7.1 两个基本计数原理 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.1 两个基本计数原理 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-19 11:43:11 | ||
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文档简介
7．1 两个基本计数原理
7.1.1 两个基本计数原理(1)
一、 单项选择题
1 书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，则不同的取法种数为( )
A. 8 B. 7
C. 12 D. 5
2 (2024江门月考)今年贺岁片，《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )
A. 9种 B. 36种
C. 64种 D. 81种
3 有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为( )
A. 13 B. 40
C. 72 D. 60
4 (2024菏泽月考)五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有( )
A. 12种 B. 16种 C. 18种 D. 24种
5 (2024江苏月考)从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A. 24 B. 36 C. 42 D. 48
6 (2024广东月考)现有两种不同颜色的颜料要对图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两部分着不同颜色的不同方法有( )
A. 8种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
二、 多项选择题
7 (2024泰安月考)下列说法中，正确的有( )
A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法
B. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法
C. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有43种可能的结果
D. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有34种可能的结果
8 (2024万州月考)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论中正确的是( )
A. 从东面上山有20种走法
B. 从西面上山有27种走法
C. 从南面上山有30种走法
D. 从北面上山有32种走法
三、 填空题
9 一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选出男、女队员各一名组成混合双打的组合，则有________种不同的选法.
10 如图，从A到B共有________条不同的线路可通电．
11 (2024南京月考)已知集合I＝{1，2，3}，A∪B＝I，则不同的有序集合对(A，B)有________种．
四、 解答题
12 (2024延边月考)现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人，4人，5人，6人．
(1) 选1人为负责人，有多少种不同的选法？
(2) 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
(3) 推选2人发言，这2人需要来自不同的小组，有多少种不同的选法？
13 (1) 某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100 m，400 m，800 m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2) 若甲、乙、丙、丁四名同学选报100 m，400 m，800 m三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？
7．1.2 两个基本计数原理(2)
一、 单项选择题
1 4名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有( )
A. 37种 B. 65种
C. 96种 D. 108种
2 用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为( )
A. 3 B. 5
C. 9 D. 12
3 如图，给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取3个点，以这3个点为顶点构成的正三角形的个数是( )
A. 12
B. 13
C. 15
D. 16
4 (2024扬州月考)某单位安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有( )
A. 12种 B. 14种
C. 18种 D. 24种
5 (2024吉林月考)10 800的不同正因数的个数为( )
A. 70 B. 60 C. 90 D. 80
6 (2024宿迁月考)中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字(可纵走如由点A到点C，也可横走如由点A到点D)，在如图所示的棋盘上，“马”由点A到点B的最短走法有( )
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种
二、 多项选择题
7 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是( )
A. 只需1人参加，有16种不同选法
B. 若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C. 若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D. 若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
8 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，则下列说法中正确的有( )
A. 若社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B. 若同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C. 若三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D. 若甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
三、 填空题
9 乘积式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)展开后的项数是________．
10 (2024上海月考)某小组共有4名男生a，b，c，d，和3名女生A，B，C.若选1名男生和1名女生分别担任组长和干事，共有________种不同的结果．
11 (2024扬州月考)如图，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
四、 解答题
12 (2024江西期末)从0～6这7个数字中取出4个数字，试问：
(1) 能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2) 能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
13 (2024衡阳期中)如图，已知四棱锥SABCD.
(1) 从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥SABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
(2) 从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥SABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数．
7．1 两个基本计数原理
7.1.1 两个基本计数原理(1)
1. A 任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，由此可得取法种数为1＋3＋4＝8.
2. D 四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有3×3×3×3＝81(种).
3. B 由分步计数原理，得不同的配法种数为5×8＝40.
4. C 根据题意，甲有2种选择，乙、丙都有3种选择，故所有的选法有2×3×3＝18(种).
5. D 由题意，得百位可从1，2，3，4共4个数字中选择，共4种选择；十位可从百位剩下的4个数字中选择，共4种选择；个位可从百位、十位剩下的3个数字中选择，共3种选择．故共有4×4×3＝48(个)不同的三位数．
6. D 由题意，得其中①有2种颜色可以选，②有1种，③有1种，由分步计数原理，得共有2×1×1＝2(种)不同的方法．
7. BC 事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成，第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，由分步计数原理可得，完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为34，故A错误，B正确；事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成，第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法，第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法，第三步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法，由分步计数原理可得，完成事件“三个项目冠军的确定”的方法数为43，故C正确，D错误．故选BC.
