第4讲 小专题:动量守恒在“子弹打木块”和“板块”类模型中的应用
考点一 “子弹打木块”模型
两种 情形 子弹未穿出木块 子弹穿出木块
规律 (1)系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失,一般应用能量守恒定律
结论 两者最终速度相等,机械能损失最多。 (1)动量关系:mv0=(m+M)v。 (2)能量关系:Q=Ff·x=m-(M+m)v2 两者速度不相等,机械能有损失。 (1)动量关系:mv0=mv1+Mv2。 (2)能量关系:Q=Ff·l=m-(m+M)
[例1] 【子弹穿出木块】 (2024·陕西西安一模)如图所示,在光滑水平面上静止着两个完全相同的木块1和木块2。一颗子弹水平射向木块1,先后射穿两木块,子弹在木块中运动时所受阻力不变,两木块不发生碰撞。子弹射穿两木块后木块1和木块2的速度大小分别为v1、v2,子弹穿过木块1和木块2所用的时间分别为t1、t2。不考虑子弹在竖直方向上的运动,下列说法正确的是( )
[A] v1=v2 [B] v1>v2
[C] t1【答案】 C
【解析】 设子弹的初速度为v0,木块的宽度为d,子弹在木块中做匀减速直线运动,所以子弹射穿木块1的速度大于木块2的速度,根据d=v0t+at2 可知,子弹初速度越小,减速相同距离所用的时间越长,所以t1[例2] 【子弹未穿出木块】 (多选)如图所示,质量为m的子弹以水平初速度v0射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中,子弹未从木块中射出,最后共同速度为v,在此过程中,木块在地面上滑动的距离为s,子弹射入木块的深度为d,子弹与木块间的相互作用力为f,以下关系式正确的是( )
[A] m-mv2=f(s+d)
[B] m-(M+m)v2=fs
[C] mv0=(M+m)v
[D] Mv2=fd
【答案】 AC
【解析】 对子弹由动能定理可知mv2-m=-f(s+d),整理得m-mv2=f(s+d),A正确;对子弹和木块的系统由能量关系可知m-(M+m)v2=fd,B错误;对子弹和木块系统由动量守恒定律可知mv0=(M+m)v,C正确;对木块由动能定理可得Mv2=fs,D错误。
解决“子弹打木块”的两个关键
(1)弄清楚子弹是最终留在木块中与木块一起运动,还是穿出木块后各自运动。
(2)求解子弹打击木块过程中损失的机械能,可以根据题目的具体条件:
①利用ΔE损=Q热=Ffx相对求解。
②利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。
③通过打击前后系统的机械能之差求解。
考点二 “滑块—木板”模型
图示
规律 质量为M的木板放在光滑的水平地面上,质量为m的滑块以速度v0滑上木板,两者间的摩擦力大小为Ff。 (1)系统的动量守恒。 (2)系统减少的机械能等于摩擦力与两者相对位移大小的乘积,即摩擦生成的热量
结论 若滑块未滑离木板,则类似于“子弹打木块”模型中子弹未穿出木块的情况。 (1)系统动量关系:mv0=(M+m)v。 (2)系统能量关系:Q=Ffx=m-(M+m)v2 若滑块滑离木板,则类似于子弹穿出木块的情况。 (1)动量关系:mv0=mv1+Mv2。 (2)能量关系:Q=Ffl=m-(m+M)
[例3] 【单一的“滑块—木板”模型】 (2024·云南大理二模)如图甲所示,光滑曲面轨道固定在竖直平面内,下端出口处在水平方向上。一平板车静止在光滑水平地面上,左端紧靠曲面轨道,平板车上表面恰好与曲面轨道下端相平。一质量为m=0.1 kg的小物块从曲面轨道上某点由静止释放,初始位置距曲面下端高度h=0.8 m。物块经曲面轨道下滑后滑上平板车,最终没有脱离平板车。平板车开始运动后的速度随时间变化图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)平板车的质量M;
(2)平板车的最小长度l。
【答案】 (1)0.3 kg (2)1 m
【解析】 (1)物块沿曲面下滑过程,机械能守恒,则有 mgh=m,
解得v0=4 m/s,
物块滑上车之后最终没有脱离平板车,物块与平板车组成的系统动量守恒,则有
mv0=(m+M)v,
由图像知物块与平板车最后的共同速度
v=1 m/s,
代入数据解得平板车的质量
M=0.3 kg。
(2)平板车在加速过程中,由牛顿第二定律可得 Ff=Ma,
由图像知平板车的加速度a=2 m/s2,
设平板车最小长度为l,则
Ffl=m-(m+M)v2,
解得l=1 m。
[例4] 【多个“滑块—木板”模型】 如图,光滑水平面上有两个等高的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C、D,物块质量均为1 kg,A和C以相同速度v0=10 m/s 向右运动,B和D以相同速度kv0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板,物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ=0.1。重力加速度大小g取10 m/s2。
