7.3.1 组 合 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.3.1 组 合 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-19 11:46:02 | ||
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文档简介
7.3.1 组 合(1)
一、 单项选择题
1 (2024盐城期中)C＋C的值为( )
A. 9 B. 18 C. 24 D. 30
2 设集合A＝，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为( )
A. A B. C C. 62 D. 26
3 (2024重庆期中)若2C＝A，则m的值为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4 (2024西安期末)陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史＋小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到3个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有( )
A. 360种 B. 120种
C. 60种 D. 30种
5 (2024南通期末)某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名．从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少各有1名同学入选的选法种数为( )
A. 12 B. 30 C. 34 D. 60
6 (2024莆田月考)现有10元，20元，50元人民币各一张，100元人民币两张，从中取两张，共可组成不同的币值种数是( )
A. 20 B. 15
C. 10 D. 7
二、 多项选择题
7 下列问题中，属于组合问题的是( )
A. 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，有多少种不同的选法
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，能组成多少个不同的三位数
C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式，有多少种不同的选法
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，有多少种不同的选法
8 在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地．下列结论中正确的有( )
A. 不同的路径共有31条
B. 不同的路径共有61条
C. 若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D. 若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有9条
三、 填空题
9 从7个人中选3个人参加演讲比赛，则不同的选法种数为________．
10 (2024无锡期中)已知C＋A＝22，则正整数n＝________．
11 (2024长治月考)已知男、女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为________．
四、 解答题
12 (2023北京期中)从4名女生，3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1) 选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2) 选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3) 选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
13 将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1) 不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2) 可出现空盒时的放入方式共有多少种？
7．3.1 组 合(2)
一、 单项选择题
1 已知C＝C(x∈N*)，则x的值为( )
A. 2 B. 5
C. 2或5 D. 2或6
2 某博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共9类．小胡同学去该馆任意选取4类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这4类中至少参观其中1类的不同选择方案的种数是( )
A. 224 B. 121
C. 96 D. 84
3 C＋C－C的值为( )
A. 0 B. 11 C. 12 D. 5
4 (2024上饶期末)6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为( )
A. 45 B. 90
C. 180 D. 360
5 (2024河北期中)若C＝C，则C＋C＋…＋C的值为( )
A. 35 B. 34 C. 56 D. 55
6 (2024常州期末)在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )
A. 120 B. 204
C. 168 D. 216
二、 多项选择题
7 (2024湖南月考)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则下列说法中正确的是( )
A. 若选1男3女，有4种选法
B. 若选2男2女，有18种选法
C. 若选3男1女，有12种选法
D. 共有36种不同的选法
8 (2024枣庄月考)从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为( )
A. CC＋CC＋CC
B. CC(C＋CC＋C)
C. CCC
D. C－C－C
三、 填空题
9 从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有________种排法．
10 (2024湖北期中)若C＝C＋C，则正整数x的值为________．
11 (2023长沙雅礼中学阶段练习)有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要1个女生，共有________种不同的分派方法．(用数字作答)
四、 解答题
12 现有男选手3名，女选手5名．选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1) 男选手2名，女选手2名；
(2) 至少有1名男选手．
13 (2024扬州月考)(1) 求3C＋A的值；
(2) 求C＋C＋…＋C的值；
(3) 解关于n的不等式：C7．3.1 组 合(3)
一、 单项选择题
1 某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为( )
A. 36 B. 64 C. 81 D. 100
2 在某一项军事演练中，甲方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；乙方有3艘军舰，6架飞机．若从甲、乙两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为1个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有( )
A. 51种 B. 168种 C. 224种 D. 336种
3 某医院从7名男医生(含1名主任医师)，6名女医生(含1名主任医师)中选派4名男医生和3名女医生支援某地区工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为( )
A. 350 B. 500 C. 550 D. 700
