第5讲 小专题:电磁感应中的动量问题
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
1.导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时,当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。
2.“单棒+电阻”模型
(1)水平放置的平行光滑导轨,间距为L,左侧接有电阻,阻值为R,导体棒初速度为v0,质量为m,电阻不计,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨向下,导轨足够长且电阻不计,从导体棒开始运动至停下来。求:
①此过程中通过导体棒横截面的电荷量q=。
②此过程导体棒的位移x=。
③若导体棒从获得初速度v0经一段时间减速至v1,通过导体棒的电荷量为q1,则v1=v0-。
④导体棒从获得初速度v0经过位移x0,速度减至v2,则v2=v0-。
(2)间距为L的光滑平行导轨倾斜放置,倾角为θ,由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨所在倾斜平面向下(重力加速度为g,导轨电阻不计)。
①当通过横截面的电荷量为q时,速度达到v1,此时运动时间Δt1=。
②当导体棒下滑位移为x时,速度达到v2,此时运动时间Δt2=。
[例1]
【单杆模型】 (2024·湖北武汉阶段练习)如图所示,匀强磁场磁感应强度B=1 T,不计电阻的平行金属导轨固定在磁场中,左侧接一阻值为1 Ω的电阻R,一质量为m=0.5 kg,电阻为r=1 Ω,长度为L=1 m的导体棒在恒力F=3 N作用下由静止开始运动,发生位移为x=3 m后速度刚好达到最大,导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
[A] 导体棒两端最大电势差为4.0 V
[B] 加速阶段电阻R上产生的热量为2 J
[C] 导体棒的加速时间t=1.25 s
[D] 加速阶段流过电阻R上的电荷量为1.5 C
【答案】 D
【解析】 当导体棒的速度达到最大时,根据受力平衡可得F=BIL+μmg,解得I=2 A,则导体棒两端最大电势差为U=IR=2 V,故A错误;速度达到最大时,根据I=,解得最大速度为vm=4 m/s,加速阶段由功能关系可得Fx-μmgx=m+Q,其中QR=Q,联立解得QR=1 J,故B错误;由动量定理可得Ft-μmgt-BLt=mvm,其中q=t=== C=1.5 C,联立解得t=1.75 s,故C错误,D正确。
[例2] 【双杆模型】 (2024·江苏苏州阶段练习)如图,水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨,导轨间距为l,电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中,虚线为两磁场的分界线,质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上(两棒始终与导轨垂直且接触良好)。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度,则在此后的整个运动过程中( )
[A] 两棒受到的安培力冲量大小相等,方向相反
[B] 通过PQ棒某一横截面的电荷量为
[C] MN棒产生的焦耳热为
[D] 两棒最终的速度大小均为
【答案】 B
【解析】 根据右手定则知,回路中产生沿NMPQN方向的感应电流,根据左手定则可知,MN棒受到的安培力水平向右,PQ棒受到的安培力也水平向右,且两棒受到的安培力大小相等,则两棒受到的安培力冲量大小相等,方向相同,故A错误;当两棒产生的感应电动势大小相等,相互抵消,回路中感应电流为零时,两棒均做匀速运动,达到稳定状态,稳定时,有Blv1=
Blv2,解得v1=v2,对PQ棒,根据动量定理得I=mv2-0,对MN棒,根据动量定理得-I=mv1-mv0,解得v1=v2=,故D错误;对PQ棒,根据动量定理得Blt=mv2-0,通过PQ棒某一横截面的电荷量为q=t,可得q=,故B正确;根据能量守恒定律得2Q=m-(m+m),解得MN棒产生的焦耳热为Q=,故C错误。
[例3] 【导轨间距不等时的双杆模型】 如图所示,电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合而成,窄轨和宽轨均处于同一水平面内,AB、CD等长且与EF、GH均相互平行,BE、GD等长、共线,且均与AB垂直,窄轨间距为,宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好,棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨EF段某位置,a棒从AB段某位置以初速度v0向右运动,且a棒距窄轨右端足够远,宽轨EF、GH足够长。下列判断不正确的是( )
[A] a棒刚开始运动时,b棒的加速度大小为
[B] 经过足够长的时间,a棒的速度为v0
[C] 整个过程中通过回路的电荷量为
[D] 整个过程中b棒产生的焦耳热为m
【答案】 B
【解析】 a棒刚开始运动时,a棒产生的感应电动势为E=B··v0,由闭合电路欧姆定律得电路中的感应电流为I=,对b棒,根据牛顿第二定律得BIL=ma,解得b棒的加速度大小为a=,故A正确;设经过足够长的时间,a、b棒的速度分别为va、vb,此时,两棒产生的感应电动势大小相等,回路中没有感应电流,两棒不受安培力,均做匀速直线运动,则有B··va=BLvb,得va=2vb,对b棒,由动量定理得BILt=mvb-0,对a棒,由动量定理得-BI·t=mva-
mv0,联立解得va=v0,vb=v0,整个过程中通过回路的电荷量为q=It,联立可得q=,故B错误,C正确;整个过程中b棒产生的焦耳热为Qb=Q总=[m-(m+m)],解得Qb=m,故D正确。
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
