第1讲 机械振动
情境导思 摆钟是一种时钟,是根据单摆原理制造的,用摆锤控制其他机件,使钟走得快慢均匀。 (1)单摆的周期与摆锤的质量有关吗 (2)钟摆做的是什么运动
[footnoteRef:1] [1:
1.一个单摆做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示,则( )
[A] 此单摆的固有周期约为0.5 s
[B] 此单摆的摆长约为1 m
[C] 若摆长增大,单摆固有频率增大
[D] 若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
【答案】 B
2.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)(多选)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向,振子的位移x随时间t变化的正弦曲线如图乙所示,弹簧的劲度系数为2 N/m,下列说法正确的是( )
[A] t=2 s时,振子的加速度为零
[B] 振子在t=0.1 s时和t=0.3 s时速度相同
[C] t=1.8 s时,回复力大小为0.4 N
[D] 0~1.8 s时间内,振子运动的路程为1.8 m
【答案】 ACD]
【答案】 平衡位置 回复力 平衡位置 平衡位置 效果 合力
分力 -kx Asin(ωt+φ) 初相 Asin ωt Acos ωt 驱动力
驱动力 无关 固有频率 等于 振幅
考点一 简谐运动的基本特征
(1)如图甲所示在光滑水平面上,两根轻弹簧劲度系数分别为k1、k2,中间连接一滑块,开始两弹簧均处于原长状态,现在使滑块向右移动位移x,由静止释放后滑块做简谐运动,什么力提供其做简谐运动的回复力 导出其表达式。
甲
提示:两弹簧弹力的合力提供滑块做简谐运动的回复力。设向右为正方向,回复力F=-(k1+k2)x,k1、k2为常数,则F=-kx。
(2)如图乙所示,在水平面上有一小物块与左端固定的轻质弹簧相连,弹簧处于原长时小物块位于O点。现将小物块拉至N点,释放后小物块做往复运动。小物块和水平面间各处的动摩擦因数相同,则小物块的往复运动过程是不是简谐运动 只看向左或向右运动的单一过程,其运动规律是否符合简谐运动规律 小物块第一次向左运动的过程和第一次向右运动的过程所用时间有什么关系
乙
提示:小物块由于受到摩擦阻力的作用,振幅越来越小,故其往复运动过程不是简谐运动。只看向左或向右运动的单一过程,小物块在弹簧弹力和恒定的滑动摩擦力作用下运动,符合简谐运动规律。根据弹簧振子的周期决定因素可知,周期与振幅无关,故小物块第一次向左运动过程和第一次向右运动过程所用时间相等,均为半个周期。
1.简谐运动的基本特征
受力 特点 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动 特点 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周 期 性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对 称 性 (1)如图所示,做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′。 (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。 (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
2.两种典型模型
模型 弹簧振子 单摆
示 意 图
简谐 运动 条件 (1)弹簧质量可忽略。 (2)无摩擦等阻力。 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线。 (2)无空气阻力。 (3)摆角小于或等于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡 位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T=2π
能量 转化 弹性势能与动能的相互转化,系统的机械能守恒 重力势能与动能的相互转化,摆球的机械能守恒
3.几种简谐运动常见模型
模型 图示 回复力来源
弹簧振子模型(竖直面振动) 物体所受重力与弹簧弹力的合力
弹簧振子模型(光滑斜面振动) 物体所受重力沿斜面的分力与弹簧弹力的合力
连接体模型(M在光滑水平面振动) 物体M对m的摩擦力提供m的回复力
类单摆模型(光滑弧面小弧度振动) 小球所受重力沿圆弧切线方向的分力
鱼漂模型(竖直面振动) 物体所受重力与水对物体浮力的合力
[例1] 【简谐运动基本物理量的分析】 如图所示,物块在光滑水平面B、C之间做简谐运动,当物块位于O点时,弹簧处于原长,在物块从C运动到O的过程中( )
[A] 动能不断增大,加速度不断减小
[B] 回复力不断增大,系统机械能守恒
[C] 弹性势能不断减小,加速度不断增大
[D] 弹性势能不断增大,加速度不断减小
【答案】 A
【解析】 做简谐运动的物块,从C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力,也指向平衡位置,故速度方向与弹力方向相同,所以弹力做正功,动能增大;由于偏离平衡位置的位移不断减小,由回复力公式F=-kx可知,回复力不断减小,根据牛顿第二定律可知F=-kx=ma,故加速度不断减小;整个系统只有系统内的弹力做功,故系统的机械能守恒;在小球从C到O的过程中,弹簧形变量不断减小,故弹性势能不断减小,故A正确,B、C、D错误。
[变式] 【振子质量变化时对简谐运动各物理量的影响】 如图所示,在[例1]中,当振子运动到最大位移C处时,在小物块上放上一同样的小物块共同做简谐运动,则振子的周期、振幅、最大动能和最大速度以及系统的最大势能、机械能都会发生什么变化
【答案】 见解析
【解析】 弹簧振子做简谐运动的周期T=2π,若在小物块上放上一同样的小物块共同做简谐运动,振子质量增大,周期变大。根据机械能守恒定律,系统机械能等于最大位移时的弹性势能,放上另一小物块弹簧的最大长度不变,系统最大弹性势能不变,系统机械能不变,振子振幅不变,振子的最大动能等于系统最大弹性势能,所以振子的最大动能不变,由于振子质量增大,振子的最大速度v=将变小。
[例2] 【简谐运动的证明】 (2024·河北邯郸三模)已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示,在地球北纬60°的A处凿开一个穿过地轴的直线隧道,直通北纬60°的B处,假设隧道光滑,现将一个质量为m的物体在A处无初速度释放,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,不考虑地球自转。下列说法正确的是( )
[A] 物体在隧道内做匀变速直线运动
[B] 刚释放时物体的加速度大小为
[C] 物体在隧道内的最大速度为
[D] 物体从A点运动到B点的时间为2π
【答案】 B
【解析】 如图所示,
设地球密度为ρ,在地球表面有G=mg,所以g===,设物体运动过程中距离地心为r,则G=mg′,所以g′==g,设物体运动过程中与地心的连线与OC的夹角为θ,物体到C点的距离为x,则 sin θ=,则mg′sin θ=ma=F,所以物体所受万有引力沿隧道方向的分力为F=x=x=kx,即F与x成正比,
物体在隧道内做简谐运动,故A错误;刚释放时物体所受万有引力沿隧道方向的分力大小为F1==,故物体的加速度大小为a==,故B正确;由以上分析可知,当物体运动到C点时,加速度为零,速度达到最大,根据动能定理可得·=m-0,解得vm=,故C错误;由简谐运动的知识可知,物体从A运动到B的时间是周期T的一半,即t=,T=2π,k=,所以t==π,故D错误。
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.利用振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性和周期性在图像中的特点(如图)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
(2)相隔Δt=(n+)T(n=0,1,2,…)的两个时刻,弹簧振子的位置关于平衡位置对称,位移等大反向(或都为零),速度也等大反向(或都为零)。
[例3] 【简谐运动的图像分析】 某简谐运动的y-t图像如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] 振幅为2 cm
[B] 频率为2.5 Hz
[C] 0.1 s时速度为零
[D] 0.2 s时加速度方向沿y轴负方向
【答案】 B
