浙江省 2025年中考数学考前模拟卷
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂)
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷（请用黑色签字笔作答）
二、填空题（每小题 3分，共 18分）
11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________
三、解答题（共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分 8分）
19．（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （本题满分 8分）
21.（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22.（本题满分 10分）
23. （本题满分 10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （本题满分 12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2025年中考数学考前模拟卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．腾讯云 B．微云人工智能
C．天元人工智能 D．阿里云
2．风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104
3．教育部“减负三十条”规定初中生回家作业时间不超过90分钟，如表是某校某班学生一段时间日平均回家作业时间统计表：
日平均回家作业时间（分） a≤60 60＜x≤90 90＜a≤120 a＞120
人数 4 15 15 6
则该班学生日平均回家作业时间的中位数落在（ ）
A．a≤60 B．60＜a≤90 C．90＜a≤120 D．a＞120
4．计算结果为6m6的是（ ）
A．6（m2）3 B．（﹣m）6 C．（2m2）3 D．（3m3）2
5．如图所示窗框的形状是正六边形，正六边形的一个内角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．135° D．150°
6．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4）
7．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
8．当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE＝3BE，F是AD中点，BF与CE，DE分别相交于点M，N．当AB＝4，BC＝6时，MN的长为（ ）
A． B． C． D．
10．比数轴上的点A表示的数大2的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．0
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：2m2﹣4m＝ ．
12．不等式3+2x≤﹣1的解集是 ．
13．在不透明的袋中装有仅颜色不同的3个红球和2个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，则摸出红球的概率是 ．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F．若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝ ．
15．如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5．以AB，AC为边在AB的同侧作正方形ABFG、正方形ACDE，则点G在DE上，CD与GF相交于点H，连结CF，CG，则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 解：原式① ＝2a﹣1（a+2）……② ＝a﹣2 ③ 当a＝﹣1时，原式＝﹣3
19．（8分）如图，以点A为圆心，AB为半径画弧BC，以点C为圆心，CA为半径的弧交BC的延长线于点D，若AB＝13，BD＝23．
（1）求BC的长；
（2）求tanD的值．
20．（8分）某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
组别 成绩（分） 频数
A 50＜m≤60 2
B 60＜m≤70 a
C 70＜m≤80 14
D 80＜m≤90 b
E 90＜m≤100 10
（1）写出a，b的值，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数．
（3）该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数．
21．（8分）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，万年县某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．
（1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？
（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A．
（1）若△OCE的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当y≤4时，求自变量x的取值范围．
（2）已知CE＝4，BD，求AB的长．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围．
24．（12分）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．
（1）若CE＝DF，求证：四边形AEBF是菱形．
（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．
①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．
②若点E是OC的中点，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
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满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．腾讯云 B．微云人工智能
C．天元人工智能 D．阿里云
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
