第1讲 交变电流的产生和描述
有一种自行车,它有能向自行车车头灯泡供电的小型发电机,其原理示意图如图甲所示;图中N、S是一对固定的磁极,磁极间有一固定在绝缘转轴上的矩形线圈,转轴的一端有一个与自行车后轮边缘接触的摩擦轮。如图乙所示,当车轮转动时,因摩擦而带动摩擦轮转动,从而使线圈在磁场中转动而产生电流给车头灯泡供电。 (1)自行车匀速行驶时线圈中产生的是什么形式的电流 (2)线圈中交变电流的周期与自行车的速度有什么关系 小灯泡亮度与自行车的行驶速度有什么关系 (3)如何求解后轮转一周的时间里电流方向变化的次数 (4)线圈的匝数与穿过线圈的磁通量的变化率有什么关系
(2024·安徽宿州阶段练习)风力发电将成为福建沿海实现“双碳”目标的重要途径之一。如图甲,风力发电装置呈现风车外形,风吹向叶片驱动风轮机转动,风轮机带动内部匝数为N的矩形铜质线圈在水平匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场的水平转轴OO′顺时针匀速转动产生交变电流,发电模型简化为如图乙所示。已知N匝线圈产生的感应电动势的最大值为Em。则( )
[A] 当线圈转到图示位置时产生的感应电流方向为DCBA
[B] 当线圈转到竖直位置时电流表的示数为零
[C] 当线圈转到图示位置时磁通量的变化率最大
[D] 穿过线圈的最大磁通量为
【答案】 C
考点一 交变电流的产生及变化规律
如图所示,N匝矩形线圈abcd绕中轴在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω匀速转动,线圈的面积为S,从如图所示(磁场与线圈垂直)的位置开始计时。
(1)试借助导体切割磁感线产生感应电动势的表达式,推导出线圈产生的感应电动势随时间变化的函数表达式。
提示:从中性面开始计时,ab边切割磁感线产生的瞬时电动势e1=BL1vsin θ=BL1·ωsin ωt,其中L1、L2分别为ab与ad的长度,ω为线圈匀速转动的角速度;cd边产生的电动势与ab边的大小相等、方向相同,且两者串联,线圈有N匝,故有e=2NBL1·ωsin ωt=NBSωsin ωt。
(2)试借助法拉第电磁感应定律和求导的方法,推导出线圈产生的感应电动势随时间变化的函数表达式。
提示:根据法拉第电磁感应定律E=N,可知感应电动势的大小为磁通量Φ关于时间的一阶导数与线圈匝数乘积的绝对值,即e=|NΦ′|。从中性面开始计时,则磁通量关于时间的变化关系式为Φ=BScos ωt,Φ的一阶导数Φ′=-BSωsin ωt,对于N匝线圈有e=|NΦ′|=NBSωsin ωt。
1.两个特殊位置及其特点
中性面位置 与中性面垂直的位置
B⊥S B∥S
Φ=BS最大 Φ=0最小
e=N=0, 最小 e=N=NBSω, 最大
感应电流为零, 方向改变 感应电流最大, 方向不变
2.正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
物理量 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcos ωt =BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt =NBSωsin ωt
电压 u=Umsin ωt =sin ωt
电流 i=Imsin ωt =sin ωt
3.电流方向的改变
线圈通过中性面时,电流方向发生改变,一个周期内线圈通过中性面两次,电流的方向改变两次。
[例1]
【交变电流的产生及表达式的书写】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图为交流发电机的示意图,矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动,发电机的电动势随时间的变化规律为e=20sin(100πt)V。下列说法正确的是( )
[A] 此交流的频率为100 Hz
[B] 此交流电动势的有效值为20 V
[C] 当线圈平面转到图示位置时产生的电动势最大
[D] 当线圈平面转到平行于磁场的位置时磁通量的变化率最大
【答案】 D
【解析】 此交流的频率为f== Hz=50 Hz,故A错误;此交流电动势的有效值为E==10 V,故B错误;当线圈平面转到题图所示位置时处于中性面,产生的感应电动势为零,故C错误;当线圈转到垂直于中性面时,磁通量的变化率最大,此时产生的电动势最大,故D正确。
[例2] 【交变电流的图像】 (2024·山东卷,8)如图甲所示,在-d≤x≤d,-d ≤y≤d的区域中存在垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场(用阴影表示磁场的区域),边长为2d的正方形线圈与磁场边界重合。线圈以y轴为转轴匀速转动时,线圈中产生的交变电动势如图乙所示。若仅磁场的区域发生了变化,线圈中产生的电动势变为图丙所示实线部分,则变化后磁场的区域可能为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 根据题意可知,磁场区域变化前线圈产生的感应电动势为e=Esin ωt,由题图丙可知,磁场区域变化后,当Esin ωt=时,线圈的侧边开始切割磁感线,即当线圈旋转时开始切割磁感线,由几何关系可知磁场区域平行于x轴的边长变为d′=2dcos =d,C正确。
考点二 交变电流有效值的求解
1.交变电流有效值的计算
(1)计算有效值时要根据电流的热效应,抓住“三同”:“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”。先分段计算热量,求和得出一个周期内产生的总热量,然后根据Q总=I2RT或Q总=T列式求解。
