第5讲 小专题:动力学、能量和动量观点的综合应用
考点一 动量守恒定律应用中的临界极值问题
碰撞中的临界极值问题,指的是相互作用中的物体“恰好不相撞”“相距最近”“相距最远”或“恰好上升到最高点”等,求解的关键是速度相等。常见类型有:
(1)当小物块到达最高点时,两物体速度相同。
(2)弹簧最短或最长时,两物体速度相同,此时弹簧弹性势能最大。
(3)两物体刚好不相撞,两物体速度相同。
(4)滑块恰好不滑出长木板,滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同。
[例1] 【恰好上升到最高点的临界】 如图所示,在水平面上放置一个侧面半径为R的圆弧凹槽,凹槽质量为m,凹槽最低点A点切线水平,B点为最高点。一个质量也为m的小球以速度v0从A点冲上凹槽,重力加速度为g,不计一切摩擦,则下列说法正确的是( )
[A] 小球在凹槽内运动的全过程中,小球与凹槽的总动量守恒,且最终离开凹槽后做平抛运动
[B] 若v0=,小球恰好可到达凹槽的B点且最终离开凹槽后做自由落体运动
[C] 若v0=,小球最后一次离开凹槽的位置一定是A点,且最终离开凹槽后做自由落体运动
[D] 若v0=,小球最后一次离开凹槽的位置一定是B点,且最终离开凹槽后做竖直上抛运动
【答案】 C
【解析】 小球在凹槽内运动的全过程中,小球与凹槽的水平方向动量守恒,但总动量不守恒,故A错误;若小球恰好到达B点时,由于水平方向动量守恒有mv0=2mv,由机械能守恒定律可知m=×2mv2+mgR,联立解得v0=2,故B错误;当v0>2时,小球从B点飞出后做斜抛运动,水平方向速度跟凹槽相同,再次返回时恰好能落到B点,故最后一次离开凹槽的位置一定是A点,由水平方向动量守恒得mv0=mv1+mv2,由机械能守恒定律可知m=m+m,联立解得v1=0,v2=v0,可知小球最终离开凹槽后做自由落体运动,故C正确,D错误。
[例2] 【弹簧类的临界问题】 (2024·山东菏泽模拟)如图甲所示,在光滑水平面上,小球A以初动量p0沿直线运动,与静止的带轻质弹簧的小球B发生正碰,此过程中,小球A的动量p随时间t变化的部分图像如图乙所示,t1时刻图线的切线斜率最大,此时纵坐标为p1,t2时刻纵坐标为零。已知小球A、B的直径相同,则( )
[A] 小球A、B的质量之比为
[B] t2时刻弹簧的弹性势能最大
[C] 小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
[D] 0~t2时间内,小球B的动量变化量为p0-p1
【答案】 C
【解析】 t1时刻图线的切线斜率最大,则小球A的动量变化率最大,由F=可知此时弹簧弹力最大,由胡克定律可知,此时弹簧形变量最大,则此时弹簧的弹性势能最大,故B错误;t1时刻两小球共速,设速度大小为v,设小球B此时的动量大小为p2,则小球A的质量mA=,根据动量守恒定律有p0=p1+p2,则小球B的质量mB==,由此可知两小球的质量之比为=,故A错误;根据机械能守恒定律有=++Epm,小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比k==,故C正确;0~t2时间内,小球B的动量变化量ΔpB=-ΔpA=p0,故D错误。
[例3] 【恰好不相撞的临界问题】(2024·河北承德期中)滑板运动是由冲浪运动演变而成的一种极限运动。如图所示,一同学在水平地面上进行滑板练习,该同学站在滑板A前端,与滑板A一起以20 m/s的共同速度向右做匀速直线运动,在滑板A正前方有一静止的滑板B,在滑板A接近滑板B时,该同学迅速从滑板A跳上滑板B,接着又从滑板B跳回滑板A,最终两滑板恰好不相撞。已知该同学的质量为45 kg,两滑板的质量均为2.5 kg,不计滑板与地面间的摩擦,下列说法正确的是( )
[A] 上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统机械能守恒
[B] 该同学跳回滑板A后,他和滑板A的共同速度为19 m/s
[C] 该同学跳离滑板B的过程中,滑板B的速度减小
[D] 该同学跳离滑板B的过程中,对滑板B的冲量大小为47.5 N·s
【答案】 B
【解析】 因该同学从A跳上B,再跳回A时最终两滑板恰好不相撞,可知两滑板速度相等,该同学跳回滑板A的整个过程中水平方向动量守恒,则(m+M)v0=(2m+M)v,解得该同学和滑板A的共同速度为v=19 m/s,选项B正确;上述过程中人与滑板A和滑板B组成的系统的机械能变化量为ΔE=(2m+M)v2-(m+M)=-475 J,则系统的机械能不守恒,选项A错误;该同学跳上和跳离滑板B的过程中,人给滑板B水平方向的作用力均向右,可知滑板B的速度增加,选项C错误;该同学跳上滑板B以及跳离滑板B的过程中对滑板B的总冲量为I=mv=47.5 N·s,则该同学跳离滑板B的过程中对滑板B的冲量大小小于47.5 N·s,选项D错误。
考点二 力学三大观点的综合问题
1.解决力学问题的三大观点