【解析】 根据题图可知,振幅为1 cm,周期为T=0.4 s,则频率为f== Hz=2.5 Hz,故A错误,B正确;根据题图可知,0.1 s时质点处于平衡位置,此时速度最大,故C错误;根据题图可知,0.2 s时质点处于负向最大位移处,则此时加速度方向沿y轴正方向,故D错误。
简谐运动图像问题的分析方法
解决简谐运动图像问题时,首先要理解x-t图像的意义,其次要把x-t图像与质点的实际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等),图像上的一段曲线对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
[例4] 【简谐运动的表达式】 (2024·四川成都开学考试)如图甲,水平弹簧振子的平衡位置为O点,振子在B、C两点之间做简谐运动,规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是( )
[A] 振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动
[B] 图乙中的P点时刻,振子的速度沿正方向
[C] 振子的振动方程为x=0.1sin(2πt+)m
[D] 振子在前1.5 s内的位移大小为0.2 m
【答案】 D
【解析】 振子从C点经过O点运动到B点后,再由B点经过O点回到C点为一次全振动,故A错误;题图乙中的P点时刻,振子正在向负向位移最大处运动,其速度沿负方向,故B错误;由题图乙可知,振子的振幅为A=0.1 m,周期为T=1 s,
则圆频率为ω== rad/s=2π rad/s,规定水平向右为正方向,初相位为φ0=,
则振子的振动方程为x=Asin (ωt+φ0)=0.1sin(2πt+)m,故C错误;t=0时刻振子位于B点,
因t=1.5 s=T,故t=1.5 s时振子位于C点,故位移大小为2倍的振幅,等于0.2 m,故D正确。
(1)根据图像写表达式。
①从图像中找出振幅A和周期T,ω=。
②根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
(2)根据表达式画图像。
①根据x=Asin(ωt+φ)找出振幅A和振动周期T=。
②令t=0,找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)。
③选好标度,作出正弦函数图像。
[例5] 【简谐运动的周期性与对称性】 (2024·河北沧州三模)(多选)如图所示,沿水平方向做简谐运动的质点,经A点后向右运动,从质点经过A点时开始计时,t1=1 s时质点经过B点,t2=3 s时质点也经过B点,已知A、B两点相距0.2 m且关于平衡位置对称,则下列说法正确的是( )
[A] 该振动的振幅和周期可能是0.1 m,1 s
[B] 该振动的振幅和周期可能是0.1 m,0.4 s
[C] 若t1、t2时刻均向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m,0.4 s
[D] 若t1、t2时刻分别向右、向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m, s
【答案】 BCD
【解析】 若振幅A=0.1 m,在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT1=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有n′T1=2 s(n′=1,2,3,…),当T1=0.4 s时n=2,n′=5满足题意,周期为1 s时不同时满足上述两个公式,故A错误,B正确;若振幅A=0.2 m且质点t1时刻向右经过B点、t2时刻向左经过B点,在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT2=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有+n′T2=2 s(n′=0,1,2,…),当T2= s时n=1,n′=2,故D正确;若振幅A=0.2 m且t1、t2时刻均向左经过B点,在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT3=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有n′T3=2 s(n′=1,2,3,…),当T3=0.4 s时n=2,n′=5,故C正确。
考点三 单摆及周期公式
(1)如图甲所示忽略摆球大小的情况下,摆球在纸面内摆动和垂直于纸面内做小角度摆动,等效摆长相同吗 各是多少
提示:不同。纸面内摆动摆长l等效=l,垂直于纸面内摆动摆长l等效′=lsin α+l。
(2)如图乙所示的单摆在悬点正下方l处有一钉子,悬线与钉子相碰无机械能损失,当摆球在纸面内摆动时,等效摆长为多少 摆动周期为多少
提示:左侧等效摆长为l等效=l,右侧等效摆长为l等效′=l。摆动周期T=+=π+π=π(+)。
(3)如图丙所示处于竖直向下的匀强电场中的带正电的摆球做简谐运动,则摆球等效重力加速度为多少 若匀强电场水平向右呢
提示:摆球在平衡位置静止时,细线的拉力FT=mg+qE,则等效重力加速度为g′==g+。若匀强电场水平向右,摆球平衡时如图所示,则等效重力加速度为g″==。
(4)如图丁所示,带正电的摆球在匀强磁场中做简谐运动,等效重力加速度为何值
提示:摆球摆动时摆球所受洛伦兹力不影响回复力,故等效重力加速度仍为g。
1.单摆分析
(1)简谐运动的条件:θ<5°。
(2)受力特征:重力和细线的拉力。
①回复力:摆球重力沿切线方向上的分力,F=mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F与位移x的方向相反。
②向心力:细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力,F向=FT-mgcos θ。
当摆球在最高点时,F向==0,FT=mgcos θ。
当摆球在最低点时,F向=,F向最大,FT=mg+m。
2.类单摆模型
(1)有些情况下,单摆处在并非只有重力场的环境中,即为类单摆,则T=2π中,l为等效摆长,g为等效重力加速度。如图所示,为竖直面内的光滑圆弧,且 R,当小球在间运动时,其运动为类单摆运动,等效摆长为R。
(2)等效重力加速度。
①对于不同星球表面:g=,M与R分别为星球的质量与半径。
②单摆处于超重或失重状态时:g效=g±a。
③重力场与匀强电场中:g效=。
[例6] 【单摆周期公式的应用】 (2024·江苏模拟)一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A运动到最低点C时,摆线被悬点O(未画出)正下方的钉子P挡住,之后球运动到右侧最高点B,该过程中的频闪照片如图所示,已知闪光的时间间隔相等,PC=l。则O、P两点间的距离为( )
[A] l [B] l [C] l [D] l
【答案】 B
【解析】 设相邻两次闪光的时间间隔为t,则摆球在左侧的摆动周期为T1=12t,摆球在右侧的摆动周期为T2=8t,可得T1∶T2=3∶2,根据单摆周期公式T=2π,可得==,则O、P两点间的距离为LOP=。故选B。
[例7] 【单摆振动图像的应用】 (2024·河北保定一模)甲、乙两个单摆在同一地理位置做简谐振动的图像分别如图中曲线甲、乙所示,根据图像所提供的信息来判断,下列说法正确的是( )
[A] 甲的周期为4.8 s
[B] 乙的周期为1.8 s
[C] 甲、乙的摆长之比为9∶16
[D] 0~7.2 s内乙的路程为1.5 m
【答案】 A
【解析】 由题图可知,甲的周期满足T甲=3.6 s,
解得T甲=4.8 s,乙的周期为T乙=3.6 s,A正确,B错误;根据T=2π可得=,C错误;0~7.2 s内乙的路程s=2×4A=2×4×0.15 m=1.2 m,D错误。
[例8] 【类单摆问题】 (2024·浙江6月选考卷,9)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g=10 m/s2,则( )
[A] 摆角变小,周期变大
[B] 小球摆动周期约为2 s
[C] 小球平衡时,A端拉力为 N
[D] 小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
【答案】 B
【解析】根据单摆的周期公式T=2π可知,周期与摆角无关,故A错误;同一根细线中,A端拉力大小等于B端拉力大小,平衡时对小球受力分析如图,可得2FAcos 30°=mg,解得FA=FB== N,故C、D错误;根据几何知识可知摆长为l=m=1 m,故周期为T=2π≈2 s,故B正确。
