7.2　排 列 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

7．2　排　　列
7.2.1　排　　列(1)
一、 单项选择题
1 两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法种数为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 9 B. 6 C. 8 D. 4
2 若A＝30，则n的值为(　　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
3 某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是(　　)
A. 10 B. 30
C. 60 D. 125
4 (2024曲靖期中)若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有(　　)
A. 24种 B. 23种
C. 12种 D. 11种
5 从4名大学生中选3名分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生，则不同的分配方法数为(　　)
A. 120 B. 24
C. 48 D. 6
6 (2024孝感期中)将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有1个名额且各校分配的名额数互不相等，则不同的分配方法种数为(　　)
A. 42 B. 78
C. 90 D. 84
二、 多项选择题
7 下列命题中，是真命题的是(　　)
A. a，b，c与b，a，c是不同的排列
B. 同一个排列中，同一个元素不能重复出现
C. 在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化
D. 从四个不同元素中任取三个元素，只要元素相同，得到的就是相同的排列
8 (2024连云港月考)下列各式中，等于n！的是(　　)
A. A
B. A
C. A
D. nA
三、 填空题
9 已知A＝7A，则n＝________．
10 若从6名志愿者中选出4人分别负责翻译、导游、导购、保洁4种不同的工作，则选派方案共有________种.
11 用1到5这5个整数组成无重复数字的四位数，共有________个，按从小到大的顺序排列，其中第34个数是________．
四、 解答题
12 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？
13 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数．
(1) 在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2) 在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
7．2.2　排　　列(2)
一、 单项选择题
1 已知A＝100A，则x的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
2 有甲、乙、丙3位同学，分别从物理、化学、生物学、思想政治、历史5门课中任选1门，要求物理必须有人选，且每人所选的科目各不相同，则不同的选法种数为(　　)
A. 24 B. 36 C. 48 D. 72
3 (2024宜昌期中)有A，B，C，D，E五位学生参加数学建模比赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名．”又对B说：“你是第三名．”请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)
A. 6 B. 18 C. 20 D. 24
4 (2024江苏月考)不等式A－5n<5的解集为(　　)
A. {n|－1C. {3，4} D. {4}
5 从0，1，2，3，4，5这6个数字中选3个数字，可以组成无重复数字的三位偶数的个数为(　　)
A. 52 B. 56 C. 48 D. 72
6 (2024重庆月考)“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目(甲、乙、丙、丁、戊)进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则不同的出场顺序一共有(　　)
A. 72种 B. 78种
C. 96种 D. 120种
二、 多项选择题
7 从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中，下列说法中正确的是(　　)
A. 偶数有48个
B. 比300大的奇数有48个
C. 个位和百位数字之和为7的有24个
D. 能被3整除的数有48个
8 (2024盐城期中)甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则下列结论中正确的是(　　)
A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法
B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法
C. 5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法
D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
三、 填空题
9 所有由1，4，5，n这4个互异正整数组成的无重复数字的四位数的各位数字之和为288，则正整数n＝________．
10 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________．
11 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，则没有女生的选派方案有________种，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种.
四、 解答题
12 (1) 求证：(n＋1)！－n！＝n·n！；
(2) 求证：＝－；
(3) 求和：＋＋＋…＋.