动力学观点 运用牛顿运动定律结合运动学知识,可解决匀变速运动问题
能量观点 用动能定理和能量守恒定律等,可解决非匀变速运动问题
动量观点 用动量守恒定律等,可解决非匀变速运动问题
2.力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式,可用牛顿第二定律。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为一物体系统,且它们之间有相互作用,一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题,但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时,则优先考虑能量守恒定律,系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量,即转化为系统内能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化。由于作用时间都极短,因此用动量守恒定律去解决。
[例4] 【动量与能量观点的综合应用】 (2025·河南高考适应性考试)如图,在有圆孔的水平支架上放置一物块,玩具子弹从圆孔下方竖直向上击中物块中心并穿出,穿出后物块和子弹上升的最大高度分别为h和8h,已知子弹的质量为m,物块的质量为4m,重力加速度大小为g。在子弹和物块上升过程中,子弹所受阻力忽略不计,物块所受阻力大小为自身重力的,子弹穿过物块时间很短,不计物块厚度的影响,求:
(1)子弹击中物块前瞬间的速度大小;
(2)子弹从击中物块到穿出过程中系统损失的机械能。
【答案】 (1)10 (2)mgh
【解析】 (1)子弹穿出物块后上升8h,由机械能守恒定律有8mgh=m,解得v1=4;
物块上升h,由动能定理有-4mgh-·4mgh=0-·4m,
解得v2=;
由动量守恒定律得mv0=mv1+4mv2,
得v0=10。
(2)子弹从击中物块到穿出过程中由能量守恒定律有ΔE=m-m-·4m,
解得ΔE=mgh。
[例5] 【力学三大观点的综合应用】 (2024·湖北卷,14)如图所示,水平传送带以 5 m/s 的速度顺时针匀速转动,传送带左右两端的距离为3.6 m。传送带右端的正上方有一悬点O,用长为0.3 m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2 kg的小球,小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子,P点与O点等高。将质量为 0.1 kg的小物块无初速轻放在传送带左端,小物块运动到右端与小球正碰,碰撞时间极短,碰后瞬间小物块的速度大小为1 m/s、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动,当轻绳被钉子挡住后,小球继续绕P点向上运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5,重力加速度大小g=10 m/s2。
(1)求小物块与小球碰撞前瞬间,小物块的速度大小;
(2)求小物块与小球碰撞过程中,两者构成的系统损失的总动能;
(3)若小球运动到P点正上方,绳子不松弛,求P点到O点的最小距离。
【答案】 (1)5 m/s (2)0.3 J (3)0.2 m
【解析】 (1)小物块在传送带上做匀加速直线运动,由牛顿第二定律有μm物g=m物a,
解得a=5 m/s2,
由运动学公式有x==2.5 m可知小物块运动到传送带右端前与传送带共速,即小物块与小球碰撞前瞬间速度大小
v=v传= 5 m/s。
(2)小物块与小球发生正碰,系统动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律有
m物v=m物v1+m球v2,
代入数据解得碰后小球速度v2=3 m/s,小物块与小球碰撞过程中,两者构成的系统损失的总动能为ΔEk=m物v2-m物-m球,
解得ΔEk=0.3 J。
(3)若小球运动到P点正上方,绳子恰好不松弛,设此时P点到O点的距离为d,小球在P点正上方的速度为v3,重力提供向心力有
m球g=m球,
小球从O点正下方到P点正上方过程根据机械能守恒定律有
m球=m球+m球g(2L绳-d),
联立解得d=0.2 m,
即P点到O点的最小距离为0.2 m。
对点1.动量守恒定律应用中的临界极值问题
1.(4分)(2024·安徽芜湖二模)如图所示,质量均为m的物块A、B放在光滑的水平面上,中间用轻弹簧相连,弹簧处于原长,一颗质量为km(k<1)的子弹以水平速度v0射入物块A并留在物块A中(时间极短),则下列说法正确的是( )
[A] 子弹射入物块A的过程中,子弹的动量变化量为
[B] 子弹射入物块A的过程中,物块A的动能增加量为
[C] 在弹簧第一次压缩到最短的过程中,物块B的动量大小最大值为
[D] 弹簧第一次压缩到最短的过程中,弹簧具有的最大弹性势能为
【答案】 C
