第4讲 电容器 带电粒子在电场中的运动
情境导思 如图是带电粒子垂直进入匀强电场,只在静电力作用下偏转时的轨迹图。 (1)带电粒子在匀强电场中偏转时,粒子做什么运动 (2)带电粒子在匀强电场中偏转时,可以用平抛运动的知识分析吗 (3)带电粒子在匀强电场中偏转时,若已知进入电场和离开电场两点间的电势差以及带电粒子的初速度,如何用动能定理求解末速度大小
【答案】 异种 中和 106 1012 mv2-m
类平抛 合成 分解
考点一 平行板电容器及其动态分析
关于平行板电容器动态分析的两类典型问题
(1)U不变的情形(如图甲所示)。
如果平行板电容器充电后始终连接在电源上,两极板间的电势差U就保持不变。由C=→C∝,可知C随d、S、εr的变化而变化;由Q=UC=U→Q∝,可知Q随d、S、εr的变化而变化;由E=→E∝,可知E随d的变化而变化。
(2)Q不变的情形(如图乙所示)。
若平行板电容器充电后切断与电源的连接,电容器的电荷量Q就保持不变。由C=→C∝,可知C随d、S、εr的变化而变化;由U==→U∝,可知U随d、S、εr的变化而变化;由E===→E∝,可知E随S、εr的变化而变化,与d无关,不随d的变化而变化。
[例1] 【电容器基本量的理解】 某除颤器内30 μF的电容器在1 min内充电至3 000 V,抢救病人时,电流通过电极板放电进入人体,一次完全放电时间为2 ms,忽略电容器放电时人体的电阻变化,下列说法正确的是( )
[A] 充电过程电流大小保持不变
[B] 充电后电容器的带电荷量为90 C
[C] 放电过程电容器的电容会越来越小
[D] 放电过程的平均电流为45 A
【答案】 D
【解析】 电容器充电过程中,充电电流逐渐减小,A错误;电容器充电后所带的电荷量为Q=CU=30×10-6×3 000 C=0.09 C,B错误;电容器的电容由电容器本身的性质决定,与电容器是否带电无关,故电容器放电过程中电容保持不变,C错误;电容器放电过程中的平均电流为== A=45 A,D正确。
[例2] 【定电荷量问题】 (2024·山东潍坊模拟)(多选)如图所示为某款手机内部加速度传感器的俯视图,M、N为电容器的两极板,M板固定在手机上,N板通过两完全相同的水平弹簧与手机相连,电容器充电后与电源断开,M、N间距离为d0, 电压传感器示数为U0,已知弹簧的劲度系数为 k,N板质量为 m,不计摩擦, 当手机在水平面内以加速度 a 沿N到M方向运动时( )
[A] 电容器的电容变大
[B] M、N两板间的电场强度不变
[C] 电压传感器示数为U0(1+)
[D] 电压传感器示数为U0(1-)
【答案】 BC
【解析】 当手机在水平面内以加速度a沿N到M方向运动时,N板所受合力方向向右,N板将压缩弹簧,两极板间距增大,设极板间距为d,根据C=可知,电容器的电容变小,故A错误;电容器充电后与电源断开,极板所带电荷量一定,根据C=,E=,解得E=,可知M、N两板间的电场强度不变,故B正确;没有加速运动前有C′=,C′=,加速运动之后有C=,C=,N板水平方向所受合力等于弹簧压缩后的弹力,则有2k(d-d0)=ma,解得U=U0(1+),故C正确,D错误。
[例3] 【定电压问题】 (2024·湖北武汉阶段练习)(多选)如图所示,平行板电容器与电动势为E的直流电源(内阻不计)连接,下极板接地。一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态,电容器中另一点D固定一可看成点电荷的带负电小球。现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离,则( )
[A] 带电油滴将沿竖直方向向上运动
[B] D点的电势将降低
[C] D点的带电小球电势能减小
[D] 极板带电荷量将减小
【答案】 BD
【解析】 电容器两端电压U不变,极板间距d变大,由公式E=可知,电场强度变小,静电力变小,静电力小于重力,故P点的带电油滴将沿竖直方向向下运动,A错误;下极板接地,电势为零,D点到下极板的距离x不变,而电场强度E减小,D点与下极板的电势差φD-0=Ex,所以D点的电势降低,D点的小球带负电,所以小球的电势能增大,B正确,C错误;题图中电容器两端电压U不变,由C=得电容C减小,由公式Q=CU可知,极板带电荷量减小,D正确。
考点二 带电粒子在电场中的直线运动
带电粒子在电场中运动时重力的处理
(1)基本粒子及各种离子:如电子、质子、α粒子等,因为质量很小,所以重力比静电力小得多,无特殊要求前提下,重力可忽略不计(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒或微粒,如尘埃、液滴、小球等质量较大,其重力一般情况下不能忽略。
[例4] 【仅在静电力作用下的直线运动——非匀强电场】 (2024·山东聊城期末)(多选)如图所示,在光滑绝缘水平面上,两个带等量正电荷的点电荷M、N分别固定在A、B两点,O为A、B连线的中点,CD为A、B连线的垂直平分线。在C、O之间的F点由静止释放一个带负电的小球P(假设不改变原来的电场分布),在以后的一段时间内,P在CD上做往复运动,下列说法正确的是( )
[A] 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中振幅不断减小
[B] 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中每次经过O点时的速率不断减小
[C] 若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中周期不断减小
[D] 若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中振幅不断减小
【答案】 BCD
