陕西省咸阳市实验中学2025届九年级下学期中考四模数学试卷（含详解）

2025年陕西省咸阳市实验中学中考四模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算：（ ）
A．12 B．3 C． D．
2．某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
3．如图，直线，直线分别交直线、于点、，点、分别在直线、上，连接交于点，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第n个图形用的火柴棒的根数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
6．在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数，）相交于点，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
7．如图，在菱形中，对角线和交于点，，，点、分别是、的中点，连接，过点作于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线（、为常数，）经过点，，则和的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．把实数2，，从小到大用“”符号连接起来为 ．
10．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图可以得到，基于此，若，，则的值为 ．
11．如图，是的直径，是的弦，点关于的对称点是点，连接、，若，则的度数为 ．
12．如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于，两点，轴于点，轴于点，，则的值为 ．
13．如图，在中，，点、分别在、上，，连接，点是线段上的动点，以点、、为顶点的三角形的面积为40，当以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，则的长为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．解不等式：．
16．化简：．
17．如图，在中，，延长到点．请利用尺规作图法在内部作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图，在矩形和矩形中，点、、在一条直线上，且点是的中点，点在上，连接，点恰好在上，求证：．
19．中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？
20．字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎先从四张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底，卡片不放回，然后，小麦再从剩下的三张卡片中随机抽取一张并猜卡片上字谜的谜底．
(1)小虎抽出A卡片的概率是__________；
(2)若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率．
21．雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动．
活动主题 测量马栏革命纪念碑高度
测量工具 皮尺、标杆、激光笔等
活动过程 模型抽象
测绘过程与数据信息 ①在点处竖立一根高3米的标杆； ②地面上的点、标杆上的点和碑顶在一条直线上，米，米； ③地面上的点、标杆顶点和碑顶在一条直线上，米； ④点、、、在同一水平直线上，点在上，，，图中所有点均在同一平面内．
说明 在测量过程中注意自身和他人的安全．
请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度．
22．随着物流市场的快速发展，物流机器人的大规模应用正在加速，目前机器人已经成为现代物流体系中至关重要的组成部分．某物流公司计划购进搬运机器人用来搬运某种货物，已知这种搬运机器人的单价为18万元/台，经过与厂家沟通后，有如下优惠：若一次性购买不超过5台，每台按九折收费，超过5台，则超出部分每台按7折收费．设该物流公司购买台这种搬运机器人．
(1)请写出该物流公司购买这种搬运机器人的总费用（万元）与购买数量（台）之间的函数关系式；
(2)该物流公司购买这种搬运机器人的总费用为118.8万元，求物流公司购买这种搬运机器人的数量．
23．【项目背景】
国务院办公厅印发通知，决定于2025年开展全国人口抽样调查．国家统计局有关负责人介绍，全国人口抽样调查是以户为单位进行的，调查对象为我国境内抽中住户的全部人口．
在工作人员的带领下数学实践学习小组的同学对某小区家庭人口状况进行了一次抽样调查．
【数据的收集与整理】
从小区中随机抽取50户家庭调查每户家庭的人口数，得到如下统计图：
【数据分析】请根据相关信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)求所调查的这50户家庭人口数的众数、中位数和平均数；
(3)若该小区有3 000户家庭，请你估计该小区的人口总数．
24．如图，内接于，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，．
(1)求证：；
(2)若的半径是3，，求的长．
25．如图，某公园用两段院墙和一段抛物线型的围栏围出一个封闭的花圃，与是两段院墙，，抛物线与两段院墙分别交于点、，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的对称轴垂直于轴，已知，，抛物线的函数表达式为（、为常数，）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点向右作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴于点，现要在矩形区域种植郁金香，请你求出矩形区域的面积．
26．问题探究
（1）如图①，是菱形的对角线，点是上的动点（点不与端点重合），连接，将线段绕点旋转得到线段，使点恰好落在射线上，求证：；
问题解决
（2）管理员计划对某动植物园进行改造，如图②，直线是一条观光车道，是一片草地，点、在直线上，直线，．点是边上一动点，连接，，将绕点逆时针旋转得到线段，过点作直线于点，将四边形区域建成水族馆，区域建成食草动物区，延长到点使得，连接，为方便游客观光，沿的三边修建云轨，为节约成本要求云轨的总长（即的周长）尽可能的小．根据规划可知四边形的面积为，请你求出当的周长最小时的长．
《2025年陕西省咸阳市实验中学中考四模数学试卷》参考答案
1．D
解：，
故选：D．
2．C
解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．A
解：，
，
，
，
故选：A．
4．B
解：因为第一个三角形需要三根火柴棍，再每增加一个三角形就增加2根火柴棒，
所以有n个三角形，则需要根火柴棍．
故选：B．
5．C
解：如图，过点作于点，
根据题意得：，，
，
，
，
点到线段的距离为，
故答案为：C．
6．C
解：把代入，得，
，
把，代入
得，，
，
故答案为：C.