4 扶贫结对中，5名爸爸各带1名孩子去农村参加帮扶和体验生活(5个孩子中3男2女).村委会需要安排1名爸爸带3个孩子去完成某项任务，要求男孩小亮和爸爸有且仅有1人前往，男孩小明和爸爸始终在一起，且2个女孩中至少要选1个女孩，则不同的安排方案的种数是( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5 将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的6个盒子，每个盒子放1个小球，若有且只有3个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )
A. 20 B. 40 C. 68 D. 96
6 (2024福建期中)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6)|xi∈A，i＝1，2，3，4，5，6}，那么集合B中满足1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|≤3的元素的个数为( )
A. 232 B. 144
C. 184 D. 252
二、 多项选择题
7 有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列式子中能表示N的是( )
A. C－CC
B. CC＋CC＋CC＋C
C. C－CC－C
D. CC
8 (2024保定月考)已知集合A，B满足B＝{(x，y，z)|x＋y＋z＝11，x，y，z∈A}，则下列说法中正确的是( )
A. 若集合A＝{－2，0，1，13}，则B中的元素的个数为1
B. 若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈N}，则B中的元素的个数为15
C. 若集合A＝N*，则B中的元素的个数为45
D. 若集合A＝N，则B中的元素的个数为78
三、 填空题
9 6人同时被邀请参加1项活动，必须有人去，去几人自行决定，则共有________种不同的去法．
10 (2024福州期中)从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生的选法有________种．
11 某科研项目包括A，B，C，D四个课题，需要分配给甲、乙、丙三个科研小组进行研究，每个课题分配给一个小组，每个小组至少分配一个课题，且甲、乙小组能研究全部四个课题，丙小组只能研究C，D两个课题，则不同的分配方法的种数为________．
四、 解答题
12 (2024福州期中)在6名内科医生和4名外科医生中，有内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，根据下列条件，各有多少种选派方法？ (用数字作答)
(1) 既有内科医生，又有外科医生；
(2) 至少有1名主任参加；
(3) 既有主任，又有外科医生．
13 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于点A，B的6个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于点A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1) 以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？
(2) 以图中的12个点(包括点A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
7.3.1 组 合(1)
1. A C＋C＝＋＝9.
2. B 因为集合A有6个元素，所以在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为C.
3. D 由2C＝A，得2×＝m(m－1)·(m－2)，且m≥3，解得m＝3.
4. C 由题意知，安排方法共有CC＝60(种).
5. B 由题意共分为两种情况：①高一年级选1人，高二年级选2人，共有CC＝18(种)选法；②高一年级选2人，高二年级选1人，共有CC＝12(种)选法．由分类计数原理，得共有18＋12＝30(种)选法．
6. D 若没有100元人民币，则有C＝3(种)；若有一张100元人民币，则有C＝3(种)；若有两张100元人民币，则有C＝1(种)，所以共可组成不同的币值种数是3＋3＋1＝7.
7. AC 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故A是组合问题；从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序组成三位数，故B是排列问题；从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式， 只需选出3人即可，无排序要求，故C是组合问题；从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故D是排列问题．故选AC.
8. ACD 由图，得从A地出发去往B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，则不同的路径共有CC＋CC＋C＝31(条).若甲途经C地，则不同的路径共有CC＝18(条).若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有CC＝9(条).故选ACD.
9. 35 根据题意，从7个人中选3个人参加演讲比赛，是一个组合问题，有C＝35(种)选法．
10. 4 因为C＋A＝22，所以＋n(n－1)＝22，又n为正整数，可得n＝4.
11. 2 设男生有n(2≤n≤5，且n∈N*)人，则女生有(6－n)人．由题意，得CC＝12，即×(6－n)＝12，所以n＝4，则6－n＝2，即其中女生人数为2.
12. (1) 从3名男生中选出1名的选法有C＝3(种)，从4名女生中选出2名的选法有C＝6(种)，所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有3×6＝18(种).
(2) 选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有CC＝12(种)；有2名女生1名男生的选法有CC＝18(种)，所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有12＋18＝30(种).
(3) 选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有C＝10(种)；女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有C＝10(种)；女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有C＝5(种)，所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有10＋10＋5＝25(种).
13. (1) 将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应球的一种放入方式，则共有C＝20(种)不同的放入方式．
(2) 先将每个盒子放入一个球，问题转化为11个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120(种)放入方式．
7．3.1 组 合(2)
1. C 由C＝C(x∈N*)，得2x＝x＋2或2x＝17－(x＋2)，所以x＝2或x＝5.
2. B 从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器这9类中任取4类重要藏品参观，不同的选法种数为C，其中钱币、玉石器、甲骨、瓷器这4类都不选的选法种数为C，则满足条件的不同选法种数为C－C＝126－5＝121.
3. A C＋C－C＝C－C＝C－C＝0.
4. B 6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为CCC＝15×6×1＝90.
5. D 因为C＝C，所以m＋m－2＝12，解得m＝7，所以C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C－1＝55.
6. B 分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有2C＝168(个)；第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，则3个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有C＝36(个)，根据分类计数原理，共有168＋36＝204(个).