【解析】 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中在同一位置所受静电力逐渐减小,静电力做功相同的情况下需要运动的位移更长,所以小球P往复运动过程中振幅不断增大,小球P从最大位移处回到O的过程中静电力做的功不断减小,所以P每次经过O点时的速率不断减小,故A错误,B正确;若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中所受静电力不断增大,静电力做功相同的情况下需要运动的位移更短,所以小球P往复运动过程中振幅不断减小,而小球P的加速度不断增大,完成相同位移所需时间不断减小,所以小球P往复运动过程中周期不断减小,故C、D正确。
[例5] 【重力和静电力共同作用下的直线运动】 (2025·辽宁葫芦岛模拟)如图所示,一带电微粒从A点射入水平方向的匀强电场中(实线代表电场线,电场方向未知),微粒恰沿直线AB运动,AB与水平方向夹角θ=45°,已知带电微粒的质量为m,电荷量大小为q,A与B相距 L,重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
[A] 从A到B,带电微粒做匀加速直线运动
[B] 若电场方向向左,则带电微粒带负电
[C] 从A到B的过程中,带电微粒的重力势能增加,机械能增加
[D] 要使带电微粒能从A点运动到B点,其射入电场时的速度大小至少为
【答案】 D
【解析】 根据题意可知,带电微粒沿直线从A运动到B,说明带电微粒受到的静电力一定水平向左,受力分析可得,带电微粒的加速度大小为a=g,做匀减速直线运动,故A错误;由A分析可知,静电力一定向左,若电场方向向左,则带电微粒带正电,故B错误;从A到B的过程中,重力对带电微粒做负功,重力势能增加,静电力对带电微粒做负功,电势能增加,机械能减少,故C错误;带电微粒恰好能从A点运动到B点,则有0-=-2aL,解得v0=,故D正确。
带电粒子在电场中的直线运动的解题流程
考点三 带电粒子在电场中的偏转
1.处理带电粒子的偏转问题的方法
(1)运动的分解法:采用分解的思想来处理,即将带电粒子的运动分解为沿静电力方向上的匀加速直线运动和垂直于静电力方向上的匀速直线运动。
(2)功能关系:当讨论带电粒子的末速度v时可以从能量的角度进行求解,即qUy=mv2-m,其中Uy=y0,指初、末位置间的电势差。
2.带电粒子在电场中偏转的一般规律
3.重要推论
(1)速度偏转角正切值 tan θ是位移偏转角正切值tan α的2倍。
(2)粒子经电场偏转后射出时,瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点,即该交点到偏转电场边缘的距离为极板长度的一半。
(3)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时,它们的偏转角、侧移距离均相同。
[例6] 【带电粒子在匀强电场中的偏转】 (2024·甘肃张掖阶段练习)(多选)如图所示,带正电的粒子以一定的初速度v0沿M、N两板的中线进入水平放置的带电平行金属板内,恰好沿N板的右边缘飞出,最终打在金属板右侧的屏幕上。已知金属板的长度及金属板右边缘至屏幕的水平距离均为L,M、N两板间距离为d,两板之间中线的延长线与屏幕的交点为O,带电粒子的质量为m、电荷量为q,不计粒子的重力。则( )
[A] 两板之间的电压为
[B] 粒子经过N板右边缘处的速度大小为
[C] 粒子在两板间运动的前一半时间和后一半时间内,静电力做功之比为1∶2
[D] 粒子打到屏幕上的位置与O点之间的距离为1.5d
【答案】 BD
【解析】 粒子在两板之间运动的时间为t1=,粒子在竖直方向上有=·,解得U=,故A错误;根据平抛运动的推论,粒子速度反向延长线交于水平位移的中点,则可得粒子在N板右边缘处速度在竖直方向上的分速度vy=v0·,在该点的速度为v==,故B正确;粒子在两板间运动的过程中,竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动,可知前一半时间和后一半时间其竖直方向上的位移之比为1∶3,则静电力做功之比为1∶3,故C错误;根据粒子速度的反向延长线交于水平位移的中点,有如图所示位置关系,
根据几何关系结合相似三角形的知识可得=,解得y=1.5d,故D正确。
对点1.平行板电容器及其动态分析
1.(4分)(2025·北京昌平模拟)如图所示是一种电容式键盘,键盘上每个键下面都连有一块小金属片,与该金属片隔有一定空气间隙的是另一块固定的小金属片,这样两块金属片就组成一个小电容器。该电容器的电容可用公式C=ε计算,其中ε为一常量,S表示金属片的正对面积,d表示两金属片间的距离。连接电源,按下某个键时,与之相连的电子线路就给出与该键相关的信号,此时该电容器的( )
[A] 电容不变
[B] 极板所带的电荷量变大
[C] 极板间的电压变小
[D] 极板间的电场强度不变
【答案】 B
【解析】 按下某个键时,两金属片间的距离d减小,由C=ε,电容器的电容变大,A错误;由电容的定义式C=,两金属片间的电势差不变,电容变大,极板所带的电荷量变大,B正确,C错误;极板间的电场强度E=,极板间距d变小,U不变,则E变大,D错误。
2.(4分)(2024·重庆铜梁模拟)某电容式电子秤的部分结构如图所示。将该电子秤水平放置,未测物品时,两金属板M、N平行正对,带有等量异种电荷且保持不变;当放置物品时,M板受到压力F而发生微小形变,则( )
[A] M、N两板间电势差变小
[B] M、N两板间电场强度处处不变
[C] M、N两板构成的电容器的电容变小
[D] M、N两板构成的电容器的电容不变
【答案】 A
【解析】 根据题意,由电容的决定式C=可知,M板受到压力F而发生微小形变,板间距离d减小,则电容器电容增大,故C、D错误;根据题意,由电容的定义式C=可知,由于极板上电荷量不变,电容增大,则M、N两板间电势差变小,故A正确;M板受到压力F而发生微小形变,M、N两板不平行,则M、N两板间电场不再是匀强电场,则一定不是电场强度处处不变,故B错误。
