四川省阆中中学校2024-2025学年高二下学期4月期中学习质量检测数学试题（含答案）

阆中中学校2025年春高2023级期中学习质量检测
数 学 试 题
（满分：150分 时间：150分钟 ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出4个选项中，只有一
个选项符合题目要求.
1． 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2． 若等比数列满足，．则数列的公比q等于（ ）
A．或 B．或 C． D．
3． 已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（ ）
A．和是函数的两个零点
B．函数的单调递增区间为
C．函数在处取得极小值，在处取得极大值
D．函数的最大值为，最小值为
4． 记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21 B. 18 C. 15 D. 12
5． 已知函数的单调递增区间为，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（ ）
B． C． D．
7． 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题，其中正确的
是（ ）
A． B．
C． D．数列中的最大项为
8． 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若
方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发
现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图象的对称中心．若函数，则（ ）
的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9． 已知函数，则（ ）
A．在上单调递增
B．在处有极大值
C．若在上不单调，则
D．若在区间 上有最小值，则
10．下列选项正确的是（ ）
A．已知数列的前n项和．则该数列的通项公式为．
B．若数列是等差数列，则为等差数列
C．已知数列是等比数列，，，令，
则
D．若数列的通项公式为，则当时，取得最大值.
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．
C．对任意两个正实数，且，若，则
D．若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数的图象在点处的切线方程为 ．
13．已知数列满足，，则数列的通项公式
为 ．
14．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，
规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两
种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，
，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，
则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么
.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求证：数列的前项和.
16．（15分）在数列中，已知.
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前项和.
17．（15分）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，
，平面，且.
（1）求证：平面；
（2）与平面所成角的正弦值.
18．（17分）已知函数，．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）若且时，求证．
19．（17分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）证明：．
阆中中学校2025年春高2023级期中学习质量检测
数学参考答案及评分标准
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A C D B B
二、多选题
9 10 11
ACD BCD ABD
三、填空题
12. 13. 14. 5 ,
四、解答题
15. 解：（1）由题意可知，
等差数列的公差为..............................................2分
所以，..........................................................4分
又所以.........................................................6分
（2）因为..........................................................9分
所以..............................11分
.............................................................................13分
16．解：（1）因为........................................................................1分
且
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列....................................6分
（2）由（1）知：.............................................................8分
所以...................................................................................10分
所以
....................................15分
17. 解：（1）因为四边形是正方形，所以，
又平面 ，平面，
所以平面，
因为四边形是梯形，所以，
又平面 ，平面，
所以平面，
又，平面，
故平面平面，
又因为平面，
所以平面.......................................................................................6分
（2）因为，平面，平面，
所以，即两两垂直，故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则有，，， .................................................9分
所以 ，， .......................................11分
设平面的一个法向量，则有：
，
令，则，所以....................................................13分
设与平面所成角为，则
所以与平面所成角的正弦值为..................................................15分
其他解法酌情给分
18．解：（1）函数，定义域为，，
时，，时，，
有极小值，无极大值.....................................................4分
（2）函数的定义域为
求导得.......................................................................5分
当时，恒成立，函数在上单调递增..........................7分
当时，由，得；由，得
函数在上单调递减，在上单调递增....................................9分
所以当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增................10分
（3）当时，，
不等式，
令函数，依题意，，恒成立，
求导得，...........................12分
令，求导得，函数在上单调递增，
而，
则存在，使，即，此时，..................14分
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
由，得，
则，得证...............................................................17分
其他解法酌情给分
18. 解：（1）当时，，
则．
由，得．
令，解得；令，解得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．........................4分
（3）因为，恒成立，
所以恒成立．
令，则．......................................6分
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
又，所以，即．................................7分
所以时，，
所以在区间上单调递减，......................................................8分
故，所以，
综上，实数的取值范围为．...................................................10分
（4）证明：由（2）知，取，当时，，
所以．..........................................................................11分
设，则满足，.........................................13分
所以，
即，
所以，..........................................................15分
所以，
即．..................................................17分