第3讲 小专题:电场中的功能关系和图像问题
考点一 电场中功能关系的综合问题
电场中功能关系模型
(1)只有静电力做功时,电势能与动能之和保持不变。
例如:如图所示的电场中带电粒子只在静电力作用下,从A点运动到B点,在A点和B点的动能和电势能分别是EkA、EpA和EkB、EpB,根据动能定理,静电力做功W=EkB-EkA,静电力做功等于电势能的减少量,则W=EpA-EpB,所以EkB-EkA=EpA-EpB,故EpB+EkB=EpA+EkA,即只有静电力做功时,电势能与动能之和保持不变。
(2)只有静电力和重力做功,电势能、重力势能、动能之和保持不变。
[例1] 【只有静电力做功的功能关系】 (2025·浙江金华模拟)在某个点电荷所产生电场中画一个圆,如图所示,O为圆心,圆周上的A、C两点的电场强度方向与圆相切,B是AC右侧圆弧的中点,下列说法正确的是( )
[A] A点的电场强度小于B点的电场强度
[B] O点的电势低于B点的电势
[C] 电子沿圆弧ABC运动,静电力先做正功后做负功
[D] 电子沿半径从A到O,电势能变大
【答案】 D
【解析】 根据正点电荷的电场线由正电荷出发向外辐射的特点,作出电场线与等势面,如图所示,
正点电荷位于P点,A、C位于同一等势面,根据E=k,由几何关系可知,A点离点电荷比B点离点电荷更近,则A点的电场强度大于B点的电场强度,故A错误;离正点电荷越近,电势越高,则O点的电势高于B点的电势,故B错误;电子沿圆弧ABC运动,电势先减小后增大,根据Ep=qφ,由于电子带负电,则电子的电势能先增大后减小,静电力先做负功后做正功,故C错误;由题图中几何关系可知,A点离点电荷比O点离点电荷更近,电子沿半径从A到O,电势降低,根据Ep=qφ,由于电子带负电,则电子电势能变大,故D正确。
[例2] 【只有重力和静电力作用下的功能关系】(2024·广东广州阶段练习)如图,A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点,其中A、B、O沿同一竖直线,B、C、D同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上,沿倾角为α的AC方向固定有一光滑绝缘细杆,AC=2L,且D点为AC的中点;在O点有一固定的正点电荷。现有一质量为m、带电荷量为-q的有孔小球(可视为质点)从杆上A点无初速度下滑,小球滑到D点时速度大小为。小球从A运动到C的过程中,当小球电势能最小时其速度为vm。以A点为零电势点,重力加速度为g。求:
(1)小球滑到C点时的速度大小;
(2)C点的电势;
(3)从A到C过程中,小球电势能的最小值。
【答案】 (1) (2) (3)mgLsin α-m
【解析】 (1)根据点电荷的电场特征可知,D、C所在的圆是一条等势线,所以小球从D到C静电力做的总功为零,由几何关系可得DC的竖直高度为
hDC=Lsin α,
根据动能定理有
mgLsin α=m-m,
解得vC=。
(2)小球从A到C,由动能定理有
mg×2Lsin α-qUAC=m,
解得UAC=-,
又以A点为零电势点,则有
UAC=φA-φC=-φC,
联立可得C点的电势为φC=。
(3)小球从A运动到C的过程中,当小球电势能最小时其速度为vm,由于小球带负电,则当小球电势能最小时,所处位置电势最高,根据点电荷电势分布特点可知,离正点电荷越近,电势越高,可知当小球运动到CD中点时,小球的电势能最小,从A到电势能最小位置的过程,根据能量守恒定律可得
mg·Lsin α=m+Epmin,
解得小球电势能的最小值为
Epmin=mgLsin α-m。
考点二 静电场中的图像问题
1.几种常见图像的特点及应用
v-t 图像 根据v-t图像中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化,确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ-x 图像 (1)电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。 (2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。 (3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,分析WAB的正负,然后作出判断
E-x 图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律。 (2)E>0表示电场强度沿x轴正方向,E<0 表示电场强度沿x轴负方向。 (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差的绝对值,两点的电势高低根据电场方向判定
Ep-x 图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律。 (2)图线的切线斜率的绝对值表示静电力的大小。 (3)进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
2.电场中常见的φ-x图像、E-x图像模型
名称 图像模型
φ-x 图像 (1)点电荷的φ-x图像(取无限远处电势为零),如图。 (2)两个等量异种点电荷连线上的φ-x图像,如图。 (3)两个等量同种点电荷的φ-x图像,如图。
E-x 图像 (1)正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像如图所示。 (2)两个等量异种点电荷的E-x图像,如图。 (3)两个等量正点电荷的E-x图像,如图。
[例3] 【静电场中的Ep-x图像】 (2025·河北承德模拟)如图甲所示,真空中两正点电荷M、N固定在x轴上,其中M位于坐标原点,x=x1和x=x2两点将M、N之间的线段三等分。一质量为m、电荷量为q(q远小于M、N的电荷量)的带正电微粒P仅在静电力作用下,以大小为v0的初速度从x=x1处沿x轴正方向运动。取无限远处的电势为零,P在M、N间由于受到M、N的静电力作用而具有的电势能Ep随位置x变化的关系图像如图乙所示,图乙中E1、E2均已知,且在x=x2处图线的切线水平。下列说法正确的是( )