考点四 受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 振动 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周 期或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线。
如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化。
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
[例9] 【共振曲线的理解】 (2024·山东淄博一模)(多选)我国加速稳步推进载人登月,未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验,得到如图所示的共振曲线,共振频率为f1、f2。将月球视为密度均匀、半径为r的球体,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是( )
[A] 该单摆在月球上的共振频率为f2
[B] 月球表面的重力加速度g月=g
[C] 月球的质量M月=
[D] 月球的密度ρ月=
【答案】 BD
【解析】 根据单摆周期公式可得T=2π,可得f==,由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度,所以该单摆在月球上的共振频率为f1;设月球表面的重力加速度为g月,则有f1=,f2=,可得月球表面的重力加速度为g月=g,故A错误,B正确;物体在月球表面上,有=mg月,解得月球质量为M月=,根据M月=ρ月·πr3,可得月球的密度为ρ月=,故C错误,D正确。
[例10] 【受迫振动的理解】 (2024·甘肃兰州检测)如图所示的装置,在曲轴上悬挂一个弹簧振子,若不转动把手,让其自由振动,周期为T1。现使把手以周期T2匀速转动(T2>T1),当其运行到稳定后,则( )
[A] 弹簧振子的振动周期为T1
[B] 弹簧振子的振动周期为T1+T2
[C] 要使弹簧振子的振幅增大,可让把手的转速减小
[D] 要使弹簧振子的振幅增大,可让把手的转速增大
【答案】 D
【解析】 现使把手以周期T2匀速转动,弹簧振子做受迫振动,所以弹簧振子振动周期为T2,故A、B错误;振子发生共振,振幅最大,由于T2>T1,当把转速增大时,驱动力的频率与固有频率相差越小,所以共振越明显,振幅越大,故C错误,D正确。
对点1.简谐运动的基本特征
1.(4分)(2024·河北卷,6)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
[A] 0.2 rad/s,1.0 m
[B] 0.2 rad/s,1.25 m
[C] 1.26 rad/s,1.0 m
[D] 1.26 rad/s,1.25 m
【答案】 C
【解析】 紫外光在纸上的投影做的是简谐运动,电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s,因此圆频率 ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s,周期为T==5 s,简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m,12.5 s通过的路程为s=×4A=1.0 m。故选C。
对点2.简谐运动的表达式和图像
2.(6分)(2024·安徽合肥期中)(多选)如图所示,小球在竖直平面内以半径为R、角速度为ω沿逆时针方向做匀速圆周运动,用竖直向下的平行光照射小球,观察到其影子在水平面上做简谐运动。取圆心投影点O′为原点,水平向右为正方向建立O′x坐标系,从小球某次经最低点的时刻开始计时,关于影子的说法正确的是( )
[A] 振幅为R
[B] 振动过程中的最大加速度为ω2R
[C] 振动周期为
[D] 位移表达式为x=Rsin(ωt+π)
【答案】 ABC
【解析】 圆心投影点O′为平衡点,最大位移为R,则振幅为R,故A正确;影子的运动可以看作小球在水平方向上的分运动,当影子运动到最右端时,位移最大,加速度也最大,此时小球也达到相应的水平方向的最大位移处,此时水平方向的加速度大小为ω2R,则振动过程中的最大加速度为ω2R,故B正确;影子的振动周期应和小球做圆周运动的周期相同,即为,故C正确;从小球经最低点向右运动的时刻开始计时,位移表达式为x=Asin t=Rsin ωt,故D错误。
对点3.单摆及周期公式
3.(4分)(2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取 10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A] 摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
[B] 摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
[C] 摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
[D] 摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
【答案】 C
【解析】 由单摆的振动图像可知振动周期为T=0.8π s,由单摆的周期公式T=2π得摆长为l==1.6 m,x-t图像的斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、C点的速度相同,A、B点的速度大小相等,方向不同。故选C。
4.(4分)(2024·河北张家口三模)“杆线摆”结构如图所示,轻杆一端通过活动铰链与立柱OO′垂直连接,另一端安装质量为m的摆球,细线一端拉住摆球,另一端系在立柱上的A点,给摆球一垂直于纸面的较小速度,使轻杆垂直于立柱OO′来回摆动,摆动角度小于5°,摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知立柱OO′与竖直方向的夹角及细线与轻杆的夹角均为θ=30°,重力加速度为g。下列说法正确的是( )
[A] 摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为 mg
[B] 摆球静止在平衡位置时轻杆对摆球作用力大小为 mg
[C] 摆球向平衡位置运动过程中轻杆对摆球作用力增大
[D] 若增大细线长度使A点上移则摆球运动周期增大
【答案】 A
【解析】 摆球在平衡位置静止时,对摆球受力分析,如图所示,
由平衡条件得杆对摆球为支持力,大小为mg,细线上的拉力大小FA=mg,摆球摆动过程中,运动轨迹被约束在一个倾角为30°的平面内,垂直该平面摆球一直处于平衡状态,故细线拉力大小不变,向平衡位置摆动过程中沿杆方向向心力大小不断增大,杆上支持力逐渐减小,故A正确,B、C错误;增大细线长度使A点上移,摆球运动平面不变,等效为一个在斜面上的单摆,周期为T=2π,摆长为杆的长度不变,摆球运动周期不变,故D错误。
对点4.受迫振动和共振
5.(4分)(2024·山东德州期中)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是0.4 s,这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带,如图所示,已知相邻两条减速带间的距离为1.2 m,该车经过该减速带过程中,下列说法正确的是( )
[A] 当轿车以10.8 km/h的速度通过减速带时,车身上下颠簸得最剧烈
[B] 轿车通过减速带的速度越小,车身上下振动的幅度也越小
[C] 轿车通过减速带的速度越大,车身上下颠簸得越剧烈
[D] 该轿车以任意速度通过减速带时,车身上下振动的频率都等于2.5 Hz,与车速无关
【答案】 A
【解析】 当轿车以v=10.8 km/h=3 m/s的速度通过减速带时,车身因过减速带而产生的受迫振动的周期为T== s=0.4 s,与“车身—悬挂系统”振动的固有周期相等,故此时车身会产生共振现象,颠簸得最剧烈,故A正确;因过减速带使车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近,车身上下振动的幅度越大,所以当轿车通过减速带的速度越小,车身上下振动的幅度不一定越小,速度越大时,车身上下颠簸得也不一定越剧烈,故B、C错误;受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率,故该轿车以任意速度通过减速带时,车身上下振动的频率不都等于2.5 Hz,与车速有关,故D错误。