8. ABD 若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法．故选ABD.
9. 20 分两步：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法．根据分步计数原理可得，共有5×4＝20(种)不同的选法.
10. 8 根据电路图可知，共有2×2＋1＋3＝8(条)不同的线路可通电．
11. 27
A B
{1，2，3}
{1} {2，3}，{1，2，3}
{2} {1，3}，{1，2，3}
{3} {1，2}，{1，2，3}
{1，2} {3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
{1，3} {2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}
{2，3} {1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}
{1，2，3} ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
如上表，每一种集合A可确定满足条件的集合B，不同的有序集合对(A，B)有27种．
12. (1) 分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法；
第二类，从二组中选1人，有4种方法；
第三类，从三组中选1人，有5种方法；
第四类，从四组中选1人，有6种方法．
根据分类计数原理，得不同的选法共有3＋4＋5＋6＝18(种).
(2) 分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长．
根据分步计数原理，得不同的选法共有3×4×5×6＝360(种).
(3) 分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有3×4＝12(种)方法；
第二类，从一、三组中各选1人，有3×5＝15(种)方法；
第三类，从一、四组中各选1人，有3×6＝18(种)方法；
第四类，从二、三组中各选1人，有4×5＝20(种)方法；
第五类，从二、四组中各选1人，有4×6＝24(种)方法；
第六类，从三、四组中各选1人，有5×6＝30(种)方法．
根据分类计数原理，得不同的选法共有12＋15＋18＋20＋24＋30＝119(种).
13. (1) 要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步．又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．
(2) 因为每项限报一人，且每人至多报一项，所以100 m项目有4种选法，400 m项目有3种选法，800 m项目只有2种选法．根据分步计数原理可得，不同的报名方法有4×3×2＝24(种).
7．1.2 两个基本计数原理(2)
1. B 若不考虑限制条件，每人都有3种选择，则共有34＝81(种)方案，若没有人去A学校，每人都有2种选择，则共有24＝16(种)方案，故不同的选法方案有81－16＝65(种).
2. C 只用一种币值的有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种． 由分类计数原理，得共有3＋5＋1＝9(种).
3. C 对正三角形的边长进行分类：边长为1的正三角形共有1＋3＋5＝9(个)；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个；边长为的正三角形共有2个，故共有9＋3＋1＋2＝15(个).
4. B 分两种情况讨论：①甲在第四天值班，则剩下的有3×2×1＝6(种)安排；②甲不在第四天值班，则甲的安排有两种，乙的安排也有两种，剩下两人有2×1＝2(种)，共有2×2×2＝8(种)，所以共有8＋6＝14(种)安排．
5. B 因为10 800＝12×9×10×10＝24×33×52，所以10 800的每个正因数分别由m个2，n个3，t个5相乘得到，其中m∈{0，1，2，3，4}，n∈{0，1，2，3}，t∈{0，1，2}，所以10 800的不同正因数的个数为5×4×3＝60.
6. C 如图，若要从点A到点B，则先到点M或点N处，最少4步，包含如下路线，点D到点N处有2种路线，点D到点M处有2种路线，点C到点M有2种路线，点C到点N处没有路线．综上，点A到点B的最短走法需要走4步，有6种．
7. ABC 对于A，有三类选人的方法：3名老师中选1人，有3种方法；8名男生中选1人，有8种方法；5名女生中选1人，有5种方法．由分类计数原理可知，共有3＋8＋5＝16(种)选法，故A正确；对于B，分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法，由分步计数原理可知，共有3×8×5＝120(种)选法，故B正确；对于C，选1名老师和 1名学生，由分步计数原理可知，共有3×13＝39(种)选法，故C正确；对于D，选3名老师和1名学生，由分步计数原理可知，共有1×13＝13(种)选法，故D错误．故选ABC.
8. ABC 对于A，若社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，故A正确；对于B，若同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，故B正确； 对于C，若三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有5×4×3＝60(种)，故C正确；对于D，若甲、乙两名同学必须在同一个社区，则可分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，故D错误．故选ABC.
9. 18 由题意，得从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有2种方法，从第三个括号中选一个字母有3种方法．由分步计数原理可得，展开后的项数为3×2×3＝18.