2．风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：35800＝3.58×104．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．教育部“减负三十条”规定初中生回家作业时间不超过90分钟，如表是某校某班学生一段时间日平均回家作业时间统计表：
日平均回家作业时间（分） a≤60 60＜x≤90 90＜a≤120 a＞120
人数 4 15 15 6
则该班学生日平均回家作业时间的中位数落在（ ）
A．a≤60 B．60＜a≤90 C．90＜a≤120 D．a＞120
【分析】利用中位数的定义解答即可．
【解答】解：总人数有：4+15+15+6＝40（人），
中位数是第20、21个数的平均数，
则该班学生日平均回家作业时间的中位数落在90＜a≤120．
故选：C．
【点评】此题考查了中位数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
4．计算结果为6m6的是（ ）
A．6（m2）3 B．（﹣m）6 C．（2m2）3 D．（3m3）2
【分析】根据幂的乘方、积的乘方法则分别计算每个选项，即可得出答案．
【解答】解：A、6（m2）3＝6m6，故此选项符合题意；
B、（﹣m）6＝m6，故此选项不符合题意；
C、（2m2）3＝8m6，故此选项不符合题意；
D、（3m3）2＝9m6，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．如图所示窗框的形状是正六边形，正六边形的一个内角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．135° D．150°
【分析】先根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和，然后根据正多边形每个内角都相等，列出算式进行计算即可．
【解答】解：∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，
∴正六边形每个内角的度数为：720°÷6＝120°，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．
6．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，2） D．（﹣2，﹣4）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵（﹣2）×4＝﹣8，
∴此点在反比例函数的图象上；
B、∵（﹣4）×（﹣2）＝8，
∴此点不在反比例函数的图象上；
C、∵4×2＝8，
∴此点不在反比例函数的图象上；
D、∵（﹣2）×（﹣4）＝8
∴此点不在反比例函数的图象上．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy的特点是解答此题的关键．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣4）2﹣4c＝0，
解得c＝4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
8．当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解．
【解答】解：∵a＞0，
∴当x时，y取最小值，
∴m8，
∵（b﹣2）2≥0，a＞0，
∴0，
∴8≤8，
∴当b＝2时，m取最大值8，故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE＝3BE，F是AD中点，BF与CE，DE分别相交于点M，N．当AB＝4，BC＝6时，MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出，，，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出4NG＝NF，8MG＝MB，从而求出NG和MG，可得MN的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，点E在边AB上，如图，过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，
∴EH∥BC，∠A＝90°，
∴△BEG∽△BAF，
∴，
∵AE＝3BE，F是AD中点，AB＝4，BC＝6，
∴BE＝1，AE＝3，AF＝DF＝3，
∴，
在直角三角形ABF中，由勾股定理得：；
∴，
∴，，
∴，
∵EH∥BC∥AD，
∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴，，
∴，，
即，，
∴4NG＝NF，8MG＝MB，
∴，，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
10．比数轴上的点A表示的数大2的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．0
【分析】先写出点A表示的数，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可．
【解答】解：由数轴得点A表示的数是﹣1，
所以比点A表示的数大2的数是﹣1+2＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加法，实数与数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：2m2﹣4m＝ 2m（m﹣2） ．
【分析】提公因式即可解答．
【解答】解：2m2﹣4m＝2m（m﹣2）．
故答案为：2m（m﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，掌握提取公因式法是解题关键．
12．不等式3+2x≤﹣1的解集是 x≤﹣2 ．
【分析】不等式两边同时减去3，再同时除以2即可解这个不等式．
【解答】解：因为3+2x≤﹣1，
所以有2x≤﹣1，
所以x≤﹣2．
【点评】不等式两边同时减去一个数，或除以一个正数不等式方向不变．
13．在不透明的袋中装有仅颜色不同的3个红球和2个蓝球，从此袋中随机摸出一个小球，则摸出红球的概率是 ．
【分析】概率的公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此解答即可．
【解答】解：∵袋子中共有3+2＝5个球，红球3个，
∴“摸出红球”的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查随机事件的概率．解答本题的关键要熟练掌握概率的公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F．若BE＝4，BF＝5，DE＝EF，则BC＝ ．