13 (2024扬州月考)用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(列式并计算)
(1) 六位数；
(2) 六位奇数；
(3) 能被5整除的六位数；
(4) 组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？
7．2.3　排　　列(3)
一、 单项选择题
1 由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 20 B. 36 C. 60 D. 72
2 3名男同学，3名女学生和2位老师站成一排拍照合影，要求2位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是1名男学生与1名女学生，则不同的排法种数为(　　)
A. 100 B. 230 C. 576 D. 675
3 (2024朝阳期末)京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地．京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行．某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是(　　)
A. 144 B. 240 C. 576 D. 1 440
4 (2024上海期中)某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为(　　)
A. 180 B. 120 C. 90 D. 240
5 (2024大连期末)用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有多少个(　　)
A. 18 B. 36 C. 72 D. 86
6 (2024东莞月考)有六名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有(　　)
A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 144种
二、 多项选择题
7 (2024潍坊期末)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，则下列说法中正确的是(　　)
A. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B. 若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C. 甲、乙不相邻的排法种数为82
D. 甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
8 (2024大连期末)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，“将”“车”“马”“炮”“兵”等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法中正确的是(　　)
A. 共有120种排列方式
B. 若两个“将”相邻，则有24种排列方式
C. 若两个“将”不相邻，则有72种排列方式
D. 若同色棋子不相邻，则有12种排列方式
三、 填空题
9 某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有________种排法．
10 (2024宁德期末)寿宁北路戏是珍贵的国家非物质文化遗产．在某次文化表演中，主办方安排了《济公传》《反五关》《龙虎斗》《宏碧缘》《旗王哭将》5个北路戏传统剧目，其中要求《宏碧缘》与《旗王哭将》不相邻，则不同的节目安排种数为________．(用数字作答)
11 (2024南通期末)第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月在北京召开，某记者与参会的5名代表一起合影留念(6人站成一排).若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法有________种．
四、 解答题
12 某中学将要举行校园歌手大赛，现有2男3女参加，需要安排他们的出场顺序．(结果用数字作答)
(1) 如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？
(2) 如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？
13 (2024淮安月考)有0，1，2，3，4五个数字．(结果用数字作答)
(1) 可以排成多少个三位数？
(2) 求满足下列条件的五位数的个数(无重复数字).
①左起第二、四位数是偶数的奇数；
②比20 134大的偶数．
7．2　排　　列
7.2.1　排　　列(1)
1. B　两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同的选法共有A＝6(种).
2. C　由排列数的计算公式，得A＝n(n－1)＝n2－n，且n≥2，n∈N*.因为A＝30，所以n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去).
3. C　某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，则有A＝60(种)选法．
4. B　“word”一共有4个不同的字母，这4个字母全排列有A＝24(种)方法，其中正确的有1种，所以错误的有24－1＝23(种).
5. B　从4名大学生中选3名分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学分配1名大学生，则不同的分配方法数为A＝24.
6. D　易知16＝1＋2＋13＝1＋3＋12＝1＋4＋11＝1＋5＋10＝1＋6＋9＝1＋7＋8＝2＋3＋11＝2＋4＋10＝2＋5＋9＝2＋6＋8＝3＋4＋9＝3＋5＋8＝3＋6＋7＝4＋5＋7，共可以分为14种三个不等的正整数的和，因此不同的分配种数为14A＝84.
7. AB　由于排列是有顺序的，故A正确；同一个排列中，元素互不相同，故B正确，C，D错误．故选AB.
8. ABD　对于A，因为A＝n！，故A正确；对于B，因为A＝·(n＋1)A＝A＝n！，故B正确；对于C，因为A＝(n＋1)！，故C错误；对于D，因为nA＝n·(n－1)！＝n！，故D正确．故选ABD.
9. 7　由题意，得解得n＝7.
10. 360　选派方案的种数为A＝360.
11. 120　2 345　用1到5这5个整数组成无重复数字的四位数，共有A＝120(个).千位上是1时，有A＝24(个)；千位上是2时，百位上是1时，有A＝6(个)；千位上是2时，百位上是3时，十位上是1时，有A＝2(个)；千位上是2时，百位上是3时，十位上是4时，有A＝2(个)，分别为2 341，2 345，所以按从小到大的顺序排列，其中第34个数是2 345.
12. 3名主力队员安排在第一、三、五位置，有A种不同的安排方法，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，有A种不同的安排方法，故不同的出场安排共有AA＝252(种).
13. (1) 符合条件的偶数可分为两类：
若个位数是0，则共有A＝12(个)；
若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有2×3×3＝18(个)，
所以符合条件的三位偶数的个数为12＋18＝30.
(2) 符合条件的“凹数”可分为三类：
若十位是0，则有A＝12(个)；
若十位是1，则有A＝6(个)；
若十位是2，则有A＝2(个)，
所以符合条件的“凹数”的个数为12＋6＋2＝20.