10. 24 因为4名男生a，b，c，d选1名男生共有4种不同的结果；3名女生A，B，C选1名女生共有3种不同的结果；1名男生和1名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法，根据分步计数原理可得，共有3×4×2＝24(种)不同的结果．
11. 13 由题意，得4个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有24＝16(种)，其中A，B之间线路通的情况只有1，2，4不脱落3脱落或1，3，4不脱落2脱落或1，2，3，4都不脱落，共3种情况，故A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有16－3＝13(种).
12. (1) 第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成6×6×5×4＝720(个)没有重复数字的四位数．
(2) 第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有6×5×4＝120(个)；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4＝100(个)；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4＝100(个)；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4＝100(个).
根据分类计数原理，能组成120＋100＋100＋100＝420(个)没有重复数字的四位偶数．
13. (1) 由题意，得四棱锥SABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，
所以共有5×4×3×1×1＝60(种)不同的涂色方法．
(2) 由题意，得四棱锥SABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有1组颜色相同，
所以先从两组中选出1组涂相同的颜色，有2种选法；
若选B，D组涂相同的颜色，再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C 4个顶点上，
则有5×4×3×2＝120(种)不同的涂色方法．
所以共有2×120＝240(种)不同的涂色方法．
7.1.1 两个基本计数原理(1)
一、 单项选择题
1 书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，则不同的取法种数为( )
A. 8 B. 7
C. 12 D. 5
2 (2024江门月考)今年贺岁片，《第二十条》《热辣滚烫》《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有( )
A. 9种 B. 36种
C. 64种 D. 81种
3 有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为( )
A. 13 B. 40
C. 72 D. 60
4 (2024菏泽月考)五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从A，B，C三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过A景点，所以甲不选A景点，则不同的选法有( )
A. 12种 B. 16种 C. 18种 D. 24种
5 (2024江苏月考)从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A. 24 B. 36 C. 42 D. 48
6 (2024广东月考)现有两种不同颜色的颜料要对图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两部分着不同颜色的不同方法有( )
A. 8种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
二、 多项选择题
7 (2024泰安月考)下列说法中，正确的有( )
A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法
B. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法
C. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有43种可能的结果
D. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有34种可能的结果
8 (2024万州月考)设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论中正确的是( )
A. 从东面上山有20种走法
B. 从西面上山有27种走法
C. 从南面上山有30种走法
D. 从北面上山有32种走法
三、 填空题
9 一个乒乓球队里有男队员5名，女队员4名，从中选出男、女队员各一名组成混合双打的组合，则有________种不同的选法.
10 如图，从A到B共有________条不同的线路可通电．
11 (2024南京月考)已知集合I＝{1，2，3}，A∪B＝I，则不同的有序集合对(A，B)有________种．
四、 解答题
12 (2024延边月考)现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人，4人，5人，6人．
(1) 选1人为负责人，有多少种不同的选法？
(2) 每组选1名组长，有多少种不同的选法？
(3) 推选2人发言，这2人需要来自不同的小组，有多少种不同的选法？
13 (1) 某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100 m，400 m，800 m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？
(2) 若甲、乙、丙、丁四名同学选报100 m，400 m，800 m三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？
7．1.2 两个基本计数原理(2)
一、 单项选择题
1 4名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有( )
A. 37种 B. 65种
C. 96种 D. 108种
2 用10元，5元和1元来支付20元的书款，不同的支付方法的种数为( )
A. 3 B. 5
C. 9 D. 12
3 如图，给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取3个点，以这3个点为顶点构成的正三角形的个数是( )
A. 12
B. 13
C. 15
D. 16
4 (2024扬州月考)某单位安排甲、乙、丙、丁四人值班，每名员工值班一天．已知甲不在第一天值班，乙不在第四天值班，则值班安排共有( )
A. 12种 B. 14种
C. 18种 D. 24种
5 (2024吉林月考)10 800的不同正因数的个数为( )
A. 70 B. 60 C. 90 D. 80
6 (2024宿迁月考)中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字(可纵走如由点A到点C，也可横走如由点A到点D)，在如图所示的棋盘上，“马”由点A到点B的最短走法有( )
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 7种
二、 多项选择题
7 现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是( )
A. 只需1人参加，有16种不同选法
B. 若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C. 若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D. 若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
8 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，则下列说法中正确的有( )
A. 若社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B. 若同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C. 若三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D. 若甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
三、 填空题
9 乘积式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)展开后的项数是________．
10 (2024上海月考)某小组共有4名男生a，b，c，d，和3名女生A，B，C.若选1名男生和1名女生分别担任组长和干事，共有________种不同的结果．
11 (2024扬州月考)如图，在A，B间有4个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致线路不通，现发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．
四、 解答题
12 (2024江西期末)从0～6这7个数字中取出4个数字，试问：
(1) 能组成多少个没有重复数字的四位数？
(2) 能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
13 (2024衡阳期中)如图，已知四棱锥SABCD.
