福建省2025年中考数学预热模拟卷（含详解）

2025届中考数学预热模拟卷 【福建专用】
【满分150分 考试时间120分钟】
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即149600000千米.则用科学记数法表示1个天文单位是( )千米.
A. B. C. D.
4.将一个六角螺母按如图所示的方式摆放，则不属于它的三视图的是( )
A. B.
C. D.
5.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、琎价各几何.其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数、琎价各是多少.设人数为x，琎价为y，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
8.如图，某小区地下车库示意图，A，B为入口，C，D，E，F为出口，李师傅从任意一个入口进入，随机选一个出口驶出，则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图,在等腰三角形中,,,以为直径作半圆,与,分别相交于点D,E,则的长度为( )
A. B. C. D.
10.将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折,得到如图图象,若直线与此图象只有四个交点,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在题中横线上）
11.分解因式：_______
12.不等式组的解集是_________.
13.甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练,他们成绩的平均数相同,方差如下：,,,,则这四名同学成绩最稳定的是______.
14.如图,是等腰直角三角形,,,将绕点O旋转,得到,此时点的坐标为______.
15.如图,点A在反比例函数的图象上,且A是线段的中点,过点A作轴于点D,连接交反比例函数的图象于点C,连接,若,,则k的值为______.
16.如图,在中,,点E为边的中点,且,延长到点F,使,连接并延长,交的延长线于点N.若,则线段的长为______.
三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（8分）计算：.
18.（8分）先化简，再从中选择一个合适的数作为a的值代入求值.
19.（8分）因生产技术落后等因素,某工厂2024年的利润比2023年减少.
(1)设该工厂2023年的利润为a万元,则该工厂2024年的利润为________万元(用含的代数式表示)；
(2)该工厂2025年年初开展了技术革新,计划2025年的利润比2024年增长.求该工厂按计划完成任务后,2023年到2025年这两年年利润的平均增长率.
20.（8分）如图，是 的角平分线，E是上一点，且
(1)用无刻度的直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若(1)中所作的角平分线交于F，当时，求证：
21.（8分）在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道.我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白.如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上.（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米）

(1)本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？
(2)试求海底山丘的坡度是多少？
22.（10分）如图,为的直径,C为上一点,,交于点E,且,连接.
(1)求证：是的切线；
(2)F为上一点,连接,若,,,求的半径.
23.（10分）为深入贯彻党的二十大关于加快建设教育强国的战略部署，中共中央、国务院印发了《教育强国建设规划纲要（年）》.纲要明确提出，要保障中小学生每天综合体育活动时间不低于.为了更好地落实这一政策，某中学对部分学生每天综合体育活动时间进行了调查，并根据统计结果制成了如下不完整的统计图.
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①被调查的学生人数为__，_______， _______；
②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数和中位数分别为______和________.
(2)补全条形统计图.
(3)若该中学共有1500名学生，试估计该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生人数，并对这些学生提出一条合理化建议.
24.（12分）如图,在正方形中,点E在边上(不与点A,B重合),于点O,交于点F,点G在上,,的平分线交于点M,连接并延长与的延长线交于点N.
(1)求证：；
(2)点E在边上运动时,探究的大小是否发生变化？若不变,求出的度数；若变化,说明理由；
(3)若,当点E运动到中点时,求的长.
25.（14分）如图,已知抛物线与x轴交于,B两点,与y轴交于点C,,抛物线的顶点为D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1,点M是y轴上一动点,当为等腰三角形时,求点M的坐标；
(3)如图2,过点C作交x轴于点E,交于点F.抛物线上是否存在一点P,使？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，
的倒数是，
故选：D.
2.答案：C
解析：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C.
3.答案：A
解析：将149600000用科学记数法表示为：.
故选：A.
4.答案：C
解析：六角螺母的主视图是，
左视图是，
俯视图是，
因此C选项中的图不属于它的三视图，
故选：C.
5.答案：D
解析：(A),故A错误；
(B),故B错误；
(C),故C错误；
(D),故D正确；
故选：D.
6.答案：C
解析：，
，
两个平面镜平行放置，
经过两次反射后的光线与入射光线平行，
；
故选C.
7.答案：B
解析：设人数为x，琎价为y，
根据每人出钱，会多出4钱可得出，
每人出钱，又差了3钱.可得出，
则方程组为：，
故选：B.
8.答案：C
解析：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果有8种，李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的结果有1种，
则李师傅恰好从A口进入，并从C口驶出的概率为.
故选：C.
9.答案：C
解析：连接,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴
∴,
在中,,
∴,
又,
∵
∴,
∴的长度为,
故选：C.
10.答案：B
解析：令,则,
解得或1,
,
平移直线知：直线位于和时,它与新图象有三个不同的公共点.
当直线位于时,此时过点,
,即；
当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点,
方程,
即有两个相等实根,
,
即；
由知若直线与新图象只有四个交点,m的取值范围为,故B正确.
故选：B.
11.答案：
解析：
故答案为： .
12.答案：
解析：
解①式得：，
解②式得：，
故不等式组的解集为：，
故答案为：
13.答案：丁
解析：∵,,,,
∴丁的方差最小,
∴成绩最稳定的同学是丁,
故答案为：丁.
14.答案：
解析：过点A作轴于点C,
是等腰直角三角形,,,
是的中点,,
,
,
将绕点O旋转,得到,此时点与点A关于原点O对称,
点的坐标为.
故答案为：.
15.答案：18
解析：,,
,
∵A是线段的中点
,
∴,
∵轴于点D,
∴.
故答案为：18.
16.答案：
解析：如图：过点A作的垂线,垂足为P,即,过点E作,
∵,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,,
∵,
∴,
∵,,
∴,,
在中,,
∵,,
∴,
∵,
即解得：,
在中,,
∴,
∵,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵点E为边的中点,
∴,
∵,
∴.
故答案为：.
17.答案：
解析：
.
18.答案：，当时，原式.
解析：
.
且，
只能取0，
当时，原式.
19.答案：(1)
(2)
解析：(1)根据题意得,,
故答案为：；
(2)设2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为x,由题意得
假设2023年年利润为a万元,
,
解得,(舍去),
答：该工厂2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为.
20.答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：如图，射线即为所作；
(2)证明：分别平分，
，
，
，
，
，
，
.
21.答案：(1)海平面距离海底的深度是846米；
(2)
解析：由题意可得：，，
∴，
∵，
∴（米）；
∴海平面距离海底的深度是米；
(2)解析：如图，过E作于H，连接，结合题意可得：
，，
∵，，