对点2.带电粒子在电场中的直线运动
3.(6分)(2024·浙江宁波模拟)(多选)如图所示,某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成,相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管,在漂移管内做匀速直线运动,在漂移管间被电场加速,加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s,进入漂移管E时速度为1×107 m/s,电源频率为1×107 Hz,漂移管间缝隙很小。质子在每个管内运动时间视为电源周期的,质子的比荷取1×108 C/kg。则( )
[A] 漂移管需要用绝缘材料制成
[B] 各漂移管的长度应相等
[C] 漂移管B的长度为0.4 m
[D] 相邻漂移管间的加速电压U=6×104 V
【答案】 CD
【解析】 质子在漂移管内做匀速直线运动,漂移管内电场强度为零,根据静电屏蔽,漂移管需要用金属材料制成,故A错误;质子在漂移管间被电场加速,在漂移管内做匀速直线运动,质子在每个管内运动时间视为电源周期的,各漂移管的长度应逐渐增大,故B错误;电源周期为T==1×10-7s,漂移管B的长度LB=vB·=8×106××1×10-7 m=0.4 m,故C正确;从B到E,根据动能定理有3qU=m-m,解得相邻漂移管间的加速电压U=6×104 V,故D正确。
4.(4分)(2025·河南焦作模拟)如图所示,平行板电容器的电容为C,A板上有一小孔,小孔的正上方h处有一质量为m、带电荷量为q的小球,小孔的直径略大于小球的直径,将小球由静止释放,经时间t小球速度减为零(小球未与B板相碰)。重力加速度为g,空气阻力不计。下列说法正确的是( )
[A] 小球全过程做匀变速直线运动
[B] t时间内小球的平均速度大小为
[C] 可以求出电容器极板上的电荷量
[D] 可以求出平行板电容器两板间距
【答案】 B
【解析】 小球先做匀加速运动后做匀减速运动,全程加速度不恒定,故A错误;小球刚到达小孔时的速度为v0,由=2gh,解得v0=,在A、B板间,小球做匀减速直线运动,匀减速阶段与自由落体阶段平均速度均为,所以小球t时间内平均速度大小为=,故B正确;根据自由落体运动规律有h=g,解得t1=,则小球在电容器内的时间t2=t-t1,根据加速度定义式可以求出小球在板间运动的加速度,根据牛顿第二定律可以求出电场强度大小,但两板间距无法求出,板间电压也无法求出,所以电容器极板上电荷量无法求出,故C、D错误。
对点3.带电粒子在电场中的偏转
5.(4分)(2025·广东湛江模拟)某种负离子空气净化器的原理如图所示,由空气和带一价负电的灰尘颗粒组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中,带电颗粒入射时的最大动能为4×106 eV,金属板的长度为L,金属板的间距为d,且L=100d。在匀强电场作用下,带电颗粒打到金属板上被收集,不考虑重力影响和颗粒间的相互作用。要使得全部颗粒被收集,两极板间的电势差至少为( )
[A] 1 600 V [B] 800 V
[C] 400 V [D] 200 V
【答案】 A
【解析】 只要紧靠上极板进入的颗粒能够落到收集器最右侧,颗粒就能够全部被收集,水平方向有L=v0t,竖直方向有d=at2,qE=ma,又E=,Ekm=m,联立解得两金属板间的电压为U==1 600 V。故选A。
6.(4分)(2025·北京西城模拟)如图所示,一带负电粒子(不计重力)质量为m、电荷量大小为q,以初速度v0沿两板中央水平方向射入水平放置、距离为d、电势差为U的一对平行金属板间,经过一段时间从两板间飞出,在此过程中,已知粒子动量变化量的大小为Δp,下列说法不正确的是( )
[A] 粒子在两板间运动的加速度大小为
[B] 粒子从两板间离开时的速度大小为
[C] 金属板的长度为
[D] 入射点与出射点间的电势差为-
【答案】 B
【解析】 粒子在电场中运动,根据牛顿第二定律有=ma,解得粒子在两板间运动的加速度大小为a=,故A正确;由于粒子在电场中做类平抛运动,水平方向做匀速直线运动,则水平方向动量的变化量为零,竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动,则动量的变化量Δp=mvy,可得vy=,则粒子从两板间离开时的速度大小v==,粒子在两板间运动的时间为t==,金属板的长度L=v0t=,故B错误,C正确;设入射点与出射点之间的电势差为U0,根据动能定理可得-U0q=mv2-m,解得U0=-,故D正确。
7.(4分)(2024·浙江温州二模)如图所示,加速电场的两极板P、Q竖直放置,间距为d,电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置,两极板长度及间距均为L,电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B,A、B连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度进入加速电场,经过偏转电场,到达探测器(探测器可上下移动)。整个装置处于真空环境,且不计离子重力。下列说法正确的是( )
[A] 离子在加速电场中运动时间为d
[B] 离子在M、N板间运动时间为L
[C] 离子到达探测器的最大动能为q(U1+U2)
[D] 为保证离子不打在M、N极板上,U1与U2应满足的关系为U2>2U1
【答案】 B
【解析】 离子在加速电场做匀加速直线运动,加速度为a1=,由公式d=a1得离子在加速电场中运动时间为t1=d,故A错误;设离子进入偏转电场的速度为v0,由动能定理有U1q=m,离子在M、N板间运动时间为t2=,解得t2=L,故B正确;当离子恰好从M或N板右边缘射出电场时动能最大,由动能定理有Ekm=U1q+q,故C错误;为保证离子不打在M、N极板上,即离子在竖直方向的偏转位移应小于,有·<,解得U2<2U1,故D错误。