【解析】 子弹射入物块A的过程中,子弹与物块A组成的系统动量守恒,则有kmv0=(m+km)v1,求得v1=v0,子弹动量的变化量Δp=kmv1-kmv0=-,物块A的动能增加量为ΔEkA=m=,选项A、B错误;子弹与物块A、B、弹簧组成的系统动量守恒,弹簧第一次压缩到最短的过程中,弹簧压缩到最短时物块B的动量大小最大,由动量守恒定律有kmv0=(2m+km)v2,求得v2=v0,物块B的动量大小最大值为pBm=,选项C正确;弹簧第一次压缩到最短的过程中,弹簧具有的最大弹性势能为ΔEp=(m+km)-(2m+km)=,选项D错误。
2.(8分)(2024·福建泉州一模)如图,左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧,处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端。质量为3m的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台,其左侧a端与台面等高,小车的上表面由长度为R的粗糙水平面ab和半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道bc组成。质量为m的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置,由静止释放后从a端以大小为2(g为重力加速度大小)的速度滑上小车,恰好能到达顶端c。求:
(1)由静止释放时弹簧的弹性势能Ep;
(2)P与ab间的动摩擦因数μ。
【答案】 (1)2mgR (2)0.5
【解析】 (1)设弹簧恢复原长时,P的速度为v0,根据系统能量守恒有Ep=m,
其中v0=2,
解得Ep=2mgR。
(2)P恰好能到达顶点c,此时P与小车共速,设此时速度大小为v,根据水平方向动量守恒有
mv0=(m+3m)v,
根据系统能量守恒有
m=(m+3m)v2+mgR+μmgR,
联立解得μ=0.5。
对点2.力学三大观点的综合问题
3.(6分)(多选)如图甲所示,a、b两物块(均视为质点)用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上,b的质量为m,t=0时使a获得水平向右、大小为v0的速度,a、b运动的速度—时间关系图像如图乙所示,已知阴影部分的面积为S0,弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为Ep=kx2,弹簧始终处于弹性限度内,下列说法正确的是( )
[A] t1时刻,a、b间的距离最大
[B] a的质量为2m
[C] 0~t3时间内,a所受冲量的大小为mv0
[D] 弹簧的劲度系数为
【答案】 BD
【解析】 t1时刻之前a的速度大于b的速度,t1时刻a的速度等于b的速度,故t1时刻弹簧的压缩量最大,a、b间的距离最小,故A错误;设a的质量为ma,0~t1时间内,由动量守恒定律得mav0=ma·v0+m·v0,解得ma=2m,故B正确;0~t3时间内,对a由动量定理有I=2m·v0-2m·v0=-mv0,负号表示方向与a的初速度方向相反,大小为mv0,故C错误;分析题意可得t=0时弹簧处于原长,设t1时刻弹簧的形变量为x0,已知阴影部分的面积为S0,则有x0=S0,设弹簧的劲度系数为k,则有Ep=k,由系统的机械能守恒可得Ep=×2m-(2m+m)(v0)2,综合解得k=,故D正确。
4.(8分)(2024·贵州毕节模拟)如图所示,PQ为光滑水平面,QN为粗糙水平面,两者之间平滑连接。两物体A和B并排静置于光滑水平面PQ上,它们的质量M均为0.5 kg。一颗质量m=0.1 kg的子弹以v0=34 m/s的水平速度从左边射入A,射出A后继续进入B中且当子弹与B保持相对静止时,A和B都还没有离开光滑水平面。已知子弹在物体A和B中所受阻力相同且一直保持不变,A的长度为LA=0.23 m,A离开光滑水平面后在粗糙水平面QN内位移为x=2 m。A、B与QN间的动摩擦因数μ都为0.1,不计空气阻力,g取10 m/s2。求:
(1)物体A和物体B离开光滑水平面时的速度大小vA、vB;
(2)子弹在物体B中穿过的距离LB。
【答案】 (1)2 m/s 4 m/s (2)0.03 m
【解析】 (1)设A离开光滑水平面时的速度为vA,则μMgx=M,
解得vA=2 m/s,
子弹射入A、B的过程中,根据动量守恒定律可得
mv0=MvA+(m+M)vB,
解得B离开光滑水平面时的速度vB=4 m/s。
(2)子弹穿透A时的速度为v弹,则
mv0=mv弹+2MvA,
解得v弹=14 m/s,
设子弹在物体B中穿过的距离为LB,由能量守恒定律可得
F阻LB=m+M-(m+M),
子弹在物体A中穿过的距离为LA,由能量守恒定律可得
F阻LA=m-(m+×2M),
联立解得LB=0.03 m。