(2)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流,其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系I=,U=求解。
2.几种典型的电流(电压)图像及其有效值
电流名称 图像 有效值
正弦式 交变电流 I=
正弦半 波电流 I=
正弦单向 脉冲电流 I=
矩形脉 冲电流 I=
非对称性 交变电流 I=
[例3] 【有效值的理解】 (2024·陕西渭南一模)(多选)某同学自制了一个手摇交流发电机,如图所示。大轮与小轮通过皮带传动(皮带不打滑),半径之比为4∶1,小轮与线圈固定在同一转轴上。线圈是由漆包线绕制而成的边长为L的正方形,共n匝,总阻值为R。磁体间磁场可视为磁感应强度大小为B的匀强磁场。大轮以角速度ω匀速转动,带动小轮及线圈绕转轴转动,转轴与磁场方向垂直。线圈通过导线、滑环和电刷连接一个阻值恒为R的灯泡。假设发电时灯泡能发光且工作在额定电压U0以内,下列说法正确的是( )
[A] 大轮转动的角速度ω不能超过
[B] 灯泡两端电压有效值为 nBL2ω
[C] 若用总长为原来2倍的漆包线重新绕制边长仍为L的多匝正方形线圈,则灯泡变得
更亮
[D] 若仅将小轮半径变为原来的2倍,则灯泡变得更亮
【答案】 BC
【解析】 依题意,大轮和小轮通过皮带传动,线速度的大小相等,根据v=ωr,由大轮和小轮的半径之比为4∶1,可知小轮转动的角速度为大轮转动角速度的4倍,即线圈转动的角速度为4ω。根据法拉第电磁感应定律可知,线圈产生的感应电动势的最大值为Em=nBL2×4ω,根据正弦式交变电流峰值和有效值的关系可知,产生的电动势的有效值为E=,根据欧姆定律可得灯泡两端电压的有效值为U=E,联立解得U=nBL2ω,发电时灯泡能发光且工作在额定电压U0以内,可得U0>U,解得ω<,故A错误,B正确;若用总长为原来2倍的相同漆包线重新绕制成边长仍为L的多匝正方形线圈,则线圈的匝数会变为原来的2倍,线圈产生感应电动势的最大值为Em′=8nBL2ω,此时线圈产生感应电动势的有效值为E′=,根据电阻定律可得R=ρ,可知线圈的电阻也会变为原先的2倍,根据电路构造的分析和欧姆定律可得U′=E′,联立解得 U′=,可知灯泡变得更亮,故C正确;若将小轮半径变为原来的2倍,则根据线速度的计算公式可知线圈和小轮的角速度都会变小,根据前面选项分析可知灯泡两端电压有效值会随之减小,因此灯泡会变暗,故D错误。
[例4] 【有效值的计算】 (2024·河北卷,4)R1、R2为两个完全相同的定值电阻,R1两端的电压随时间周期性变化的规律如图甲所示(三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的倍),R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图乙所示,则两电阻在一个周期T内产生的热量之比Q1∶Q2为( )
[A] 2∶3 [B] 4∶3
[C] 2∶ [D] 5∶4
【答案】 B
【解析】 设R1两端电压的有效值为U1,R2两端电压的有效值为U2,则根据有效值的定义有 T=×+×,解得U1=U0,U2=;则根据Q=t可知,Q1∶Q2=∶=4∶3。故选B。
考点三 交变电流“四值”的比较和应用
交变电流“四值”的比较和应用
项目 物理含义 重要关系 应用情况 及说明
瞬时 值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况
峰值 最大的瞬时值 Em=NBSω Im= 讨论电容器的击穿电压
有效 值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 E= U= I= 适用于正弦式交变电流 (1)交流电流表、交流电压表的示数。 (2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等)。 (3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等)。 (4)没有特别加以说明的指有效值
平均 值 交变电流图像中图线与时间轴所围的面积与时间的比值 =n = 计算通过导线横截面的电荷量
[例5]
【交变电流“四值”的简单应用】 (2024·安徽合肥期末)某种风力发电机的原理如图所示。发电机的线圈固定,磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴匀速转动的角速度为ω。已知磁体间的磁场近似为匀强磁场,磁感应强度的大小为B,线圈的匝数为N、面积为S。下列说法正确的是( )
[A] 线圈中感应电动势的有效值E=
[B] 1 s内线圈中感应电流的方向改变次
[C] 当线圈处在图中所示的位置时,线圈中的感应电动势达到最大值
[D] 以图中线圈所处位置开始计时,线圈中感应电动势的瞬时值表达式为e=NBSωcos ωt
【答案】 A
【解析】 线圈中感应电动势的最大值为Em=NBSω,则线圈中感应电动势的有效值为E=
=,故A正确;转动周期为T=,可知1 s内线圈转动的圈数为n==,每经过1个周期,电流方向改变2次,则1 s内线圈中感应电流的方向改变次,故B错误;当线圈处在题图中所示的位置时,穿过线圈的磁通量最大,磁通量变化率为零,线圈中的感应电动势为零,以题图中线圈所处位置开始计时,线圈中感应电动势的瞬时值表达式为e=Emsin ωt=
NBSωsin ωt,故C、D错误。
[例6]
【交变电流“四值”的计算】 (2024·湖南衡阳期末)用长度为L,横截面面积为S、电阻率为ρ的金属丝制成正方形线框abcd,然后置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中,如图所示,绕与ab边重合的固定轴从中性面开始沿图示方向逆时针匀速转动,转动的角速度为ω,下列说法正确的是( )