8.(6分)(2025·贵州毕节模拟)(多选)如图,竖直面内有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道BC,固定在光滑的水平地面上,且圆弧轨道最低点C与水平地面相切。空间加有水平向右的匀强电场,A点位于B点左上方,相对于B点的水平距离和竖直高度均为R,一可视为质点的带电小球从A点以某一速度水平抛出,恰能从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道,小球离开轨道后,运动到D点(D点未画出)时速度减为零,则( )
[A] 小球带负电
[B] CD段长度为2R
[C] 小球从A点抛出时的速度大小为
[D] 从A点到D点过程中小球的电势能增加了3mgR
【答案】 AD
【解析】 由题意可知小球恰好从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道,离开轨道后,小球在水平方向上运动到D点速度减为零,小球受到水平向左的静电力作用,与电场方向相反,则小球带负电,故A正确;小球恰好从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道,小球在竖直方向上做自由落体运动,则R=gt2,可得小球运动的时间为t=,小球在水平方向上做匀减速直线运动,则有R==at2,可得小球从A点抛出时的速度大小为v0=,小球在水平方向的加速度的大小为a=g,可知小球受到的静电力大小为F=mg,小球从A到D的过程中,由动能定理可得mg×2R-Fx=0-m,可得x=3R,则CD段的长度为xCD=x-2R=R,根据功能关系可得从A点到D点过程中小球的电势能增加了ΔEp=Fx=3mgR,故B、C错误,D正确。
9.(14分)(2024·广东深圳期末)喷墨打印机的原理示意图如图所示,质量为m的墨滴从墨盒进入带电室后带上电荷,并以相同的速度v0进入偏转电场,墨滴经过电场偏转后打到纸上,显示字体。没有信号时墨滴不带电并沿直线运动打到回流槽中回收。已知上偏转板带正电,下板带负电,偏转板长为L1,偏转板间距离为d,两板间电压为U,偏转板右端与纸的距离为L2,墨滴打到纸上的点偏离原入射方向上方距离为y处。忽略空气阻力和重力的作用。
(1)墨滴带电的电性及电荷量q;
(2)由于墨盒故障,吐出墨滴质量变大,若墨滴进入偏转电场速度不变,则打出的字会如何变化
(3)若要使纸上的字体放大为原来的2倍(偏转量变为2y)同时保证字迹清晰,需要把喷墨速度调节为2v0,同时调节U、d或L2中的一个参数,请根据计算写出一个可行的调节方案,如该方案有限制条件,请写出必要的注意事项。
【答案】 (1)负电 (2)偏小
(3)见解析
【解析】 (1)墨滴向上偏转,受力方向与电场方向相反,故墨滴带负电。
设墨滴在偏转板间的偏转量为y0,
y0=a,t0=,a=,E=,
联立可得y0=·()2,
根据几何关系有=,
解得q=。
(2)由(1)可得y=,墨滴质量增大,偏转量减小,打出的字偏小。
(3)要求偏转量变为原来的2倍,且速度v0变为原来的2倍。
方案一:调节偏转电压U
由(1)可知U=,
电压U应变为原来的8倍,增大偏转电压到8倍后,带电墨滴在偏转电场中偏转距离变成原先的2倍,要保证它不会打在偏转板上,否则该方案行不通。
方案二:调节L2
由(1)可知L2=-,偏转板到屏幕的距离增加量为ΔL2=。
方案三:调节板间距d
由(1)可知d=,
可得板间距应减小为原来的,板间距减小同时需要保证墨滴不会打到偏转板上,否则该方案行不通。
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)第4讲 电容器 带电粒子在电场中的运动
情境导思 如图是带电粒子垂直进入匀强电场,只在静电力作用下偏转时的轨迹图。 (1)带电粒子在匀强电场中偏转时,粒子做什么运动 (2)带电粒子在匀强电场中偏转时,可以用平抛运动的知识分析吗 (3)带电粒子在匀强电场中偏转时,若已知进入电场和离开电场两点间的电势差以及带电粒子的初速度,如何用动能定理求解末速度大小
考点一 平行板电容器及其动态分析
关于平行板电容器动态分析的两类典型问题
(1)U不变的情形(如图甲所示)。
如果平行板电容器充电后始终连接在电源上,两极板间的电势差U就保持不变。由C=→C∝,可知C随d、S、εr的变化而变化;由Q=UC=U→Q∝,可知Q随d、S、εr的变化而变化;由E=→E∝,可知E随d的变化而变化。
(2)Q不变的情形(如图乙所示)。
若平行板电容器充电后切断与电源的连接,电容器的电荷量Q就保持不变。由C=→C∝,可知C随d、S、εr的变化而变化;由U==→U∝,可知U随d、S、εr的变化而变化;由E===→E∝,可知E随S、εr的变化而变化,与d无关,不随d的变化而变化。
[例1] 【电容器基本量的理解】 某除颤器内30 μF的电容器在1 min内充电至3 000 V,抢救病人时,电流通过电极板放电进入人体,一次完全放电时间为2 ms,忽略电容器放电时人体的电阻变化,下列说法正确的是( )
[A] 充电过程电流大小保持不变
[B] 充电后电容器的带电荷量为90 C
[C] 放电过程电容器的电容会越来越小
[D] 放电过程的平均电流为45 A
[例2] 【定电荷量问题】 (2024·山东潍坊模拟)(多选)如图所示为某款手机内部加速度传感器的俯视图,M、N为电容器的两极板,M板固定在手机上,N板通过两完全相同的水平弹簧与手机相连,电容器充电后与电源断开,M、N间距离为d0, 电压传感器示数为U0,已知弹簧的劲度系数为 k,N板质量为 m,不计摩擦, 当手机在水平面内以加速度 a 沿N到M方向运动时( )
[A] 电容器的电容变大
[B] M、N两板间的电场强度不变
[C] 电压传感器示数为U0(1+)
[D] 电压传感器示数为U0(1-)