7．2.2　排　　列(2)
1. C　由A＝100A，得2x(2x－1)(2x－2)＝100x(x－1)，则4x(2x－1)(x－1)＝100x(x－1)，即2x－1＝25，解得x＝13，经检验满足题意．
2. B　每人所选的科目各不相同的选法种数为A＝60，物理没有人选的选法种数为A＝24，则所求的不同的选法种数为60－24＝36.
3. B　B只能排第3名有1种排法，A可能排在2，4，5三个名次，则有A种排法，再排C，D，E有A种排法，故五位学生的名次的排法种数为AA＝18.
4. B　由A－5n<5，得(n＋1)n－5n<5，即n2－4n－5<0，解得－15. A　当个位为0时，共有A＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有AAA＝2×4×4＝32(个)，所以共有20＋32＝52(个)无重复数字的三位偶数．
6. B　当甲在第三个出场时，乙、丙、丁、戊全排列，共有A＝4×3×2×1＝24(种); 当甲不在第一、三个出场时，共有3×3×A＝54(种)，所以共有54＋24＝78(种)不同的出场顺序．
7. CD　对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有A＝20(种)情况，则有3×20＝60(个)三位偶数，故A错误；对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16(个)三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24(个)三位奇数，则符合题意的三位奇数共有16＋24＝40(个)，故B错误；对于C，个位和百位数字之和为7有(1，6)，(2，5)，(3，4)，共3种情况，则符合题意的三位数有3AA＝24(个)，故C正确；对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，有(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共8种选择，故能被3整除的数有8A＝48(个)，故D正确．故选CD.
8. ACD　对于A，按分步计数原理，甲、乙、丙站前排方法数为A＝6，丁、戊站后排方法数为A＝2，所以总的方法数为6×2＝12，故A正确；对于B，甲、乙捆绑作为一个人(内部不需要排列)与其他3人进行排列，方法数为A＝24，故B错误；对于C，5人全排列后，减去甲在两端的排法，方法数为A－2A＝72，故C正确；对于D，甲在右端，方法数为A＝24，甲在中间方法数为3×3×A＝54，总方法数为24＋54＝78，故D正确．故选ACD.
9. 2　由1，4，5，n这4个互异正整数组成的无重复数字的四位数共有A＝24(个)，每一个无重复数字的四位数的各位数字之和为10＋n，n∈N*，n≤9.又所有四位数的各位数字之和为288，所以24×(10＋n)＝288，解得n＝2.
10. 18　首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共A＝20(种)排法．因为＝，＝，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数为20－2＝18.
11. 24　186　没有女生的选派方案有A＝24(种).从7人中选3人分别从事三项不同的工作，一共有A种选派方案，则至少有1名女生的选派方案共有A－A＝186(种).
12. (1) (n＋1)！－n！＝(n＋1)n！－n！＝n·n！.
(2) ＝＝＝－.
(3) 由(2)知＝－，
所以＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋[－]＝1－，
即＋＋＋…＋＝1－.
13. (1) 先排首位，有A＝5(种)排法，然后排其余位有A＝120(种)排法．
根据分步计数原理，得符合题意的六位数共有5×120＝600(个).
(2) 先排个位，有A＝3(种)排法．
因为0不能在首位，再排首位有4种排法，最后排其余位有A＝24(种).
根据分步计数原理，得符合题意的六位奇数共有3×4×24＝288(个).
(3) 由题意，得个位数是0或5.
当个位数是0时，有A种排法，
当个位数是5时，先排首位，因为0不能在首位，所以有4种排法，其余位有A种排法，
故能被5整除的六位数共有A＋AA＝216(个).
(4) 首位数字不能为0，则首位数字为1有A＝120(种)排法，
首位数字为2，有A＝120(种)排法，
首位数字为3，万位数字为0，有A＝24(种)排法，此时六位数有120＋120＋24＝264(个)，
故第264个数是305 421，第265个数是310 245.
7．2.3　排　　列(3)
1. D　先排3，4，5，共有A＝6(种)排法，然后在4个位置上选2个排列1，2，有A＝12(种)排法，则1与2不能相邻的排法总数为6×12＝72.
2. C　根据题意，先把6个学生排列．①若两端都是男生，则有AA＝144(种)排法．②若两端都是女生，则有AA＝144(种)排法，再从中间空位中插入两个老师，有A＝2(种)排法．根据分步计数原理，共有(144＋144)×2＝576(种)排法．
3. D　先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有A种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有A种，所以不同的排法总数是AA＝1 440.