(1)若0(2)若k=0.5,从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时,求两者相对位移的大小。
【答案】 (1)5(1-k) m/s,方向向右 m/s,方向向右 (2)1.875 m
【解析】 (1)物块C、D碰撞过程中满足动量守恒定律,设碰撞后物块C、D形成的新物块的速度为v物,C、D的质量均为m=1 kg,以向右为正方向,则有mv0-m·kv0=(m+m)v物,
解得v物=5(1-k) m/s>0,
可知碰撞后物块C、D形成的新物块的速度大小为5(1-k) m/s,方向向右。
滑板A、B碰撞过程中满足动量守恒,设碰撞后滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑,滑板A和B的质量分别为1 kg和2 kg,则有
Mv0-2M·kv0=(M+2M)v滑,
解得v滑= m/s>0,
则新滑板速度方向也向右。
(2)若k=0.5,可知碰后瞬间物块C、D形成的新物块的速度为v物′=2.5 m/s,
碰后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为
v滑′=0,
新物块的质量为m′=2 kg,新滑板的质量为M′=3 kg,相对静止时的共同速度为v共,根据动量守恒定律可得m′v物′=(m′+M′)v共,
解得v共=1 m/s,
根据能量守恒定律可得
μm′gx相=m′v物′2-(m′+M′),
解得相对位移x相=1.875 m。
“滑块—木板”模型解题方法
“滑块—木板”模型至少涉及两个物体,包括板块多个运动过程,板块间存在相对运动。解决问题的方法如下:
(1)求速度:根据动量守恒定律求解,研究对象为一个系统。
(2)求时间:根据动量定理求解,研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对位移:根据能量守恒定律Q=Ff·x相或Q=E初-E末求解,研究对象为一个系统。
对点1.“子弹打木块”模型
1.(4分)(2024·山西吕梁阶段练习)如图所示,用长为L的细线悬挂于O点的小球处于静止状态,质量为m的子弹以速度v0水平射入小球,子弹穿过小球后的速度为v0,子弹穿过小球后瞬间细线上的张力是子弹射入小球前细线张力的2倍,子弹穿过小球时间极短,重力加速度为g,不考虑小球质量变化,则小球的质量为( )
[A] m [B] m
[C] m [D] m
【答案】 C
【解析】 子弹穿过小球过程中,子弹和小球水平方向动量守恒,设小球质量为M,子弹穿过瞬间小球的速度为v,则mv0=Mv+mv0,根据牛顿第二定律有2Mg-Mg=M,联立解得M= m,故C正确。
2.(6分)(多选)如图所示,光滑水平面上分别放着两块质量、形状相同的硬木和软木,两颗完全相同的子弹均以相同的初速度分别打进两种木头中,最终均留在木头内,已知软木对子弹的摩擦力较小,以下判断正确的是( )
[A] 子弹与硬木摩擦产生的内能较多
[B] 两个系统产生的内能一样多
[C] 子弹在软木中打入深度较大
[D] 子弹在硬木中打入深度较大
【答案】 BC
【解析】 设子弹质量为m,木头质量为M,由于最终都达到共同速度,根据动量守恒定律有mv0=(m+M)v,可知共同速度v相同,根据能量守恒定律有ΔE=m-(m+M)v2=Q,可知子弹与硬木和子弹与软木构成的系统机械能减小量相同,则两个系统产生的内能Q一样多,故A错误,B正确;根据功能关系有Q=Ffd,可知产生的内能Q相同时,摩擦力Ff越小,子弹打入深度d越大,所以子弹在软木中打入深度较大,故C正确,D错误。
3.(10分)如图所示,足够长的光滑水平地面上静置一辆小车,长L=0.3 m不可伸长的轻质柔软细绳一端固定在车厢顶部,另一端系一质量m=1.98 kg的木块(可视为质点),质量m0=20 g的子弹以v0=200 m/s 的速度水平射入木块并留在其中,此后绳与竖直方向的最大夹角θ=60°,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)子弹射入木块时产生的热量Q;
(2)小车的质量M。
【答案】 (1)396 J (2)6 kg
【解析】 (1)设子弹射入木块后的速度大小为v1,由动量守恒定律,则有m0v0=(m0+m)v1,
由能量守恒定律有
Q=m0-(m0+m),
联立解得Q=396 J。
(2)设木块与小车共速时的速度大小为v2,系统在水平方向动量守恒,则有
m0v0=(M+m0+m)v2,
由能量守恒定律有
(m0+m)=(M+m0+m)+(m0+m)gL·(1-cos θ),
联立解得M=6 kg。
对点2.“滑块—木板”模型