(1) 从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥SABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数；
(2) 从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥SABCD的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数．
7．1 两个基本计数原理
7.1.1 两个基本计数原理(1)
1. A 任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，由此可得取法种数为1＋3＋4＝8.
2. D 四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有3×3×3×3＝81(种).
3. B 由分步计数原理，得不同的配法种数为5×8＝40.
4. C 根据题意，甲有2种选择，乙、丙都有3种选择，故所有的选法有2×3×3＝18(种).
5. D 由题意，得百位可从1，2，3，4共4个数字中选择，共4种选择；十位可从百位剩下的4个数字中选择，共4种选择；个位可从百位、十位剩下的3个数字中选择，共3种选择．故共有4×4×3＝48(个)不同的三位数．
6. D 由题意，得其中①有2种颜色可以选，②有1种，③有1种，由分步计数原理，得共有2×1×1＝2(种)不同的方法．
7. BC 事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”可分为四步完成，第一步，第一个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，第二步，第二个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，第三步，第三个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，第四步，第四个同学从三个项目中选一个项目报名，有3种方法，由分步计数原理可得，完成事件“4名同学每人从三个项目中选一项报名”的方法数为34，故A错误，B正确；事件“三个项目冠军的确定”可分为三步完成，第一步，确定跑步比赛的冠军，有4种方法，第二步，确定跳高比赛的冠军，有4种方法，第三步，确定跳远比赛的冠军，有4种方法，由分步计数原理可得，完成事件“三个项目冠军的确定”的方法数为43，故C正确，D错误．故选BC.
8. ABD 若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法．故选ABD.
9. 20 分两步：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法．根据分步计数原理可得，共有5×4＝20(种)不同的选法.
10. 8 根据电路图可知，共有2×2＋1＋3＝8(条)不同的线路可通电．
11. 27
A B
{1，2，3}
{1} {2，3}，{1，2，3}
{2} {1，3}，{1，2，3}
{3} {1，2}，{1，2，3}
{1，2} {3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
{1，3} {2}，{1，2}，{2，3}，{1，2，3}
{2，3} {1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}
{1，2，3} ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
如上表，每一种集合A可确定满足条件的集合B，不同的有序集合对(A，B)有27种．
12. (1) 分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法；
第二类，从二组中选1人，有4种方法；
第三类，从三组中选1人，有5种方法；
第四类，从四组中选1人，有6种方法．
根据分类计数原理，得不同的选法共有3＋4＋5＋6＝18(种).
(2) 分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长．
根据分步计数原理，得不同的选法共有3×4×5×6＝360(种).
(3) 分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有3×4＝12(种)方法；
第二类，从一、三组中各选1人，有3×5＝15(种)方法；
第三类，从一、四组中各选1人，有3×6＝18(种)方法；
第四类，从二、三组中各选1人，有4×5＝20(种)方法；
第五类，从二、四组中各选1人，有4×6＝24(种)方法；
第六类，从三、四组中各选1人，有5×6＝30(种)方法．
根据分类计数原理，得不同的选法共有12＋15＋18＋20＋24＋30＝119(种).
13. (1) 要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步．又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．
(2) 因为每项限报一人，且每人至多报一项，所以100 m项目有4种选法，400 m项目有3种选法，800 m项目只有2种选法．根据分步计数原理可得，不同的报名方法有4×3×2＝24(种).