1.在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力充当系统内力,如果它们不受摩擦力,且受到的安培力的合力为零,则满足动量守恒,运用动量守恒定律解题比较方便。
2.双棒模型(不计摩擦力)
项目 双棒无外力 双棒有外力
示 意 图 F为恒力
动 力 学 观 点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动,导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动,最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动,导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动,最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量 观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量 观点 棒1动能的减少量=棒2动能的增加量+焦耳热 外力做的功=棒1的动能+棒2的动能+焦耳热
[例4]
【水平面上的动量守恒】 (2024·辽宁葫芦岛二模)(多选)如图所示,两足够长的平行长直金属导轨固定在水平面上,导轨间距为L。两根长度均为L的光滑导体棒ab、cd静置于导轨上,导体棒ab的质量为2m,电阻为R,导体棒cd的质量为m,电阻为2R。导轨间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。初始时两导体棒之间的间距为L,某时刻给导体棒cd施加垂直于导体棒水平向右的外力,使导体棒cd由静止开始向右做加速度大小为a0的匀加速直线运动,同时给导体棒ab施加垂直于导体棒水平向左的外力,使导体棒ab始终保持静止。经过时间t=同时撤去施加在导体棒ab、cd上的外力。导体棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好,平行长直金属导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是( )
[A] 撤去外力瞬间,导体棒cd的速度v=
[B] 导体棒cd匀加速运动过程中,施加在导体棒cd上外力冲量的大小为
[C] 从撤去外力到导体棒cd运动稳定的过程中,导体棒cd上产生的焦耳热为
[D] 撤去外力后通过导体棒cd的感应电荷量q=
【答案】 ACD
【解析】 撤去外力瞬间,导体棒cd的速度v=a0t=,故A正确;导体棒cd匀加速运动过程中,导体棒cd受到的平均安培力为=BL==·=2ma0,根据牛顿第二定律,施加在导体棒cd上的平均外力=+ma0,施加在导体棒cd上外力冲量的大小为IF=t=,故B错误;从撤去外力到导体棒cd运动稳定的过程中,根据动量守恒定律有mv=(2m+m)v′,根据能量守恒定律有mv2=(2m+m)v′2+Q,导体棒cd上产生的焦耳热为Qcd=Q=,故C正确;根据-BtL=mv′-mv,即-qBL=mv′-mv,得q=,故D正确。
[例5]
【斜面上的动量守恒】 如图所示,两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ,间距为L,电阻不计,两导轨构成的平面与水平面成θ角。金属棒ab、cd用绝缘轻绳连接,其接入电路的电阻均为R,质量分别为2m和m。沿斜面向上的力作用在cd上使两金属棒静止,整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,重力加速度大小为g。将轻绳烧断后,保持F不变,金属棒始终与导轨垂直且接触良好,则( )
[A] 轻绳烧断瞬间,金属棒cd的加速度大小a=gsin θ
[B] 轻绳烧断后,金属棒cd做匀加速运动
[C] 轻绳烧断后,任意时刻两金属棒运动的速度大小之比vab∶vcd=1∶2
[D] 金属棒ab的最大速度vabm=
【答案】 C
【解析】 沿导轨平面向上的力F作用在cd上使两金属棒静止,由平衡条件可得F=3mgsin θ,轻绳烧断瞬间,金属棒cd受到沿导轨平面向上的力F和重力、支持力作用,由牛顿第二定律得F-mgsin θ=ma,解得金属棒cd的加速度大小a=2gsin θ,选项A错误;轻绳烧断后,金属棒ab和cd均切割磁感线产生感应电动势,回路中有感应电流,金属棒受到不断变化的安培力作用,所以金属棒cd做变加速运动,选项B错误;对两金属棒组成的系统,所受合力为零,系统沿导轨方向动量守恒,由动量守恒定律可知,轻绳烧断后,任意时刻2mvab-mvcd=0,两金属棒运动的速度大小之比vab∶vcd=1∶2,选项C正确;当金属棒ab达到最大速度时,金属棒ab受力平衡,有2mgsin θ=BIL,I=,E=BL+BL·2=3BL,联立解得=,选项D错误。
对点1.动量定理在电磁感应中的应用
1.(4分)(2024·福建厦门期末)匀质正方形金属框abcd,边长为l,质量为m,总电阻为R,初始时线框在竖直平面内,底边水平且距水平地面高度为H,如图所示,竖直虚线右侧存在垂直于线框平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给线框一沿bc方向的初速度v0(未知),线框在图示虚线位置落地且落地时速度方向竖直向下。不计空气阻力,则( )
[A] 线框落地前一直做平抛运动
[B] 线框运动过程中流过线框的电荷量为
[C] 线框的初速度大小v0=
[D] 线框落地时的速度大小v=
【答案】 D
【解析】 根据题意可知,线框进入磁场过程中,沿初速度方向上做减速运动,则线框落地前不是一直做平抛运动,故A错误;由题图可知,线框落地时已完全进入磁场中,由公式q=Δt,=,=可得q==,故B错误;由题意可知,线框落地时速度竖直向下,水平方向上,由动量定理有-Blt=0-mv0,则有Blq=mv0,解得v0=,故C错误;根据题意可知,线框竖直方向做自由落体运动,由于线框落地时速度竖直向下,则线框落地时的速度大小等于竖直分速度的大小,则有v=vy=,故D正确。
