，
故在上单调递增，在上单调递减，且，，，

所以要使在上有两解，则.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，即，解得或（舍去）．
的二项式通项为，
当时，，所以的展开式中第5项为．
（2）因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，
，所以的二项式系数最大的项是．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法．
再插空排甲、乙．有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有种．
（2）满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法．
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法．
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题得，所以当时，，得，
当时，，两式作差得，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）由（1）得.
所以.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接、，
因为，为的中点，所以，
因为、均是圆锥的母线，所以，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）设圆锥的母线长为，底面半径为，则，所以．
因为，所以，
因为为底面直径，为底面圆周上一点，，则，
由勾股定理可得，所以．
因为，，，所以，所以，，
过点在平面内作，垂足为点，连接，
因为，，，所以，则，
所以，即，所以即为二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以，则，
在中，.
因此，二面角的余弦值为.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，则，
若时，则，，
即切点坐标为，切线斜率，
∴切线方程为，即.
（2）∵，即，
整理得，
故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，
构建，则，
注意到，则，
构建，则在上单调递增，且，
故在内存在唯一的零点，
可得当，则；当，则；
即当，则；当，则；
故在上单调递减，上单调递增，则，
又∵为的零点，则，可得且，
∴，
即在上的最小值为0，
故实数的取值范围.