[例3] 【定电压问题】 (2024·湖北武汉阶段练习)(多选)如图所示,平行板电容器与电动势为E的直流电源(内阻不计)连接,下极板接地。一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态,电容器中另一点D固定一可看成点电荷的带负电小球。现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离,则( )
[A] 带电油滴将沿竖直方向向上运动
[B] D点的电势将降低
[C] D点的带电小球电势能减小
[D] 极板带电荷量将减小
考点二 带电粒子在电场中的直线运动
带电粒子在电场中运动时重力的处理
(1)基本粒子及各种离子:如电子、质子、α粒子等,因为质量很小,所以重力比静电力小得多,无特殊要求前提下,重力可忽略不计(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒或微粒,如尘埃、液滴、小球等质量较大,其重力一般情况下不能忽略。
[例4] 【仅在静电力作用下的直线运动——非匀强电场】 (2024·山东聊城期末)(多选)如图所示,在光滑绝缘水平面上,两个带等量正电荷的点电荷M、N分别固定在A、B两点,O为A、B连线的中点,CD为A、B连线的垂直平分线。在C、O之间的F点由静止释放一个带负电的小球P(假设不改变原来的电场分布),在以后的一段时间内,P在CD上做往复运动,下列说法正确的是( )
[A] 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中振幅不断减小
[B] 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中每次经过O点时的速率不断减小
[C] 若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中周期不断减小
[D] 若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中振幅不断减小
[例5] 【重力和静电力共同作用下的直线运动】 (2025·辽宁葫芦岛模拟)如图所示,一带电微粒从A点射入水平方向的匀强电场中(实线代表电场线,电场方向未知),微粒恰沿直线AB运动,AB与水平方向夹角θ=45°,已知带电微粒的质量为m,电荷量大小为q,A与B相距 L,重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
[A] 从A到B,带电微粒做匀加速直线运动
[B] 若电场方向向左,则带电微粒带负电
[C] 从A到B的过程中,带电微粒的重力势能增加,机械能增加
[D] 要使带电微粒能从A点运动到B点,其射入电场时的速度大小至少为
带电粒子在电场中的直线运动的解题流程
考点三 带电粒子在电场中的偏转
1.处理带电粒子的偏转问题的方法
(1)运动的分解法:采用分解的思想来处理,即将带电粒子的运动分解为沿静电力方向上的匀加速直线运动和垂直于静电力方向上的匀速直线运动。
(2)功能关系:当讨论带电粒子的末速度v时可以从能量的角度进行求解,即qUy=mv2-m,其中Uy=y0,指初、末位置间的电势差。
2.带电粒子在电场中偏转的一般规律
3.重要推论
(1)速度偏转角正切值 tan θ是位移偏转角正切值tan α的2倍。
(2)粒子经电场偏转后射出时,瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点,即该交点到偏转电场边缘的距离为极板长度的一半。
(3)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时,它们的偏转角、侧移距离均相同。
[例6] 【带电粒子在匀强电场中的偏转】 (2024·甘肃张掖阶段练习)(多选)如图所示,带正电的粒子以一定的初速度v0沿M、N两板的中线进入水平放置的带电平行金属板内,恰好沿N板的右边缘飞出,最终打在金属板右侧的屏幕上。已知金属板的长度及金属板右边缘至屏幕的水平距离均为L,M、N两板间距离为d,两板之间中线的延长线与屏幕的交点为O,带电粒子的质量为m、电荷量为q,不计粒子的重力。则( )
[A] 两板之间的电压为
[B] 粒子经过N板右边缘处的速度大小为
[C] 粒子在两板间运动的前一半时间和后一半时间内,静电力做功之比为1∶2
[D] 粒子打到屏幕上的位置与O点之间的距离为1.5d
(满分:50分)
对点1.平行板电容器及其动态分析
1.(4分)(2025·北京昌平模拟)如图所示是一种电容式键盘,键盘上每个键下面都连有一块小金属片,与该金属片隔有一定空气间隙的是另一块固定的小金属片,这样两块金属片就组成一个小电容器。该电容器的电容可用公式C=ε计算,其中ε为一常量,S表示金属片的正对面积,d表示两金属片间的距离。连接电源,按下某个键时,与之相连的电子线路就给出与该键相关的信号,此时该电容器的( )
[A] 电容不变
[B] 极板所带的电荷量变大
[C] 极板间的电压变小
[D] 极板间的电场强度不变
2.(4分)(2024·重庆铜梁模拟)某电容式电子秤的部分结构如图所示。将该电子秤水平放置,未测物品时,两金属板M、N平行正对,带有等量异种电荷且保持不变;当放置物品时,M板受到压力F而发生微小形变,则( )
[A] M、N两板间电势差变小
[B] M、N两板间电场强度处处不变
[C] M、N两板构成的电容器的电容变小
[D] M、N两板构成的电容器的电容不变
对点2.带电粒子在电场中的直线运动
3.(6分)(2024·浙江宁波模拟)(多选)如图所示,某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成,相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管,在漂移管内做匀速直线运动,在漂移管间被电场加速,加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s,进入漂移管E时速度为1×107 m/s,电源频率为1×107 Hz,漂移管间缝隙很小。质子在每个管内运动时间视为电源周期的,质子的比荷取1×108 C/kg。则( )