4.(6分)(2024·广东东莞期中)(多选)如图甲所示,长木板A放在光滑的水平面上,质量为m=2 kg的物体B以水平速度v0=2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面,由于A、B间存在摩擦,之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示,g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A] 木板获得的动能为1 J
[B] 系统损失的机械能为1 J
[C] 木板A的最小长度为2 m
[D] A、B间的动摩擦因数为0.1
【答案】 AD
【解析】 由题图乙可知,最终木板获得的速度为v=1 m/s,A、B组成的系统动量守恒,以B的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(M+m)v,解得M=2 kg,则木板获得的动能为Ek=Mv2=1 J,故A正确;系统损失的机械能ΔE=m-(m+M)v2,代入数据解得ΔE=2 J,故B错误;v-t 图像中图线与t轴所围的面积表示位移,由题图乙得到0~1 s内B的位移为sB=1.5 m,A的位移为sA=0.5 m,则木板A的最小长度为L=sB-sA=1 m,故C错误;由题图乙可知,B的加速度a==-1 m/s2,负号表示加速度的方向与v0的方向相反,由牛顿第二定律得-μmg=ma,解得μ=0.1,故D正确。
5.(4分)如图所示,质量m1=0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上,车长L=1.5 m,现有质量m2=0.2 kg的可视为质点的物块,以水平向右的速度v0从左端滑上小车,最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5,g取10 m/s2,则( )
[A] 物块滑上小车后,系统动量守恒、机械能守恒
[B] 增大物块与车面间的动摩擦因数,摩擦产生的热量变大
[C] 若v0=2.5 m/s,则物块在车面上滑行的时间为0.24 s
[D] 若要保证物块不从小车右端滑出,则v0不得大于5 m/s
【答案】 D
【解析】 物块与小车组成的系统所受合力为零,系统动量守恒,物块相对小车滑动过程中克服摩擦力做功,部分机械能转化为内能,系统机械能不守恒,A错误;以向右为正方向,由动量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v,系统产生的内能Q=m2-(m1+m2)v2=,则增大物块与车面间的动摩擦因数,摩擦产生的热量不变,B错误;若v0=2.5 m/s,由动量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v,解得v=1 m/s,对物块,由动量定理得-μm2gt=m2v-m2v0,解得t=0.3 s,C错误;要使物块恰好不从小车右端滑出,需物块到车面右端时与小车有共同的速度v′,以向右为正方向,由动量守恒定律得m2v0=(m1+m2)v′,由能量守恒定律得m2=(m1+m2)v′2+μm2gL,解得v0=5 m/s,D正确。
6.(10分)(2024·甘肃卷,14)如图,质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态,细绳O′P=OP=1.6 m,与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上,质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳O′P,小球A开始运动。(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。
(2)A在最低点时,细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短),碰后A竖直下落,C水平向右运动。求碰后C的速度大小。
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
【答案】 (1)40 N,方向竖直向下 (2)4 m/s
(3)0.15
【解析】 根据题意,设A、C质量均为m=2 kg,B的质量为M=6 kg,细绳OP长为l=1.6 m,初始时细绳与竖直方向夹角θ=60°。
(1)从A开始运动到最低点,由动能定理得
mgl(1-cos θ)=m-0,
在最低点对A受力分析,根据牛顿第二定律得
F-mg=,
联立解得v0=4 m/s,F=40 N,
根据牛顿第三定律可知,A运动到最低点时细绳OP所受的拉力大小为40 N,方向竖直向下。
(2)A与C相碰时,水平方向动量守恒,由于碰后A竖直下落,可知mv0=0+mvC,
解得vC=v0=4 m/s。