【分析】作DH⊥AB于点H，则∠BHD＝∠C＝90°，而∠HBD＝∠CBD，BD＝BD，可根据“AAS”证明△HBD≌△CBD，由∠BEF＝90°，BE＝4，BF＝5，求得DE＝EF＝3，则BD＝7，由cos∠ABD，求得BHBD，则BC＝BH，于是得到问题的答案．
【解答】解：作DH⊥AB于点H，则∠BHD＝∠C＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠HBD＝∠CBD，
∵BD＝BD，
∴△HBD≌△CBD（AAS），
∵EF⊥BD于点E，
∴∠BEF＝90°，
∵BE＝4，BF＝5，
∴DE＝EF3，
∴BD＝BE+DE＝4+3＝7，
∵cos∠ABD，
∴BHBD7，
∴BC＝BH，
故答案为：．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
15．如图，以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，由三段圆弧得到的封闭图形就是“莱洛三角形”，而封闭图形ABCD（由，，，组成）是由两个“莱洛三角形”交叠而成．若AB＝2，则封闭图形ABCD的周长是 π ．
【分析】连接AD、CD，如图，先根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用画法得到AD＝CD＝AC，所以，所以封闭图形ABCD的周长＝4的长，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接AD、CD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴，
∵AD＝CD＝AC，
∴，
∴，
∴封闭图形ABCD的周长＝4的长＝4π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长的计算，弧长公式：l（其中n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了等边三角形的性质．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5．以AB，AC为边在AB的同侧作正方形ABFG、正方形ACDE，则点G在DE上，CD与GF相交于点H，连结CF，CG，则 ．
【分析】由∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，求得AC12，由正方形的性质得FG＝BF＝AB＝13，∠BFH＝∠ACH＝∠ABF＝90°，可证明B、C、H三点在同一条直线上，则∠FBH＝∠CAB＝90°﹣∠ABC，所以△BHF∽△ABC，则，求得HFBC，则HG＝FG﹣HF，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC12，
∵四边形ABFG、四边形ACDE都是正方形，CD与GF相交于点H，
∴FG＝BF＝AB＝13，∠BFH＝∠ACH＝∠ABF＝90°，
∴∠ACB+∠ACH＝90°，
∴B、C、H三点在同一条直线上，
∴∠FBH＝∠CAB＝90°﹣∠ABC，
∴△BHF∽△ABC，
∴，
∴HFBC5，
∴HG＝FG﹣HF＝13，
∴，
故答案为：．
【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BHF∽△ABC是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【分析】先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和去绝对值运算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式
＝5．
【点评】本题考查实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数的运算法则．
18．（8分）小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值：，其中a＝﹣1． 解：原式① ＝2a﹣1（a+2）……② ＝a﹣2 ③ 当a＝﹣1时，原式＝﹣3
【分析】根据目中的解答过程可知，第①步出现错误，错误的原因是分式同时乘（a2﹣4）后，所得的值和原来的分式的值不相等，然后根据分式化简求值的方法，写出正确的解答过程即可．
【解答】解：由题目中的解答过程可知，第①步出现错误，错误的原因是分式同时乘（a2﹣4）后，所得的值和原来的分式的值不相等，
正确解答过程如下：
，
当a＝﹣1时，原式1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（8分）如图，以点A为圆心，AB为半径画弧BC，以点C为圆心，CA为半径的弧交BC的延长线于点D，若AB＝13，BD＝23．
（1）求BC的长；
（2）求tanD的值．
【分析】（1）利用线段的和与差计算即可求解；
（2）过点A作BD的垂线，垂足为点M，利用等腰三角形的性质求得BM＝CM＝5，在Rt△AMC中，利用勾股定理求得AM的长，再利用正切函数的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，CA＝CD，
∴CD＝AB＝13，
∴BC＝BD﹣CD＝23﹣13＝10；
（2）过点A作BD的垂线，垂足为点M，如图，
由条件可知，
∴DM＝18，
在Rt△AMC中，
，
∴．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握以上知识点是关键．
20．（8分）某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
组别 成绩（分） 频数
A 50＜m≤60 2
B 60＜m≤70 a
C 70＜m≤80 14
D 80＜m≤90 b
E 90＜m≤100 10
（1）写出a，b的值，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数．
（3）该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数．
【分析】（1）用E组的人数除以所占的百分比求出总人数，用总人数乘D组所占的百分比求出b的值，再用总人数减去其它组的人数可得a的值，进而补全频数分布直方图；
（2）用360°乘A组的人数所占的百分比即可；
（3）用480乘样本中D组的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）∵调查的总人数为10÷20＝50（人），
∴b＝50×40%＝20，
∴a＝50﹣2﹣14﹣20﹣10＝4，
补全频数分布直方图如下：
（2）360°14.4°，