[A] 线框从图示位置转过的过程中,线框中电流的方向为a→d→c→b→a
[B] 线框中感应电流的有效值为
[C] 线框转过一周的过程中,产生的焦耳热为
[D] 线框从图示位置转过半圈的过程中,通过线框某一横截面的电荷量为0
【答案】 C
【解析】 由楞次定律和安培定则可知,线框转过的过程中,线框中电流的方向为a→b→c→d→a,A错误;线框的电阻R=ρ,电动势的峰值Em=B()2ω,有效值E=,故电流的有效值I==,B错误;线框转过一周的过程中产生的焦耳热Q=I2R·=,C正确;线框从图示位置转过半圈的过程中,通过线框某一横截面的电荷量q==,D错误。
交变电流“四值”应用的注意事项
(1)在解答有关交变电流的问题时,要注意电路结构。
(2)注意区分交变电流的峰值、瞬时值、有效值和平均值,峰值是瞬时值中的最大值,有效值是以电流的热效应来等效定义的。
(3)求解与电能、电热相关的问题时,一定要用有效值;而求解通过导体某横截面的电荷量时,一定要用平均值。
(满分:50分)
对点1.交变电流的产生及变化规律
1.(4分)(2024·江苏扬州二模)某兴趣小组利用地磁场探究交变电流的规律如图甲所示,线圈在地磁场中匀速转动,转轴OO′沿东西方向水平放置,产生的交变电流i随时间t变化关系图像如图乙所示。已知地磁场方向斜向下,则( )
[A] 0时刻,线圈在竖直面内
[B] 时刻,线圈在水平面内
[C] 若仅增加转速,Im变小
[D] 若仅将转轴沿南北方向水平放置,Im变小
【答案】 D
【解析】 0时刻,由题图乙可知,感应电流为零,此时穿过线圈的磁通量最大,线圈处于与地磁场方向垂直的平面,故A错误;时刻,由题图乙可知,感应电流最大,此时穿过线圈的磁通量最小,线圈处于与地磁场方向平行的平面,故B错误;若仅增加转速,线圈产生的感应电动势最大值增大,则Im变大,故C错误;若仅将转轴沿南北方向水平放置,则地磁场水平分量一直与线圈平面平行,只有地磁场的竖直分量穿过线圈,所以线圈产生的感应电动势最大值变小,则Im变小,故D正确。
2.(6分)(2024·安徽六安期末)(多选)如图甲所示,矩形线圈abcd在匀强磁场中匀速转动可以产生交变电流,其电动势e随时间t变化的图像如图乙所示,线圈电阻 r=1 Ω,电阻R=9 Ω。则( )
[A] t=0.01 s时,线圈平面处于中性面
[B] 线圈转动一周,电流的方向改变一次
[C] 电阻R两端电压为10 V
[D] 电阻R在10 s内产生的热量为90 J
【答案】 AD
【解析】 t=0.01 s时,电动势为零,线圈平面处于中性面,故A正确;线圈转动一周的时间为一个周期,由题图可知一个周期内电流的方向改变两次,故B错误;交流电动势的有效值E==10 V,根据串联电路分压原理可知电阻R两端电压U==9 V,故C错误;电阻R在10 s内产生的热量Q=t=90 J,故D正确。
对点2.交变电流有效值的求解
3.
(6分)(2024·安徽黄山阶段练习)(多选)如图所示,在磁感应强度为B的匀强磁场中,单匝小型发电机线框面积为S,以角速度ω绕垂直于磁感线的轴转动,下列关于理想交流电压表V的示数U的描述正确的是( )
[A] 若开关与触点1相接,U=BSω
[B] 若开关与触点1相接,U=
[C] 若开关与触点2相接,U=BSω
[D] 若开关与触点2相接,U=BSω
【答案】 BD
【解析】 感应电动势最大值为Em=BSω,若开关与触点1相接,有效值为U=E==,可知理想交流电压表V的示数为,故A错误,B正确;若开关与触点2相接,二极管具有单向导电性,电路中一个周期只有一半时间有电流,可得·=·T,解得U=BSω,可知理想交流电压表V的示数为BSω,故C错误,D正确。
4.(4分)(2024·安徽安庆模拟)如图甲所示,虚线MN左侧空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B0,与MN共面、边长为L的单匝金属线框abcd以MN为对称轴放置在纸面内,以角速度ω1绕轴匀速转动,再将线框在纸面内向右平移L,使线框绕MN以角速度ω2匀速转动,如图乙所示,若甲、乙两图中线框的热功率相等,则ω1∶ω2等于( )
[A] ∶2 [B] 2∶
[C] ∶2 [D] 2∶
【答案】 A
【解析】 题图甲中,电动势的有效值E1=B0×L2ω1=B0L2ω1,题图乙中,设电动势有效值为E2,则·T=·+·,解得E2=B0L2ω2,由于两图中线框的热功率相等,则E1=E2,解得ω1∶ω2=∶2,选项A正确。
对点3.交变电流“四值”的比较和应用
5.(6分)(2024·河北张家口模拟)(多选)电容器的额定电压为电容器两端所允许施加的最大电压,如果施加的电压大于额定电压值,电容器有可能会被损坏。如图所示,交流发电机的矩形线圈ABCD在磁感应强度B=0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′以角速度ω=50 rad/s匀速转动,线圈的匝数 n=100,矩形线圈ABCD面积S=0.1 m2,线圈电阻忽略不计。标有“100 V 40 W”的灯泡和额定电压为100 V的电容器并联接到线圈两端,电压表V和电流表A均为理想电表。下列说法正确的是( )
[A] 电容器不可能被击穿
[B] 灯泡恰好正常发光
[C] 电压表V的示数约为71 V
[D] 电流表A的示数为零
【答案】 AC
【解析】 电动势的最大值Em=nBSω,代入数据可得Em=100 V,则电动势的有效值E== V=50 V≈71 V,电容器的额定电压为100 V,电容器不会被击穿,电压的有效值小于灯泡的额定电压,灯泡不能正常发光,A正确,B错误;电压表示数为电压有效值,约为71 V,电容器的充、放电过程使电流表示数不为零,C正确,D错误。
6.