[A] x=x1与x=x2两点间的电势差U12=
[B] P运动到x=x2处时加速度可能不为零
[C] M、N电荷量的大小关系为QM=2QN
[D] P在M、N间运动过程中的最大速度vm=
【答案】 D
【解析】 由静电力做功与电势能的关系,可知qU12=E1-E2,解得U12=,A错误;由于Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力的大小,题图乙中x=x2处斜率是零,P运动到x=x2处时所受静电力是零,由牛顿第二定律可知,此时P的加速度是零,B错误;x=x2处的电场强度是零,则k=k,因为r1=2r2,所以QM=4QN,C错误;P在M、N间运动过程中只有静电力做功,动能和电势能相互转化,总量不变,则在x=x2处电势能最小,动能最大,由m-m=E1-E2,解得vm=,D正确。
[例4] 【静电场中的v-t图像】 (2025·湖南衡阳模拟)如图甲所示,一质量为m、电荷量为q的正电荷从a点由静止释放,仅在静电力的作用下沿直线abc运动,其v-t图像如图乙所示。已知正电荷在b点处速率为v,斜率最大,最大值为k,在c点处的速率为v,斜率为零,则下列说法正确的是( )
[A] 该正电荷在从a到c的运动过程中,电势能先减小后增大
[B] b点的电场强度大小为,方向由b指向c
[C] a、b之间的电势差Uab=
[D] 从a到c电势逐渐升高,c点的电势最大
【答案】 B
【解析】 该正电荷由a到c的过程中,速度逐渐增大,静电力对正电荷做正功,正电荷的电势能逐渐减小,故A错误;由题图乙可知正电荷在b点时加速度为a=k,所以b点的电场强度大小为E===,静电力方向由b指向c,电场中某点的电场强度方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同,b点的电场强度方向由b指向c,故B正确;对正电荷从a到b的过程,根据动能定理有qUab=m-m,解得Uab=,故C错误;沿着电场线的方向电势逐渐降低,从a到c电势逐渐降低,故D错误。
[例5] 【静电场中的φ-x图像】 (2025·河南高考适应性考试)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在电场力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子( )
[A] 将在ad之间做周期性运动
[B] 在d点的电势能大于a点的电势能
[C] 在b点与c点所受电场力方向相同
[D] 将沿x轴负方向运动,可以到达O点
【答案】 A
【解析】 a、d两点电势相等,则带正电粒子在a、d两点的电势能相等,故B错误;沿着电场线方向电势降低,在b点电场线方向沿x轴正方向,在c点电场线方向沿x轴负方向,因此带正电粒子在b点与c点所受电场力方向不同,故C错误;带正电粒子从d点由静止释放先沿x轴负方向加速,再沿x轴负方向减速,到达a点时速度为0,然后粒子沿x轴正方向先加速后减速,到达d点时速度为0,则带正电粒子在ad之间做周期性运动,故A正确,D错误。
[例6] 【静电场中的E-x图像】 如图甲所示,在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称,它们在x轴上的E-x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q,它将沿x轴正方向运动,不计重力。则( )
[A] A、B带等量正电荷
[B] 点电荷q在x1处电势能最大
[C] 点电荷q在x3处动能最大
[D] 点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2
【答案】 D
【解析】 由E-x图像可知,在x轴上的P点对应x2点,在P点的左侧电场强度为正值,沿x轴正方向,右侧为负值,可知A、B带等量负电荷,A错误;电荷量为q的正点电荷,从O点到P点,静电力做正功,电势能减小,从P点沿x轴正方向运动,静电力做负功,电势能增加,因此点电荷q在x1处电势能不是最大,由动能定理可知点电荷q在x2处动能最大,B、C错误;由对称性可知,点电荷q沿x轴正方向最远能到达O点关于P点的对称点O′点位置,故点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2,D正确。
解决与电场有关图像问题的要点
(1)分析思路:与解决力学中的图像类问题相似,解决电场相关图像问题,关键是弄清图像坐标轴的物理意义,坐标正负代表什么,斜率、“面积”表示什么物理量,然后结合粒子的运动进一步分析静电力、电势能、动能等变化情况。
(2)与电场有关图像中的几个隐含物理量。
①E-x图像:图像与坐标轴围成的面积表示电势差。
②φ-x图像:某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度。
③Ep-x图像:某点切线的斜率表示该点对应位置的静电力。
对点1.电场中功能关系的综合问题
1.(4分)(2024·浙江杭州期中)如图所示,虚线a、b、c为电场中的三条等差等势线,实线为一带电粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、R、Q是这条轨迹上的三点,由此可知( )
[A] 带电粒子在P点时的加速度小于在Q点时的加速度
[B] P点的电势一定高于Q点的电势
[C] 带电粒子在R点时的电势能大于Q点时的电势能
[D] 带电粒子在P点时的动能大于在Q点时的动能
【答案】 C
【解析】 等差等势线越密集,电场强度越大,带电粒子的加速度越大,故带电粒子在P点时的加速度大于在Q点时的加速度,A错误;由运动轨迹可知,带电粒子所受静电力大致向下,若粒子从P点运动至Q点,静电力做正功,电势能减小,动能增大,则带电粒子在R点时的电势能大于Q点时的电势能,带电粒子在P点时的动能小于在Q点时的动能,由于粒子电性未知,则电势高低关系不确定,B、D错误,C正确。
2.(4分)(2025·江西南昌模拟)如图所示,在空间一条线段的两个端点M、N处固定等量异种点电荷,M处为正点电荷。abcd-efgh是以MN的中点为中心的一个正方体,正方体的ab边与MN平行,取无限远处为零电势点。下列说法正确的是( )