2.(4分)(2025·湖南长沙模拟)定义“另类加速度”A=,A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变,则称物体做另类匀变速运动。如图所示,光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域(磁场宽度大于线框边长)。导线框电阻不可忽略,但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1,穿出磁场后速度为v2。下列说法正确的是( )
[A] 线框在进入磁场的过程中,速度随时间均匀增加
[B] 线框在进入磁场的过程中,其另类加速度A是变化的
[C] 线框完全进入磁场后,在磁场中运动的速度为
[D] 线框完全进入磁场后,在磁场中运动的速度为
【答案】 C
【解析】 线框在进入磁场的过程中,受到向左的安培力而做减速运动,线框受到的安培力大小为F=BIL=BL·=,可知随着速度减小,线框受到的安培力减小,加速度减小,所以线框在进入磁场的过程中,做加速度逐渐减小的减速直线运动,故A错误;线框在进入磁场的过程中,取向右为正方向,根据动量定理得-BLΔt=mΔv,其中Δt=Δt=,解得=-,所以另类加速度A不变,故B错误;设线框完全进入磁场后的速度为v,则有v=v1-,v=
v2+,联立可得v=,故C正确,D错误。
对点2.动量守恒定律在电磁感应中的应用
3.(4分)(2024·广西桂林模拟)如图,两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,导轨间距为d,处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。已知导体棒MN的电阻为R,质量为m,导体棒PQ的电阻为2R,质量为2m。初始时刻两棒静止,两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧,两棒在磁场中运动直至停止,弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好,导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是( )
[A] 弹簧伸长过程中,回路中感应电流的方向为PQNMP
[B] 两导体棒和弹簧组成的系统动量守恒,机械能守恒
[C] 整个运动过程中,MN与PQ的路程之比为1∶2
[D] 整个运动过程中,通过MN的净电荷量为
【答案】 D
【解析】 在弹簧伸长过程中,导体棒MN与PQ必定分别向右、向左运动,回路的磁通量增加,由楞次定律和安培定则可知回路中产生PMNQP方向的电流,A错误;两导体棒受到的安培力等大反向,两导体棒和弹簧组成的系统合力为零,动量守恒,机械能不守恒,机械能会转化为焦耳热,B错误;两棒的动量始终大小相等,可得mvMN=2mvPQ,得vMN=2vPQ,可知MN与PQ的速率之比始终为 2∶1,则MN与PQ的路程之比为2∶1,C错误;设整个运动过程,MN与PQ的位移大小分别为x1、x2,最终弹簧处于原长状态,MN与PQ之间距离和初始时相比增加了L,因两棒总是反向运动,可得x1+x2=L,整个运动过程回路的磁通量变化量为ΔΦ=Bd(x1+x2)=BdL,通过MN的净电荷量为q=·Δt=·Δt==,D正确。
4.(6分)(2025·广西南宁模拟)(多选)如图所示,间距L=1 m的粗糙倾斜金属导轨与水平面间的夹角θ=37°,其顶端与阻值R=1 Ω的定值电阻相连,间距相同的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上,两导轨都足够长且在AA′处平滑连接,AA′至DD′均是光滑绝缘带,保证倾斜导轨与水平导轨间电流不导通。倾斜导轨处有方向垂直倾斜导轨所在平面向上、磁感应强度大小B1=0.2 T的匀强磁场,水平导轨处有方向竖直向上、磁感应强度大小B2=0.5 T 的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m=0.2 kg,两棒接入电路部分的电阻均为R,初始时刻,导体棒1放置在倾斜导轨上,且距离AA′足够远,导体棒2静置于水平导轨上,已知倾斜导轨与导体棒1间的动摩擦因数μ=0.5。现将导体棒1由静止释放,运动过程中导体棒1未与导体棒2发生碰撞。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。两棒与导轨始终垂直且接触良好,导轨电阻不计,下列说法正确的是( )
[A] 导体棒1在倾斜导轨上下滑时做匀加速直线运动
[B] 导体棒1滑至AA′瞬间的速度大小为20 m/s
[C] 稳定时,导体棒2的速度大小为10 m/s
[D] 整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为2 C
【答案】 BC
【解析】 由于导体棒1释放点离AA′足够远,导体棒1滑至AA′时一定达到稳定状态,则导体棒1在倾斜导轨上下滑时先做加速直线运动,后做匀速直线运动,故A错误;当导体棒1匀速运动时受力平衡,即B1IL+μmgcos 37°=mgsin 37°,根据闭合电路欧姆定律及法拉第电磁感应定律有I=,解得v=20 m/s,故B正确;导体棒1、2组成的系统由动量守恒定律可得mv=2mv′,即稳定时,导体棒2的速度大小为v′=10 m/s,故C正确;对导体棒2由动量定理有B2LΔt=mv′,即B2Lq=mv′,电荷量为q==4 C,故D错误。
5.(6分)(2025·湖南岳阳模拟)(多选)如图所示,两平行光滑长直金属导轨水平放置,间距为L。abcd区域有匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向竖直向上。初始时刻,磁场外的细金属杆M以初速度v0向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态,且到cd的距离为x0。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为v0,两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m,金属杆N质量为m,两杆在导轨间的电阻均为R,感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是( )