6.(4分)(2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A] t=0时,弹簧弹力为0
[B] t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
[C] 从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
[D] a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
【答案】 D
【解析】 由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,由牛顿第二定律得弹簧弹力大小F=mg,A错误;t=0.2 s时,手机的加速度为正,则手机位于平衡位置下方,B错误;从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由T=0.8 s,可得圆频率ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2,D正确。
7.(6分)(2024·海南卷,12)(多选)真空中有两个点电荷,电荷量均为-q(q≥0),固定于相距为2r的P1、P2两点,O是P1P2连线的中点,M点在P1P2连线的中垂线上,距离O点为r,N点在P1P2连线上,距离O点为x(x r),已知静电力常量为k,则下列说法正确的是( )
[A] P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r
[B] P1P2中垂线上电场强度的最大值为
[C] 在M点放入一电子,从静止释放,电子的加速度一直减小
[D] 在N点放入一电子,从静止释放,电子的运动可视为简谐运动
【答案】 BCD
【解析】 设两点电荷在P1P2中垂线上的A点产生的合电场强度最大,且此时分电场强度与竖直方向的夹角为θ,如图所示,由电场强度的叠加原理可得,A点的合电场强度为E=2kcos θ=k(1-cos2θ)cos θ,由数学知识可得,当cos θ=时,合电场强度E有最大值,且最大值为E=,此时A点到O点的距离为y=r,A错误,B正确;由于r>r,可知在M点放入一电子,电子受到的静电力方向向上,从静止释放,电子向上运动的过程中静电力一直减小,电子的加速度一直减小,C正确;设沿OP2方向为正方向,在N点放入一电子,N点距O点为x,电子在N点受到的静电力的合力为F=-k+k=keq,由于x r,则有F=-x,可知电子在P1P2连线上以O点为平衡位置做简谐运动,D正确。
8.(13分)(2024·江苏南通模拟)1610年,伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察,其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动,他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图,在xOy平面内,质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O。
(1)求卫星P做圆周运动的向心力大小;
(2)物体做简谐运动时,回复力应满足F=-kx。试证明:卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。
【答案】 (1)mA (2)见解析
【解析】 (1)卫星P做圆周运动的向心力大小为
F=mω2r=mA。
(2)如图,
取向右为正方向,则
F=-mrcos θ=-mx=-kx,
则卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。
9.(15分)(2024·重庆一模)如图,光滑圆槽的半径L远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球(均可视为质点)同时由静止释放,开始时乙球的位置B低于甲球位置A,甲球与圆心连线和竖直方向夹角为θ,丙球释放位置C为圆槽的圆心,O为圆槽最低点,重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰。
(1)求甲球运动到O点速度大小;
(2)通过计算分析,甲、乙、丙三球谁先第一次到达O点;
(3)若单独释放甲球从释放到第15次经过O点所经历的时间。
【答案】 (1) (2)丙球
(3)π
【解析】 (1)设甲球质量为m,根据题意可知甲球静止释放,运动到O点过程,由动能定理有
mg(L-Lcos θ)=mv2,
解得甲球运动到O点速度大小为
v=。
(2)对于丙球,根据自由落体运动规律有
L=g,
解得t丙=,
对于甲、乙两球可看成类似单摆的简谐运动,其运动周期为T=2π,
甲、乙两球第一次到达O点时运动T周期,则
t乙=t甲=T=π,
则丙球最先第一次到达O点,甲、乙同时到达。
(3)根据题意可知甲球做简谐运动,运动一个周期经过两次O点,第15次经过O点所经历的时间为t=7T+,
已知周期T=2π,
联立解得t=π。
(
第
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)第1讲 机械振动
情境导思 摆钟是一种时钟,是根据单摆原理制造的,用摆锤控制其他机件,使钟走得快慢均匀。 (1)单摆的周期与摆锤的质量有关吗 (2)钟摆做的是什么运动
考点一 简谐运动的基本特征
(1)如图甲所示在光滑水平面上,两根轻弹簧劲度系数分别为k1、k2,中间连接一滑块,开始两弹簧均处于原长状态,现在使滑块向右移动位移x,由静止释放后滑块做简谐运动,什么力提供其做简谐运动的回复力 导出其表达式。
甲
提示:两弹簧弹力的合力提供滑块做简谐运动的回复力。设向右为正方向,回复力F=-(k1+k2)x,k1、k2为常数,则F=-kx。
(2)如图乙所示,在水平面上有一小物块与左端固定的轻质弹簧相连,弹簧处于原长时小物块位于O点。现将小物块拉至N点,释放后小物块做往复运动。小物块和水平面间各处的动摩擦因数相同,则小物块的往复运动过程是不是简谐运动 只看向左或向右运动的单一过程,其运动规律是否符合简谐运动规律 小物块第一次向左运动的过程和第一次向右运动的过程所用时间有什么关系
乙
提示:小物块由于受到摩擦阻力的作用,振幅越来越小,故其往复运动过程不是简谐运动。只看向左或向右运动的单一过程,小物块在弹簧弹力和恒定的滑动摩擦力作用下运动,符合简谐运动规律。根据弹簧振子的周期决定因素可知,周期与振幅无关,故小物块第一次向左运动过程和第一次向右运动过程所用时间相等,均为半个周期。
1.简谐运动的基本特征
受力 特点 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动 特点 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周 期 性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对 称 性 (1)如图所示,做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP=OP′)时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间,即tPO=tOP′。 (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO。 (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
2.两种典型模型
模型 弹簧振子 单摆
示 意 图
简谐 运动 条件 (1)弹簧质量可忽略。 (2)无摩擦等阻力。 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线。 (2)无空气阻力。 (3)摆角小于或等于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡 位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T=2π
能量 转化 弹性势能与动能的相互转化,系统的机械能守恒 重力势能与动能的相互转化,摆球的机械能守恒
3.几种简谐运动常见模型
模型 图示 回复力来源
弹簧振子模型(竖直面振动) 物体所受重力与弹簧弹力的合力
弹簧振子模型(光滑斜面振动) 物体所受重力沿斜面的分力与弹簧弹力的合力
连接体模型(M在光滑水平面振动) 物体M对m的摩擦力提供m的回复力