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速,设共同速度为v,C在B上滑行过程中,根据动量守恒定律可得mv0=(M+m)v,
根据能量守恒定律得
μmgL相对=m-(m+M)v2,
联立解得μ=0.15。
7.(6分)(2024·湖北卷,10)(多选)如图所示,在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块,质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变,其大小f与射入初速度大小v0成正比,即f=kv0(k为已知常数)。改变子弹的初速度大小v0,若木块获得的速度最大,则( )
[A] 子弹的初速度大小为
[B] 子弹在木块中运动的时间为
[C] 木块和子弹损失的总动能为
[D] 木块在加速过程中运动的距离为
【答案】 AD
【解析】 设子弹和木块相互作用过程中,二者所受冲量大小为I,对子弹有v1=v0-I,对木块有 v2=I,运动过程必有v1≥v2,即I≤v0,可得v2的取值范围为08.(14分)如图,质量m2=1 kg,厚度h=0.45 m的木板C静置于光滑水平地面上,半径R=0.75 m的光滑半圆弧轨道竖直固定在木板C右边的水平地面上,木板与轨道均在同一竖直面内。轨道底端D点与木板C等高,并与圆心O在同一竖直线上,轨道上端最高为E点。质量m1=1.9 kg的物块B置于木板C的左端,一质量m0=0.1 kg的子弹A以v0=160 m/s的水平速度射中物块B并留在其中(时间极短),然后物块B(包括A)从木板左端水平向右滑行,B与C间的动摩擦因数μ=0.5。当物块B(包括A)到达木板右端时,木板恰好与轨道底端相碰并被锁定,同时物块B(包括A)沿圆弧切线方向滑上轨道。已知木板长度L=1.3 m,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求子弹A射中物块B并留在其中后物块B(包括A)的速度大小和该过程损失的机械能。
(2)求木板C与圆弧轨道底部碰撞前瞬间,物块B(包括A)和木板C的速度大小。
(3)判断物块B(包括A)是否会落到木板上 如果没有落在木板上,求该物块落点到木板左端的距离。
【答案】 (1)8 m/s 1 216 J (2)7 m/s 2 m/s (3)不会 1.4 m
【解析】 (1)子弹A射中物块B并留在其中的过程中动量守恒,有m0v0=(m0+m1)v,
解得v=8 m/s,
由能量守恒定律,该过程损失的机械能
ΔE=m0-(m0+m1)v2,
解得ΔE=1 216 J。
(2)设木板与轨道底部碰撞前瞬间,物块B(包括A)和木板C的速度分别为v1和v2,由动量守恒定律和能量守恒定律有
(m0+m1)v=(m0+m1)v1+m2v2,
(m0+m1)v2=(m0+m1)+m2+μ(m0+m1)gL,
由题意分析可知v1≥v2,
联立解得v1=7 m/s,v2=2 m/s。
(3)设B(包括A)运动到圆弧轨道最高点E时的速度大小为vE。B(包括A)从圆弧轨道最低点到最高点E的过程,根据动能定理有
-(m0+m1)g×2R=(m0+m1)-(m0+m1),
解得vE= m/s,
物块在圆弧轨道最高点E的最小速度为vm== m/s,则vE>vm,故物块B(包括A)能到达E点。物块B(包括A)从E点抛出后做平抛运动,假设B(包括A)没有落到木板上,则
2R=gt2,x=vEt,
联立可得x≈2.4 m,
由于x>L,故假设成立。
由平抛运动规律得2R+h=gt′2,x′=vEt′,
B(包括A)落到水平地面时到木板左端的距离
Δx=x′-L,
联立解得x′=1.4 m。
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考点一 “子弹打木块”模型
两种 情形 子弹未穿出木块 子弹穿出木块
规律 (1)系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失,一般应用能量守恒定律
结论 两者最终速度相等,机械能损失最多。 (1)动量关系:mv0=(m+M)v。 (2)能量关系:Q=Ff·x=m-(M+m)v2 两者速度不相等,机械能有损失。 (1)动量关系:mv0=mv1+Mv2。 (2)能量关系:Q=Ff·l=m-(m+M)
[例1] 【子弹穿出木块】 (2024·陕西西安一模)如图所示,在光滑水平面上静止着两个完全相同的木块1和木块2。一颗子弹水平射向木块1,先后射穿两木块,子弹在木块中运动时所受阻力不变,两木块不发生碰撞。子弹射穿两木块后木块1和木块2的速度大小分别为v1、v2,子弹穿过木块1和木块2所用的时间分别为t1、t2。不考虑子弹在竖直方向上的运动,下列说法正确的是( )
[A] v1=v2 [B] v1>v2