∴，，
∴，
由(1)可得：，
∴，
∴海底山丘CE的坡度是.
22.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：如图,连,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
为的半径,
为的切线；
(2)如图,延长交于G点,由(1)知,
,
,
,
,
,
在中,根据勾股定理得：,
设半径为r,则,
,
.
的半径为.
23.答案：(1)①200，19，38；②1，1
(2)见解析
(3)1185（名），增加学生的综合体育活动时间，组织学生及时参加体育活动.
解析：①被调查的学生人数为（人），
，
故答案为：200，19，38；
②被调查的学生每天综合体育活动时间的众数是1，第100位和第101位的数都为1，故中位数是1，
故答案为：1，1；
(2)解析：，
补全条形统计图如下：
(3)解析：（人），
即该校每天综合体育活动时间未达到要求的学生人数为1185人.
增加学生的综合体育活动时间，组织学生及时参加体育活动.
24.答案：(1)证明见解答过程
(2)的大小不会变化,
(3)
解析：(1)证明：四边形是正方形,
,,
,
,
,
,
,
；
(2)的大小不会变化,理由如下：
过点D作,与的延长线交于点K,连接,如图：
,
,
又,
,
平分,
,
,
,
,
又,
,
,,
,
,
,
,
,
又,
,
,
平分,
；
(3)连接,如图：
为中点,
,
,,
,
,
四边形是正方形,
是等腰直角三角形,
,
由(2)知,为定值,且,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
,
,即,
.
25.答案：(1)
(2)点M的坐标为或或
(3)存在,点P的坐标为或
解析：(1)∵,,
∴,
∴,
由题意得：,
解得：,
则抛物线的解析式为：；
(2)抛物线的顶点D的坐标为,
∵,
∴,则,
设,则,
则,
①当时,有,
则,
解得：,
故；
②当时,有,则,
此时无解；
③当时,有,则,
解得：或；
故或；
综上所述,点M的坐标为或或；
(3)存在,理由：
在抛物线上存在点P,使.
令,
解得：,,
∴抛物线交x轴于点,
则,
∵,
∴,
∴,又,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
①当点P在x轴上方的抛物线上时,
作于G,于H,延长与直线交于点I,过点I作轴于J,
则,
∴,,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,
设直线的解析式为,把,代入得：
,
解得：,
∴直线的解析式为,
联立上式和抛物线的表达式得：,
解得：(不合题意的值已舍去),
则；
②当点P在x轴下方的抛物线上时,延长与直线交于点K.过点K作轴于L,
∵,,,
∴,
∴,
∴点C为的中点,
∵,,
∴,
同理根据,可求出直线的解析式为：
,
联立上式和抛物线的表达式得：,
解得：(不合题意的值已舍去),
则点,
综上所述,点P的坐标为：或.