类单摆模型(光滑弧面小弧度振动) 小球所受重力沿圆弧切线方向的分力
鱼漂模型(竖直面振动) 物体所受重力与水对物体浮力的合力
[例1] 【简谐运动基本物理量的分析】 如图所示,物块在光滑水平面B、C之间做简谐运动,当物块位于O点时,弹簧处于原长,在物块从C运动到O的过程中( )
[A] 动能不断增大,加速度不断减小
[B] 回复力不断增大,系统机械能守恒
[C] 弹性势能不断减小,加速度不断增大
[D] 弹性势能不断增大,加速度不断减小
[变式] 【振子质量变化时对简谐运动各物理量的影响】 如图所示,在[例1]中,当振子运动到最大位移C处时,在小物块上放上一同样的小物块共同做简谐运动,则振子的周期、振幅、最大动能和最大速度以及系统的最大势能、机械能都会发生什么变化
[例2] 【简谐运动的证明】 (2024·河北邯郸三模)已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示,在地球北纬60°的A处凿开一个穿过地轴的直线隧道,直通北纬60°的B处,假设隧道光滑,现将一个质量为m的物体在A处无初速度释放,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,不考虑地球自转。下列说法正确的是( )
[A] 物体在隧道内做匀变速直线运动
[B] 刚释放时物体的加速度大小为
[C] 物体在隧道内的最大速度为
[D] 物体从A点运动到B点的时间为2π
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.利用振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性和周期性在图像中的特点(如图)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
(2)相隔Δt=(n+)T(n=0,1,2,…)的两个时刻,弹簧振子的位置关于平衡位置对称,位移等大反向(或都为零),速度也等大反向(或都为零)。
[例3] 【简谐运动的图像分析】 某简谐运动的y-t图像如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] 振幅为2 cm
[B] 频率为2.5 Hz
[C] 0.1 s时速度为零
[D] 0.2 s时加速度方向沿y轴负方向
简谐运动图像问题的分析方法
解决简谐运动图像问题时,首先要理解x-t图像的意义,其次要把x-t图像与质点的实际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等),图像上的一段曲线对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
[例4] 【简谐运动的表达式】 (2024·四川成都开学考试)如图甲,水平弹簧振子的平衡位置为O点,振子在B、C两点之间做简谐运动,规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是( )
[A] 振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动
[B] 图乙中的P点时刻,振子的速度沿正方向
[C] 振子的振动方程为x=0.1sin(2πt+)m
[D] 振子在前1.5 s内的位移大小为0.2 m
(1)根据图像写表达式。
①从图像中找出振幅A和周期T,ω=。
②根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
(2)根据表达式画图像。
①根据x=Asin(ωt+φ)找出振幅A和振动周期T=。
②令t=0,找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)。
③选好标度,作出正弦函数图像。
[例5] 【简谐运动的周期性与对称性】 (2024·河北沧州三模)(多选)如图所示,沿水平方向做简谐运动的质点,经A点后向右运动,从质点经过A点时开始计时,t1=1 s时质点经过B点,t2=3 s时质点也经过B点,已知A、B两点相距0.2 m且关于平衡位置对称,则下列说法正确的是( )
[A] 该振动的振幅和周期可能是0.1 m,1 s
[B] 该振动的振幅和周期可能是0.1 m,0.4 s
[C] 若t1、t2时刻均向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m,0.4 s
[D] 若t1、t2时刻分别向右、向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m, s
考点三 单摆及周期公式
(1)如图甲所示忽略摆球大小的情况下,摆球在纸面内摆动和垂直于纸面内做小角度摆动,等效摆长相同吗 各是多少
提示:不同。纸面内摆动摆长l等效=l,垂直于纸面内摆动摆长l等效′=lsin α+l。
(2)如图乙所示的单摆在悬点正下方l处有一钉子,悬线与钉子相碰无机械能损失,当摆球在纸面内摆动时,等效摆长为多少 摆动周期为多少
提示:左侧等效摆长为l等效=l,右侧等效摆长为l等效′=l。摆动周期T=+=π+π=π(+)。
(3)如图丙所示处于竖直向下的匀强电场中的带正电的摆球做简谐运动,则摆球等效重力加速度为多少 若匀强电场水平向右呢
提示:摆球在平衡位置静止时,细线的拉力FT=mg+qE,则等效重力加速度为g′==g+。若匀强电场水平向右,摆球平衡时如图所示,则等效重力加速度为g″==。
(4)如图丁所示,带正电的摆球在匀强磁场中做简谐运动,等效重力加速度为何值
提示:摆球摆动时摆球所受洛伦兹力不影响回复力,故等效重力加速度仍为g。
1.单摆分析
(1)简谐运动的条件:θ<5°。
(2)受力特征:重力和细线的拉力。
①回复力:摆球重力沿切线方向上的分力,F=mgsin θ=-x=-kx,负号表示回复力F与位移x的方向相反。
②向心力:细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力,F向=FT-mgcos θ。
当摆球在最高点时,F向==0,FT=mgcos θ。
当摆球在最低点时,F向=,F向最大,FT=mg+m。
2.类单摆模型
(1)有些情况下,单摆处在并非只有重力场的环境中,即为类单摆,则T=2π中,l为等效摆长,g为等效重力加速度。如图所示,为竖直面内的光滑圆弧,且 R,当小球在间运动时,其运动为类单摆运动,等效摆长为R。
(2)等效重力加速度。
①对于不同星球表面:g=,M与R分别为星球的质量与半径。
②单摆处于超重或失重状态时:g效=g±a。
③重力场与匀强电场中:g效=。
[例6] 【单摆周期公式的应用】 (2024·江苏模拟)一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A运动到最低点C时,摆线被悬点O(未画出)正下方的钉子P挡住,之后球运动到右侧最高点B,该过程中的频闪照片如图所示,已知闪光的时间间隔相等,PC=l。则O、P两点间的距离为( )
[A] l [B] l [C] l [D] l
[例7] 【单摆振动图像的应用】 (2024·河北保定一模)甲、乙两个单摆在同一地理位置做简谐振动的图像分别如图中曲线甲、乙所示,根据图像所提供的信息来判断,下列说法正确的是( )
[A] 甲的周期为4.8 s
[B] 乙的周期为1.8 s
[C] 甲、乙的摆长之比为9∶16
[D] 0~7.2 s内乙的路程为1.5 m
[例8] 【类单摆问题】 (2024·浙江6月选考卷,9)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g=10 m/s2,则( )
[A] 摆角变小,周期变大
[B] 小球摆动周期约为2 s
[C] 小球平衡时,A端拉力为 N
[D] 小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
考点四 受迫振动和共振
1.简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 振动 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周 期或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线。
如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化。
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