[C] t1[例2] 【子弹未穿出木块】 (多选)如图所示,质量为m的子弹以水平初速度v0射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中,子弹未从木块中射出,最后共同速度为v,在此过程中,木块在地面上滑动的距离为s,子弹射入木块的深度为d,子弹与木块间的相互作用力为f,以下关系式正确的是( )
[A] m-mv2=f(s+d)
[B] m-(M+m)v2=fs
[C] mv0=(M+m)v
[D] Mv2=fd
解决“子弹打木块”的两个关键
(1)弄清楚子弹是最终留在木块中与木块一起运动,还是穿出木块后各自运动。
(2)求解子弹打击木块过程中损失的机械能,可以根据题目的具体条件:
①利用ΔE损=Q热=Ffx相对求解。
②利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。
③通过打击前后系统的机械能之差求解。
考点二 “滑块—木板”模型
图示
规律 质量为M的木板放在光滑的水平地面上,质量为m的滑块以速度v0滑上木板,两者间的摩擦力大小为Ff。 (1)系统的动量守恒。 (2)系统减少的机械能等于摩擦力与两者相对位移大小的乘积,即摩擦生成的热量
结论 若滑块未滑离木板,则类似于“子弹打木块”模型中子弹未穿出木块的情况。 (1)系统动量关系:mv0=(M+m)v。 (2)系统能量关系:Q=Ffx=m-(M+m)v2 若滑块滑离木板,则类似于子弹穿出木块的情况。 (1)动量关系:mv0=mv1+Mv2。 (2)能量关系:Q=Ffl=m-(m+M)
[例3] 【单一的“滑块—木板”模型】 (2024·云南大理二模)如图甲所示,光滑曲面轨道固定在竖直平面内,下端出口处在水平方向上。一平板车静止在光滑水平地面上,左端紧靠曲面轨道,平板车上表面恰好与曲面轨道下端相平。一质量为m=0.1 kg的小物块从曲面轨道上某点由静止释放,初始位置距曲面下端高度h=0.8 m。物块经曲面轨道下滑后滑上平板车,最终没有脱离平板车。平板车开始运动后的速度随时间变化图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)平板车的质量M;
(2)平板车的最小长度l
[例4] 【多个“滑块—木板”模型】 如图,光滑水平面上有两个等高的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C、D,物块质量均为1 kg,A和C以相同速度v0=10 m/s 向右运动,B和D以相同速度kv0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板,物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ=0.1。重力加速度大小g取10 m/s2。
(1)若0(2)若k=0.5,从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时,求两者相对位移的大小。
“滑块—木板”模型解题方法
“滑块—木板”模型至少涉及两个物体,包括板块多个运动过程,板块间存在相对运动。解决问题的方法如下:
(1)求速度:根据动量守恒定律求解,研究对象为一个系统。
(2)求时间:根据动量定理求解,研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对位移:根据能量守恒定律Q=Ff·x相或Q=E初-E末求解,研究对象为一个系统。
(满分:60分)
对点1.“子弹打木块”模型
1.(4分)(2024·山西吕梁阶段练习)如图所示,用长为L的细线悬挂于O点的小球处于静止状态,质量为m的子弹以速度v0水平射入小球,子弹穿过小球后的速度为v0,子弹穿过小球后瞬间细线上的张力是子弹射入小球前细线张力的2倍,子弹穿过小球时间极短,重力加速度为g,不考虑小球质量变化,则小球的质量为( )
[A] m [B] m
[C] m [D] m
2.(6分)(多选)如图所示,光滑水平面上分别放着两块质量、形状相同的硬木和软木,两颗完全相同的子弹均以相同的初速度分别打进两种木头中,最终均留在木头内,已知软木对子弹的摩擦力较小,以下判断正确的是( )
[A] 子弹与硬木摩擦产生的内能较多
[B] 两个系统产生的内能一样多
[C] 子弹在软木中打入深度较大
[D] 子弹在硬木中打入深度较大
3.(10分)如图所示,足够长的光滑水平地面上静置一辆小车,长L=0.3 m不可伸长的轻质柔软细绳一端固定在车厢顶部,另一端系一质量m=1.98 kg的木块(可视为质点),质量m0=20 g的子弹以v0=200 m/s 的速度水平射入木块并留在其中,此后绳与竖直方向的最大夹角θ=60°,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)子弹射入木块时产生的热量Q;
(2)小车的质量M。
对点2.“滑块—木板”模型