(4分)(2024·安徽芜湖阶段练习)如图所示,磁感应强度大小为B的匀强磁场中,匝数为n、边长为L的正方形线圈绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动,其角速度为ω,线圈总电阻为r,则( )
[A] 理想电流表的示数为
[B] 线圈转动一周产生的热量为
[C] 线圈从图示位置转动30°过程中,通过导体横截面的电荷量为
[D] 当线圈与中性面的夹角为45°时,线圈产生的瞬时电动势为nBL2ω
【答案】 C
【解析】 感应电动势的有效值为E===,理想电流表的示数为I==,故A错误;线圈转动一周产生的热量为Q=I2rT=I2r·=,故B错误;线圈从题图所示位置转动30°过程中,通过导体横截面的电荷量为q=Δt=Δt===,故C正确;当线圈与中性面的夹角为45°时,线圈产生的瞬时电动势为E′=nBSωcos 45°=
nBL2ω,故D错误。
7.(4分)(2024·安徽合肥期中)如图,足够长的两平行光滑金属导轨MN、PQ水平放置,间距l=1 m,导轨中间分布有磁感应强度为1 T的匀强磁场,磁场边界为正弦曲线。一粗细均匀的导体棒以 10 m/s 的速度向右匀速滑动,定值电阻R的阻值为1 Ω,导体棒接入电路的电阻也为1 Ω,二极管D正向电阻为零,反向电阻无穷大,导轨电阻不计,下列说法正确的是( )
[A] 理想电压表示数为25 V
[B] 导体棒运动到图示位置时,有电流流过电阻R
[C] 导体棒上热功率为6.25 W
[D] 流经电阻R的最大电流为10 A
【答案】 C
【解析】 导体棒切割磁感线时,产生的最大感应电动势Em=Blv=1×1×10 V=10 V,由闭合电路欧姆定律可知,流经电阻R的电流最大值为Im== A=5 A,设电流的有效值为I,由二极管的单向导电性和有效值的定义可得()2R·=I2RT,可得流经电阻R的电流有效值为I=2.5 A,可得理想电压表示数为U=IR=2.5×1 V=2.5 V,A、D错误;导体棒运动到题图所示位置时,由右手定则判定,导体棒上的感应电动势方向由a到b,二极管反向截止,没有电流流过电阻R,B错误;导体棒中的电流有效值为2.5 A,由焦耳定律可得导体棒上热功率为P=I2R=2.52×1 W=6.25 W,C正确。
8.(16分)(2024·安徽淮南开学考试)动能回收系统是新能源汽车时代一项重要的技术,其主要原理是利用电磁制动回收动能以替代传统的刹车制动模式,其能源节省率高达37%。其原理为,当放开油门进行轻制动时,汽车由于惯性会继续前行,此时回收系统会让机械组拖拽发电机线圈,切割磁场并产生电流对电池进行供电。设汽车的质量为M,若把动能回收系统的发电机看成理想模型:线圈匝数为N,面积为S,总电阻为r,且近似置于一磁感应强度为B的匀强磁场中。若把整个电池组等效成一外部电阻R,则:
(1)若汽车系统显示发电机组此时的转速为n,则此时能向外提供多少有效充电电压
(2)某厂家研发部为了把能量利用达到最大化,想通过设计“磁回收”悬挂装置对汽车行驶过程中的微小震动能量回收,实现行驶更平稳、更节能的目的。其装置设计视图如图甲、乙所示,其中,避震筒的直径为D,震筒内有辐向磁场且匝数为n1的线圈,所处位置磁感应强度均为B0,线圈内阻及充电电路总电阻为R0,外力驱动线圈,使得线圈沿着轴线方向往复运动,其纵向震动速度图像如图丙所示,忽略所有的摩擦。试写出此避震装置提供的电磁阻力随时间的表达式。
【答案】 (1)
(2)F=sin t
【解析】 (1)由线圈转动产生的交变电流电动势最大值为Em=NBSω,
由题意得,电动势的有效值为E=,
由闭合电路欧姆定律可知,电池组获得的实际充电电压为U=,
又因ω=2πn,
联立解得U=。
(2)电磁避震筒通过切割辐向磁场磁感线产生感应电流,其电动势表达式为e=n1B0πDvy,
由题图可知,线圈的切割速度函数表达式为
vy=v0sin t,
线圈中的总电流i=,
感应电流产生的安培力与运动方向相反且其大小为F=n1B0iπD,
联立解得F=sin t。
(
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)第1讲 交变电流的产生和描述
有一种自行车,它有能向自行车车头灯泡供电的小型发电机,其原理示意图如图甲所示;图中N、S是一对固定的磁极,磁极间有一固定在绝缘转轴上的矩形线圈,转轴的一端有一个与自行车后轮边缘接触的摩擦轮。如图乙所示,当车轮转动时,因摩擦而带动摩擦轮转动,从而使线圈在磁场中转动而产生电流给车头灯泡供电。 (1)自行车匀速行驶时线圈中产生的是什么形式的电流 (2)线圈中交变电流的周期与自行车的速度有什么关系 小灯泡亮度与自行车的行驶速度有什么关系 (3)如何求解后轮转一周的时间里电流方向变化的次数 (4)线圈的匝数与穿过线圈的磁通量的变化率有什么关系
(2024·安徽宿州阶段练习)风力发电将成为福建沿海实现“双碳”目标的重要途径之一。如图甲,风力发电装置呈现风车外形,风吹向叶片驱动风轮机转动,风轮机带动内部匝数为N的矩形铜质线圈在水平匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场的水平转轴OO′顺时针匀速转动产生交变电流,发电模型简化为如图乙所示。已知N匝线圈产生的感应电动势的最大值为Em。则( )
[A] 当线圈转到图示位置时产生的感应电流方向为DCBA
[B] 当线圈转到竖直位置时电流表的示数为零
[C] 当线圈转到图示位置时磁通量的变化率最大
[D] 穿过线圈的最大磁通量为