7. ABC 对于A，若选1男3女，共有CC＝4(种)选法，故A正确；对于B，若选2男2女，共有CC＝18(种)选法，故B正确；对于C，若选3男1女，共有CC＝12(种)选法，故C正确；对于D，总的选法数有4＋18＋12＝34(种)，故D错误．故选ABC.
8. AD 利用直接法，4人中有3名男生，1名女生，则有CC种选法，4人中有2名男生，2名女生，则有CC种选法，4人中有1名男生，3名女生，则有CC种选法，所以从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC；利用间接法，从9名男生和7名女生中选4人参加活动，共有C种选法，其中不合题意的有两种情况，全是男生有C种选法，全是女生有C种选法，所以从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为C－C－C.故选AD.
9. 180 由题意，得共有CCC＝180(种).
10. 5 由组合数性质C＝C＋C，得C＋C＝C，则C＝C，所以2x－5＝x或2x－5＋x＝12，解得x＝5或x＝(舍去).
11. 28 A公司只要1个女生，有C＝2(种)分派方案，则B，C公司分派人数可以为2，2或者1，3或者3，1，共3类情况，共C＋C＋C＝14(种)分派方案，所以共有2×14＝28(种)分派方法．
12. (1) 第一步：选2名男运动员，有C种选法；
第二步：选2名女运动员，有C种选法，
所以共有CC＝3×10＝30(种)选法.
(2) “至少有1名男选手”的反面为“全是女选手”．
从8人中任选4人，有C种选法，其中全是女选手的选法有C种，
所以“至少有1名男选手”的选法有C－C＝70－5＝65(种).
13. (1) 3C＋A＝3×＋×8×7×6＝280.
(2) C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝＝330.
(3) 由题意，得
所以3≤n≤12，且n∈N*.
因为C所以<，解得n<7.5.
又因为n∈N*，所以n＝3，4，5，6，7.
故不等式解集为{3，4，5，6，7}．
7．3.1 组 合(3)
1. C 甲有两种情况：①1荤1素，CC＝6(种)；②2素，C＝3(种)，故甲共有6＋3＝9(种).同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为9×9＝81.
2. B 计算选出的4个单位中恰有1架飞机的方法数有两类：飞机来自甲方，有CCC种方法；飞机来自乙方，有CCC种方法，由分类计数原理得共有CCC＋CCC＝168(种)方法，所以选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有168种．
3. C 所选医生中只有1名男主任医师的选法有CC＝200(种)；所选医生中只有1名女主任医师的选法有CC＝150(种)；所选医生中有1名女主任医师和1名男主任医师的选法有CC＝200(种)，故所选医生中有主任医师的选派方法共有200＋150＋200＝550(种).
4. A 分三类情况讨论，当小明的爸爸去时，此时小明和小亮两个都去，再选一名女孩即可，有C＝2(种)安排方案；当小亮的爸爸去时，此时小亮和小明都不去，有C＝1(种)安排方案；当小亮爸爸和小明爸爸都不去时，此时小亮去，小明不去，有C(C＋CC)＝9(种)安排方案．故共有2＋1＋9＝12(种)安排方案．
5. B 6个小球中选出3个小球放入与自己相同序号的盒子中，有C＝20(种)放法；剩下3个小球放入与自己不相同序号的盒子中，有2种放法，所以共有20×2＝40(种)放法．
6. A 由题意，分三种情况讨论：当|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|＝1时，|x1|，|x2|，|x3|，|x4|，|x5|，|x6|中有一项为1，其余均为0，即x1，x2，x3，x4，x5，x6中有一个1或一个－1，其余均为0，故此时集合B中元素的个数为2×C＝12；当|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|＝2时，|x1|，|x2|，|x3|，|x4|，|x5|，|x6|中有两项为1，其余均为0，即x1，x2，x3，x4，x5，x6中有两个1，或者两个－1，或者一个1和一个－1，其余均为0，故此时集合B中元素的个数为C＋C＋A＝15＋15＋30＝60；当|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|＝3时，|x1|，|x2|，|x3|，|x4|，|x5|，|x6|中有三项为1，其余均为0，即x1，x2，x3，x4，x5，x6中有三个1，或者两个1和一个－1，或者一个1和两个－1，或者三个－1，故此时集合B中元素的个数为C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋60＋20＝160.综上，集合B中的元素的个数为12＋60＋160＝232.