5.(11分)(2024·辽宁辽阳模拟)如图所示,质量为4m、半径为R的光滑四分之一圆弧体A静止在足够长的光滑水平面上,水平面刚好与圆弧面的最底端相切,轻弹簧放在光滑水平面上,左端固定在竖直固定挡板上,用外力使质量为m的小球B压缩弹簧(B与弹簧不连接),由静止释放小球,小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时,恰好与圆弧体相对静止,不计小球的大小,重力加速度为g。求:
(1)弹簧具有的最大弹性势能;
(2)小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小;
(3)小球B第二次滚上圆弧面后,上升的最大高度。
【答案】 (1)1.25mgR (2)3.5mg (3)0.04R
【解析】 (1)由题意知,小球到达圆弧体的最高点时,竖直方向的速度为零,水平方向的速度与圆弧体的速度相同,设弹簧开始具有的最大弹性势能为Ep,小球被弹开后速度大小为v0,滚上圆弧体最高点后速度大小为v1,根据能量守恒定律有
Ep=×5m+mgR,
Ep=m,
根据动量守恒定律有mv0=5mv1,
联立解得Ep=1.25mgR。
(2)由(1)可解得v0=,
小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间,
FN-mg=m,
解得FN=3.5mg,
根据牛顿第三定律可知,小球对圆弧面的压力大小
FN′=FN=3.5mg。
(3)设小球第一次离开圆弧面时,小球的速度大小为v2、圆弧体的速度大小为v3,根据动量守恒定律有mv0=4mv3-mv2,
根据能量守恒定律有
m=×4m+m,
从小球第二次滚上圆弧面到上升到最高点过程中,设上升到最高点时共同速度为v4,上升的最大高度为h,根据动量守恒定律有4mv3+mv2=5mv4,
根据能量守恒定律有
×4m+m=×5m+mgh,
联立解得h=0.04R。
6.(13分)(2024·湖南怀化二模)如图所示,一质量M=3.0 kg、长L=5.15 m的长木板B静止放置于光滑水平面上,其左端紧靠一半径R=2 m的光滑圆弧轨道,但不粘连。圆弧轨道左端点P与圆心O的连线PO与竖直方向夹角为60°,其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端d=2.5 m处有一与木板等高的固定平台,平台上表面光滑,其上放置有质量m=1.0 kg的滑块D。平台上方有一固定水平光滑细杆,其上穿有一质量M=3.0 kg的滑块C,滑块C与D通过一轻弹簧连接,开始时弹簧处于竖直方向(弹簧伸缩状态未知)。一质量m=1.0 kg的滑块A自M点以某一初速度水平抛出下落高度H=3 m后恰好能从P点沿切线方向滑入圆弧轨道。A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B,带动B向右运动,B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运动,滑上平台,与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体在随后运动过程中一直没有离开平台,且C没有滑离细杆。A与木板B间动摩擦因数为μ=0.75。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑块A到达P点的速度大小;
(2)求滑块A滑上平台时速度的大小;
(3)若弹簧第一次恢复原长时,C的速度大小为 0.5 m/s,则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大
【答案】 (1)4 m/s (2)2 m/s (3)见解析
【解析】 (1)滑块A由M点做平抛运动到达P点,竖直方向有=2gH,
在P点沿切线进入圆轨道,则有vP=,
联立解得滑块A到达P点的速度大小为
vP=4 m/s。
(2)从P点到圆弧最低点,由动能定理得
mgR(1-cos 60°)=m-m,
假设滑块A在木板B上与B共速后,木板才到达右侧平台,以A、B为整体,由动量守恒定律得mv1=(M+m)v2,
由能量关系有μmgx相=m-(M+m),
联立解得x相=5 m<5.15 m,
B从开始滑动到A、B共速的过程中,对B由动能定理得μmgxB=M,
解得xB=1.25 m<2.5 m,
故假设成立;
B与平台碰撞后,B立即停止,A在B上继续向右运动,对A由动能定理得
-μmg(L-x相)=m-m,
解得A滑上平台的速度为v3=2 m/s。
(3)第1种情况:弹簧第一次恢复原长时,若C的速度方向向右,对A、D和C组成的系统,取向右为正方向,由动量守恒定律可得mv3=2mv4+Mv5,
三者速度相同时弹性势能最大,由动量守恒定律得
mv3=(2m+M)v6,
由能量关系Epm=×2m+M-(2m+M),
联立解得Epm=0.0 375 J。
第2种情况:弹簧第一次恢复原长时,若C的速度方向向左,对A、D和C组成的系统,取向右为正方向,由动量守恒定律得mv3=2mv7-Mv5,
三者速度相同时弹性势能最大,由动量守恒定律