[A] M刚进入磁场时M两端的电势差Uab=-BLv0
[B] N在磁场内运动过程中N上产生的热量Q=m
[C] N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小a=
[D] N在磁场内运动的时间t=+
【答案】 CD
【解析】 根据题意,M刚进入磁场时,感应电动势为E=BLv0,由右手定则可知φa<φb,则M两端的电势差Uab=-·E=-BLv0,故A错误;两金属杆在磁场中运动过程中,M、N系统动量守恒,则有2mv0=2mv1+m·v0,解得v1=v0,由能量守恒定律可得,此过程整个电路产生的热量为Q=×2m-×2m-m(v0)2=m,则N上产生的热量为Q′=Q=m,故B错误;N在磁场内运动过程中加速度最小时,所受安培力最小,此时感应电流最小,N出磁场瞬间,感应电动势最小,则有E′=BL·v0-BL·v0,又有I=,BIL=ma,联立解得a=,故C正确;对N由动量定理有BL·t=m·v0,又有=,联立得(xM-xN)=m·v0,又有xN=x0,解得xM=x0+,又有∑2mv0·Δt=∑2mvM·Δt+∑mvN·Δt,可得2mv0t=2mxM+mx0,代入得t=+
,故D正确。
6.(6分)(2024·湖南卷,8)(多选)某电磁缓冲装置如图所示,两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内,导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连,导轨BC段与B1C1段粗糙,其余部分光滑,AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中,一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场,最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R,与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ,AB=BC=d。导轨电阻不计,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
[A] 金属杆经过BB1的速度为
[B] 在整个过程中,定值电阻R产生的热量为m-μmgd
[C] 金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域,金属杆所受安培力的冲量相同
[D] 若将金属杆的初速度加倍,则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍
【答案】 CD
【解析】 设金属杆在BB1处速度为v,导轨间距为L,金属杆在AA1B1B区域运动时,水平方向只受安培力,由动量定理有-∑BiLΔt=mv-mv0,其中∑iΔt=∑Δt=,即-=mv-mv0;在BB1C1C区域运动时,水平方向受安培力和滑动摩擦力,由动量定理有-μmgt-=0-mv,联立可知v>,A错误;在整个过程中,由功能关系可得m=2QR+μmgd,解得QR=m-
μmgd,B错误;金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域,安培力的冲量均为-,C正确;对全过程由动量定理有-μmgt-·2d=0-mv0,若将金属杆的初速度加倍,由动量定理有-μmgt′-·x=0-2mv0,由于金属杆在BB1C1C区域运动的平均速度比第一次大,则t′4d,D正确。
7.(20分)(2024·湖北卷,15)如图所示,两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L,固定在同一水平面内,直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直,其左侧无磁场,右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环,水平放置在两直导轨上,其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变,金属棒、金属环均与导轨始终接触良好,重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放,求:
(1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小;
(2)金属环刚开始运动时的加速度大小;
(3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触,金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
【答案】 (1)BL (2)
(3)
【解析】 (1)对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程,根据动能定理有
mgL=m,
解得v0=,
则ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为
E=BLv0=BL。
(2)金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路,导轨外侧的两段圆弧被短路,由几何关系可得,金属环在导轨间的每段圆弧的电阻
R0=×=R,
可知,整个回路的总电阻为
R总=R+=R,
ab刚越过MP时,通过ab的感应电流为
I==,
对金属环由牛顿第二定律,有
2BL·=2ma,
解得a=。