7. BC 有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，利用直接法，2男3女共有不同的选派方法种数为CC；3男2女共有不同的选派方法种数为CC；4男1女共有不同的选派方法种数为CC；5男共有不同的选派方法种数为C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C；利用间接法，13名医生，任取5人，减去有4名和5名女医生的情况，即N＝C－CC－C，故选BC.
8. BCD 对于A，由题意，得B＝{(－2，0，13)，(－2，13，0)，(0，－2，13)，(0，13，－2)，(13，－2，0)，(13，0，－2)}，所以B中的元素的个数为6，故A错误；对于B，由题意，得A中的元素均为正奇数，在B中，当x＝1时，有(1，1，9)，(1，3，7)，(1，5，5)，(1，7，3)，(1，9，1)，共5个元素；当x＝3时，有(3，1，7)，(3，3，5)，(3，5，3)，(3，7，1)，共4个元素；当x＝5时，有(5，1，5)，(5，3，3)，(5，5，1)，共3个元素；当x＝7时，有(7，1，3)，(7，3，1)，共2个元素；当x＝9时，有(9，1，1)，共1个元素，所以B中的元素的个数为5＋4＋3＋2＋1＝15，故B正确；对于C，B＝{(x，y，z)|x＋y＋z＝11，x，y，z∈N*}，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为C＝45，所以B中的元素的个数为45，故C正确；对于D，B＝{(x，y，z)|x＋y＋z＝11，x，y，z∈N}＝{(x，y，z)|(x＋1)＋(y＋1)＋(z＋1)＝14，x＋1，y＋1，z＋1∈N*}，可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为C＝78，所以B中的元素的个数为78，故D正确．故选BCD.
9. 63 若1个人去，有C种选法；若2个人去，有C种选法；若3个人去，有C种选法；若4个人去，有C种选法；若5个人去，有C种选法；若6个人去，有C种选法，所以共有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63(种)不同的去法.
10. 34 从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有C＝35(种)选法，若全是男医生参加，则有C＝1(种)选法，所以共有35－1＝34(种)选法．
11. 14 因为甲、乙、丙三个科研小组中丙小组只能研究C，D两个课题，所以不妨从丙开始讨论．①丙小组研究C课题：若甲研究两个，乙研究一个，则有CC＝3(种)分配方法；若甲研究一个，乙研究两个，则有CC＝3(种)分配方法；②丙小组研究D课题：若甲研究两个，乙研究一个，则有CC＝3(种)分配方法；若甲研究一个，乙研究两个，则有CC＝3(种)分配方法；③丙小组研究C，D两个课题，则甲和乙分别研究一个，有2种分配方法．综上，不同的分配方法的种数为3＋3＋3＋3＋2＝14.
12. (1) 既有内科医生，又有外科医生的选派方法有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种).
(2) 根据题意，可分为两类，一是选1名主任有CC＝140(种)方法，
二是选2名主任有CC＝56(种)方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共140＋56＝196(种).
(3) 若选外科主任，则其余可任意选，共有C＝126(种)选法；
若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，有C－C＝65(种)选法，
故既有主任，又有外科医生的选派方法种数为126＋65＝191.
13. (1) 可分三种情况：
①C1，C2，…，C6中任取三点可构成一个三角形，有C种；
②C1，C2，…，C6 中任取一点，D1，D2，D3，D4 中任取两点可构成一个三角形，有CC种；
③C1，C2，…，C6 中任取两点，D1，D2，D3，D4 中任取一点可构成一个三角形，有CC种，
所以共有C＋CC＋CC＝116(个).
其中含点C1 的三角形有C＋CC＋C＝36(个).
故可作出116个三角形，其中含点C1的有36个．
(2) 构成一个四边形，需要4个点，且无三点共线，
C1，C2，…，C6 这6个点中任意三点都不共线．
①C1，C2，…，C6 中任取四点可构成一个四边形，有C种；
②C1，C2，…，C6 中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B中任取一点可构成一个四边形，有CC种；
③C1，C2，…，C6 中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B中任取两点可构成一个四边形，有CC种，
所以共有C＋CC＋CC＝360(个).