mv3=(2m+M)v8,
由能量关系可知
Epm′=×2m+M-(2m+M),
联立解得Epm′=3.0 375 J。
(
第
10
页
)第5讲 小专题:动力学、能量和动量观点的综合应用
考点一 动量守恒定律应用中的临界极值问题
碰撞中的临界极值问题,指的是相互作用中的物体“恰好不相撞”“相距最近”“相距最远”或“恰好上升到最高点”等,求解的关键是速度相等。常见类型有:
(1)当小物块到达最高点时,两物体速度相同。
(2)弹簧最短或最长时,两物体速度相同,此时弹簧弹性势能最大。
(3)两物体刚好不相撞,两物体速度相同。
(4)滑块恰好不滑出长木板,滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同。
[例1] 【恰好上升到最高点的临界】 如图所示,在水平面上放置一个侧面半径为R的圆弧凹槽,凹槽质量为m,凹槽最低点A点切线水平,B点为最高点。一个质量也为m的小球以速度v0从A点冲上凹槽,重力加速度为g,不计一切摩擦,则下列说法正确的是( )
[A] 小球在凹槽内运动的全过程中,小球与凹槽的总动量守恒,且最终离开凹槽后做平抛运动
[B] 若v0=,小球恰好可到达凹槽的B点且最终离开凹槽后做自由落体运动
[C] 若v0=,小球最后一次离开凹槽的位置一定是A点,且最终离开凹槽后做自由落体运动
[D] 若v0=,小球最后一次离开凹槽的位置一定是B点,且最终离开凹槽后做竖直上抛运动
[例2] 【弹簧类的临界问题】 (2024·山东菏泽模拟)如图甲所示,在光滑水平面上,小球A以初动量p0沿直线运动,与静止的带轻质弹簧的小球B发生正碰,此过程中,小球A的动量p随时间t变化的部分图像如图乙所示,t1时刻图线的切线斜率最大,此时纵坐标为p1,t2时刻纵坐标为零。已知小球A、B的直径相同,则( )
[A] 小球A、B的质量之比为
[B] t2时刻弹簧的弹性势能最大
[C] 小球A的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
[D] 0~t2时间内,小球B的动量变化量为p0-p1
[例3] 【恰好不相撞的临界问题】(2024·河北承德期中)滑板运动是由冲浪运动演变而成的一种极限运动。如图所示,一同学在水平地面上进行滑板练习,该同学站在滑板A前端,与滑板A一起以20 m/s的共同速度向右做匀速直线运动,在滑板A正前方有一静止的滑板B,在滑板A接近滑板B时,该同学迅速从滑板A跳上滑板B,接着又从滑板B跳回滑板A,最终两滑板恰好不相撞。已知该同学的质量为45 kg,两滑板的质量均为2.5 kg,不计滑板与地面间的摩擦,下列说法正确的是( )
[A] 上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统机械能守恒
[B] 该同学跳回滑板A后,他和滑板A的共同速度为19 m/s
[C] 该同学跳离滑板B的过程中,滑板B的速度减小
[D] 该同学跳离滑板B的过程中,对滑板B的冲量大小为47.5 N·s
考点二 力学三大观点的综合问题
1.解决力学问题的三大观点
动力学观点 运用牛顿运动定律结合运动学知识,可解决匀变速运动问题
能量观点 用动能定理和能量守恒定律等,可解决非匀变速运动问题
动量观点 用动量守恒定律等,可解决非匀变速运动问题
2.力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式,可用牛顿第二定律。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为一物体系统,且它们之间有相互作用,一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题,但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件。
(4)在涉及相对位移问题时,则优先考虑能量守恒定律,系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量,即转化为系统内能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化。由于作用时间都极短,因此用动量守恒定律去解决。
[例4] 【动量与能量观点的综合应用】 (2025·河南高考适应性考试)如图,在有圆孔的水平支架上放置一物块,玩具子弹从圆孔下方竖直向上击中物块中心并穿出,穿出后物块和子弹上升的最大高度分别为h和8h,已知子弹的质量为m,物块的质量为4m,重力加速度大小为g。在子弹和物块上升过程中,子弹所受阻力忽略不计,物块所受阻力大小为自身重力的,子弹穿过物块时间很短,不计物块厚度的影响,求:
(1)子弹击中物块前瞬间的速度大小;
(2)子弹从击中物块到穿出过程中系统损失的机械能。