7．1.2 两个基本计数原理(2)
1. B 若不考虑限制条件，每人都有3种选择，则共有34＝81(种)方案，若没有人去A学校，每人都有2种选择，则共有24＝16(种)方案，故不同的选法方案有81－16＝65(种).
2. C 只用一种币值的有2张10元，4张5元，20张1元，共3种；用两种币值的有1张10元，2张5元；1张10元，10张1元；3张5元，5张1元；2张5元，10张1元；1张5元，15张1元，共5种；用三种币值的有1张10元，1张5元，5张1元，共1种． 由分类计数原理，得共有3＋5＋1＝9(种).
3. C 对正三角形的边长进行分类：边长为1的正三角形共有1＋3＋5＝9(个)；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个；边长为的正三角形共有2个，故共有9＋3＋1＋2＝15(个).
4. B 分两种情况讨论：①甲在第四天值班，则剩下的有3×2×1＝6(种)安排；②甲不在第四天值班，则甲的安排有两种，乙的安排也有两种，剩下两人有2×1＝2(种)，共有2×2×2＝8(种)，所以共有8＋6＝14(种)安排．
5. B 因为10 800＝12×9×10×10＝24×33×52，所以10 800的每个正因数分别由m个2，n个3，t个5相乘得到，其中m∈{0，1，2，3，4}，n∈{0，1，2，3}，t∈{0，1，2}，所以10 800的不同正因数的个数为5×4×3＝60.
6. C 如图，若要从点A到点B，则先到点M或点N处，最少4步，包含如下路线，点D到点N处有2种路线，点D到点M处有2种路线，点C到点M有2种路线，点C到点N处没有路线．综上，点A到点B的最短走法需要走4步，有6种．
7. ABC 对于A，有三类选人的方法：3名老师中选1人，有3种方法；8名男生中选1人，有8种方法；5名女生中选1人，有5种方法．由分类计数原理可知，共有3＋8＋5＝16(种)选法，故A正确；对于B，分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男生，有8种方法；第三步选女生，有5种方法，由分步计数原理可知，共有3×8×5＝120(种)选法，故B正确；对于C，选1名老师和 1名学生，由分步计数原理可知，共有3×13＝39(种)选法，故C正确；对于D，选3名老师和1名学生，由分步计数原理可知，共有1×13＝13(种)选法，故D错误．故选ABC.
8. ABC 对于A，若社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，故A正确；对于B，若同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，故B正确； 对于C，若三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有5×4×3＝60(种)，故C正确；对于D，若甲、乙两名同学必须在同一个社区，则可分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，故D错误．故选ABC.
9. 18 由题意，得从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有2种方法，从第三个括号中选一个字母有3种方法．由分步计数原理可得，展开后的项数为3×2×3＝18.
10. 24 因为4名男生a，b，c，d选1名男生共有4种不同的结果；3名女生A，B，C选1名女生共有3种不同的结果；1名男生和1名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法，根据分步计数原理可得，共有3×4×2＝24(种)不同的结果．
11. 13 由题意，得4个焊接点脱落或不脱落的不同情况共有24＝16(种)，其中A，B之间线路通的情况只有1，2，4不脱落3脱落或1，3，4不脱落2脱落或1，2，3，4都不脱落，共3种情况，故A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有16－3＝13(种).
12. (1) 第一步：千位不能为0，有6种选择；
第二步：百位可以从剩余数字中选，有6种选择；
第三步：十位可以从剩余数字中选，有5种选择；
第四步：个位可以从剩余数字中选，有4种选择．
根据分步计数原理，能组成6×6×5×4＝720(个)没有重复数字的四位数．
(2) 第一类：当个位数字是0时，没有重复数字的四位数有6×5×4＝120(个)；
第二类：当个位数字是2时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4＝100(个)；
第三类：当个位数字是4时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4＝100(个)；
第四类：当个位数字是6时，千位不能为0，没有重复数字的四位数有5×5×4＝100(个).
根据分类计数原理，能组成120＋100＋100＋100＝420(个)没有重复数字的四位偶数．
13. (1) 由题意，得四棱锥SABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C颜色相同，且B，D颜色相同，
所以共有5×4×3×1×1＝60(种)不同的涂色方法．
(2) 由题意，得四棱锥SABCD的顶点S，A，B所涂颜色互不相同，
则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有1组颜色相同，
所以先从两组中选出1组涂相同的颜色，有2种选法；
若选B，D组涂相同的颜色，再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C 4个顶点上，
则有5×4×3×2＝120(种)不同的涂色方法．
所以共有2×120＝240(种)不同的涂色方法．