7.4.1　二项式定理 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

7.4.1　二项式定理(1)
一、 单项选择题
1 乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数是(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 11 B. 15
C. 45 D. 60
2 (a＋)9的展开式中第7项为(　　)
A. 104a7b2 B. 84a3b3
C. 63a3b3 D. 36a7b
3 (2024沧州月考)在(x－1)(x－2)(x－3)·(x－4)的展开式中，x的系数为(　　)
A. －50 B. －35
C. －24 D. －10
4 (2024浙江月考)在(x2－)8的二项展开式中，第4项的二项式系数是(　　)
A. 56 B. －56
C. 70 D. －70
5 (2024山东月考)化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)
A. (2x＋2)5 B. 2x5
C. (2x－1)5 D. 32x5
6 (2024成都期末)若x6＝a0＋a1(x－6)＋a2(x－6)2＋…＋a6(x－6)6，则a5的值为(　　)
A. 6 B. 16
C. 36 D. 90
二、 多项选择题
7 下列关于二项式定理的说法中，错误的是(　　)
A. (a＋b)n的展开式共有n项
B. 在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响
C. Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项
D. (a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同
8 (2023浙江月考)已知在－n的二项展开式中，第6项为常数项，则下列结论中正确的是(　　)
A. n＝10
B. 展开式中共有13项
C. 含x2的项的系数为
D. 展开式中有理项的项数为3
三、 填空题
9 x－n展开式中的第r项的二项式系数是________．
10 (2024朝阳期末)x＋8的展开式中的常数项为________．
11 设x2－6＝a0xm0＋a1xm1＋a2xm2＋…＋a6xm6，则m0＋m1＋m2＋…＋m6＝________．
四、 解答题
12 已知3－10，求：
(1) 展开式中第2项的二项式系数；
(2) 展开式中第3项的系数；
(3) 展开式中的第4项．
13 (2024沈阳期末)已知在－10，a>0的展开式中，常数项为.
(1) 求实数a的值；
(2) 从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法．
7．4.1　二项式定理(2)
一、 单项选择题
1 (a－x)(2＋x)6的展开式中x5的系数是12，则实数a的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
2 (2024重庆期中)(x2－＋2)6展开式中的常数项为(　　)
A. 544
B. 559
C. 495
D. 79
3 已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则n的值为(　　)
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
4 (2024南通期中)(2＋x)4(3－x)5的展开式中x8的系数为(　　)
A. 7 B. 23
C. －7 D. －23
5 (x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(　　)
A. 120
B. －120
C. 60
D. 30
6 (2024银川月考)C＋2C＋4C＋…＋2n-1·C等于(　　)
A. 3n B. 6n
C. －1 D.
二、 多项选择题
7 (2024东莞月考)关于(x－1)(x＋1)5的展开式，下列结论中正确的是(　　)
A. 常数项为1
B. x2的系数为－5
C. x3的系数为0
D. 展开式共有6项
8 (2024泰安月考)若(＋x)n(n∈N*)的展开式中恰有三项的系数为有理数，则n的可能取值为(　　)
A. 9 B. 10
C. 12 D. 15
三、 填空题
9 (x＋－2)3的展开式中，常数项是________．
10 －2C＋22C－23C＋24C－25C＋26C－27C＝________．
11 (2024南京开学考试)已知(－2y)·(mx－y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为________．
四、 解答题
12 (1) 在(x2＋3x＋2)5的展开式中，求含x项的系数；
(2) 求多项式(1－2x)5(2＋x)的展开式中含x3项的系数.
13 (1) 已知(1＋)n(n∈N*)的第9项，第10项，第11项的二项式系数满足C＋C＝2C，求n的值；
(2) 若(x2＋a)(x－)6(a∈R)展开式中的常数项为－65，求(x2＋)a展开式中的有理项．
7.4.1　二项式定理(1)
1. C　由题意，得乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后的项数是3×3×5＝45.
2. B　第7项为Ca3()6＝84a3b3.
3. A　在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项是4个因式中任取1个因式选择x，另外3个因式中选择常数项相乘的和，则(x－1)·(x－2)(x－3)(x－4)的展开式中，含x的项为(－1)×(－2)×(－3)x＋(－1)×(－2)×(－4)x＋(－1)×(－3)×(－4)x＋(－2)×(－3)×(－4)x＝－50x，所以x的系数为－50.