[例9] 【共振曲线的理解】 (2024·山东淄博一模)(多选)我国加速稳步推进载人登月,未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验,得到如图所示的共振曲线,共振频率为f1、f2。将月球视为密度均匀、半径为r的球体,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是( )
[A] 该单摆在月球上的共振频率为f2
[B] 月球表面的重力加速度g月=g
[C] 月球的质量M月=
[D] 月球的密度ρ月=
[例10] 【受迫振动的理解】 (2024·甘肃兰州检测)如图所示的装置,在曲轴上悬挂一个弹簧振子,若不转动把手,让其自由振动,周期为T1。现使把手以周期T2匀速转动(T2>T1),当其运行到稳定后,则( )
[A] 弹簧振子的振动周期为T1
[B] 弹簧振子的振动周期为T1+T2
[C] 要使弹簧振子的振幅增大,可让把手的转速减小
[D] 要使弹簧振子的振幅增大,可让把手的转速增大
(满分:60分)
对点1.简谐运动的基本特征
1.(4分)(2024·河北卷,6)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为( )
[A] 0.2 rad/s,1.0 m
[B] 0.2 rad/s,1.25 m
[C] 1.26 rad/s,1.0 m
[D] 1.26 rad/s,1.25 m
2.(6分)(2024·安徽合肥期中)(多选)如图所示,小球在竖直平面内以半径为R、角速度为ω沿逆时针方向做匀速圆周运动,用竖直向下的平行光照射小球,观察到其影子在水平面上做简谐运动。取圆心投影点O′为原点,水平向右为正方向建立O′x坐标系,从小球某次经最低点的时刻开始计时,关于影子的说法正确的是( )
[A] 振幅为R
[B] 振动过程中的最大加速度为ω2R
[C] 振动周期为
[D] 位移表达式为x=Rsin(ωt+π)
3.(4分)(2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取 10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A] 摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
[B] 摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
[C] 摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
[D] 摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
4.(4分)(2024·河北张家口三模)“杆线摆”结构如图所示,轻杆一端通过活动铰链与立柱OO′垂直连接,另一端安装质量为m的摆球,细线一端拉住摆球,另一端系在立柱上的A点,给摆球一垂直于纸面的较小速度,使轻杆垂直于立柱OO′来回摆动,摆动角度小于5°,摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知立柱OO′与竖直方向的夹角及细线与轻杆的夹角均为θ=30°,重力加速度为g。下列说法正确的是( )
[A] 摆球在摆动过程中细线上的拉力大小为 mg
[B] 摆球静止在平衡位置时轻杆对摆球作用力大小为 mg
[C] 摆球向平衡位置运动过程中轻杆对摆球作用力增大
[D] 若增大细线长度使A点上移则摆球运动周期增大
5.(4分)(2024·山东德州期中)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是0.4 s,这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带,如图所示,已知相邻两条减速带间的距离为1.2 m,该车经过该减速带过程中,下列说法正确的是( )
[A] 当轿车以10.8 km/h的速度通过减速带时,车身上下颠簸得最剧烈
[B] 轿车通过减速带的速度越小,车身上下振动的幅度也越小
[C] 轿车通过减速带的速度越大,车身上下颠簸得越剧烈
[D] 该轿车以任意速度通过减速带时,车身上下振动的频率都等于2.5 Hz,与车速无关
6.(4分)(2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A] t=0时,弹簧弹力为0
[B] t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
[C] 从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
[D] a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
7.(6分)(2024·海南卷,12)(多选)真空中有两个点电荷,电荷量均为-q(q≥0),固定于相距为2r的P1、P2两点,O是P1P2连线的中点,M点在P1P2连线的中垂线上,距离O点为r,N点在P1P2连线上,距离O点为x(x r),已知静电力常量为k,则下列说法正确的是( )
[A] P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为r
[B] P1P2中垂线上电场强度的最大值为
[C] 在M点放入一电子,从静止释放,电子的加速度一直减小
[D] 在N点放入一电子,从静止释放,电子的运动可视为简谐运动
8.(13分)(2024·江苏南通模拟)1610年,伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察,其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动,他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图,在xOy平面内,质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O。
(1)求卫星P做圆周运动的向心力大小;
(2)物体做简谐运动时,回复力应满足F=-kx。试证明:卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。
9.(15分)(2024·重庆一模)如图,光滑圆槽的半径L远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球(均可视为质点)同时由静止释放,开始时乙球的位置B低于甲球位置A,甲球与圆心连线和竖直方向夹角为θ,丙球释放位置C为圆槽的圆心,O为圆槽最低点,重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰。
(1)求甲球运动到O点速度大小;
(2)通过计算分析,甲、乙、丙三球谁先第一次到达O点;
(3)若单独释放甲球从释放到第15次经过O点所经历的时间。
(
第
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高中总复习·物理
第1讲
机械振动
情境导思
摆钟是一种时钟,是根据单摆原理制造的,用摆锤控制其他机件,使钟走得快慢均匀。
(1)单摆的周期与摆锤的质量有关吗
(2)钟摆做的是什么运动
知识构建
平衡位置
回复力
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
-kx
Asin(ωt+φ)
初相
Asin ωt
Acos ωt
知识构建
驱动力
驱动力
无关
固有频率
等于
振幅
小题试做
1.一个单摆做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示,则( )
[A] 此单摆的固有周期约为0.5 s
[B] 此单摆的摆长约为1 m
[C] 若摆长增大,单摆固有频率增大
[D] 若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
B
小题试做
2.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)(多选)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向,振子的位移x随时间t变化的正弦曲线如图乙所示,弹簧的劲度系数为2 N/m,下列说法正确的是( )
[A] t=2 s时,振子的加速度为零
[B] 振子在t=0.1 s时和t=0.3 s时速度相同
[C] t=1.8 s时,回复力大小为0.4 N
[D] 0~1.8 s时间内,振子运动的路程为1.8 m
ACD