[例5] 【力学三大观点的综合应用】 (2024·湖北卷,14)如图所示,水平传送带以 5 m/s 的速度顺时针匀速转动,传送带左右两端的距离为3.6 m。传送带右端的正上方有一悬点O,用长为0.3 m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2 kg的小球,小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子,P点与O点等高。将质量为 0.1 kg的小物块无初速轻放在传送带左端,小物块运动到右端与小球正碰,碰撞时间极短,碰后瞬间小物块的速度大小为1 m/s、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动,当轻绳被钉子挡住后,小球继续绕P点向上运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5,重力加速度大小g=10 m/s2。
(1)求小物块与小球碰撞前瞬间,小物块的速度大小;
(2)求小物块与小球碰撞过程中,两者构成的系统损失的总动能;
(3)若小球运动到P点正上方,绳子不松弛,求P点到O点的最小距离。
(满分:50分)
对点1.动量守恒定律应用中的临界极值问题
1.(4分)(2024·安徽芜湖二模)如图所示,质量均为m的物块A、B放在光滑的水平面上,中间用轻弹簧相连,弹簧处于原长,一颗质量为km(k<1)的子弹以水平速度v0射入物块A并留在物块A中(时间极短),则下列说法正确的是( )
[A] 子弹射入物块A的过程中,子弹的动量变化量为
[B] 子弹射入物块A的过程中,物块A的动能增加量为
[C] 在弹簧第一次压缩到最短的过程中,物块B的动量大小最大值为
[D] 弹簧第一次压缩到最短的过程中,弹簧具有的最大弹性势能为
2.(8分)(2024·福建泉州一模)如图,左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧,处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端。质量为3m的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台,其左侧a端与台面等高,小车的上表面由长度为R的粗糙水平面ab和半径为R的四分之一圆弧形光滑轨道bc组成。质量为m的小物块P(与弹簧不拴接)在外力作用下将弹簧压缩至某一位置,由静止释放后从a端以大小为2(g为重力加速度大小)的速度滑上小车,恰好能到达顶端c。求:
(1)由静止释放时弹簧的弹性势能Ep;
(2)P与ab间的动摩擦因数μ。
对点2.力学三大观点的综合问题
3.(6分)(多选)如图甲所示,a、b两物块(均视为质点)用轻质弹簧连接并放置在光滑的水平面上,b的质量为m,t=0时使a获得水平向右、大小为v0的速度,a、b运动的速度—时间关系图像如图乙所示,已知阴影部分的面积为S0,弹簧的弹性势能Ep与弹簧的形变量x以及弹簧的劲度系数k之间的关系式为Ep=kx2,弹簧始终处于弹性限度内,下列说法正确的是( )
[A] t1时刻,a、b间的距离最大
[B] a的质量为2m
[C] 0~t3时间内,a所受冲量的大小为mv0
[D] 弹簧的劲度系数为
4.(8分)(2024·贵州毕节模拟)如图所示,PQ为光滑水平面,QN为粗糙水平面,两者之间平滑连接。两物体A和B并排静置于光滑水平面PQ上,它们的质量M均为0.5 kg。一颗质量m=0.1 kg的子弹以v0=34 m/s的水平速度从左边射入A,射出A后继续进入B中且当子弹与B保持相对静止时,A和B都还没有离开光滑水平面。已知子弹在物体A和B中所受阻力相同且一直保持不变,A的长度为LA=0.23 m,A离开光滑水平面后在粗糙水平面QN内位移为x=2 m。A、B与QN间的动摩擦因数μ都为0.1,不计空气阻力,g取10 m/s2。求:
(1)物体A和物体B离开光滑水平面时的速度大小vA、vB;
(2)子弹在物体B中穿过的距离LB。
5.(11分)(2024·辽宁辽阳模拟)如图所示,质量为4m、半径为R的光滑四分之一圆弧体A静止在足够长的光滑水平面上,水平面刚好与圆弧面的最底端相切,轻弹簧放在光滑水平面上,左端固定在竖直固定挡板上,用外力使质量为m的小球B压缩弹簧(B与弹簧不连接),由静止释放小球,小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时,恰好与圆弧体相对静止,不计小球的大小,重力加速度为g。求:
(1)弹簧具有的最大弹性势能;
(2)小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小;
(3)小球B第二次滚上圆弧面后,上升的最大高度。