[A] a、g两点电场强度相同
[B] d、f两点电势相同
[C] 将一负试探电荷沿ab边从a移到b过程中,试探电荷的电势能先增大后减小
[D] 将一正试探电荷沿线段abf和沿线段aef从a移动到f的过程中,前者静电力做功更多
【答案】 A
【解析】 根据等量异种点电荷的电场分布特点可知,a、g两点关于两点电荷中心对称,a、g两点电场强度大小、方向均相同,A正确;d、f两点中d点离M处的正电荷更近,电势更高,d、f两点电势不相同,B错误;从a到b,电势减小,所以负试探电荷的电势能增大,C错误;因为静电力做功与路径无关,两个过程初、末位置相同,故静电力做功相同,D错误。
3.(6分)(2024·江西赣州期末)(多选)如图所示,一个电荷量为-Q的甲物体,固定在绝缘水平面上的O点。另一个电荷量为+q及质量为m的乙物体,从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动,到B点时速度最小且为v。已知乙物体与水平面间的动摩擦因数为μ,A、B间距离为L0,静电力常量为k,甲、乙两物体均可视为点电荷,电荷量不变,则( )
[A] 乙物体越过B点后继续向左运动,其动能减少
[B] 在甲物体形成的电场中,乙物体从B到O的过程中,它的电势能随位移变化越来越慢
[C] O、B间的距离为
[D] 从A到B的过程中,静电力对乙物体做的功W=μmgL0+mv2-m
【答案】 CD
【解析】 由题意,乙到达B点时速度最小,乙先减速运动后做加速运动,当速度最小时有μmg=F库=k,解得O、B间的距离r=,故C正确;乙物体越过B点后继续向左运动,甲、乙间的库仑引力大于滑动摩擦力,乙物体做加速运动,动能增加,故A错误;在甲物体形成的电场中,乙物体从B到O的过程中,电场强度逐渐变大,移动相同的距离,静电力做的功越多,电势能减少得越快,故B错误;从A到B的过程中,设静电力对乙物体做的功为W,根据动能定理得W-μmgL0=mv2-m,解得W=μmgL0+mv2-m,故D正确。
对点2.静电场中的图像问题
4.(4分)(2025·北京门头沟模拟)图甲是电场中的一条电场线,M、N是电场线上的两点。电子仅在静电力作用下从M点运动到N点,其运动的v-t图像如图乙所示。M、N点电场强度分别为EM和EN,电子在M、N点电势能分别为EpM和EpN。下列说法正确的是( )
[A] EM>EN,EpM>EpN
[B] EM>EN,EpM[C] EMEpN
[D] EM【答案】 A
【解析】 根据v-t图像的切线斜率表示加速度,可知电子在M点的加速度大于在N点的加速度,则在M点受到的静电力大于在N点受到的静电力,则M点的电场强度大于N点的电场强度,即有EM>EN,由v-t图像可知电子的动能增加,则静电力对电子做正功,电子的电势能减少,即有 EpM>EpN。故选A。
5.(6分)(2025·广东茂名模拟)(多选)反射式速调管是常用的微波器件之一,其内部真空,有一个静电场的方向平行于x轴,其电势φ随x的分布如图所示,x=0处电势为6 V。一个带负电粒子(重力不计)从x=3 cm处由静止释放,下列说法正确的是( )
[A] 该静电场可以由两个负电荷产生
[B] x=-2 cm处的电场强度小于x=2 cm处的电场强度
[C] 该粒子在x=0处的电势能最小
[D] 该粒子将沿x轴负方向运动,运动到的最远位置为x=-4.5 cm
【答案】 BCD
【解析】 φ-x图像的斜率表示电场强度,由题图可知-6 cm6.(4分)(2024·陕西西安阶段练习)如图甲所示,竖直线A、B两端点固定两个等量点电荷,带电荷量大小均为Q,AB长2l,O为AB连线的中点,以AB中垂线为x轴,其正半轴的电场强度变化如图乙所示,图中的阴影“面积”为S(S>0),以沿x轴正方向为电场强度的正方向,静电力常量为k。下列说法正确的是( )
[A] A、B两点的点电荷为异种电荷
[B] Ox直线上电场强度最大值为
[C] 将一电子从O点沿x轴移到无限远的过程中,电势能先增大后减小
[D] 将一带电荷量为-q的点电荷由x=l处静止释放,到达O点时的动能为2qS
【答案】 B
【解析】由题图乙可知O点的电场强度为零,x轴上的电场强度方向沿x轴正方向,则A、B两点的点电荷为等量正点电荷,A错误;在x=l的P处,A、B两点的点电荷在该点的电场强度方向如图所示,根据对称性可知该点的合电场强度E=2k,又根据几何关系可知cos θ==,解得Ox直线上电场强度最大值E=,B正确;将一电子从O点沿x轴移到无限远的过程中,静电力做负功,电势能一直增加,C错误;根据E-x图像与坐标轴围成的面积表示电势差,即 UPO=-S,从P到O根据动能定理-qUPO=EkO,可得到达O点时的动能为qS,D错误。
7.(4分)(2025·江西九江模拟)如图甲所示,半径为R的圆管道固定在竖直平面内,管道内径较小且与半径相比可忽略,内壁光滑,管道最低点为B,最高点为A,圆管所在平面内存在一匀强电场,在B点给质量为m、带电荷量为+q的小球一水平初速度,小球运动过程中动能与机械能随转过角度的关系分别如图乙、图丙所示,已知B点为重力势能和电势能的零点,小球在管道内恰好做圆周运动,重力加速度为g,小球可视为质点,则( )
[A] 电场强度大小为,方向与水平方向成45°角斜向左下方
[B] 小球的初动能为(1+)mgR
[C] 小球的最大机械能为(1+)mgR
[D] 小球在A点对管壁的作用力大小为(1+)mg
【答案】 B
【解析】 根据机械能随角度的变化图像可知,当小球转过的角度为270°时,小球的机械能最小,静电力做的负功最多,说明静电力的方向水平向左,根据动能随角度变化的图像可知,当小球转过角度为225°时,小球的动能为零,说明此时小球在等效最高点,有qEsin 45°=mgcos 45°,解得E=,对小球从B点到等效最高点的过程,在竖直方向移动的距离为R(1+sin 45°),沿静电力方向移动的距离为Rcos 45°,根据动能定理有mgR(1+sin 45°)+qERcos 45°=Ek0,解得Ek0=(1+)mgR,A错误,B正确;当小球转过的角度为90°时,静电力做的正功最多,根据功能关系有qER+Ek0=Em,解得Em=(2+)mgR,C错误;从B点到A点根据动能定理有-2mgR=EkA-Ek0,解得EkA=(-1)mgR,在A点竖直方向上根据牛顿第二定律有mg-FN=,解得FN=(3-2)mg,D错误。