(3)金属棒ab和金属环在磁场中运动过程系统动量守恒,当金属棒ab和金属环速度相等时,金属棒ab恰好追上金属环,金属环圆心初位置到MP有最小距离,设此时速度为v,根据动量守恒定律有mv0=mv+2mv,
解得v=v0,
对金属棒ab根据动量定理有
-BLt=m·-mv0,
则有BLq=mv0,
设金属棒运动距离为x1,金属环运动距离为x2,
则有q=,
联立解得Δx=x1-x2=,
则金属环圆心初始位置到MP的最小距离
d=L+Δx=。
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)第5讲 小专题:电磁感应中的动量问题
考点一 动量定理在电磁感应中的应用
1.导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时,当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。
2.“单棒+电阻”模型
(1)水平放置的平行光滑导轨,间距为L,左侧接有电阻,阻值为R,导体棒初速度为v0,质量为m,电阻不计,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨向下,导轨足够长且电阻不计,从导体棒开始运动至停下来。求:
①此过程中通过导体棒横截面的电荷量q=。
②此过程导体棒的位移x=。
③若导体棒从获得初速度v0经一段时间减速至v1,通过导体棒的电荷量为q1,则v1=v0-。
④导体棒从获得初速度v0经过位移x0,速度减至v2,则v2=v0-。
(2)间距为L的光滑平行导轨倾斜放置,倾角为θ,由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨所在倾斜平面向下(重力加速度为g,导轨电阻不计)。
①当通过横截面的电荷量为q时,速度达到v1,此时运动时间Δt1=。
②当导体棒下滑位移为x时,速度达到v2,此时运动时间Δt2=。
[例1]
【单杆模型】 (2024·湖北武汉阶段练习)如图所示,匀强磁场磁感应强度B=1 T,不计电阻的平行金属导轨固定在磁场中,左侧接一阻值为1 Ω的电阻R,一质量为m=0.5 kg,电阻为r=1 Ω,长度为L=1 m的导体棒在恒力F=3 N作用下由静止开始运动,发生位移为x=3 m后速度刚好达到最大,导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
[A] 导体棒两端最大电势差为4.0 V
[B] 加速阶段电阻R上产生的热量为2 J
[C] 导体棒的加速时间t=1.25 s
[D] 加速阶段流过电阻R上的电荷量为1.5 C
[例2] 【双杆模型】 (2024·江苏苏州阶段练习)如图,水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨,导轨间距为l,电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中,虚线为两磁场的分界线,质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上(两棒始终与导轨垂直且接触良好)。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度,则在此后的整个运动过程中( )
[A] 两棒受到的安培力冲量大小相等,方向相反
[B] 通过PQ棒某一横截面的电荷量为
[C] MN棒产生的焦耳热为
[D] 两棒最终的速度大小均为
[例3] 【导轨间距不等时的双杆模型】 如图所示,电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD以及直宽轨EF、GH组合而成,窄轨和宽轨均处于同一水平面内,AB、CD等长且与EF、GH均相互平行,BE、GD等长、共线,且均与AB垂直,窄轨间距为,宽轨间距为L。窄轨和宽轨之间均有竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场。由同种材料制成的相同金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好,棒长为L、质量为m、电阻为R。初始时b棒静止于导轨EF段某位置,a棒从AB段某位置以初速度v0向右运动,且a棒距窄轨右端足够远,宽轨EF、GH足够长。下列判断不正确的是( )
[A] a棒刚开始运动时,b棒的加速度大小为
[B] 经过足够长的时间,a棒的速度为v0
[C] 整个过程中通过回路的电荷量为
[D] 整个过程中b棒产生的焦耳热为m
考点二 动量守恒定律在电磁感应中的应用
1.在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力充当系统内力,如果它们不受摩擦力,且受到的安培力的合力为零,则满足动量守恒,运用动量守恒定律解题比较方便。
2.双棒模型(不计摩擦力)
项目 双棒无外力 双棒有外力
示 意 图 F为恒力
动 力 学 观 点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动,导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动,最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动,导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动,最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量 观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量 观点 棒1动能的减少量=棒2动能的增加量+焦耳热 外力做的功=棒1的动能+棒2的动能+焦耳热
[例4]