6.(13分)(2024·湖南怀化二模)如图所示,一质量M=3.0 kg、长L=5.15 m的长木板B静止放置于光滑水平面上,其左端紧靠一半径R=2 m的光滑圆弧轨道,但不粘连。圆弧轨道左端点P与圆心O的连线PO与竖直方向夹角为60°,其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端d=2.5 m处有一与木板等高的固定平台,平台上表面光滑,其上放置有质量m=1.0 kg的滑块D。平台上方有一固定水平光滑细杆,其上穿有一质量M=3.0 kg的滑块C,滑块C与D通过一轻弹簧连接,开始时弹簧处于竖直方向(弹簧伸缩状态未知)。一质量m=1.0 kg的滑块A自M点以某一初速度水平抛出下落高度H=3 m后恰好能从P点沿切线方向滑入圆弧轨道。A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B,带动B向右运动,B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运动,滑上平台,与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体在随后运动过程中一直没有离开平台,且C没有滑离细杆。A与木板B间动摩擦因数为μ=0.75。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑块A到达P点的速度大小;
(2)求滑块A滑上平台时速度的大小;
(3)若弹簧第一次恢复原长时,C的速度大小为 0.5 m/s,则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大
(
第
10
页
)(共47张PPT)
高中总复习·物理
第5讲
小专题:动力学、
能量和动量观点的综合应用
碰撞中的临界极值问题,指的是相互作用中的物体“恰好不相撞”“相距最近”
“相距最远”或“恰好上升到最高点”等,求解的关键是速度相等。常见类型有:
(1)当小物块到达最高点时,两物体速度相同。
(2)弹簧最短或最长时,两物体速度相同,此时弹簧弹性势能最大。
(3)两物体刚好不相撞,两物体速度相同。
(4)滑块恰好不滑出长木板,滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同。
C
[例2] 【弹簧类的临界问题】 (2024·山东菏泽模拟)如图甲所示,在光滑水平面上,小球A以初动量p0沿直线运动,与静止的带轻质弹簧的小球B发生正碰,此过程中,小球A的动量p随时间t变化的部分图像如图乙所示,t1时刻图线的切线斜率最大,此时纵坐标为p1,t2时刻纵坐标为零。已知小球A、B的直径相同,则( )
C
[例3] 【恰好不相撞的临界问题】(2024·河北承德期中)滑板运动是由冲浪运动演变而成的一种极限运动。如图所示,一同学在水平地面上进行滑板练习,该同学站在滑板A前端,与滑板A一起以20 m/s的共同速度向右做匀速直线运动,在滑板A正前方有一静止的滑板B,在滑板A接近滑板B时,该同学迅速从滑板A跳上滑板B,接着又从滑板B跳回滑板A,最终两滑板恰好不相撞。已知该同学的质量为45 kg,两滑板的质量均为2.5 kg,不计滑板与地面间的摩擦,下列说法正确的是( )
[A] 上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统机械能守恒
[B] 该同学跳回滑板A后,他和滑板A的共同速度为19 m/s
[C] 该同学跳离滑板B的过程中,滑板B的速度减小
[D] 该同学跳离滑板B的过程中,对滑板B的冲量大小为47.5 N·s
B
该同学跳上和跳离滑板B的过程中,人给滑板B水平方向的作用力均向右,可知滑板B的速度增加,选项C错误;该同学跳上滑板B以及跳离滑板B的过程中对滑板B的总冲量为I=mv=47.5 N·s,则该同学跳离滑板B的过程中对滑板B的冲量大小小于47.5 N·s,选项D错误。
1.解决力学问题的三大观点
动力学观点 运用牛顿运动定律结合运动学知识,可解决匀变速运动问题
能量观点 用动能定理和能量守恒定律等,可解决非匀变速运动问题
动量观点 用动量守恒定律等,可解决非匀变速运动问题
2.力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式,可用牛顿第二定律。
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,一般用动量定理
(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。
(3)若研究的对象为一物体系统,且它们之间有相互作用,一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题,但需注意所研究的问题是否满足守恒的
条件。
(4)在涉及相对位移问题时,则优先考虑能量守恒定律,系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量,即转化为系统内能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转化。由于作用时间都极短,因此用动量守恒定律去解决。
(1)子弹击中物块前瞬间的速度大小;
(2)子弹从击中物块到穿出过程中系统损失的机械能。