8.(8分)(2024·广东珠海模拟)如图甲所示,倾角θ=37°的粗糙绝缘斜面,在O点以下存在沿斜面向上的电场,电场强度E随到O点距离x增大而均匀增大,如图乙所示。一个质量为m、带正电的滑块从距O点为d的A点静止释放,滑块的带电荷量为q,滑块经过O点后向前运动到距离为d的B点时速度减为零。已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ=,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,滑块看成质点,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)斜面上B点的电场强度大小E0;
(2)滑块到达B点时的电势能增加量;
(3)滑块在B点的加速度大小a。
【答案】 (1) (2)mgd (3)1.3g
【解析】 (1)由动能定理得
mgsin θ×2d-μmgcos θ×2d-qE0d=0,
解得斜面上B点的电场强度大小为E0=。
(2)在滑块运动的过程中,静电力做的功为
W电=-qE0d=-mgd,
根据静电力做功与电势能的关系
W电=-ΔEp,
可得ΔEp=mgd,
即滑块到达B点时,电势能增加量为mgd。
(3)在B点,对滑块由牛顿第二定律得
qE0-mgsin θ-μmgcos θ=ma,
解得滑块在B点的加速度大小为a=1.3g。
9.(10分)(2024·江西赣州期末)如图所示,AC水平轨道上AB段光滑,BC段粗糙,且LBC=2 m,CDF为竖直平面内半径为R=0.2 m的光滑半圆轨道,两轨道相切于C点,CF右侧有电场强度E=3×103 N/C 的匀强电场,方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与带负电滑块P接触但不连接,弹簧原长时滑块在B点。现向左压缩弹簧后由静止释放,当滑块P运动到F点时对轨道压力大小为4 N。已知滑块P的质量为m=0.4 kg,电荷量大小为q=1.0×10-3 C,与轨道BC间的动摩擦因数为μ=0.2,忽略滑块P与轨道间电荷转移,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑块到F点时的动能;
(2)求滑块到轨道最右侧D点时对轨道的压力;
(3)若滑块P沿光滑半圆轨道CDF运动过程中,对圆弧轨道的最小压力为10 N,求弹簧释放瞬间的弹性势能。
【答案】 (1)0.8 J (2)7 N,方向沿OD连线向右 (3)4.9 J
【解析】 (1)F点时,对滑块,由牛顿第二定律得
FN+mg=m,
根据牛顿第三定律知轨道对滑块的压力大小为
FN=4 N,
解得滑块到F点时的动能
Ek=m=0.8 J。
(2)滑块从D到F的过程中,根据动能定理,有
qER-mgR=m-m,
在D点时,根据牛顿第二定律,有
FND+qE=m,
联立解得FND=7 N,
根据牛顿第三定律知,滑块对轨道的压力大小为7 N,方向沿OD连线向右。
(3)重力和静电力的合力可看作等效重力(斜向左下方),此时mg′==5 N,
设等效重力的方向与竖直方向夹角为θ,则有
tan θ=,
可得θ=37°,
设等效最高点为M点,滑块在M点处对圆弧轨道压力最小,为10 N,根据牛顿第二定律有
FN′+mg′=m,
滑块P从释放到M点的过程中,由功能关系得
Ep′-μmgLBC-mg′R(1+cos θ)=m,
联立可得Ep′=4.9 J。
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)第3讲 小专题:电场中的功能关系和图像问题
考点一 电场中功能关系的综合问题
电场中功能关系模型
(1)只有静电力做功时,电势能与动能之和保持不变。
例如:如图所示的电场中带电粒子只在静电力作用下,从A点运动到B点,在A点和B点的动能和电势能分别是EkA、EpA和EkB、EpB,根据动能定理,静电力做功W=EkB-EkA,静电力做功等于电势能的减少量,则W=EpA-EpB,所以EkB-EkA=EpA-EpB,故EpB+EkB=EpA+EkA,即只有静电力做功时,电势能与动能之和保持不变。
(2)只有静电力和重力做功,电势能、重力势能、动能之和保持不变。
[例1] 【只有静电力做功的功能关系】 (2025·浙江金华模拟)在某个点电荷所产生电场中画一个圆,如图所示,O为圆心,圆周上的A、C两点的电场强度方向与圆相切,B是AC右侧圆弧的中点,下列说法正确的是( )
[A] A点的电场强度小于B点的电场强度
[B] O点的电势低于B点的电势
[C] 电子沿圆弧ABC运动,静电力先做正功后做负功
[D] 电子沿半径从A到O,电势能变大
[例2] 【只有重力和静电力作用下的功能关系】(2024·广东广州阶段练习)如图,A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点,其中A、B、O沿同一竖直线,B、C、D同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上,沿倾角为α的AC方向固定有一光滑绝缘细杆,AC=2L,且D点为AC的中点;在O点有一固定的正点电荷。现有一质量为m、带电荷量为-q的有孔小球(可视为质点)从杆上A点无初速度下滑,小球滑到D点时速度大小为。小球从A运动到C的过程中,当小球电势能最小时其速度为vm。以A点为零电势点,重力加速度为g。求:
(1)小球滑到C点时的速度大小;
(2)C点的电势;
(3)从A到C过程中,小球电势能的最小值。
考点二 静电场中的图像问题
1.几种常见图像的特点及应用
v-t 图像 根据v-t图像中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化,确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ-x 图像 (1)电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。 (2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。 (3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,分析WAB的正负,然后作出判断