故可作出360个四边形．
一、 单项选择题
1 (2024盐城期中)C＋C的值为( )
A. 9 B. 18 C. 24 D. 30
2 设集合A＝，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为( )
A. A B. C C. 62 D. 26
3 (2024重庆期中)若2C＝A，则m的值为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4 (2024西安期末)陕西历史博物馆秦汉馆以“秦汉文明”为主题，采用“大历史＋小主题”展览叙述结构，将于2024年5月18日正式对公众开放．届时，将有6名同学到3个展厅做志愿者，每名同学只去1个展厅，主展厅“秦汉文明”安排3名，遗址展厅“城与陵”安排2名，艺术展厅“技与美”安排1名，则不同的安排方法共有( )
A. 360种 B. 120种
C. 60种 D. 30种
5 (2024南通期末)某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名．从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少各有1名同学入选的选法种数为( )
A. 12 B. 30 C. 34 D. 60
6 (2024莆田月考)现有10元，20元，50元人民币各一张，100元人民币两张，从中取两张，共可组成不同的币值种数是( )
A. 20 B. 15
C. 10 D. 7
二、 多项选择题
7 下列问题中，属于组合问题的是( )
A. 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，有多少种不同的选法
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，能组成多少个不同的三位数
C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式，有多少种不同的选法
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，有多少种不同的选法
8 在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地．下列结论中正确的有( )
A. 不同的路径共有31条
B. 不同的路径共有61条
C. 若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D. 若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有9条
三、 填空题
9 从7个人中选3个人参加演讲比赛，则不同的选法种数为________．
10 (2024无锡期中)已知C＋A＝22，则正整数n＝________．
11 (2024长治月考)已知男、女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为________．
四、 解答题
12 (2023北京期中)从4名女生，3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛．
(1) 选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种？
(2) 选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种？
(3) 选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种？
13 将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1) 不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2) 可出现空盒时的放入方式共有多少种？
7．3.1 组 合(2)
一、 单项选择题
1 已知C＝C(x∈N*)，则x的值为( )
A. 2 B. 5
C. 2或5 D. 2或6
2 某博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共9类．小胡同学去该馆任意选取4类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这4类中至少参观其中1类的不同选择方案的种数是( )
A. 224 B. 121
C. 96 D. 84
3 C＋C－C的值为( )
A. 0 B. 11 C. 12 D. 5
4 (2024上饶期末)6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为( )
A. 45 B. 90
C. 180 D. 360
5 (2024河北期中)若C＝C，则C＋C＋…＋C的值为( )
A. 35 B. 34 C. 56 D. 55
6 (2024常州期末)在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )
A. 120 B. 204
C. 168 D. 216
二、 多项选择题
7 (2024湖南月考)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则下列说法中正确的是( )
A. 若选1男3女，有4种选法
B. 若选2男2女，有18种选法
C. 若选3男1女，有12种选法
D. 共有36种不同的选法
8 (2024枣庄月考)从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为( )
A. CC＋CC＋CC
B. CC(C＋CC＋C)
C. CCC
D. C－C－C
三、 填空题
9 从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有________种排法．
10 (2024湖北期中)若C＝C＋C，则正整数x的值为________．
11 (2023长沙雅礼中学阶段练习)有3男2女共5名学生被分派去A，B，C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要1个女生，共有________种不同的分派方法．(用数字作答)
四、 解答题
12 现有男选手3名，女选手5名．选派4人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1) 男选手2名，女选手2名；
(2) 至少有1名男选手．
13 (2024扬州月考)(1) 求3C＋A的值；
(2) 求C＋C＋…＋C的值；
(3) 解关于n的不等式：C
一、 单项选择题
1 某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为( )
A. 36 B. 64 C. 81 D. 100
2 在某一项军事演练中，甲方参加演习的有4艘军舰，5架飞机；乙方有3艘军舰，6架飞机．若从甲、乙两方中各选出2个单位(1架飞机或1艘军舰都作为1个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同)，且选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有( )
A. 51种 B. 168种 C. 224种 D. 336种
3 某医院从7名男医生(含1名主任医师)，6名女医生(含1名主任医师)中选派4名男医生和3名女医生支援某地区工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为( )
A. 350 B. 500 C. 550 D. 700