4. A　第4项的二项式系数为C＝56.
5. D　由题意，得多项式的每一项都可看作C·(2x＋1)5-r(－1)r，故为[(2x＋1)－1]5的展开式，化简[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
6. C　因为x6＝[6＋(x－6)]6，展开式的通项为Tr＋1＝C×66-r×(x－6)r，令r＝5，可得T6＝C×61×(x－6)5＝36(x－6)5，所以a5＝36.
7. ABC　对于A，(a＋b)n的展开式有n＋1项，故A错误；对于B，由二项式定理可知B错误；对于C，Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k＋1项，故C错误；对于D，(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数均为C，C，…，C，故D正确．故选ABC.
8. ACD　依题意，－n展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·(－)r＝C·－r·x.因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，解得n＝10，故A正确；由n＝10，得－10展开式中共有10＋1＝11(项)，故B错误；令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，所求含x2项的系数为C×(－)2＝.故C正确；由令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－k，因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2，0，－2，即r可以取2，5，8，所以第3项，第6项，第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确．故选ACD.
9. C
10. 252　(x＋)8的展开式的通项为Tr＋1＝Cx8-r()r＝C3rx8-4r，当8－4r＝0，即当r＝2时，T3＝C×32＝×9＝252，故(x＋)8的展开式中的常数项为252.
11. 21　(x2－)6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)6-r(－)r＝(－2)rCx12-3r，则(x2－)6＝(－2)0Cx12＋(－2)1Cx9＋(－2)2Cx6＋(－2)3Cx3＋(－2)4Cx0＋(－2)5Cx-3＋(－2)6Cx-6，所以m0＋m1＋m2＋m3＋m4＋m5＋m6＝12＋9＋6＋3＋0＋(－3)＋(－6)＝21.
12. (3－)10的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3)10-k·(－)k＝C·310-k·(－)k·，其中0≤k≤10，且k∈N.
(1) 展开式中第2项的二项式系数为C＝10.
(2) 展开式中第3项的系数为C·38·(－)2＝131 220.
(3) 展开式的第4项为T4＝C·37·(－)3·＝－77 760.
13. (1) (－)10的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·()10-k·C.
令20－k＝0，解得k＝8，即当k＝8时，常数项T9＝(－1)8()2C＝，且a>0，
所以a＝1.
(2) 令20－k＝m，m∈Z，解得k＝0，2，4，6，8，10，
即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项，
所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有CC＋CC＝135(种).
7．4.1　二项式定理(2)
1. C　x5的系数为aC×2－C×22＝12，解得 a＝6.
2. B　展开式中的常数项分三种情况：第一种，六个括号(x2－＋2)都提供2，此时得到26＝64；第二种，六个括号中一个括号提供x2，两个括号提供－，三个括号提供2，此时得到CCC·x2·(－)2·23＝480；第三种，六个括号中两个括号提供x2，四个括号提供－，此时得到CC·(x2)2·(－)4＝15，所以展开式中的常数项为64＋480＋15＝559.
3. B　由题意，得C·1n·(－4)0＋C·1n-1·(－4)1＋C·1n-2·(－4)2＋C·1n-3·(－4)3＋…＋C·10·(－4)n＝729，则(1－4)n＝729，即(－3)n＝729＝(－3)6，解得n＝6.
4. A　(2＋x)4展开式的通项为C24-rxr，r＝0，1，2，3，4；(3－x)5展开式的通项为C35-u(－x)u＝(－1)uC35-uxu，u＝0，1，2，3，4，5，所以(2＋x)4·(3－x)5的展开式中x8的系数为C21×(－1)5C30＋C24-4×(－1)4C35-4＝－8＋15＝7.
5. A　(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第r＋1项为C(x＋y)5-r(－2z)r，令r＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2.(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3-mym，令m＝2，可得第3项为Cxy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.