E-x 图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律。 (2)E>0表示电场强度沿x轴正方向,E<0 表示电场强度沿x轴负方向。 (3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差的绝对值,两点的电势高低根据电场方向判定
Ep-x 图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律。 (2)图线的切线斜率的绝对值表示静电力的大小。 (3)进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
2.电场中常见的φ-x图像、E-x图像模型
名称 图像模型
φ-x 图像 (1)点电荷的φ-x图像(取无限远处电势为零),如图。 (2)两个等量异种点电荷连线上的φ-x图像,如图。 (3)两个等量同种点电荷的φ-x图像,如图。
E-x 图像 (1)正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像如图所示。 (2)两个等量异种点电荷的E-x图像,如图。 (3)两个等量正点电荷的E-x图像,如图。
[例3] 【静电场中的Ep-x图像】 (2025·河北承德模拟)如图甲所示,真空中两正点电荷M、N固定在x轴上,其中M位于坐标原点,x=x1和x=x2两点将M、N之间的线段三等分。一质量为m、电荷量为q(q远小于M、N的电荷量)的带正电微粒P仅在静电力作用下,以大小为v0的初速度从x=x1处沿x轴正方向运动。取无限远处的电势为零,P在M、N间由于受到M、N的静电力作用而具有的电势能Ep随位置x变化的关系图像如图乙所示,图乙中E1、E2均已知,且在x=x2处图线的切线水平。下列说法正确的是( )
[A] x=x1与x=x2两点间的电势差U12=
[B] P运动到x=x2处时加速度可能不为零
[C] M、N电荷量的大小关系为QM=2QN
[D] P在M、N间运动过程中的最大速度vm=
[例4] 【静电场中的v-t图像】 (2025·湖南衡阳模拟)如图甲所示,一质量为m、电荷量为q的正电荷从a点由静止释放,仅在静电力的作用下沿直线abc运动,其v-t图像如图乙所示。已知正电荷在b点处速率为v,斜率最大,最大值为k,在c点处的速率为v,斜率为零,则下列说法正确的是( )
[A] 该正电荷在从a到c的运动过程中,电势能先减小后增大
[B] b点的电场强度大小为,方向由b指向c
[C] a、b之间的电势差Uab=
[D] 从a到c电势逐渐升高,c点的电势最大
[例5] 【静电场中的φ-x图像】 (2025·河南高考适应性考试)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在电场力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子( )
[A] 将在ad之间做周期性运动
[B] 在d点的电势能大于a点的电势能
[C] 在b点与c点所受电场力方向相同
[D] 将沿x轴负方向运动,可以到达O点
[例6] 【静电场中的E-x图像】 如图甲所示,在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称,它们在x轴上的E-x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q,它将沿x轴正方向运动,不计重力。则( )
[A] A、B带等量正电荷
[B] 点电荷q在x1处电势能最大
[C] 点电荷q在x3处动能最大
[D] 点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2
解决与电场有关图像问题的要点
(1)分析思路:与解决力学中的图像类问题相似,解决电场相关图像问题,关键是弄清图像坐标轴的物理意义,坐标正负代表什么,斜率、“面积”表示什么物理量,然后结合粒子的运动进一步分析静电力、电势能、动能等变化情况。
(2)与电场有关图像中的几个隐含物理量。
①E-x图像:图像与坐标轴围成的面积表示电势差。
②φ-x图像:某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度。
③Ep-x图像:某点切线的斜率表示该点对应位置的静电力。
(满分:50分)
对点1.电场中功能关系的综合问题
1.(4分)(2024·浙江杭州期中)如图所示,虚线a、b、c为电场中的三条等差等势线,实线为一带电粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、R、Q是这条轨迹上的三点,由此可知( )
[A] 带电粒子在P点时的加速度小于在Q点时的加速度
[B] P点的电势一定高于Q点的电势
[C] 带电粒子在R点时的电势能大于Q点时的电势能
[D] 带电粒子在P点时的动能大于在Q点时的动能
2.(4分)(2025·江西南昌模拟)如图所示,在空间一条线段的两个端点M、N处固定等量异种点电荷,M处为正点电荷。abcd-efgh是以MN的中点为中心的一个正方体,正方体的ab边与MN平行,取无限远处为零电势点。下列说法正确的是( )
[A] a、g两点电场强度相同
[B] d、f两点电势相同
[C] 将一负试探电荷沿ab边从a移到b过程中,试探电荷的电势能先增大后减小
[D] 将一正试探电荷沿线段abf和沿线段aef从a移动到f的过程中,前者静电力做功更多
3.(6分)(2024·江西赣州期末)(多选)如图所示,一个电荷量为-Q的甲物体,固定在绝缘水平面上的O点。另一个电荷量为+q及质量为m的乙物体,从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动,到B点时速度最小且为v。已知乙物体与水平面间的动摩擦因数为μ,A、B间距离为L0,静电力常量为k,甲、乙两物体均可视为点电荷,电荷量不变,则( )