7．A
解：在菱形中，对角线和交于点，，，
,,
,
是的中点，
,
,
,
,
,
点是的中点，
是的中点，
是的中位线，
,
故选：A．
8．B
解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越小，
∵，
∴，
故选：B．
9．
解：∵，，，
∴，
故答案为：．
10．13
解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：13．
11．75
解：连接，
点关于的对称点是点，，
，
，
，
．
故答案为：．
12．12
解：，，轴于点，轴于点，
，，
，
，
，
，，
故答案为：12．
13．或
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
如图1所示，当时，过点M作于G，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形的面积为40，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，当时，过点M作于G，
同理可得，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
14．
解：．
15．
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
16．
解：
．
17．见详解
解：以为圆心，任意长为半径，与、分别交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的为半径画弧，两弧交于点，作射线，射线即为求作的．
理由：，，
由作法可知，平分，
，
射线即为求作的．
18．见解析
解：∵矩形和矩形，
∴，
∵点、、在一条直线上，且点是的中点，
∴，
又∵点恰好在上，
∴，
∴，
∴．
19．她答对了道题
解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，
根据题意得，
解得，
答：她答对了道题．
20．(1)
(2)
（1）解：∵共有4张卡片，
∴小虎抽出A卡片的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意画树状图如下：
由图可知，小虎和小麦抽取的结果有12种，其中小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底有5种，
∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为．
21．18米
解：由题意可得：，，，
，，
，，
米， 米，米，米，
，，
，，
，
米．
答：马栏革命纪念碑的高度为18米．
22．(1)
(2)8台
（1）解：当时，，
当时，，
y与x函数表达式为：；
（2）解：，
购买的数量大于5台，
，
解得，
答：物流公司购买这种搬运机器人的数量为8台．
23．(1)见解析
(2)众数是4和5；中位数是16；平均数是4.2
(3)12600人
（1）解：家庭人口数为4的家庭有：（户），
补全条形统计图如下：
（2）解：所调查的这50户家庭人口数是4和5的最多，都是16，
∴众数是4和5；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为16，，
∴这组数据的中位数是16；
∵由条形统计图可得平均数为：，
∴这组数据的平均数是4.2．
（3）解：（人），
答：估计该小区的人口总数为12600人．
24．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
由题意得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)
（1）解：∵，，
∴，，
把，代入，
可得出：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：
（2）解：∵令，
解得：，
∴
矩形的面积为：
26．（1）见解析；（2）
解：（1）如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，过点A作交延长线于E，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴
，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，延长到G，使得，连接，分别取的中点T、N，连接，交于O，则，
∴是等边三角形；
∵，
∴是的中位线，，
∴，
∴的周长；
∵是等边三角形，C，T、N分别的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当A、P、N三点共线时，的值最小，即此时的周长最小，
∴的最小值为线段的长，此时点P与点O重合，
∵N为的中点，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，符合题意，
∴的周长最小值时的长为．