4 扶贫结对中，5名爸爸各带1名孩子去农村参加帮扶和体验生活(5个孩子中3男2女).村委会需要安排1名爸爸带3个孩子去完成某项任务，要求男孩小亮和爸爸有且仅有1人前往，男孩小明和爸爸始终在一起，且2个女孩中至少要选1个女孩，则不同的安排方案的种数是( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5 将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的6个盒子，每个盒子放1个小球，若有且只有3个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )
A. 20 B. 40 C. 68 D. 96
6 (2024福建期中)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6)|xi∈A，i＝1，2，3，4，5，6}，那么集合B中满足1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|≤3的元素的个数为( )
A. 232 B. 144
C. 184 D. 252
二、 多项选择题
7 有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往某地区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列式子中能表示N的是( )
A. C－CC
B. CC＋CC＋CC＋C
C. C－CC－C
D. CC
8 (2024保定月考)已知集合A，B满足B＝{(x，y，z)|x＋y＋z＝11，x，y，z∈A}，则下列说法中正确的是( )
A. 若集合A＝{－2，0，1，13}，则B中的元素的个数为1
B. 若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈N}，则B中的元素的个数为15
C. 若集合A＝N*，则B中的元素的个数为45
D. 若集合A＝N，则B中的元素的个数为78
三、 填空题
9 6人同时被邀请参加1项活动，必须有人去，去几人自行决定，则共有________种不同的去法．
10 (2024福州期中)从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生的选法有________种．
11 某科研项目包括A，B，C，D四个课题，需要分配给甲、乙、丙三个科研小组进行研究，每个课题分配给一个小组，每个小组至少分配一个课题，且甲、乙小组能研究全部四个课题，丙小组只能研究C，D两个课题，则不同的分配方法的种数为________．
四、 解答题
12 (2024福州期中)在6名内科医生和4名外科医生中，有内科主任和外科主任各1名，现要从这 10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，根据下列条件，各有多少种选派方法？ (用数字作答)
(1) 既有内科医生，又有外科医生；
(2) 至少有1名主任参加；
(3) 既有主任，又有外科医生．
13 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于点A，B的6个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于点A，B的4个点D1，D2，D3，D4.
(1) 以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？
(2) 以图中的12个点(包括点A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
7.3.1 组 合(1)
1. A C＋C＝＋＝9.
2. B 因为集合A有6个元素，所以在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为C.
3. D 由2C＝A，得2×＝m(m－1)·(m－2)，且m≥3，解得m＝3.
4. C 由题意知，安排方法共有CC＝60(种).
5. B 由题意共分为两种情况：①高一年级选1人，高二年级选2人，共有CC＝18(种)选法；②高一年级选2人，高二年级选1人，共有CC＝12(种)选法．由分类计数原理，得共有18＋12＝30(种)选法．
6. D 若没有100元人民币，则有C＝3(种)；若有一张100元人民币，则有C＝3(种)；若有两张100元人民币，则有C＝1(种)，所以共可组成不同的币值种数是3＋3＋1＝7.
7. AC 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故A是组合问题；从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序组成三位数，故B是排列问题；从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式， 只需选出3人即可，无排序要求，故C是组合问题；从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故D是排列问题．故选AC.
8. ACD 由图，得从A地出发去往B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，则不同的路径共有CC＋CC＋C＝31(条).若甲途经C地，则不同的路径共有CC＝18(条).若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有CC＝9(条).故选ACD.
9. 35 根据题意，从7个人中选3个人参加演讲比赛，是一个组合问题，有C＝35(种)选法．
10. 4 因为C＋A＝22，所以＋n(n－1)＝22，又n为正整数，可得n＝4.
11. 2 设男生有n(2≤n≤5，且n∈N*)人，则女生有(6－n)人．由题意，得CC＝12，即×(6－n)＝12，所以n＝4，则6－n＝2，即其中女生人数为2.
12. (1) 从3名男生中选出1名的选法有C＝3(种)，从4名女生中选出2名的选法有C＝6(种)，所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有3×6＝18(种).
(2) 选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有CC＝12(种)；有2名女生1名男生的选法有CC＝18(种)，所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有12＋18＝30(种).
(3) 选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有C＝10(种)；女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有C＝10(种)；女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有C＝5(种)，所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有10＋10＋5＝25(种).
13. (1) 将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空隙中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应球的一种放入方式，则共有C＝20(种)不同的放入方式．
(2) 先将每个盒子放入一个球，问题转化为11个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少一个球，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120(种)放入方式．
7．3.1 组 合(2)
1. C 由C＝C(x∈N*)，得2x＝x＋2或2x＝17－(x＋2)，所以x＝2或x＝5.
2. B 从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器这9类中任取4类重要藏品参观，不同的选法种数为C，其中钱币、玉石器、甲骨、瓷器这4类都不选的选法种数为C，则满足条件的不同选法种数为C－C＝126－5＝121.