4. A　分两步完成．甲参加且不担任四辩，有3种方法；从剩下5名同学中任选3人，且任意排序，有A＝60(种)方法，所以共有60×3＝180(种)方法．
5. C　由题意，得可先对数1，3，5进行全排列，共有A＝6(种)排法；再对构成的4个空隙中，连续相邻的前3个空隙或后3个空隙，放入偶数2，4，6，共有2×A＝12(种)放法，根据分步计数原理，得共有6×12＝72(种)不同的排法，即符合题意的数有72个．
6. D　丙与丁必须相邻，先排两人的顺序有A种排法，再把他们看作一个元素与除甲、乙两人之外的另外两人排列有A种排法．甲与乙互不相邻，把甲与乙插入4个空位中，有A种排法，由分步计数原理，得共有AAA＝144(种)排法．
7. ABD　对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有A＝24(种)，故A正确；对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有A＝24(种)排法；若最左端排乙，有3A＝18(种)排法，所以不同的排法共有42种，故B正确；对于C，甲、乙不相邻的排法种数有AA＝72(种)，故C不正确；对于D，甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)，故D正确．故选ABD.
8. ACD　对于A，共有A＝120(种)排列方式，故A正确；对于B，两个“将”捆绑，有A＝2(种)情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，所以共有2A＝48(种)情况，故B错误；对于C，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，产生4个空，再将两个“将”插空，则共有AA＝72(种)情况，故C正确；对于D，将2个黑色的棋子进行全排列，产生3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则共有AA＝12(种)排列方式，故D正确．故选ACD.
9. 14　当体育课在最后一节时，此时另外3节课可在其余位置任意排列，故有A种排法；当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第2节或第3节，故有AAA种排法，所以一共有A＋AAA＝14(种)排法．
10. 72　先将《济公传》《反五关》《龙虎斗》3个节目进行排序，然后将《宏碧缘》与《旗王哭将》两个节目插入《济公传》《反五关》《龙虎斗》这3个节目形成的4个空位中的两个空位，由分步计数原理可知，不同的排法种数为AA＝6×12＝72.
11. 144　代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余4人进行排序，共有AA＝240(种)不同的排法．若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有2种站法，然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余3人进行排序，此时不同的排法种数为2AA＝96.故记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法有240－96＝144(种).
12. (1) 根据题意，先排2位男选手，有A＝2(种)排法，
再将3位女选手排到2位男选手形成的3个空上，有A＝6(种)排法，
所以如果3个女生都不相邻，那么有2×6＝12(种)不同的出场顺序．
(2) 先排好2男3女参加活动的所有可能出场顺序，有A＝120(种)排法，
其中女生甲在女生乙的前面的占了一半，
所以女生甲在女生乙的前面，有60种不同的出场顺序．
13. (1) 首先排百位数字有4种选法，
再排十位数字有5种选法，
最后排个位数字有5种选法，
所以可以排成4×5×5＝100(个)三位数．
(2) ①首先从1，3两数中选一个数排在个位，有A种排法，
再排最高位，若最高位排1，3中剩下的数，则将三个偶数排到左起第二、三、四位，有A种排法；
若最高位从2，4两数中选一个，有A种排法，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有A种排法，最后将1，3中剩下的数排到第三位．
综上，满足条件的五位数的个数为A(A＋AA)＝20.
②比20 134大的偶数可分为六类：
万位数字为3的偶数，有AA＝18(个)；
万位数字为4的偶数，有AA＝12(个)；
万位数字为2，千位数字为1的偶数，有AA＝4(个)；
万位数字为2，千位数字为3的偶数，有AA＝4(个)；
万位数字为2，千位数字为4的偶数，有A＝2(个)；
万位数字为2，千位数字为0的偶数为20 314，共1个．
综上，满足条件的五位数的个数为18＋12＋4＋4＋2＋1＝41.