(1)如图甲所示在光滑水平面上,两根轻弹簧劲度系数分别为k1、k2,中间连接一滑块,开始两弹簧均处于原长状态,现在使滑块向右移动位移x,由静止释放后滑块做简谐运动,什么力提供其做简谐运动的回复力 导出其表达式。
甲
提示:两弹簧弹力的合力提供滑块做简谐运动的回复力。设向右为正方向,回复力F=-(k1+k2)x,k1、k2为常数,则F=-kx。
(2)如图乙所示,在水平面上有一小物块与左端固定的轻质弹簧相连,弹簧处于原长时小物块位于O点。现将小物块拉至N点,释放后小物块做往复运动。小物块和水平面间各处的动摩擦因数相同,则小物块的往复运动过程是不是简谐运动 只看向左或向右运动的单一过程,其运动规律是否符合简谐运动规律 小物块第一次向左运动的过程和第一次向右运动的过程所用时间有什么关系
乙
提示:小物块由于受到摩擦阻力的作用,振幅越来越小,故其往复运动过程不是简谐运动。只看向左或向右运动的单一过程,小物块在弹簧弹力和恒定的滑动摩擦力作用下运动,符合简谐运动规律。根据弹簧振子的周期决定因素可知,周期与振幅无关,故小物块第一次向左运动过程和第一次向右运动过程所用时间相等,均为半个周期。
1.简谐运动的基本特征
受力 特点 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动 特点 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量 振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,系统的机械能守恒
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
2.两种典型模型
模型 弹簧振子 单摆
示 意 图
简谐 运动 条件 (1)弹簧质量可忽略。 (2)无摩擦等阻力。 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线。
(2)无空气阻力。
(3)摆角小于或等于5°
3.几种简谐运动常见模型
模型 图示 回复力来源
弹簧振子模型 (竖直面振动) 物体所受重力与弹簧弹力的合力
弹簧振子模型 (光滑斜面振动) 物体所受重力沿斜面的分力与弹簧弹力的合力
连接体模型(M在光滑水平面振动) 物体M对m的摩擦力提供m的回复力
类单摆模型(光滑弧面小弧度振动) 小球所受重力沿圆弧切线方向的分力
鱼漂模型(竖直面振动) 物体所受重力与水对物体浮力的合力
[例1] 【简谐运动基本物理量的分析】 如图所示,物块在光滑水平面B、C之间做简谐运动,当物块位于O点时,弹簧处于原长,在物块从C运动到O的过程中( )
[A] 动能不断增大,加速度不断减小
[B] 回复力不断增大,系统机械能守恒
[C] 弹性势能不断减小,加速度不断增大
[D] 弹性势能不断增大,加速度不断减小
A
【解析】 做简谐运动的物块,从C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力,也指向平衡位置,故速度方向与弹力方向相同,所以弹力做正功,动能增大;由于偏离平衡位置的位移不断减小,由回复力公式F=-kx可知,回复力不断减小,根据牛顿第二定律可知F=-kx=ma,故加速度不断减小;整个系统只有系统内的弹力做功,故系统的机械能守恒;在小球从C到O的过程中,弹簧形变量不断减小,故弹性势能不断减小,故A正确,
B、C、D错误。
[变式] 【振子质量变化时对简谐运动各物理量的影响】 如图所示,在[例1]
中,当振子运动到最大位移C处时,在小物块上放上一同样的小物块共同做简谐运动,则振子的周期、振幅、最大动能和最大速度以及系统的最大势能、机械能都会发生什么变化
[例2] 【简谐运动的证明】 (2024·河北邯郸三模)已知质量均匀分布的球壳对球壳内部的质点的万有引力为零。如图所示,在地球北纬60°的A处凿开一个穿过地轴的直线隧道,直通北纬60°的B处,假设隧道光滑,现将一个质量为m的物体在A处无初速度释放,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,不考虑地球自转。下列说法正确的是( )
[A] 物体在隧道内做匀变速直线运动
B
【解析】 如图所示,
1.利用振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2.简谐运动的对称性和周期性在图像中的特点(如图)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
[例3] 【简谐运动的图像分析】 某简谐运动的y-t图像如图所示,则下列说法正确的是( )
[A] 振幅为2 cm
[B] 频率为2.5 Hz
[C] 0.1 s时速度为零
[D] 0.2 s时加速度方向沿y轴负方向
B
方法点拨
简谐运动图像问题的分析方法
解决简谐运动图像问题时,首先要理解x-t图像的意义,其次要把x-t图像与质点的实际振动过程联系起来。图像上的一个点表示振动中的一个状态
(位置、振动方向等),图像上的一段曲线对应振动的一个过程,关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
[例4] 【简谐运动的表达式】 (2024·四川成都开学考试)如图甲,水平弹簧振子的平衡位置为O点,振子在B、C两点之间做简谐运动,规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是( )
[A] 振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动
[B] 图乙中的P点时刻,振子的速度沿正方向
D
方法点拨
(1)根据图像写表达式。
②根据t=0时的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表达式x=Asin(ωt+φ)即可(若图像为余弦函数图像或其他形式也可以用该方法求得,只不过φ不相同)。
方法点拨
(2)根据表达式画图像。
②令t=0,找出初始时刻的位移x(x的正、负要有明确表示)。
③选好标度,作出正弦函数图像。
[例5] 【简谐运动的周期性与对称性】 (2024·河北沧州三模)(多选)如图所
示,沿水平方向做简谐运动的质点,经A点后向右运动,从质点经过A点时开始计时,t1=1 s时质点经过B点,t2=3 s时质点也经过B点,已知A、B两点相距0.2 m且关于平衡位置对称,则下列说法正确的是( )
[A] 该振动的振幅和周期可能是0.1 m,1 s
[B] 该振动的振幅和周期可能是0.1 m,0.4 s
[C] 若t1、t2时刻均向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m,0.4 s
BCD
(1)如图甲所示忽略摆球大小的情况下,摆球在纸面内摆动和垂直于纸面内做小角度摆动,等效摆长相同吗 各是多少
提示:不同。纸面内摆动摆长l等效=l,垂直于纸面内摆动摆长l等效′=lsin α+l。
(3)如图丙所示处于竖直向下的匀强电场中的带正电的摆球做简谐运动,则摆球等效重力加速度为多少 若匀强电场水平向右呢
(4)如图丁所示,带正电的摆球在匀强磁场中做简谐运动,等效重力加速度为何值
提示:摆球摆动时摆球所受洛伦兹力不影响回复力,故等效重力加速度仍为g。
1.单摆分析
(1)简谐运动的条件:θ<5°。
(2)受力特征:重力和细线的拉力。
2.类单摆模型
(2)等效重力加速度。
[例6] 【单摆周期公式的应用】 (2024·江苏模拟)一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A运动到最低点C时,摆线被悬点O(未画出)正下方的钉子P挡住,之后球运动到右侧最高点B,该过程中的频闪照片如图所示,已知闪光的时间间隔相等,PC=l。则O、P两点间的距离为( )
B
[例7] 【单摆振动图像的应用】 (2024·河北保定一模)甲、乙两个单摆在同一地理位置做简谐振动的图像分别如图中曲线甲、乙所示,根据图像所提供的信息来判断,下列说法正确的是( )
[A] 甲的周期为4.8 s
[B] 乙的周期为1.8 s
[C] 甲、乙的摆长之比为9∶16
[D] 0~7.2 s内乙的路程为1.5 m
A
[例8] 【类单摆问题】 (2024·浙江6月选考卷,9)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直于纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g=10 m/s2,则( )
[A] 摆角变小,周期变大
[B] 小球摆动周期约为2 s
[D] 小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
B
1.简谐运动、受迫振动和共振的比较