3. A C＋C－C＝C－C＝C－C＝0.
4. B 6名学生参加数学建模活动，有3个不同的数学建模小组，每个小组分配2名学生，则不同的分配方法种数为CCC＝15×6×1＝90.
5. D 因为C＝C，所以m＋m－2＝12，解得m＝7，所以C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－1＝C－1＝55.
6. B 分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有2C＝168(个)；第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，则3个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有C＝36(个)，根据分类计数原理，共有168＋36＝204(个).
7. ABC 对于A，若选1男3女，共有CC＝4(种)选法，故A正确；对于B，若选2男2女，共有CC＝18(种)选法，故B正确；对于C，若选3男1女，共有CC＝12(种)选法，故C正确；对于D，总的选法数有4＋18＋12＝34(种)，故D错误．故选ABC.
8. AD 利用直接法，4人中有3名男生，1名女生，则有CC种选法，4人中有2名男生，2名女生，则有CC种选法，4人中有1名男生，3名女生，则有CC种选法，所以从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC；利用间接法，从9名男生和7名女生中选4人参加活动，共有C种选法，其中不合题意的有两种情况，全是男生有C种选法，全是女生有C种选法，所以从9名男生和7名女生中选4人参加活动，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数为C－C－C.故选AD.
9. 180 由题意，得共有CCC＝180(种).
10. 5 由组合数性质C＝C＋C，得C＋C＝C，则C＝C，所以2x－5＝x或2x－5＋x＝12，解得x＝5或x＝(舍去).
11. 28 A公司只要1个女生，有C＝2(种)分派方案，则B，C公司分派人数可以为2，2或者1，3或者3，1，共3类情况，共C＋C＋C＝14(种)分派方案，所以共有2×14＝28(种)分派方法．
12. (1) 第一步：选2名男运动员，有C种选法；
第二步：选2名女运动员，有C种选法，
所以共有CC＝3×10＝30(种)选法.
(2) “至少有1名男选手”的反面为“全是女选手”．
从8人中任选4人，有C种选法，其中全是女选手的选法有C种，
所以“至少有1名男选手”的选法有C－C＝70－5＝65(种).
13. (1) 3C＋A＝3×＋×8×7×6＝280.
(2) C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝＝330.
(3) 由题意，得
所以3≤n≤12，且n∈N*.
因为C
又因为n∈N*，所以n＝3，4，5，6，7.
故不等式解集为{3，4，5，6，7}．
7．3.1 组 合(3)
1. C 甲有两种情况：①1荤1素，CC＝6(种)；②2素，C＝3(种)，故甲共有6＋3＝9(种).同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为9×9＝81.
2. B 计算选出的4个单位中恰有1架飞机的方法数有两类：飞机来自甲方，有CCC种方法；飞机来自乙方，有CCC种方法，由分类计数原理得共有CCC＋CCC＝168(种)方法，所以选出的4个单位中恰有1架飞机的不同选法共有168种．
3. C 所选医生中只有1名男主任医师的选法有CC＝200(种)；所选医生中只有1名女主任医师的选法有CC＝150(种)；所选医生中有1名女主任医师和1名男主任医师的选法有CC＝200(种)，故所选医生中有主任医师的选派方法共有200＋150＋200＝550(种).
4. A 分三类情况讨论，当小明的爸爸去时，此时小明和小亮两个都去，再选一名女孩即可，有C＝2(种)安排方案；当小亮的爸爸去时，此时小亮和小明都不去，有C＝1(种)安排方案；当小亮爸爸和小明爸爸都不去时，此时小亮去，小明不去，有C(C＋CC)＝9(种)安排方案．故共有2＋1＋9＝12(种)安排方案．
5. B 6个小球中选出3个小球放入与自己相同序号的盒子中，有C＝20(种)放法；剩下3个小球放入与自己不相同序号的盒子中，有2种放法，所以共有20×2＝40(种)放法．
6. A 由题意，分三种情况讨论：当|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|＝1时，|x1|，|x2|，|x3|，|x4|，|x5|，|x6|中有一项为1，其余均为0，即x1，x2，x3，x4，x5，x6中有一个1或一个－1，其余均为0，故此时集合B中元素的个数为2×C＝12；当|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|＝2时，|x1|，|x2|，|x3|，|x4|，|x5|，|x6|中有两项为1，其余均为0，即x1，x2，x3，x4，x5，x6中有两个1，或者两个－1，或者一个1和一个－1，其余均为0，故此时集合B中元素的个数为C＋C＋A＝15＋15＋30＝60；当|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＋|x6|＝3时，|x1|，|x2|，|x3|，|x4|，|x5|，|x6|中有三项为1，其余均为0，即x1，x2，x3，x4，x5，x6中有三个1，或者两个1和一个－1，或者一个1和两个－1，或者三个－1，故此时集合B中元素的个数为C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋60＋20＝160.综上，集合B中的元素的个数为12＋60＋160＝232.