考点一 交变电流的产生及变化规律
如图所示,N匝矩形线圈abcd绕中轴在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω匀速转动,线圈的面积为S,从如图所示(磁场与线圈垂直)的位置开始计时。
(1)试借助导体切割磁感线产生感应电动势的表达式,推导出线圈产生的感应电动势随时间变化的函数表达式。
提示:从中性面开始计时,ab边切割磁感线产生的瞬时电动势e1=BL1vsin θ=BL1·ωsin ωt,其中L1、L2分别为ab与ad的长度,ω为线圈匀速转动的角速度;cd边产生的电动势与ab边的大小相等、方向相同,且两者串联,线圈有N匝,故有e=2NBL1·ωsin ωt=NBSωsin ωt。
(2)试借助法拉第电磁感应定律和求导的方法,推导出线圈产生的感应电动势随时间变化的函数表达式。
提示:根据法拉第电磁感应定律E=N,可知感应电动势的大小为磁通量Φ关于时间的一阶导数与线圈匝数乘积的绝对值,即e=|NΦ′|。从中性面开始计时,则磁通量关于时间的变化关系式为Φ=BScos ωt,Φ的一阶导数Φ′=-BSωsin ωt,对于N匝线圈有e=|NΦ′|=NBSωsin ωt。
1.两个特殊位置及其特点
中性面位置 与中性面垂直的位置
B⊥S B∥S
Φ=BS最大 Φ=0最小
e=N=0, 最小 e=N=NBSω, 最大
感应电流为零, 方向改变 感应电流最大, 方向不变
2.正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
物理量 函数表达式 图像
磁通量 Φ=Φmcos ωt =BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt =NBSωsin ωt
电压 u=Umsin ωt =sin ωt
电流 i=Imsin ωt =sin ωt
3.电流方向的改变
线圈通过中性面时,电流方向发生改变,一个周期内线圈通过中性面两次,电流的方向改变两次。
[例1]
【交变电流的产生及表达式的书写】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图为交流发电机的示意图,矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动,发电机的电动势随时间的变化规律为e=20sin(100πt)V。下列说法正确的是( )
[A] 此交流的频率为100 Hz
[B] 此交流电动势的有效值为20 V
[C] 当线圈平面转到图示位置时产生的电动势最大
[D] 当线圈平面转到平行于磁场的位置时磁通量的变化率最大
[例2] 【交变电流的图像】 (2024·山东卷,8)如图甲所示,在-d≤x≤d,-d ≤y≤d的区域中存在垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场(用阴影表示磁场的区域),边长为2d的正方形线圈与磁场边界重合。线圈以y轴为转轴匀速转动时,线圈中产生的交变电动势如图乙所示。若仅磁场的区域发生了变化,线圈中产生的电动势变为图丙所示实线部分,则变化后磁场的区域可能为( )
[A] [B]
[C] [D]
考点二 交变电流有效值的求解
1.交变电流有效值的计算
(1)计算有效值时要根据电流的热效应,抓住“三同”:“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”。先分段计算热量,求和得出一个周期内产生的总热量,然后根据Q总=I2RT或Q总=T列式求解。
(2)若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流,其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系I=,U=求解。
2.几种典型的电流(电压)图像及其有效值
电流名称 图像 有效值
正弦式 交变电流 I=
正弦半 波电流 I=
正弦单向 脉冲电流 I=
矩形脉 冲电流 I=
非对称性 交变电流 I=
[例3] 【有效值的理解】 (2024·陕西渭南一模)(多选)某同学自制了一个手摇交流发电机,如图所示。大轮与小轮通过皮带传动(皮带不打滑),半径之比为4∶1,小轮与线圈固定在同一转轴上。线圈是由漆包线绕制而成的边长为L的正方形,共n匝,总阻值为R。磁体间磁场可视为磁感应强度大小为B的匀强磁场。大轮以角速度ω匀速转动,带动小轮及线圈绕转轴转动,转轴与磁场方向垂直。线圈通过导线、滑环和电刷连接一个阻值恒为R的灯泡。假设发电时灯泡能发光且工作在额定电压U0以内,下列说法正确的是( )
[A] 大轮转动的角速度ω不能超过
[B] 灯泡两端电压有效值为 nBL2ω
[C] 若用总长为原来2倍的漆包线重新绕制边长仍为L的多匝正方形线圈,则灯泡变得
更亮
[D] 若仅将小轮半径变为原来的2倍,则灯泡变得更亮
[例4] 【有效值的计算】 (2024·河北卷,4)R1、R2为两个完全相同的定值电阻,R1两端的电压随时间周期性变化的规律如图甲所示(三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的倍),R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图乙所示,则两电阻在一个周期T内产生的热量之比Q1∶Q2为( )
[A] 2∶3 [B] 4∶3
[C] 2∶ [D] 5∶4