6. D　因为(1＋2)n＝C＋C×21＋C×22＋C×23＋…＋C×2n，即3n＝1＋C×21＋C×22＋C×23＋…＋C×2n，所以C×21＋C×22＋C×23＋…＋C×2n＝3n－1，则C＋C×21＋C×22＋…＋C×2n-1＝，即C＋2C＋4C＋…＋2n-1C＝.
7. BCD　(x－1)(x＋1)5＝x(x＋1)5－(x＋1)5.对于A，令x＝0可得常数项为(－1)×15＝－1，故A错误；对于B，x2的系数为C×14－C×13＝－5，故B正确；对于C，x3的系数为C×13－C×12＝0，故C正确；对于D，设(x－1)(x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，由上分析，得a0＝－1，a2＝－5，a3＝0.又x的系数为C×15－C×14＝－4，x4的系数为C×12－C×11＝5，x5的系数为C×11－C×10＝4，x6的系数为C＝1，故(x－1)(x＋1)5＝－1－4x－5x2＋5x4＋4x5＋x6共6项，故D正确．故选BCD.
8. CD　已知(＋x)n(n∈N*)的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r(x)r＝32Cxr.又因为(＋x)n(n∈N*)的展开式中恰有三项的系数为有理数，且0≤r≤n，则∈N，∈N，对于A，当n＝9时，r＝0或r＝6，不满足题意，故A错误；对于B，当n＝10时，r＝4或r＝10，不满足题意，故B错误；对于C，当n＝12时，r＝0或r＝6或r＝12，满足题意，故C正确；对于D，当n＝15时，r＝0或r＝6或r＝12，满足题意，故D正确．故选CD.
9. －20　(x＋－2)3＝()3＝，因为(x－1)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6-r(－1)r，所以当6－r＝3，即r＝3时，可得(x＋－2)3展开式的常数项为C×(－1)3＝
－20.
10. －2　－2C＋22C－23C＋24C－25C＋26C－27C＝C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋C(－2)3＋C(－2)4＋C(－2)5＋C(－2)6＋C(－2)7－1＝[1＋(－2)]7－1＝－2.
11. ±2　由题意，得(－2y)(mx－y)5＝·(mx－y)5－2y(mx－y)5.(mx－y)5展开式的通项为x-1C(mx)5-r(－y)r＝(－1)rm5-rCx4-ryr，令r无解，即(mx－y)5的展开式中没有含x2y4的项；2y(mx－y)5展开式的通项为2yC(mx)5-r(－y)r＝2(－1)rm5-rCx5-ryr+1，令解得r＝3，即2y(mx－y)5的展开式中含x2y4项的系数为2·(－1)3·m5-3·C＝－20m2，所以(－2y)(mx－y)5的展开式中x2y4的系数为20m2.又因为(－2y)(mx－y)5的展开式中x2y4的系数为80，所以20m2＝80，解得m＝±2，所以m的值为±2.
12. (1) 因为(x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5(x＋1)5，
所以展开式中含x项的系数为C×24×C＋C×25×C＝240.
(2) (1－2x)5 的展开式的通项为Tr＋1＝C·15-r·(－2x)r＝C·(－2)r·xr.
(1－2x)5(2＋x)的展开式中含x3 项的系数为1×C×(－2)2＋2×C×(－2)3＝－120.
13. (1) 由C＋C＝2C，得＋　
＝2×，
即10×9＋(n－8)(n－9)＝20(n－8)，
化简，得n2－37n＋322＝0，
即(n－14)(n－23)＝0，解得n＝14或n＝23.
故n的值为14或23.
(2) (x－)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·(－1)kx－k＝C(－1)kx6-2k，
所以(x2＋a)(x－)6(a∈R)展开式中的常数项为x2C(－1)4x6-2×4＋aC(－1)3x6-2×3＝－65，即15－20a＝－65，解得a＝4，
则(x2＋)a＝(x2＋)4，
其展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(4-r)()r＝C()r(r＝0，1，2，3，4).
当r＝0时，T1＝x8；当r＝2时，T3＝x3；
当r＝4时，T5＝x-2，
故展开式中的有理项为T1＝x8，T3＝x3，T5＝x-2.