7. BC 有13名医生，其中女医生6人，男医生7人，利用直接法，2男3女共有不同的选派方法种数为CC；3男2女共有不同的选派方法种数为CC；4男1女共有不同的选派方法种数为CC；5男共有不同的选派方法种数为C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C；利用间接法，13名医生，任取5人，减去有4名和5名女医生的情况，即N＝C－CC－C，故选BC.
8. BCD 对于A，由题意，得B＝{(－2，0，13)，(－2，13，0)，(0，－2，13)，(0，13，－2)，(13，－2，0)，(13，0，－2)}，所以B中的元素的个数为6，故A错误；对于B，由题意，得A中的元素均为正奇数，在B中，当x＝1时，有(1，1，9)，(1，3，7)，(1，5，5)，(1，7，3)，(1，9，1)，共5个元素；当x＝3时，有(3，1，7)，(3，3，5)，(3，5，3)，(3，7，1)，共4个元素；当x＝5时，有(5，1，5)，(5，3，3)，(5，5，1)，共3个元素；当x＝7时，有(7，1，3)，(7，3，1)，共2个元素；当x＝9时，有(9，1，1)，共1个元素，所以B中的元素的个数为5＋4＋3＋2＋1＝15，故B正确；对于C，B＝{(x，y，z)|x＋y＋z＝11，x，y，z∈N*}，可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为C＝45，所以B中的元素的个数为45，故C正确；对于D，B＝{(x，y，z)|x＋y＋z＝11，x，y，z∈N}＝{(x，y，z)|(x＋1)＋(y＋1)＋(z＋1)＝14，x＋1，y＋1，z＋1∈N*}，可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法可得分配的方案数为C＝78，所以B中的元素的个数为78，故D正确．故选BCD.
9. 63 若1个人去，有C种选法；若2个人去，有C种选法；若3个人去，有C种选法；若4个人去，有C种选法；若5个人去，有C种选法；若6个人去，有C种选法，所以共有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63(种)不同的去法.
10. 34 从3男4女共7名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有C＝35(种)选法，若全是男医生参加，则有C＝1(种)选法，所以共有35－1＝34(种)选法．
11. 14 因为甲、乙、丙三个科研小组中丙小组只能研究C，D两个课题，所以不妨从丙开始讨论．①丙小组研究C课题：若甲研究两个，乙研究一个，则有CC＝3(种)分配方法；若甲研究一个，乙研究两个，则有CC＝3(种)分配方法；②丙小组研究D课题：若甲研究两个，乙研究一个，则有CC＝3(种)分配方法；若甲研究一个，乙研究两个，则有CC＝3(种)分配方法；③丙小组研究C，D两个课题，则甲和乙分别研究一个，有2种分配方法．综上，不同的分配方法的种数为3＋3＋3＋3＋2＝14.
12. (1) 既有内科医生，又有外科医生的选派方法有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种).
(2) 根据题意，可分为两类，一是选1名主任有CC＝140(种)方法，
二是选2名主任有CC＝56(种)方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共140＋56＝196(种).
(3) 若选外科主任，则其余可任意选，共有C＝126(种)选法；
若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，有C－C＝65(种)选法，
故既有主任，又有外科医生的选派方法种数为126＋65＝191.
13. (1) 可分三种情况：
①C1，C2，…，C6中任取三点可构成一个三角形，有C种；
②C1，C2，…，C6 中任取一点，D1，D2，D3，D4 中任取两点可构成一个三角形，有CC种；
③C1，C2，…，C6 中任取两点，D1，D2，D3，D4 中任取一点可构成一个三角形，有CC种，
所以共有C＋CC＋CC＝116(个).
其中含点C1 的三角形有C＋CC＋C＝36(个).
故可作出116个三角形，其中含点C1的有36个．
(2) 构成一个四边形，需要4个点，且无三点共线，
C1，C2，…，C6 这6个点中任意三点都不共线．
①C1，C2，…，C6 中任取四点可构成一个四边形，有C种；
②C1，C2，…，C6 中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B中任取一点可构成一个四边形，有CC种；
③C1，C2，…，C6 中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B中任取两点可构成一个四边形，有CC种，
所以共有C＋CC＋CC＝360(个).
故可作出360个四边形．