4.(6分)(2024·广东东莞期中)(多选)如图甲所示,长木板A放在光滑的水平面上,质量为m=2 kg的物体B以水平速度v0=2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面,由于A、B间存在摩擦,之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示,g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A] 木板获得的动能为1 J
[B] 系统损失的机械能为1 J
[C] 木板A的最小长度为2 m
[D] A、B间的动摩擦因数为0.1
5.(4分)如图所示,质量m1=0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上,车长L=1.5 m,现有质量m2=0.2 kg的可视为质点的物块,以水平向右的速度v0从左端滑上小车,最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5,g取10 m/s2,则( )
[A] 物块滑上小车后,系统动量守恒、机械能守恒
[B] 增大物块与车面间的动摩擦因数,摩擦产生的热量变大
[C] 若v0=2.5 m/s,则物块在车面上滑行的时间为0.24 s
[D] 若要保证物块不从小车右端滑出,则v0不得大于5 m/s
6.(10分)(2024·甘肃卷,14)如图,质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态,细绳O′P=OP=1.6 m,与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上,质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳O′P,小球A开始运动。(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。
(2)A在最低点时,细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短),碰后A竖直下落,C水平向右运动。求碰后C的速度大小。
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
7.(6分)(2024·湖北卷,10)(多选)如图所示,在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块,质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变,其大小f与射入初速度大小v0成正比,即f=kv0(k为已知常数)。改变子弹的初速度大小v0,若木块获得的速度最大,则( )
[A] 子弹的初速度大小为
[B] 子弹在木块中运动的时间为
[C] 木块和子弹损失的总动能为
[D] 木块在加速过程中运动的距离为
8.(14分)如图,质量m2=1 kg,厚度h=0.45 m的木板C静置于光滑水平地面上,半径R=0.75 m的光滑半圆弧轨道竖直固定在木板C右边的水平地面上,木板与轨道均在同一竖直面内。轨道底端D点与木板C等高,并与圆心O在同一竖直线上,轨道上端最高为E点。质量m1=1.9 kg的物块B置于木板C的左端,一质量m0=0.1 kg的子弹A以v0=160 m/s的水平速度射中物块B并留在其中(时间极短),然后物块B(包括A)从木板左端水平向右滑行,B与C间的动摩擦因数μ=0.5。当物块B(包括A)到达木板右端时,木板恰好与轨道底端相碰并被锁定,同时物块B(包括A)沿圆弧切线方向滑上轨道。已知木板长度L=1.3 m,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求子弹A射中物块B并留在其中后物块B(包括A)的速度大小和该过程损失的机械能。
(2)求木板C与圆弧轨道底部碰撞前瞬间,物块B(包括A)和木板C的速度大小。
(3)判断物块B(包括A)是否会落到木板上 如果没有落在木板上,求该物块落点到木板左端的距离。
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第
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高中总复习·物理
第4讲
小专题:动量守恒在“子弹打木块”和“板块”类模型中的应用
两种 情形 子弹未穿出木块
子弹穿出木块
规律 (1)系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失,一般应用能量守恒定律
[例1] 【子弹穿出木块】 (2024·陕西西安一模)如图所示,在光滑水平面上静止着两个完全相同的木块1和木块2。一颗子弹水平射向木块1,先后射穿两木块,子弹在木块中运动时所受阻力不变,两木块不发生碰撞。子弹射穿两木块后木块1和木块2的速度大小分别为v1、v2,子弹穿过木块1和木块2所用的时间分别为t1、t2。不考虑子弹在竖直方向上的运动,下列说法正确的是