[A] 漂移管需要用绝缘材料制成
[B] 各漂移管的长度应相等
[C] 漂移管B的长度为0.4 m
[D] 相邻漂移管间的加速电压U=6×104 V
4.(4分)(2025·河南焦作模拟)如图所示,平行板电容器的电容为C,A板上有一小孔,小孔的正上方h处有一质量为m、带电荷量为q的小球,小孔的直径略大于小球的直径,将小球由静止释放,经时间t小球速度减为零(小球未与B板相碰)。重力加速度为g,空气阻力不计。下列说法正确的是( )
[A] 小球全过程做匀变速直线运动
[B] t时间内小球的平均速度大小为
[C] 可以求出电容器极板上的电荷量
[D] 可以求出平行板电容器两板间距
对点3.带电粒子在电场中的偏转
5.(4分)(2025·广东湛江模拟)某种负离子空气净化器的原理如图所示,由空气和带一价负电的灰尘颗粒组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中,带电颗粒入射时的最大动能为4×106 eV,金属板的长度为L,金属板的间距为d,且L=100d。在匀强电场作用下,带电颗粒打到金属板上被收集,不考虑重力影响和颗粒间的相互作用。要使得全部颗粒被收集,两极板间的电势差至少为( )
[A] 1 600 V [B] 800 V
[C] 400 V [D] 200 V
6.(4分)(2025·北京西城模拟)如图所示,一带负电粒子(不计重力)质量为m、电荷量大小为q,以初速度v0沿两板中央水平方向射入水平放置、距离为d、电势差为U的一对平行金属板间,经过一段时间从两板间飞出,在此过程中,已知粒子动量变化量的大小为Δp,下列说法不正确的是( )
[A] 粒子在两板间运动的加速度大小为
[B] 粒子从两板间离开时的速度大小为
[C] 金属板的长度为
[D] 入射点与出射点间的电势差为-
7.(4分)(2024·浙江温州二模)如图所示,加速电场的两极板P、Q竖直放置,间距为d,电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置,两极板长度及间距均为L,电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B,A、B连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度进入加速电场,经过偏转电场,到达探测器(探测器可上下移动)。整个装置处于真空环境,且不计离子重力。下列说法正确的是( )
[A] 离子在加速电场中运动时间为d
[B] 离子在M、N板间运动时间为L
[C] 离子到达探测器的最大动能为q(U1+U2)
[D] 为保证离子不打在M、N极板上,U1与U2应满足的关系为U2>2U1
8.(6分)(2025·贵州毕节模拟)(多选)如图,竖直面内有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道BC,固定在光滑的水平地面上,且圆弧轨道最低点C与水平地面相切。空间加有水平向右的匀强电场,A点位于B点左上方,相对于B点的水平距离和竖直高度均为R,一可视为质点的带电小球从A点以某一速度水平抛出,恰能从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道,小球离开轨道后,运动到D点(D点未画出)时速度减为零,则( )
[A] 小球带负电
[B] CD段长度为2R
[C] 小球从A点抛出时的速度大小为
[D] 从A点到D点过程中小球的电势能增加了3mgR
9.(14分)(2024·广东深圳期末)喷墨打印机的原理示意图如图所示,质量为m的墨滴从墨盒进入带电室后带上电荷,并以相同的速度v0进入偏转电场,墨滴经过电场偏转后打到纸上,显示字体。没有信号时墨滴不带电并沿直线运动打到回流槽中回收。已知上偏转板带正电,下板带负电,偏转板长为L1,偏转板间距离为d,两板间电压为U,偏转板右端与纸的距离为L2,墨滴打到纸上的点偏离原入射方向上方距离为y处。忽略空气阻力和重力的作用。
(1)墨滴带电的电性及电荷量q;
(2)由于墨盒故障,吐出墨滴质量变大,若墨滴进入偏转电场速度不变,则打出的字会如何变化
(3)若要使纸上的字体放大为原来的2倍(偏转量变为2y)同时保证字迹清晰,需要把喷墨速度调节为2v0,同时调节U、d或L2中的一个参数,请根据计算写出一个可行的调节方案,如该方案有限制条件,请写出必要的注意事项。
(
第
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页
)(共55张PPT)
高中总复习·物理
第4讲
电容器 带电粒子在
电场中的运动
情境导思
如图是带电粒子垂直进入匀强电场,只在静电力作用下偏转时的轨
迹图。
(1)带电粒子在匀强电场中偏转时,粒子做什么运动
(2)带电粒子在匀强电场中偏转时,可以用平抛运动的知识分析吗
(3)带电粒子在匀强电场中偏转时,若已知进入电场和离开电场两点间的电势差以及带电粒子的初速度,如何用动能定理求解末速度大小
知识构建
异种
中和
106
1012
知识构建
类平抛
合成
分解
小题试做
1.(2024·甘肃卷,7)一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1,电源E给电容器C充电;开关S接2,电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是( )
[A] 充电过程中,电容器两极板间电势差增加,充电电流增加
[B] 充电过程中,电容器的上极板带正电荷,流过电阻R的电流由M点流向N点
[C] 放电过程中,电容器两极板间电势差减小,放电电流减小