[A] 乙物体越过B点后继续向左运动,其动能减少
[B] 在甲物体形成的电场中,乙物体从B到O的过程中,它的电势能随位移变化越来越慢
[C] O、B间的距离为
[D] 从A到B的过程中,静电力对乙物体做的功W=μmgL0+mv2-m
对点2.静电场中的图像问题
4.(4分)(2025·北京门头沟模拟)图甲是电场中的一条电场线,M、N是电场线上的两点。电子仅在静电力作用下从M点运动到N点,其运动的v-t图像如图乙所示。M、N点电场强度分别为EM和EN,电子在M、N点电势能分别为EpM和EpN。下列说法正确的是( )
[A] EM>EN,EpM>EpN
[B] EM>EN,EpM[C] EMEpN
[D] EM5.(6分)(2025·广东茂名模拟)(多选)反射式速调管是常用的微波器件之一,其内部真空,有一个静电场的方向平行于x轴,其电势φ随x的分布如图所示,x=0处电势为6 V。一个带负电粒子(重力不计)从x=3 cm处由静止释放,下列说法正确的是( )
[A] 该静电场可以由两个负电荷产生
[B] x=-2 cm处的电场强度小于x=2 cm处的电场强度
[C] 该粒子在x=0处的电势能最小
[D] 该粒子将沿x轴负方向运动,运动到的最远位置为x=-4.5 cm
6.(4分)(2024·陕西西安阶段练习)如图甲所示,竖直线A、B两端点固定两个等量点电荷,带电荷量大小均为Q,AB长2l,O为AB连线的中点,以AB中垂线为x轴,其正半轴的电场强度变化如图乙所示,图中的阴影“面积”为S(S>0),以沿x轴正方向为电场强度的正方向,静电力常量为k。下列说法正确的是( )
[A] A、B两点的点电荷为异种电荷
[B] Ox直线上电场强度最大值为
[C] 将一电子从O点沿x轴移到无限远的过程中,电势能先增大后减小
[D] 将一带电荷量为-q的点电荷由x=l处静止释放,到达O点时的动能为2qS
7.(4分)(2025·江西九江模拟)如图甲所示,半径为R的圆管道固定在竖直平面内,管道内径较小且与半径相比可忽略,内壁光滑,管道最低点为B,最高点为A,圆管所在平面内存在一匀强电场,在B点给质量为m、带电荷量为+q的小球一水平初速度,小球运动过程中动能与机械能随转过角度的关系分别如图乙、图丙所示,已知B点为重力势能和电势能的零点,小球在管道内恰好做圆周运动,重力加速度为g,小球可视为质点,则( )
[A] 电场强度大小为,方向与水平方向成45°角斜向左下方
[B] 小球的初动能为(1+)mgR
[C] 小球的最大机械能为(1+)mgR
[D] 小球在A点对管壁的作用力大小为(1+)mg
8.(8分)(2024·广东珠海模拟)如图甲所示,倾角θ=37°的粗糙绝缘斜面,在O点以下存在沿斜面向上的电场,电场强度E随到O点距离x增大而均匀增大,如图乙所示。一个质量为m、带正电的滑块从距O点为d的A点静止释放,滑块的带电荷量为q,滑块经过O点后向前运动到距离为d的B点时速度减为零。已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ=,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,滑块看成质点,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)斜面上B点的电场强度大小E0;
(2)滑块到达B点时的电势能增加量;
(3)滑块在B点的加速度大小a。
9.(10分)(2024·江西赣州期末)如图所示,AC水平轨道上AB段光滑,BC段粗糙,且LBC=2 m,CDF为竖直平面内半径为R=0.2 m的光滑半圆轨道,两轨道相切于C点,CF右侧有电场强度E=3×103 N/C 的匀强电场,方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与带负电滑块P接触但不连接,弹簧原长时滑块在B点。现向左压缩弹簧后由静止释放,当滑块P运动到F点时对轨道压力大小为4 N。已知滑块P的质量为m=0.4 kg,电荷量大小为q=1.0×10-3 C,与轨道BC间的动摩擦因数为μ=0.2,忽略滑块P与轨道间电荷转移,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑块到F点时的动能;
(2)求滑块到轨道最右侧D点时对轨道的压力;
(3)若滑块P沿光滑半圆轨道CDF运动过程中,对圆弧轨道的最小压力为10 N,求弹簧释放瞬间的弹性势能。
(
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高中总复习·物理
第3讲
小专题:电场中的
功能关系和图像问题
电场中功能关系模型
(1)只有静电力做功时,电势能与动能之和保持不变。
例如:如图所示的电场中带电粒子只在静电力作用下,从A点运动到B点,在A点和B点的动能和电势能分别是EkA、EpA和EkB、EpB,根据动能定理,静电力做功W=EkB-EkA,静电力做功等于电势能的减少量,则W=EpA-EpB,所以EkB-EkA=EpA-EpB,故EpB+EkB=EpA+EkA,即只有静电力做功时,
电势能与动能之和保持不变。
(2)只有静电力和重力做功,电势能、重力势能、
动能之和保持不变。
[例1] 【只有静电力做功的功能关系】 (2025·浙江金华模拟)在某个点电荷所产生电场中画一个圆,如图所示,O为圆心,圆周上的A、C两点的电场强度方向与圆相切,B是AC右侧圆弧的中点,下列说法正确的是( )
[A] A点的电场强度小于B点的电场强度
[B] O点的电势低于B点的电势
[C] 电子沿圆弧ABC运动,静电力先做正功后做负功
[D] 电子沿半径从A到O,电势能变大
D
【解析】 根据正点电荷的电场线由正电荷出发向外辐射的特点,作出电场线与等势面,如图所示,
电子沿圆弧ABC运动,电势先减小后增大,根据Ep=qφ,由于电子带负电,则电子的电势能先增大后减小,静电力先做负功后做正功,故C错误;由题图中几何关系可知,A点离点电荷比O点离点电荷更近,电子沿半径从A到O,电势降低,根据Ep=qφ,由于电子带负电,则电子电势能变大,故D正确。