考点三 交变电流“四值”的比较和应用
交变电流“四值”的比较和应用
项目 物理含义 重要关系 应用情况 及说明
瞬时 值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 计算线圈某时刻的受力情况
峰值 最大的瞬时值 Em=NBSω Im= 讨论电容器的击穿电压
有效 值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 E= U= I= 适用于正弦式交变电流 (1)交流电流表、交流电压表的示数。 (2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等)。 (3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等)。 (4)没有特别加以说明的指有效值
平均 值 交变电流图像中图线与时间轴所围的面积与时间的比值 =n = 计算通过导线横截面的电荷量
[例5]
【交变电流“四值”的简单应用】 (2024·安徽合肥期末)某种风力发电机的原理如图所示。发电机的线圈固定,磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴匀速转动的角速度为ω。已知磁体间的磁场近似为匀强磁场,磁感应强度的大小为B,线圈的匝数为N、面积为S。下列说法正确的是( )
[A] 线圈中感应电动势的有效值E=
[B] 1 s内线圈中感应电流的方向改变次
[C] 当线圈处在图中所示的位置时,线圈中的感应电动势达到最大值
[D] 以图中线圈所处位置开始计时,线圈中感应电动势的瞬时值表达式为e=NBSωcos ωt
[例6]
【交变电流“四值”的计算】 (2024·湖南衡阳期末)用长度为L,横截面面积为S、电阻率为ρ的金属丝制成正方形线框abcd,然后置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中,如图所示,绕与ab边重合的固定轴从中性面开始沿图示方向逆时针匀速转动,转动的角速度为ω,下列说法正确的是( )
[A] 线框从图示位置转过的过程中,线框中电流的方向为a→d→c→b→a
[B] 线框中感应电流的有效值为
[C] 线框转过一周的过程中,产生的焦耳热为
[D] 线框从图示位置转过半圈的过程中,通过线框某一横截面的电荷量为0
交变电流“四值”应用的注意事项
(1)在解答有关交变电流的问题时,要注意电路结构。
(2)注意区分交变电流的峰值、瞬时值、有效值和平均值,峰值是瞬时值中的最大值,有效值是以电流的热效应来等效定义的。
(3)求解与电能、电热相关的问题时,一定要用有效值;而求解通过导体某横截面的电荷量时,一定要用平均值。
(满分:50分)
对点1.交变电流的产生及变化规律
1.(4分)(2024·江苏扬州二模)某兴趣小组利用地磁场探究交变电流的规律如图甲所示,线圈在地磁场中匀速转动,转轴OO′沿东西方向水平放置,产生的交变电流i随时间t变化关系图像如图乙所示。已知地磁场方向斜向下,则( )
[A] 0时刻,线圈在竖直面内
[B] 时刻,线圈在水平面内
[C] 若仅增加转速,Im变小
[D] 若仅将转轴沿南北方向水平放置,Im变小
2.(6分)(2024·安徽六安期末)(多选)如图甲所示,矩形线圈abcd在匀强磁场中匀速转动可以产生交变电流,其电动势e随时间t变化的图像如图乙所示,线圈电阻 r=1 Ω,电阻R=9 Ω。则( )
[A] t=0.01 s时,线圈平面处于中性面
[B] 线圈转动一周,电流的方向改变一次
[C] 电阻R两端电压为10 V
[D] 电阻R在10 s内产生的热量为90 J
对点2.交变电流有效值的求解
3.
(6分)(2024·安徽黄山阶段练习)(多选)如图所示,在磁感应强度为B的匀强磁场中,单匝小型发电机线框面积为S,以角速度ω绕垂直于磁感线的轴转动,下列关于理想交流电压表V的示数U的描述正确的是( )
[A] 若开关与触点1相接,U=BSω
[B] 若开关与触点1相接,U=
[C] 若开关与触点2相接,U=BSω
[D] 若开关与触点2相接,U=BSω
4.(4分)(2024·安徽安庆模拟)如图甲所示,虚线MN左侧空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B0,与MN共面、边长为L的单匝金属线框abcd以MN为对称轴放置在纸面内,以角速度ω1绕轴匀速转动,再将线框在纸面内向右平移L,使线框绕MN以角速度ω2匀速转动,如图乙所示,若甲、乙两图中线框的热功率相等,则ω1∶ω2等于( )
[A] ∶2 [B] 2∶
[C] ∶2 [D] 2∶
对点3.交变电流“四值”的比较和应用
5.(6分)(2024·河北张家口模拟)(多选)电容器的额定电压为电容器两端所允许施加的最大电压,如果施加的电压大于额定电压值,电容器有可能会被损坏。如图所示,交流发电机的矩形线圈ABCD在磁感应强度B=0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′以角速度ω=50 rad/s匀速转动,线圈的匝数 n=100,矩形线圈ABCD面积S=0.1 m2,线圈电阻忽略不计。标有“100 V 40 W”的灯泡和额定电压为100 V的电容器并联接到线圈两端,电压表V和电流表A均为理想电表。下列说法正确的是( )
[A] 电容器不可能被击穿
[B] 灯泡恰好正常发光
[C] 电压表V的示数约为71 V
[D] 电流表A的示数为零
6.