项目 振动 简谐运动 受迫振动 共振
受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周 期或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或 f=f驱 T驱=T0或f驱=f0
振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
(1)共振曲线。
如图所示,横坐标为驱动力的频率f,纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知,f与f0越接近,振幅A越大;当f=f0时,振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化。
做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。
[例9] 【共振曲线的理解】 (2024·山东淄博一模)(多选)我国加速稳步推进载人登月,未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验,得到如图所示的共振曲线,共振频率为f1、f2。将月球视为密度均匀、半径为r的球体,引力常量为G,地球表面的重力加速度为g,不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是( )
BD
[例10] 【受迫振动的理解】 (2024·甘肃兰州检测)如图所示的装置,在曲轴上悬挂一个弹簧振子,若不转动把手,让其自由振动,周期为T1。现使把手以周期T2匀速转动(T2>T1),当其运行到稳定后,则( )
[A] 弹簧振子的振动周期为T1
[B] 弹簧振子的振动周期为T1+T2
[C] 要使弹簧振子的振幅增大,可让把手的转速减小
[D] 要使弹簧振子的振幅增大,可让把手的转速增大
D
【解析】 现使把手以周期T2匀速转动,弹簧振子做受迫振动,所以弹簧振子振动周期为T2,故A、B错误;振子发生共振,振幅最大,由于T2>T1,当把转速增大时,驱动力的频率与固有频率相差越小,所以共振越明显,振幅越大,故C错误,D正确。
基础对点练
对点1.简谐运动的基本特征
1.(4分)(2024·河北卷,6)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为
( )
[A] 0.2 rad/s,1.0 m [B] 0.2 rad/s,1.25 m
[C] 1.26 rad/s,1.0 m [D] 1.26 rad/s,1.25 m
C
对点2.简谐运动的表达式和图像
2.(6分)(2024·安徽合肥期中)(多选)如图所示,小球在竖直平面内以半径为R、角速度为ω沿逆时针方向做匀速圆周运动,用竖直向下的平行光照射小球,观察到其影子在水平面上做简谐运动。取圆心投影点O′为原点,水平向右为正方向建立O′x坐标系,从小球某次经最低点的时刻开始计时,关于影子的说法正确的是( )
[A] 振幅为R
[B] 振动过程中的最大加速度为ω2R
ABC
[D] 位移表达式为x=Rsin(ωt+π)
对点3.单摆及周期公式
3.(4分)(2024·甘肃卷,5)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取 10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A] 摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
[B] 摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
[C] 摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
[D] 摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
C
4.(4分)(2024·河北张家口三模)“杆线摆”结构如图所示,轻杆一端通过活动铰链与立柱OO′垂直连接,另一端安装质量为m的摆球,细线一端拉住摆球,另一端系在立柱上的A点,给摆球一垂直于纸面的较小速度,使轻杆垂直于立柱OO′来回摆动,摆动角度小于5°,摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。已知立柱OO′与竖直方向的夹角及细线与轻杆的夹角均为θ=30°,重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A
[C] 摆球向平衡位置运动过程中轻杆对摆球作用力增大
[D] 若增大细线长度使A点上移则摆球运动周期增大
【解析】 摆球在平衡位置静止时,对摆球受力分析,如图所示,
对点4.受迫振动和共振
5.(4分)(2024·山东德州期中)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是0.4 s,这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带,如图所示,已知相邻两条减速带间的距离为1.2 m,该车经过该减速带过程中,下列说法正确的是( )
[A] 当轿车以10.8 km/h的速度通过减速带时,车身上下颠簸得最剧烈
[B] 轿车通过减速带的速度越小,车身上下振动的幅度也越小
[C] 轿车通过减速带的速度越大,车身上下颠簸得越剧烈
[D] 该轿车以任意速度通过减速带时,车身上下振动的频率都等于2.5 Hz,与车速无关
A
因过减速带使车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近,车身上下振动的幅度越大,所以当轿车通过减速带的速度越小,车身上下振动的幅度不一定越小,速度越大时,车身上下颠簸得也不一定越剧烈,故B、C错误;受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率,故该轿车以任意速度通过减速带时,车身上下振动的频率不都等于2.5 Hz,与车速有关,故D错误。
6.(4分)(2024·北京卷,9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是( )
[A] t=0时,弹簧弹力为0
[B] t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
[C] 从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
[D] a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
D
综合提升练
7.(6分)(2024·海南卷,12)(多选)真空中有两个点电荷,电荷量均为-q(q≥0),固定于相距为2r的P1、P2两点,O是P1P2连线的中点,M点在P1P2连线的中垂线上,距离O点为r,N点在P1P2连线上,距离O点为x(x r),已知静电力常量为k,则下列说法正确的是( )
[C] 在M点放入一电子,从静止释放,电子的加速度一直减小
[D] 在N点放入一电子,从静止释放,电子的运动可视为简谐运动
BCD
8.(13分)(2024·江苏南通模拟)1610年,伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据他的观察,其中一颗卫星P做振幅为A、周期为T的简谐运动,他推测该卫星振动是卫星做圆周运动在某方向上的投影。如图所示是卫星P运动的示意图,在xOy平面内,质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。若认为木星位于坐标原点O。
(1)求卫星P做圆周运动的向心力大小;
(2)物体做简谐运动时,回复力应满足F=-kx。试证明:卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。
9.(15分)(2024·重庆一模)如图,光滑圆槽的半径L远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球(均可视为质点)同时由静止释放,开始时乙球的位置B低于甲球位置A,甲球与圆心连线和竖直方向夹角为θ,丙球释放位置C为圆槽的圆心,O为圆槽最低点,重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰。
(1)求甲球运动到O点速度大小;
(2)通过计算分析,甲、乙、丙三球谁先第一次到达O点;
【答案】 (2)丙球
(3)若单独释放甲球从释放到第15次经过O点所经历的时间。