【水平面上的动量守恒】 (2024·辽宁葫芦岛二模)(多选)如图所示,两足够长的平行长直金属导轨固定在水平面上,导轨间距为L。两根长度均为L的光滑导体棒ab、cd静置于导轨上,导体棒ab的质量为2m,电阻为R,导体棒cd的质量为m,电阻为2R。导轨间存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。初始时两导体棒之间的间距为L,某时刻给导体棒cd施加垂直于导体棒水平向右的外力,使导体棒cd由静止开始向右做加速度大小为a0的匀加速直线运动,同时给导体棒ab施加垂直于导体棒水平向左的外力,使导体棒ab始终保持静止。经过时间t=同时撤去施加在导体棒ab、cd上的外力。导体棒运动过程中始终与导轨垂直并接触良好,平行长直金属导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是( )
[A] 撤去外力瞬间,导体棒cd的速度v=
[B] 导体棒cd匀加速运动过程中,施加在导体棒cd上外力冲量的大小为
[C] 从撤去外力到导体棒cd运动稳定的过程中,导体棒cd上产生的焦耳热为
[D] 撤去外力后通过导体棒cd的感应电荷量q=
[例5]
【斜面上的动量守恒】 如图所示,两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ,间距为L,电阻不计,两导轨构成的平面与水平面成θ角。金属棒ab、cd用绝缘轻绳连接,其接入电路的电阻均为R,质量分别为2m和m。沿斜面向上的力作用在cd上使两金属棒静止,整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,重力加速度大小为g。将轻绳烧断后,保持F不变,金属棒始终与导轨垂直且接触良好,则( )
[A] 轻绳烧断瞬间,金属棒cd的加速度大小a=gsin θ
[B] 轻绳烧断后,金属棒cd做匀加速运动
[C] 轻绳烧断后,任意时刻两金属棒运动的速度大小之比vab∶vcd=1∶2
[D] 金属棒ab的最大速度vabm=
(满分:50分)
对点1.动量定理在电磁感应中的应用
1.(4分)(2024·福建厦门期末)匀质正方形金属框abcd,边长为l,质量为m,总电阻为R,初始时线框在竖直平面内,底边水平且距水平地面高度为H,如图所示,竖直虚线右侧存在垂直于线框平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给线框一沿bc方向的初速度v0(未知),线框在图示虚线位置落地且落地时速度方向竖直向下。不计空气阻力,则( )
[A] 线框落地前一直做平抛运动
[B] 线框运动过程中流过线框的电荷量为
[C] 线框的初速度大小v0=
[D] 线框落地时的速度大小v=
2.(4分)(2025·湖南长沙模拟)定义“另类加速度”A=,A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变,则称物体做另类匀变速运动。如图所示,光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域(磁场宽度大于线框边长)。导线框电阻不可忽略,但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1,穿出磁场后速度为v2。下列说法正确的是( )
[A] 线框在进入磁场的过程中,速度随时间均匀增加
[B] 线框在进入磁场的过程中,其另类加速度A是变化的
[C] 线框完全进入磁场后,在磁场中运动的速度为
[D] 线框完全进入磁场后,在磁场中运动的速度为
对点2.动量守恒定律在电磁感应中的应用
3.(4分)(2024·广西桂林模拟)如图,两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,导轨间距为d,处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。已知导体棒MN的电阻为R,质量为m,导体棒PQ的电阻为2R,质量为2m。初始时刻两棒静止,两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧,两棒在磁场中运动直至停止,弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好,导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是( )
[A] 弹簧伸长过程中,回路中感应电流的方向为PQNMP
[B] 两导体棒和弹簧组成的系统动量守恒,机械能守恒
[C] 整个运动过程中,MN与PQ的路程之比为1∶2
[D] 整个运动过程中,通过MN的净电荷量为
4.(6分)(2025·广西南宁模拟)(多选)如图所示,间距L=1 m的粗糙倾斜金属导轨与水平面间的夹角θ=37°,其顶端与阻值R=1 Ω的定值电阻相连,间距相同的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上,两导轨都足够长且在AA′处平滑连接,AA′至DD′均是光滑绝缘带,保证倾斜导轨与水平导轨间电流不导通。倾斜导轨处有方向垂直倾斜导轨所在平面向上、磁感应强度大小B1=0.2 T的匀强磁场,水平导轨处有方向竖直向上、磁感应强度大小B2=0.5 T 的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m=0.2 kg,两棒接入电路部分的电阻均为R,初始时刻,导体棒1放置在倾斜导轨上,且距离AA′足够远,导体棒2静置于水平导轨上,已知倾斜导轨与导体棒1间的动摩擦因数μ=0.5。现将导体棒1由静止释放,运动过程中导体棒1未与导体棒2发生碰撞。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。两棒与导轨始终垂直且接触良好,导轨电阻不计,下列说法正确的是( )
[A] 导体棒1在倾斜导轨上下滑时做匀加速直线运动
[B] 导体棒1滑至AA′瞬间的速度大小为20 m/s
[C] 稳定时,导体棒2的速度大小为10 m/s
[D] 整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为2 C