( )
[A] v1=v2 [B] v1>v2
[C] t1C
[例2] 【子弹未穿出木块】 (多选)如图所示,质量为m的子弹以水平初速度v0射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中,子弹未从木块中射出,最后共同速度为v,在此过程中,木块在地面上滑动的距离为s,子弹射入木块的深度为d,子弹与木块间的相互作用力为f,以下关系式正确的是( )
AC
方法点拨
解决“子弹打木块”的两个关键
(1)弄清楚子弹是最终留在木块中与木块一起运动,还是穿出木块后各自运动。
(2)求解子弹打击木块过程中损失的机械能,可以根据题目的具体条件:
①利用ΔE损=Q热=Ffx相对求解。
②利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行
求解。
③通过打击前后系统的机械能之差求解。
图示
规律 质量为M的木板放在光滑的水平地面上,质量为m的滑块以速度v0滑上木板,两者间的摩擦力大小为Ff。
(1)系统的动量守恒。
(2)系统减少的机械能等于摩擦力与两者相对位移大小的乘积,即摩擦生成的热量
[例3] 【单一的“滑块—木板”模型】 (2024·云南大理二模)如图甲所示,光滑曲面轨道固定在竖直平面内,下端出口处在水平方向上。一平板车静止在光滑水平地面上,左端紧靠曲面轨道,平板车上表面恰好与曲面轨道下端相平。一质量为m=0.1 kg的小物块从曲面轨道上某点由静止释放,初始位置距曲面下端高度h=0.8 m。物块经曲面轨道下滑后滑上平板车,最终没有脱离平板车。平板车开始运动后的速度随时间变化图像如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)平板车的质量M;
【答案】 (1)0.3 kg
规范答题
(2)平板车的最小长度l。
【答案】 (2)1 m
规范答题
[例4] 【多个“滑块—木板”模型】 如图,光滑水平面上有两个等高的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C、D,物块质量均为1 kg,A和C以相同速度v0=10 m/s 向右运动,B和D以相同速度kv0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板,物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ=0.1。重力加速度大小g取10 m/s2。
(1)若0【解析】 (1)物块C、D碰撞过程中满足动量守恒定律,设碰撞后物块C、D形成的新物块的速度为v物,C、D的质量均为m=1 kg,以向右为正方向,
则有mv0-m·kv0=(m+m)v物,
解得v物=5(1-k) m/s>0,
(2)若k=0.5,从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时,求两者相对位移的大小。
【解析】 (2)若k=0.5,
可知碰后瞬间物块C、D形成的新物块的速度为v物′=2.5 m/s,
碰后瞬间滑板A、B形成的新滑板的速度为v滑′=0,
新物块的质量为m′=2 kg,新滑板的质量为M′=3 kg,
相对静止时的共同速度为v共,根据动量守恒定律可得m′v物′=(m′+M′)v共,
解得v共=1 m/s,
【答案】 (2)1.875 m
方法点拨
“滑块—木板”模型解题方法
“滑块—木板”模型至少涉及两个物体,包括板块多个运动过程,板块间存在相对运动。解决问题的方法如下:
(1)求速度:根据动量守恒定律求解,研究对象为一个系统。
(2)求时间:根据动量定理求解,研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对位移:根据能量守恒定律Q=Ff·x相或Q=E初-E末求解,研究对象为一个系统。
对点1.“子弹打木块”模型
基础对点练
C
2.(6分)(多选)如图所示,光滑水平面上分别放着两块质量、形状相同的硬木和软木,两颗完全相同的子弹均以相同的初速度分别打进两种木头中,最终均留在木头内,已知软木对子弹的摩擦力较小,以下判断正确的是( )
[A] 子弹与硬木摩擦产生的内能较多
[B] 两个系统产生的内能一样多
[C] 子弹在软木中打入深度较大
[D] 子弹在硬木中打入深度较大
BC
3.(10分)如图所示,足够长的光滑水平地面上静置一辆小车,长L=0.3 m不可伸长的轻质柔软细绳一端固定在车厢顶部,另一端系一质量m=1.98 kg的木块
(可视为质点),质量m0=20 g的子弹以v0=200 m/s 的速度水平射入木块并留在其中,此后绳与竖直方向的最大夹角θ=60°,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)子弹射入木块时产生的热量Q;