(4分)(2024·安徽芜湖阶段练习)如图所示,磁感应强度大小为B的匀强磁场中,匝数为n、边长为L的正方形线圈绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动,其角速度为ω,线圈总电阻为r,则( )
[A] 理想电流表的示数为
[B] 线圈转动一周产生的热量为
[C] 线圈从图示位置转动30°过程中,通过导体横截面的电荷量为
[D] 当线圈与中性面的夹角为45°时,线圈产生的瞬时电动势为nBL2ω
7.(4分)(2024·安徽合肥期中)如图,足够长的两平行光滑金属导轨MN、PQ水平放置,间距l=1 m,导轨中间分布有磁感应强度为1 T的匀强磁场,磁场边界为正弦曲线。一粗细均匀的导体棒以 10 m/s 的速度向右匀速滑动,定值电阻R的阻值为1 Ω,导体棒接入电路的电阻也为1 Ω,二极管D正向电阻为零,反向电阻无穷大,导轨电阻不计,下列说法正确的是( )
[A] 理想电压表示数为25 V
[B] 导体棒运动到图示位置时,有电流流过电阻R
[C] 导体棒上热功率为6.25 W
[D] 流经电阻R的最大电流为10 A
8.(16分)(2024·安徽淮南开学考试)动能回收系统是新能源汽车时代一项重要的技术,其主要原理是利用电磁制动回收动能以替代传统的刹车制动模式,其能源节省率高达37%。其原理为,当放开油门进行轻制动时,汽车由于惯性会继续前行,此时回收系统会让机械组拖拽发电机线圈,切割磁场并产生电流对电池进行供电。设汽车的质量为M,若把动能回收系统的发电机看成理想模型:线圈匝数为N,面积为S,总电阻为r,且近似置于一磁感应强度为B的匀强磁场中。若把整个电池组等效成一外部电阻R,则:
(1)若汽车系统显示发电机组此时的转速为n,则此时能向外提供多少有效充电电压
(2)某厂家研发部为了把能量利用达到最大化,想通过设计“磁回收”悬挂装置对汽车行驶过程中的微小震动能量回收,实现行驶更平稳、更节能的目的。其装置设计视图如图甲、乙所示,其中,避震筒的直径为D,震筒内有辐向磁场且匝数为n1的线圈,所处位置磁感应强度均为B0,线圈内阻及充电电路总电阻为R0,外力驱动线圈,使得线圈沿着轴线方向往复运动,其纵向震动速度图像如图丙所示,忽略所有的摩擦。试写出此避震装置提供的电磁阻力随时间的表达式。
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高中总复习·物理
第1讲
交变电流的产生和描述
情境导思
有一种自行车,它有能向自行车车头灯泡供电的小型发电机,其原理示意图如图甲所示;图中N、S是一对固定的磁极,磁极间有一固定在绝缘转轴上的矩形线圈,转轴的一端有一个与自行车后轮边缘接触的摩擦轮。如图乙所示,当车轮转动时,因摩擦而带动摩擦轮转动,从而使线圈在磁场中转动而产生电流给车头灯泡供电。
(1)自行车匀速行驶时线圈中产生的是什么形式的电流
(2)线圈中交变电流的周期与自行车的速度有什么关系 小灯泡亮度与自行车的行驶速度有什么关系
(3)如何求解后轮转一周的时间里电流方向变化的次数
(4)线圈的匝数与穿过线圈的磁通量的变化率有什么关系
知识构建
小题试做
(2024·安徽宿州阶段练习)风力发电将成为福建沿海实现“双碳”目标的重要途径之一。如图甲,风力发电装置呈现风车外形,风吹向叶片驱动风轮机转动,风轮机带动内部匝数为N的矩形铜质线圈在水平匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场的水平转轴OO′顺时针匀速转动产生交变电流,发电模型简化为如图乙所示。已知N匝线圈产生的感应电动势的最大值为Em。则( )
[A] 当线圈转到图示位置时产生的感应电流方向为DCBA
[B] 当线圈转到竖直位置时电流表的示数为零
[C] 当线圈转到图示位置时磁通量的变化率最大
C
如图所示,N匝矩形线圈abcd绕中轴在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω匀速转动,线圈的面积为S,从如图所示(磁场与线圈垂直)的位置开始计时。
(1)试借助导体切割磁感线产生感应电动势的表达式,推导出线圈产生的
感应电动势随时间变化的函数表达式。
(2)试借助法拉第电磁感应定律和求导的方法,推导出线圈产生的感应电动势随时间变化的函数表达式。
1.两个特殊位置及其特点
2.正弦式交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)
3.电流方向的改变
线圈通过中性面时,电流方向发生改变,一个周期内线圈通过中性面两次,电流的方向改变两次。
[例1] 【交变电流的产生及表达式的书写】 (2024·湖南长沙阶段练习)如图为交流发电机的示意图,矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动,发电机的电动势随时间的变化规律为e=20sin(100πt)V。下列说法正确的是( )
[A] 此交流的频率为100 Hz
[B] 此交流电动势的有效值为20 V
[C] 当线圈平面转到图示位置时产生的电动势最大
[D] 当线圈平面转到平行于磁场的位置时磁通量的变化率最大
D
[例2] 【交变电流的图像】 (2024·山东卷,8)如图甲所示,在-d≤x≤d,-d ≤y≤d的区域中存在垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场(用阴影表示磁场的区域),边长为2d的正方形线圈与磁场边界重合。线圈以y轴为转轴匀速转动时,线圈中产生的交变电动势如图乙所示。若仅磁场的区域发生了变化,线圈中产生的电动势变为图丙所示实线部分,则变化后磁场的区域可能为( )
C
[A] [B] [C] [D]