[例2] 【只有重力和静电力作用下的功能关系】(2024·广东广州阶段练习)如图,A、B、O、C为在同一竖直平面内的四点,其中A、B、O沿同一竖直线,B、C、D同在以O为圆心的圆周(用虚线表示)上,沿倾角为α的AC方向固定有一光滑绝缘细杆,AC=2L,且D点为AC的中点;在O点有一固定的正点
电荷。
(1)小球滑到C点时的速度大小;
(2)C点的电势;
(3)从A到C过程中,小球电势能的最小值。
【解析】 (3)小球从A运动到C的过程中,当小球电势能最小时其速度为vm,由于小球带负电,则当小球电势能最小时,所处位置电势最高,根据点电荷电势分布特点可知,离正点电荷越近,电势越高,可知当小球运动到CD中点时,小球的电势能最小,从A到电势能最小位置的过程,
1.几种常见图像的特点及应用
v-t 图像 根据v-t图像中速度变化、斜率确定电荷所受合力的方向与合力大小变化,确定电场的方向、电势高低及电势能变化
φ-x 图像 (1)电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。
(2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低,并可根据电势高低关系确定电场强度的方向。
(3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,分析WAB的正负,然后作出判断
E-x 图像 (1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示电场强度沿x轴正方向,E<0 表示电场强度沿x轴负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差,“面积”大小表示电势差的绝对值,两点的电势高低根据电场方向判定
Ep-x 图像 (1)反映了电势能随位移变化的规律。
(2)图线的切线斜率的绝对值表示静电力的大小。
(3)进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况
2.电场中常见的φ-x图像、E-x图像模型
名称 图像模型
φ-x 图像 (1)点电荷的φ-x图像(取无限远处电势为零),如图。
(2)两个等量异种点电荷连线上的φ-x图像,如图。
(3)两个等量同种点电荷的φ-x图像,如图。
E-x 图像 (1)正点电荷及负点电荷的电场强度E随坐标x变化关系的图像如图
所示。
(2)两个等量异种点电荷的E-x图像,如图。
(3)两个等量正点电荷的E-x图像,如图。
[例3] 【静电场中的Ep-x图像】 (2025·河北承德模拟)如图甲所示,真空中两正点电荷M、N固定在x轴上,其中M位于坐标原点,x=x1和x=x2两点将M、N之间的线段三等分。一质量为m、电荷量为q(q远小于M、N的电荷量)的带正电微粒P仅在静电力作用下,以大小为v0的初速度从x=x1处沿x轴正方向运动。取无限远处的电势为零,P在M、N间由于受到M、N的静电力作用而具有的电势能Ep随位置x变化的关系图像如图乙所示,图乙中E1、E2均已知,且在x=x2处图线的切线水平。
下列说法正确的是( )
D
B
[例5] 【静电场中的φ-x图像】 (2025·河南高考适应性考试)某电场的电势φ随位置x的变化关系如图所示,O点为坐标原点,a、b、c、d为x轴上的四个点。一带正电粒子从d点由静止释放,在电场力作用下沿x轴运动,不计重力,则粒子( )
[A] 将在ad之间做周期性运动
[B] 在d点的电势能大于a点的电势能
[C] 在b点与c点所受电场力方向相同
[D] 将沿x轴负方向运动,可以到达O点
A
【解析】 a、d两点电势相等,则带正电粒子在a、d两点的电势能相等,故B错误;沿着电场线方向电势降低,在b点电场线方向沿x轴正方向,在c点电场线方向沿x轴负方向,因此带正电粒子在b点与c点所受电场力方向不同,故C错误;带正电粒子从d点由静止释放先沿x轴负方向加速,再沿x轴负方向减速,到达a点时速度为0,然后粒子沿x轴正方向先加速后减速,到达d点时速度为0,则带正电粒子在ad之间做周期性运动,故A正确,D错误。
[例6] 【静电场中的E-x图像】 如图甲所示,在真空中固定的两个相同点电荷A、B关于x轴对称,它们在x轴上的E-x图像如图乙所示(规定x轴正方向为电场强度的正方向)。若在坐标原点O由静止释放一个正点电荷q,它将沿x轴正方向运动,不计重力。则( )
[A] A、B带等量正电荷
[B] 点电荷q在x1处电势能最大
[C] 点电荷q在x3处动能最大
[D] 点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2
D
【解析】 由E-x图像可知,在x轴上的P点对应x2点,在P点的左侧电场强度为正值,沿x轴正方向,右侧为负值,可知A、B带等量负电荷,A错误;电荷量为q的正点电荷,从O点到P点,静电力做正功,电势能减小,从P点沿x轴正方向运动,静电力做负功,电势能增加,因此点电荷q在x1处电势能不是最大,由动能定理可知点电荷q在x2处动能最大,B、C错误;由对称性可知,点电荷q沿x轴正方向最远能到达O点关于P点的对称点O′点位置,故点电荷q沿x轴正向运动的最远距离为2x2,D正确。
方法总结
解决与电场有关图像问题的要点
(1)分析思路:与解决力学中的图像类问题相似,解决电场相关图像问题,关键是弄清图像坐标轴的物理意义,坐标正负代表什么,斜率、“面积”表示什么物理量,然后结合粒子的运动进一步分析静电力、电势能、动能等变化情况。
(2)与电场有关图像中的几个隐含物理量。
①E-x图像:图像与坐标轴围成的面积表示电势差。
②φ-x图像:某点切线的斜率表示该点对应位置的电场强度。
③Ep-x图像:某点切线的斜率表示该点对应位置的静电力。
方法总结
对点1.电场中功能关系的综合问题
1.(4分)(2024·浙江杭州期中)如图所示,虚线a、b、c为电场中的三条等差等势线,实线为一带电粒子仅在静电力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、R、Q是这条轨迹上的三点,由此可知( )
[A] 带电粒子在P点时的加速度小于在Q点时的加速度
[B] P点的电势一定高于Q点的电势
[C] 带电粒子在R点时的电势能大于Q点时的电势能
[D] 带电粒子在P点时的动能大于在Q点时的动能
基础对点练
C