5.(6分)(2025·湖南岳阳模拟)(多选)如图所示,两平行光滑长直金属导轨水平放置,间距为L。abcd区域有匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向竖直向上。初始时刻,磁场外的细金属杆M以初速度v0向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态,且到cd的距离为x0。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为v0,两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m,金属杆N质量为m,两杆在导轨间的电阻均为R,感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。下列说法正确的是( )
[A] M刚进入磁场时M两端的电势差Uab=-BLv0
[B] N在磁场内运动过程中N上产生的热量Q=m
[C] N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小a=
[D] N在磁场内运动的时间t=+
6.(6分)(2024·湖南卷,8)(多选)某电磁缓冲装置如图所示,两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内,导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连,导轨BC段与B1C1段粗糙,其余部分光滑,AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中,一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场,最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R,与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ,AB=BC=d。导轨电阻不计,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
[A] 金属杆经过BB1的速度为
[B] 在整个过程中,定值电阻R产生的热量为m-μmgd
[C] 金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域,金属杆所受安培力的冲量相同
[D] 若将金属杆的初速度加倍,则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍
7.(20分)(2024·湖北卷,15)如图所示,两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L,固定在同一水平面内,直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直,其左侧无磁场,右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环,水平放置在两直导轨上,其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变,金属棒、金属环均与导轨始终接触良好,重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放,求:
(1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小;
(2)金属环刚开始运动时的加速度大小;
(3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触,金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
(
第
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高中总复习·物理
第5讲
小专题:电磁感应中的动量问题
1.导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时,当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解。
2.“单棒+电阻”模型
(1)水平放置的平行光滑导轨,间距为L,左侧接有电阻,阻值为R,导体棒初速度为v0,质量为m,电阻不计,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨向下,导轨足够长且电阻不计,从导体棒开始运动至停下来。求:
(2)间距为L的光滑平行导轨倾斜放置,倾角为θ,由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于导轨所在倾斜平面向下(重力加速度为g,导轨电阻不计)。
[例1] 【单杆模型】 (2024·湖北武汉阶段练习)如图所示,匀强磁场磁感应强度B=1 T,不计电阻的平行金属导轨固定在磁场中,左侧接一阻值为1 Ω的电阻R,一质量为m=0.5 kg,电阻为r=1 Ω,长度为L=1 m的导体棒在恒力F=3 N作用下由静止开始运动,发生位移为x=3 m后速度刚好达到最大,导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2。则下列说法正确的是( )
[A] 导体棒两端最大电势差为4.0 V
[B] 加速阶段电阻R上产生的热量为2 J
[C] 导体棒的加速时间t=1.25 s
[D] 加速阶段流过电阻R上的电荷量为1.5 C
D
[例2] 【双杆模型】 (2024·江苏苏州阶段练习)如图,水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨,导轨间距为l,电阻不计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中,虚线为两磁场的分界线,质量均为m的两根相同导体棒MN、PQ静置于图示的导轨上(两棒始终与导轨垂直且接触良好)。现使MN棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速度,则在此后的整个运动过程中( )