1.交变电流有效值的计算
2.几种典型的电流(电压)图像及其有效值
电流名称 图像 有效值
正弦式 交变电流
正弦半 波电流
正弦单向 脉冲电流
矩形脉 冲电流
非对称性 交变电流
[例3] 【有效值的理解】 (2024·陕西渭南一模)(多选)某同学自制了一个手摇交流发电机,如图所示。大轮与小轮通过皮带传动(皮带不打滑),半径之比为4∶1,小轮与线圈固定在同一转轴上。线圈是由漆包线绕制而成的边长为L的正方形,共n匝,总阻值为R。磁体间磁场可视为磁感应强度大小为B的匀强磁场。大轮以角速度ω匀速转动,带动小轮及线圈绕转轴转动,转轴与磁场方向垂直。线圈通过导线、滑环和电刷连接一个阻值恒为R的灯泡。假设发电时灯泡能发光且工作在额定电压U0以内,下列说法正确的是( )
BC
B
交变电流“四值”的比较和应用
[例5] 【交变电流“四值”的简单应用】 (2024·安徽合肥期末)某种风力发电机的原理如图所示。发电机的线圈固定,磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴匀速转动的角速度为ω。已知磁体间的磁场近似为匀强磁场,磁感应强度的大小为B,线圈的匝数为N、面积为S。下列说法正确的是( )
A
[例6] 【交变电流“四值”的计算】 (2024·湖南衡阳期末)用长度为L,横截面面积为S、电阻率为ρ的金属丝制成正方形线框abcd,然后置于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中,如图所示,绕与ab边重合的固定轴从中性面开始沿图示方向逆时针匀速转动,转动的角速度为ω,下列说法正确的是( )
C
方法点拨
交变电流“四值”应用的注意事项
(1)在解答有关交变电流的问题时,要注意电路结构。
(2)注意区分交变电流的峰值、瞬时值、有效值和平均值,峰值是瞬时值中的最大值,有效值是以电流的热效应来等效定义的。
(3)求解与电能、电热相关的问题时,一定要用有效值;而求解通过导体某横截面的电荷量时,一定要用平均值。
基础对点练
对点1.交变电流的产生及变化规律
1.(4分)(2024·江苏扬州二模)某兴趣小组利用地磁场探究交变电流的规律如图甲所示,线圈在地磁场中匀速转动,转轴OO′沿东西方向水平放置,产生的交变电流i随时间t变化关系图像如图乙所示。已知地磁场方向斜向下,则( )
D
2.(6分)(2024·安徽六安期末)(多选)如图甲所示,矩形线圈abcd在匀强磁场中匀速转动可以产生交变电流,其电动势e随时间t变化的图像如图乙所示,线圈电阻 r=1 Ω,电阻R=9 Ω。则( )
[A] t=0.01 s时,线圈平面处于中性面
[B] 线圈转动一周,电流的方向改变一次
[C] 电阻R两端电压为10 V
[D] 电阻R在10 s内产生的热量为90 J
AD
对点2.交变电流有效值的求解
3.(6分)(2024·安徽黄山阶段练习)(多选)如图所示,在磁感应强度为B的匀强磁场中,单匝小型发电机线框面积为S,以角速度ω绕垂直于磁感线的轴转动,下列关于理想交流电压表V的示数U的描述正确的是( )
BD
A
对点3.交变电流“四值”的比较和应用
5.(6分)(2024·河北张家口模拟)(多选)电容器的额定电压为电容器两端所允许施加的最大电压,如果施加的电压大于额定电压值,电容器有可能会被损坏。如图所示,交流发电机的矩形线圈ABCD在磁感应强度B=0.2 T的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′以角速度ω=50 rad/s匀速转动,线圈的匝数 n=100,矩形线圈ABCD面积S=0.1 m2,线圈电阻忽略不计。标有“100 V 40 W”的灯泡和额定电压为100 V的电容器并联接到线圈两端,电压表V和电流表A均为理想电表。下列说法正确的是( )
[A] 电容器不可能被击穿
[B] 灯泡恰好正常发光
[C] 电压表V的示数约为71 V
[D] 电流表A的示数为零
AC
C
7.(4分)(2024·安徽合肥期中)如图,足够长的两平行光滑金属导轨MN、PQ水平放置,间距l=1 m,导轨中间分布有磁感应强度为1 T的匀强磁场,磁场边界为正弦曲线。一粗细均匀的导体棒以 10 m/s 的速度向右匀速滑动,定值电阻R的阻值为1 Ω,导体棒接入电路的电阻也为1 Ω,二极管D正向电阻为零,反向电阻无穷大,导轨电阻不计,下列说法正确的是( )
[A] 理想电压表示数为25 V
[B] 导体棒运动到图示位置时,有电流流过电阻R
[C] 导体棒上热功率为6.25 W
[D] 流经电阻R的最大电流为10 A
C
综合提升练
8.(16分)(2024·安徽淮南开学考试)动能回收系统是新能源汽车时代一项重要的技术,其主要原理是利用电磁制动回收动能以替代传统的刹车制动模式,其能源节省率高达37%。其原理为,当放开油门进行轻制动时,汽车由于惯性会继续前行,此时回收系统会让机械组拖拽发电机线圈,切割磁场并产生电流对电池进行供电。设汽车的质量为M,若把动能回收系统的发电机看成理想模型:线圈匝数为N,面积为S,总电阻为r,且近似置于一磁感应强度为B的匀强磁场中。若把整个电池组等效成一外部电阻
R,则:
(1)若汽车系统显示发电机组此时的转速为n,则此时能向外提供多少有效充电电压
(2)某厂家研发部为了把能量利用达到最大化,想通过设计“磁回收”悬挂装置对汽车行驶过程中的微小震动能量回收,实现行驶更平稳、更节能的目的。其装置设计视图如图甲、乙所示,其中,避震筒的直径为D,震筒内有辐向磁场且匝数为n1的线圈,所处位置磁感应强度均为B0,线圈内阻及充电电路总电阻为R0,外力驱动线圈,使得线圈沿着轴线方向往复运动,其纵向震动速度图像如图丙所示,忽略所有的摩擦。试写出此避震装置提供的电磁阻力随时间的表达式。