【解析】 等差等势线越密集,电场强度越大,带电粒子的加速度越大,故带电粒子在P点时的加速度大于在Q点时的加速度,A错误;由运动轨迹可知,带电粒子所受静电力大致向下,若粒子从P点运动至Q点,静电力做正功,电势能减小,动能增大,则带电粒子在R点时的电势能大于Q点时的电势能,带电粒子在P点时的动能小于在Q点时的动能,由于粒子电性未知,则电势高低关系不确定,B、D错误,C正确。
2.(4分)(2025·江西南昌模拟)如图所示,在空间一条线段的两个端点M、N处固定等量异种点电荷,M处为正点电荷。abcd-efgh是以MN的中点为中心的一个正方体,正方体的ab边与MN平行,取无限远处为零电势点。下列说法正确的是( )
[A] a、g两点电场强度相同
[B] d、f两点电势相同
[C] 将一负试探电荷沿ab边从a移到b过程中,试探电荷的电势能先增大后减小
[D] 将一正试探电荷沿线段abf和沿线段aef从a移动到f的过程中,前者静电力做功更多
A
【解析】 根据等量异种点电荷的电场分布特点可知,a、g两点关于两点电荷中心对称,a、g两点电场强度大小、方向均相同,A正确;d、f两点中d点离M处的正电荷更近,电势更高,d、f两点电势不相同,B错误;从a到b,电势减小,所以负试探电荷的电势能增大,C错误;因为静电力做功与路径无关,两个过程初、末位置相同,故静电力做功相同,D错误。
3.(6分)(2024·江西赣州期末)(多选)如图所示,一个电荷量为-Q的甲物体,固定在绝缘水平面上的O点。另一个电荷量为+q及质量为m的乙物体,从A点以初速度v0沿它们的连线向甲运动,到B点时速度最小且为v。已知乙物体与水平面间的动摩擦因数为μ,A、B间距离为L0,静电力常量为k,甲、乙两物体均可视为点电荷,电荷量不变,则( )
[A] 乙物体越过B点后继续向左运动,其动能减少
[B] 在甲物体形成的电场中,乙物体从B到O的过程中,
它的电势能随位移变化越来越慢
CD
对点2.静电场中的图像问题
4.(4分)(2025·北京门头沟模拟)图甲是电场中的一条电场线,M、N是电场线上的两点。电子仅在静电力作用下从M点运动到N点,其运动的v-t图像如图乙所示。M、N点电场强度分别为EM和EN,电子在M、N点电势能分别为EpM和EpN。下列说法正确的是( )
[A] EM>EN,EpM>EpN
[B] EM>EN,EpM[C] EMEpN
[D] EMA
【解析】 根据v-t图像的切线斜率表示加速度,可知电子在M点的加速度大于在N点的加速度,则在M点受到的静电力大于在N点受到的静电力,则M点的电场强度大于N点的电场强度,即有EM>EN,由v-t图像可知电子的动能增加,则静电力对电子做正功,电子的电势能减少,即有 EpM>EpN。故选A。
5.(6分)(2025·广东茂名模拟)(多选)反射式速调管是常用的微波器件之一,其内部真空,有一个静电场的方向平行于x轴,其电势φ随x的分布如图所示,x=0处电势为6 V。一个带负电粒子(重力不计)从x=3 cm处由静止释放,下列说法正确的是( )
[A] 该静电场可以由两个负电荷产生
[B] x=-2 cm处的电场强度小于x=2 cm处的电场强度
[C] 该粒子在x=0处的电势能最小
[D] 该粒子将沿x轴负方向运动,运动到的最远位置为x=-4.5 cm
BCD
x=0处电势最高,根据Ep=qφ可知该带负电粒子在x=0处的电势能最小,故C正确;带负电粒子从x=3 cm处由静止释放,受到沿x轴负方向的静电力,当运动到x<0区域后,受到沿x轴正方向的静电力,根据动能定理有qE2x2-qE1x1=0,可得x1=4.5 cm,则该粒子将沿x轴负方向运动,运动到的最远位置为x=-x1=-4.5 cm,故D正确。
6.(4分)(2024·陕西西安阶段练习)如图甲所示,竖直线A、B两端点固定两个等量点电荷,带电荷量大小均为Q,AB长2l,O为AB连线的中点,以AB中垂线为x轴,其正半轴的电场强度变化如图乙所示,图中的阴影“面积”为S(S>0),以沿x轴正方向为电场强度的正方向,静电力常量为k。下列说法正确的是( )
[A] A、B两点的点电荷为异种电荷
B
将一电子从O点沿x轴移到无限远的过程中,静电力做负功,电势能一直增加,
C错误;根据E-x图像与坐标轴围成的面积表示电势差,即 UPO=-S,从P到O根据动能定理-qUPO=EkO,可得到达O点时的动能为qS,D错误。
综合提升练
7.(4分)(2025·江西九江模拟)如图甲所示,半径为R的圆管道固定在竖直平面内,管道内径较小且与半径相比可忽略,内壁光滑,管道最低点为B,最高点为A,圆管所在平面内存在一匀强电场,在B点给质量为m、带电荷量为+q的小球一水平初速度,小球运动过程中动能与机械能随转过角度的关系分别如图乙、图丙所示,已知B点为重力势能和电势能的零点,小球在管道内恰好做圆周运动,重力加速度为g,小球可视为质点,则( )
B
(1)斜面上B点的电场强度大小E0;
(2)滑块到达B点时的电势能增加量;
【答案】 (2)mgd
(3)滑块在B点的加速度大小a。
【答案】 (3)1.3g
【解析】 (3)在B点,对滑块由牛顿第二定律得
qE0-mgsin θ-μmgcos θ=ma,
解得滑块在B点的加速度大小为a=1.3g。
9.(10分)(2024·江西赣州期末)如图所示,AC水平轨道上AB段光滑,BC段粗糙,且LBC=2 m,
CDF为竖直平面内半径为R=0.2 m的光滑半圆轨道,两轨道相切于C点,CF右侧有电场强度E=3×103 N/C 的匀强电场,方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与带负电滑块P接触但不连接,弹簧原长时滑块在B点。现向左压缩弹簧后由静止释放,当滑块P运动到F点时对轨道压力大小为4 N。已知滑块P的质量为m=0.4 kg,电荷量大小为q=1.0×10-3 C,与轨道BC间的动摩擦因数为μ=0.2,忽略滑块P与轨道间电荷转移,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑块到F点时的动能;
【答案】 (1)0.8 J
(2)求滑块到轨道最右侧D点时对轨道的压力;
【答案】 (2)7 N,方向沿OD连线向右
(3)若滑块P沿光滑半圆轨道CDF运动过程中,对圆弧轨道的最小压力为10 N,求弹簧释放瞬间的弹性势能。
【答案】 (3)4.9 J