答：A组所对应的圆心角度数为14.4°；
（3）480×40%＝192（人），
答：估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数为192人．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图和用样本估计总体，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21．（8分）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，万年县某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．
（1）甲种图书和乙种图书的价格各是多少？
（2）根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠，乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，那么学校最多可购进甲种图书多少本？
【分析】（1）设甲种图书的价格是x元，则乙种图书的价格是（x﹣5）元，根据用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可购进甲种图书m本，则可购进乙种图书（300﹣m）本，根据该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设甲种图书的价格是x元，则乙种图书的价格是（x﹣5）元，
由题意得：20，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
∴x﹣5＝20﹣5＝15，
答：甲种图书的价格是20元，乙种图书的价格是15元；
（2）设学校可购进甲种图书m本，则可购进乙种图书（300﹣m）本，
由题意得：20×0.9m+15×0.8（300﹣m）≤4800，
解得：m≤200，
答：学校最多可购进甲种图书200本．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A．
（1）若△OCE的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当y≤4时，求自变量x的取值范围．
（2）已知CE＝4，BD，求AB的长．
【分析】（1）①利用反比例函数系数k的几何意义即可求解；
②求得y＝4时，自变量x的值，然后根据图象即可求解；
【解答】解：（1）①点C在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，
∴S△OCE|k|，
∵△OCE的面积为6，
∴|k|＝6，
∵k＞0，
∴k＝12，
∴反比例函数的表达式为y；
②当y＝4时，则4，解得x＝3，
由图象可知，当y≤4时，x≥3．
（2）∵点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A，
∴CE∥BD，，
∵CE＝4，BD，
∴4OEOB，
∴，
∵CE∥AB，
∴，
∴AB＝3CE＝3×4＝12．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，数形结合是解题的关键．
23．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．
（1）当二次函数图象过点（2，﹣3）时，求二次函数的表达式，并求它与y轴的交点坐标；
（2）若二次函数图象在直线x＝﹣2的右侧随着x的增大而增大，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象上存在两点A（a，a）和B（b，b），若﹣1＜a+b＜1，求m的取值范围．
【分析】（1）把点（2，﹣3）代入y＝x2﹣2mx﹣3，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得对称轴为直线x＝m，进而根据二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，即可求解．
（3）将（a，a），（b，b），代入解析式得出，a+b＝2m+1，根据﹣1＜a+b＜1得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3），
∴﹣3＝4﹣4m﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，
∴对称轴为直线，
∵二次函数图象开口向上，且当x≥m时y随着x的增大而增大，
∴m≤﹣2；
（3）∵函数过（a，a），（b，b），且a≠b，
∴a2﹣2ma﹣3＝a，b2﹣2mb﹣3＝b，
∴a2﹣b2﹣2ma+2mb＝a﹣b，
∴（a﹣b）（a+b﹣2m﹣1）＝0，
∵a≠b，
∴a+b＝2m+1，
∵﹣1＜a+b＜1，
∴﹣1＜2m+1＜1，
解得﹣1＜m＜0．
【点评】本题考查了二次函数的综合性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．
（1）若CE＝DF，求证：四边形AEBF是菱形．
（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．
①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．
②若点E是OC的中点，求的值．
【分析】（1）根据圆的半径相等和所给条件，证明四边形AEBF的对角线互相垂直平分，即可证得四边形AEBF是菱形；
（2）①先导出∠COG＝∠EBO＝∠EBG，再通过证明三角形全等得到BO＝BG，从而自上而证得△OBG是等边三角形；
②由E是OC中点，可得，再根据相似三角形的性质求得OH与OG的比，便可求得结论．
【解答】解：（1）在⊙中，OA＝OB＝OC＝OD，
∵CE＝DF，
∴OC﹣CE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∵AB⊥CD，即AB⊥EF，
∴四边形AEBF是菱形．
（2）①△OBG是等边三角形．
理由如下：
∵AB⊥CD，OG⊥EB，
∴∠COB＝∠OHB＝90°，
∴∠COG＝90°﹣∠BOH＝∠EBO，
∵∠COG＝∠EBG，
∴∠EBO＝∠EBG，
∵BH＝BH，∠BHO＝∠BHG＝90°
∴△BHO≌△BHG（ASA）
∴OB＝GB，
∵OB＝OG，
∴OB＝OG＝GB，
∴△OBG是等边三角形．
②设⊙的半径长为2m，则OC＝OG＝OB＝2m，
∵点E是OC的中点，
∴OE＝m，
∴BEm；
∵∠EOH＝90°﹣∠BOH＝∠EBO，
∴cos∠EBO，
∴，
∴HOm，
∴GH＝2mm，
∴．
【点评】此题重点考查圆与菱形有关知识的综合应用，解题过程中要几次用到导角证相似及相似三角形的性质，解题的关键是找出直角三角形中的相似三角形．