[例5] 【力学三大观点的综合应用】 (2024·湖北卷,14)如图所示,水平传送带以
5 m/s 的速度顺时针匀速转动,传送带左右两端的距离为3.6 m。传送带右端的正上方有一悬点O,用长为0.3 m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2 kg的小球,小球与传送带上表面平齐但不接触。在O点右侧的P点固定一钉子,P点与O点等高。将质量为 0.1 kg的小物块无初速轻放在传送带左端,小物块运动到右端与小球正碰,碰撞时间极短,碰后瞬间小物块的速度大小为1 m/s、方向水平向左。小球碰后绕O点做圆周运动,当轻绳被钉子挡住后,小球继续绕P点向上运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5,重力加速度大小g=10 m/s2。
(1)求小物块与小球碰撞前瞬间,小物块的速度大小;
【答案】 (1)5 m/s
(2)求小物块与小球碰撞过程中,两者构成的系统损失的总动能;
【答案】 (2)0.3 J
(3)若小球运动到P点正上方,绳子不松弛,求P点到O点的最小距离。
【答案】 (3)0.2 m
对点1.动量守恒定律应用中的临界极值问题
1.(4分)(2024·安徽芜湖二模)如图所示,质量均为m的物块A、B放在光滑的水平面上,中间用轻弹簧相连,弹簧处于原长,一颗质量为km(k<1)的子弹以水平速度v0射入物块A并留在物块A中(时间极短),则下列说法正确的是( )
基础对点练
C
(1)由静止释放时弹簧的弹性势能Ep;
【答案】 (1)2mgR
(2)P与ab间的动摩擦因数μ。
【答案】 (2)0.5
对点2.力学三大观点的综合问题
BD
4.(8分)(2024·贵州毕节模拟)如图所示,PQ为光滑水平面,QN为粗糙水平面,两者之间平滑连接。两物体A和B并排静置于光滑水平面PQ上,它们的质量M均为0.5 kg。一颗质量m=0.1 kg的子弹以v0=34 m/s的水平速度从左边射入A,射出A后继续进入B中且当子弹与B保持相对静止时,A和B都还没有离开光滑水平面。已知子弹在物体A和B中所受阻力相同且一直保持不变,A的长度为LA=0.23 m,A离开光滑水平面后在粗糙水平面QN内位移为x=2 m。A、B与QN间的动摩擦因数μ都为0.1,不计空气阻力,g取10 m/s2。求:
(1)物体A和物体B离开光滑水平面时的速度大小vA、vB;
【答案】 (1)2 m/s 4 m/s
(2)子弹在物体B中穿过的距离LB。
【答案】 (2)0.03 m
5.(11分)(2024·辽宁辽阳模拟)如图所示,质量为4m、半径为R的光滑四分之一圆弧体A静止在足够长的光滑水平面上,水平面刚好与圆弧面的最底端相切,轻弹簧放在光滑水平面上,左端固定在竖直固定挡板上,用外力使质量为m的小球B压缩弹簧(B与弹簧不连接),由静止释放小球,小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时,恰好与圆弧体相对静止,不计小球的大小,重力加速度为g。求:
综合提升练
(1)弹簧具有的最大弹性势能;
【答案】 (1)1.25mgR
【解析】 (1)由题意知,小球到达圆弧体的最高点时,竖直方向的速度为零,
水平方向的速度与圆弧体的速度相同,
设弹簧开始具有的最大弹性势能为
Ep,小球被弹开后速度大小为v0,
滚上圆弧体最高点后速度大小为v1,
(2)小球B第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小;
【答案】 (2)3.5mg
(3)小球B第二次滚上圆弧面后,上升的最大高度。
【答案】 (3)0.04R
6.(13分)(2024·湖南怀化二模)如图所示,一质量M=3.0 kg、长L=5.15 m的长木板B静止放置于光滑水平面上,其左端紧靠一半径R=2 m的光滑圆弧轨道,但不粘连。圆弧轨道左端点P与圆心O的连线PO与竖直方向夹角为60°,其右端最低点处与长木板B上表面相切。距离木板B右端d=2.5 m处有一与木板等高的固定平台,平台上表面光滑,其上放置有质量m=1.0 kg的滑块D。
平台上方有一固定水平光滑细杆,其上穿有一质量M=3.0 kg的滑块C,滑块C与D通过一轻弹簧连接,开始时弹簧处于竖直方向(弹簧伸缩状态未知)。一质量m=1.0 kg的滑块A自M点以某一初速度水平抛出下落高度H=3 m后恰好能从P点沿切线方向滑入圆弧轨道。A下滑至圆弧轨道最低点并滑上木板B,带动B向右运动,B与平台碰撞后即粘在一起不再运动。A随后继续向右运
动,滑上平台,与滑块D碰撞并粘在一起向右运动。A、D组合体在随后运动过程中一直没有离开平台,且C没有滑离细杆。A与木板B间动摩擦因数为μ=0.75。忽略所有滑块大小及空气阻力对问题的影响。重力加速度g取
10 m/s2。
(1)求滑块A到达P点的速度大小;
(2)求滑块A滑上平台时速度的大小;
【答案】 (2)2 m/s
(3)若弹簧第一次恢复原长时,C的速度大小为 0.5 m/s,则随后运动过程中弹簧的最大弹性势能是多大