B
B
1.在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力充当系统内力,如果它们不受摩擦力,且受到的安培力的合力为零,则满足动量守恒,运用动量守恒定律解题比较方便。
2.双棒模型(不计摩擦力)
项目 双棒无外力 双棒有外力
示意图
F为恒力
动力学观点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动,导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动,最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动,导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动,最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量观点 棒1动能的减少量=棒2动能的增加 量+焦耳热 外力做的功=棒1的动能+棒2的动
能+焦耳热
ACD
[例5] 【斜面上的动量守恒】 如图所示,两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ,间距为L,电阻不计,两导轨构成的平面与水平面成θ角。金属棒ab、cd用绝缘轻绳连接,其接入电路的电阻均为R,质量分别为2m和m。沿斜面向上的力作用在cd上使两金属棒静止,整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,重力加速度大小为g。将轻绳烧断后,保持F不变,金属棒始终与导轨垂直且接触良好,则( )
C
基础对点练
对点1.动量定理在电磁感应中的应用
1.(4分)(2024·福建厦门期末)匀质正方形金属框abcd,边长为l,质量为m,总电阻为R,初始时线框在竖直平面内,底边水平且距水平地面高度为H,如图所示,竖直虚线右侧存在垂直于线框平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给线框一沿bc方向的初速度v0(未知),线框在图示虚线位置落地且落地时速度方向竖直向下。不计空气阻力,则( )
D
C
D
对点2.动量守恒定律在电磁感应中的应用
3.(4分)(2024·广西桂林模拟)如图,两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上,导轨间距为d,处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度大小为B。已知导体棒MN的电阻为R,质量为m,导体棒PQ的电阻为2R,质量为2m。初始时刻两棒静止,两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧,两棒在磁场中运动直至停止,弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好,导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是( )
[A] 弹簧伸长过程中,回路中感应电流的方向为PQNMP
[B] 两导体棒和弹簧组成的系统动量守恒,机械能守恒
[C] 整个运动过程中,MN与PQ的路程之比为1∶2
4.(6分)(2025·广西南宁模拟)(多选)如图所示,间距L=1 m的粗糙倾斜金属导轨与水平面间的夹角θ=37°,其顶端与阻值R=1 Ω的定值电阻相连,间距相同的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上,两导轨都足够长且在AA′处平滑连接,AA′至DD′均是光滑绝缘带,保证倾斜导轨与水平导轨间电流不导通。倾斜导轨处有方向垂直倾斜导轨所在平面向上、磁感应强度大小B1=0.2 T的匀强磁场,水平导轨处有方向竖直向上、磁感应强度大小B2=0.5 T 的匀强磁场。两根导体棒1、2的质量均为m=0.2 kg,两棒接入电路部分的电阻均为R,初始时刻,导体棒1放置在倾斜导轨上,且距离AA′足够远,导体棒2静置于水平导轨上,已知倾斜导轨与导体棒1间的动摩擦因数μ=0.5。现将导体棒1由静止释放,运动过程中导体棒1未与导体棒2发生碰撞。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。两棒与导轨始终垂直且接触良好,导轨电阻不计,下列说法正确的是( )
[A] 导体棒1在倾斜导轨上下滑时做匀加速直线运动
[B] 导体棒1滑至AA′瞬间的速度大小为20 m/s
[C] 稳定时,导体棒2的速度大小为10 m/s
[D] 整个运动过程中通过导体棒2的电荷量为2 C
BC
CD
6.(6分)(2024·湖南卷,8)(多选)某电磁缓冲装置如图所示,两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内,导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连,导轨BC段与B1C1段粗糙,其余部分光滑,AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中,一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场,最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R,与粗糙导轨间的动摩擦因数为μ,AB=BC=d。导轨电阻不计,重力加速度为g,下列说法正确的是( )
CD
综合提升练
(1)ab刚越过MP时产生的感应电动势大小;
(2)金属环刚开始运动时的加速度大小;
(3)为使ab在整个运动过程中不与金属环接触,金属环圆心初始位置到MP的最小距离。