[D] 放电过程中,电容器的上极板带负电荷,流过电阻R的电流由N点流向M点
C
小题试做
2.(2025·广东佛山阶段练习)如图,由高压电源给发射极和栅板加高电压U而形成一个辐向电场,促使电子从发射极逸出并加速从栅板射出,又会使空气电离出正离子和电子,电子也会加速从栅板射出。假设从发射极逸出一个电子a,电离得到的另一个电子b刚好处于电场正中央,都由静止加速,已知电子质量为m,电荷量为e,下列计算电子射出栅板速度正确的是( )
A
关于平行板电容器动态分析的两类典型问题
(1)U不变的情形(如图甲所示)。
(2)Q不变的情形(如图乙所示)。
[例1] 【电容器基本量的理解】 某除颤器内30 μF的电容器在1 min内充电至3 000 V,抢救病人时,电流通过电极板放电进入人体,一次完全放电时间为
2 ms,忽略电容器放电时人体的电阻变化,下列说法正确的是( )
[A] 充电过程电流大小保持不变
[B] 充电后电容器的带电荷量为90 C
[C] 放电过程电容器的电容会越来越小
[D] 放电过程的平均电流为45 A
D
[例2] 【定电荷量问题】 (2024·山东潍坊模拟)(多选)如图所示为某款手机内部加速度传感器的俯视图,M、N为电容器的两极板,M板固定在手机上,N板通过两完全相同的水平弹簧与手机相连,电容器充电后与电源断开,M、N间距离为d0, 电压传感器示数为U0,已知弹簧的劲度系数为 k,N板质量为 m,不计摩擦, 当手机在水平面内以加速度 a 沿N到M方向运动时( )
[A] 电容器的电容变大
[B] M、N两板间的电场强度不变
BC
[例3] 【定电压问题】 (2024·湖北武汉阶段练习)(多选)如图所示,平行板电容器与电动势为E的直流电源(内阻不计)连接,下极板接地。一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态,电容器中另一点D固定一可看成点电荷的带负电小球。现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离,则( )
[A] 带电油滴将沿竖直方向向上运动
[B] D点的电势将降低
[C] D点的带电小球电势能减小
[D] 极板带电荷量将减小
BD
带电粒子在电场中运动时重力的处理
(1)基本粒子及各种离子:如电子、质子、α粒子等,因为质量很小,所以重力比静电力小得多,无特殊要求前提下,重力可忽略不计(但并不忽略质量)。
(2)带电颗粒或微粒,如尘埃、液滴、小球等质量较大,其重力一般情况下不能忽略。
[例4] 【仅在静电力作用下的直线运动——非匀强电场】 (2024·山东聊城期末)(多选)如图所示,在光滑绝缘水平面上,两个带等量正电荷的点电荷M、N分别固定在A、B两点,O为A、B连线的中点,CD为A、B连线的垂直平分线。在C、O之间的F点由静止释放一个带负电的小球P(假设不改变原来的电场分布),在以后的一段时间内,P在CD上做往复运动,下列说法正确的是( )
[A] 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中振幅不断减小
[B] 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中每次经过O点时的速率不断减小
[C] 若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中周期不断
减小
[D] 若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则
小球P往复运动过程中振幅不断减小
BCD
【解析】 若小球P的带电荷量缓慢减小,则它往复运动过程中在同一位置所受静电力逐渐减小,静电力做功相同的情况下需要运动的位移更长,所以小球P往复运动过程中振幅不断增大,小球P从最大位移处回到O的过程中静电力做的功不断减小,所以P每次经过O点时的速率不断减小,故A错误,B正确;若点电荷M、N的带电荷量同时等量地缓慢增大,则小球P往复运动过程中所受静电力不断增大,静电力做功相同的情况下需要运动的位移更短,所以小球P往复运动过程中振幅不断减小,而小球P的加速度不断增大,完成相同位移所需时间不断减小,所以小球P往复运动过程中周期不断减小,故C、
D正确。
[例5] 【重力和静电力共同作用下的直线运动】 (2025·辽宁葫芦岛模拟)如图所示,一带电微粒从A点射入水平方向的匀强电场中(实线代表电场线,电场方向未知),微粒恰沿直线AB运动,AB与水平方向夹角θ=45°,已知带电微粒的质量为m,电荷量大小为q,A与B相距 L,重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
[A] 从A到B,带电微粒做匀加速直线运动
[B] 若电场方向向左,则带电微粒带负电
[C] 从A到B的过程中,带电微粒的重力势能增加,机械能增加
D
方法总结
带电粒子在电场中的直线运动的解题流程
考点三
带电粒子在电场中的偏转
1.处理带电粒子的偏转问题的方法
(1)运动的分解法:采用分解的思想来处理,即将带电粒子的运动分解为沿静电力方向上的匀加速直线运动和垂直于静电力方向上的匀速直线运动。
2.带电粒子在电场中偏转的一般规律
3.重要推论
(1)速度偏转角正切值 tan θ是位移偏转角正切值tan α的2倍。
(2)粒子经电场偏转后射出时,瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点,即该交点到偏转电场边缘的距离为极板长度的一半。
(3)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时,它们的偏转角、侧移距离均相同。
[例6] 【带电粒子在匀强电场中的偏转】 (2024·甘肃张掖阶段练习)(多选)如图所示,带正电的粒子以一定的初速度v0沿M、N两板的中线进入水平放置的带电平行金属板