【答案】 (1)396 J
(2)小车的质量M。
【答案】 (2)6 kg
对点2.“滑块—木板”模型
4.(6分)(2024·广东东莞期中)(多选)如图甲所示,长木板A放在光滑的水平面上,质量为m=2 kg的物体B以水平速度v0=2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面,由于A、B间存在摩擦,之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示,g取10 m/s2。下列说法正确的是( )
[A] 木板获得的动能为1 J
[B] 系统损失的机械能为1 J
[C] 木板A的最小长度为2 m
[D] A、B间的动摩擦因数为0.1
AD
5.(4分)如图所示,质量m1=0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上,车长L=
1.5 m,现有质量m2=0.2 kg的可视为质点的物块,以水平向右的速度v0从左端滑上小车,最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ=0.5,g取10 m/s2,则( )
[A] 物块滑上小车后,系统动量守恒、机械能守恒
[B] 增大物块与车面间的动摩擦因数,摩擦产生的热量变大
[C] 若v0=2.5 m/s,则物块在车面上滑行的时间为0.24 s
[D] 若要保证物块不从小车右端滑出,则v0不得大于5 m/s
D
6.(10分)(2024·甘肃卷,14)如图,质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O′P和OP作用下处于平衡状态,细绳O′P=OP=1.6 m,与竖直方向的夹角均为60°。质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上,质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断细绳O′P,小球A开始运动。(重力加速度g取10 m/s2)
【解析】 根据题意,设A、C质量均为m=2 kg,B的质量为M=6 kg,细绳OP长为l=1.6 m,初始时细绳与竖直方向夹角θ=60°。
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。
【答案】 (1)40 N,方向竖直向下
(2)A在最低点时,细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短),碰后A竖直下落,C水平向右运动。求碰后C的速度大小。
【答案】 (2)4 m/s
【解析】 (2)A与C相碰时,水平方向动量守恒,由于碰后A竖直下落,
可知mv0=0+mvC,
解得vC=v0=4 m/s。
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
【答案】 (3)0.15
综合提升练
7.(6分)(2024·湖北卷,10)(多选)如图所示,在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块,质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变,其大小f与射入初速度大小v0成正比,即f=kv0(k为已知常数)。改变子弹的初速度大小v0,若木块获得的速度最大,则( )
AD
8.(14分)如图,质量m2=1 kg,厚度h=0.45 m的木板C静置于光滑水平地面上,半径R=0.75 m的光滑半圆弧轨道竖直固定在木板C右边的水平地面上,木板与轨道均在同一竖直面内。轨道底端D点与木板C等高,并与圆心O在同一竖直线上,轨道上端最高为E点。质量m1=1.9 kg的物块B置于木板C的左端,一质量m0=0.1 kg的子弹A以v0=160 m/s的水平速度射中物块B并留在其中(时间极短),然后物块B(包括A)从木板左端水平向右滑行,B与C间的动摩擦因数μ=0.5。当物块B(包括A)到达木板右端时,木板恰好与轨道底端相碰并被锁定,同时物块B(包括A)沿圆弧切线方向滑上轨道。已知木板长度L=1.3 m,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求子弹A射中物块B并留在其中后物块B(包括A)的速度大小和该过程损失的机械能。
【答案】 (1)8 m/s 1 216 J
(2)求木板C与圆弧轨道底部碰撞前瞬间,物块B(包括A)和木板C的速度大小。
【答案】 (2)7 m/s 2 m/s
(3)判断物块B(包括A)是否会落到木板上 如果没有落在木板上,求该物块落点到木板左端的距离。
【答案】 (3)不会 1.4 m
B(包括A)落到水平地面时到木板左端的距离Δx=x′-L,
联立解得x′=1.4 m。