内,恰好沿N板的右边缘飞出,最终打在金属板右侧的屏幕上。已知金属板的长度及金属板右边缘至屏幕的水平距离均为L,M、N两板间距离为d,两板之间中线的延长线与屏幕的交点为O,带电粒子的质量为m、电荷量为q,不计粒子的重力。则( )
BD
[C] 粒子在两板间运动的前一半时间和后一半时间内,静电力做功之比为1∶2
[D] 粒子打到屏幕上的位置与O点之间的距离为1.5d
粒子在两板间运动的过程中,竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动,可知前一半时间和后一半时间其竖直方向上的位移之比为1∶3,则静电力做功之比为1∶3,故C错误;根据粒子速度的反向延长线交于水平位移的中点,有如图所示位置关系,
基础对点练
对点1.平行板电容器及其动态分析
连接电源,按下某个键时,与之相连的电子线路就给出与该键相关的信号,此时该电容器的( )
[A] 电容不变
[B] 极板所带的电荷量变大
[C] 极板间的电压变小
[D] 极板间的电场强度不变
B
2.(4分)(2024·重庆铜梁模拟)某电容式电子秤的部分结构如图所示。将该电子秤水平放置,未测物品时,两金属板M、N平行正对,带有等量异种电荷且保持不变;当放置物品时,M板受到压力F而发生微小形变,则( )
[A] M、N两板间电势差变小
[B] M、N两板间电场强度处处不变
[C] M、N两板构成的电容器的电容变小
[D] M、N两板构成的电容器的电容不变
A
对点2.带电粒子在电场中的直线运动
3.(6分)(2024·浙江宁波模拟)(多选)如图所示,某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管(漂移管)组成,相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管,在漂移管内做匀速直线运动,在漂移管间被电场加速,加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为8×106 m/s,进入漂移管E时速度为1×107 m/s,电源频率为
1×107 Hz,漂移管间缝隙很小。
CD
[A] 漂移管需要用绝缘材料制成
[B] 各漂移管的长度应相等
[C] 漂移管B的长度为0.4 m
[D] 相邻漂移管间的加速电压U=6×104 V
4.(4分)(2025·河南焦作模拟)如图所示,平行板电容器的电容为C,A板上有一小孔,小孔的正上方h处有一质量为m、带电荷量为q的小球,小孔的直径略大于小球的直径,将小球由静止释放,经时间t小球速度减为零(小球未与B板相碰)。重力加速度为g,空气阻力不计。下列说法正确的是( )
B
对点3.带电粒子在电场中的偏转
5.(4分)(2025·广东湛江模拟)某种负离子空气净化器的原理如图所示,由空气和带一价负电的灰尘颗粒组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中,带电颗粒入射时的最大动能为4×106 eV,金属板的长度为L,金属板的间距为d,且L=100d。在匀强电场作用下,带电颗粒打到金属板上被收集,不考虑重力影响和颗粒间的相互作用。要使得全部颗粒被收集,两极板间的电势差至少为( )
[A] 1 600 V [B] 800 V
[C] 400 V [D] 200 V
A
6.(4分)(2025·北京西城模拟)如图所示,一带负电粒子(不计重力)质量为m、电荷量大小为q,以初速度v0沿两板中央水平方向射入水平放置、距离为d、电势差为U的一对平行金属板间,经过一段时间从两板间飞出,在此过程中,已知粒子动量变化量的大小为Δp,下列说法不正确的是( )
B
综合提升练
7.(4分)(2024·浙江温州二模)如图所示,加速电场的两极板P、Q竖直放置,间距为d,电压为U1。偏转电场的两极板M、N水平放置,两极板长度及间距均为L,电压为U2。P、Q极板分别有小孔A、B,A、B连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A无初速度进入加速电场,经过偏转电场,到达探测器(探测器可上下移动)。整个装置处于真空环境,且不计离子重力。
下列说法正确的是( )
B
8.(6分)(2025·贵州毕节模拟)(多选)如图,竖直面内有半径为R的四分之一光滑圆弧轨道BC,固定在光滑的水平地面上,且圆弧轨道最低点C与水平地面相切。空间加有水平向右的匀强电场,A点位于B点左上方,相对于B点的水平距离和竖直高度均为R,一可视为质点的带电小球从A点以某一速度水平抛出,恰能从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨
道,小球离开轨道后,运动到D点(D点未画出)时速度减为零,则( )
[A] 小球带负电
[B] CD段长度为2R
[D] 从A点到D点过程中小球的电势能增加了3mgR
AD
【解析】 由题意可知小球恰好从B点无碰撞地沿圆弧切线进入轨道,离开轨道后,小球在水平方向上运动到D点速度减为零,小球受到水平向左的静电力作用,与电场方向相反,则小球带负电,故A正确;
9.(14分)(2024·广东深圳期末)喷墨打印机的原理示意图如图所示,质量为m的墨滴从墨盒进入带电室后带上电荷,并以相同的速度v0进入偏转电场,墨滴经过电场偏转后打到纸上,显示字体。没有信号时墨滴不带电并沿直线运动打到回流槽中回收。已知上偏转板带正电,下板带负电,偏转板长为L1,偏转板间距离为d,两板间电压为U,偏转板右端与纸的距离为L2,墨滴打到纸上的点偏离原入射方向上方距离为y处。忽略空气阻力和重力的作用。
(1)墨滴带电的电性及电荷量q;
(2)由于墨盒故障,吐出墨滴质量变大,若墨滴进入偏转电场速度不变,则打出的字会如何变化
【答案】 (2)偏小
(3)若要使纸上的字体放大为原来的2倍(偏转量变为2y)同时保证字迹清晰,需要把喷墨速度调节为2v0,同时调节U、d或L2中的一个参数,请根据计算写出一个可行的调节方案,如该方案有限制条件,请写出必要的注意事项。
