7.4.2 二项式系数的性质及应用 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.4.2 二项式系数的性质及应用 同步练习（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 30.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-19 11:45:50 | ||
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文档简介
7．4.2 二项式系数的性质及应用
一、 单项选择题
1 (2024青岛月考)在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为( )
A. 32 B. －32
C. 0 D. 1
2 32 022除以10的余数是( )
A. 0 B. 1
C. 3 D. 9
3 (2024泰州月考)(x2＋)6的展开式中系数最大的项为( )
A. 第2项
B. 第3项
C. 第4项
D. 第2项或第3项
4 若(1＋2x)(1－x＋x2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a1＋a2＋…＋a21的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5 (2024金华期末)若(1＋x)(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＋a3＋a5的值为( )
A. －1 B. 2 C. 1 D. 0
6 (2024秦皇岛月考)已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则a3的值为( )
A. 240 B. －240
C. 280 D. －280
二、 多项选择题
7 已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021，则下列结论中正确的是( )
A. 展开式中所有项的二项式系数之和为22 021
B. 展开式中所有奇数项系数之和为
C. 展开式中所有偶数项系数之和为
D. ＋＋＋…＋＝－1
8 (2024苏州期中)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且存在正整数n，满足a1＋2a2＋…＋nan＝321，则下列结论中正确的是( )
A. n＝6
B. a1＋a2＋…＋an＝119
C. (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开式中所有项的系数之和为126
D. (1＋2x)n展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项
三、 填空题
9 若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则常数项为________．
10 (2024莆田月考)满足S＝a＋C＋C＋C＋C＋…＋C(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值为________．
11 (2024西安月考)若(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________．
四、 解答题
12 在二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1) 求展开式的第4项；
(2) 求210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C的值．
13 (2024咸阳月考)已知f(x)＝(2x＋3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x＋3)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n.
(1) 求a1＋a2＋a3＋…＋an的值；
(2) 求a2的值；
(3) 求证：f(17)＋5能被6整除．
7．4.2 二项式系数的性质及应用
1. D 由题意，C＋C＋…＋C＝2n＝32，解得n＝5，则二项式(－)5的所有项的系数之和为(－)5＝1.
2. D 32 022＝(10－1)1 011＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…＋C10－C＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…－C102＋1 010×10＋10－1＝10(C101 010－C101 009＋C101 008－C101 007＋…－C10＋1 010)＋9，故32 022除以10的余数是9.
3. B (x2＋)6的展开式通项公式为Tr＋1＝C(x2)6-r()r＝x12-3r，设第r＋1项为系数最大的项，则有解得≤r≤，即r＝2.故系数最大的项为第3项．
4. C 令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋…＋a21＝3，所以a1＋a2＋…＋a21＝2.
5. C 令x＝1，得(1＋1)(2－1)5＝2＝a0＋a1＋a2＋…＋a6；令x＝－1，得(1－1)(2＋1)5＝0＝a0－a1＋a2－…＋a6，故(a0＋a1＋a2＋…＋a6)－(a0－a1＋a2－…＋a6)＝2－0＝2，即2(a1＋a3＋a5)＝2，故a1＋a3＋a5＝1.
6. D 令x＝，得(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，即(1－m)7＝－128＝(－2)7，故m＝3，即(2x－m)7＝(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7.又[－1－2(1－x)]7展开式的通项为Tk＋1＝C(－1)7-k[－2(1－x)]k＝(－1)7-k(－2)kC(1－x)k.令k＝3，得T4＝(－1)4×(－2)3×C(1－x)3＝－280(1－x)3，所以a3＝－280.
7. ABD 对于A，二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝22 021，故A正确；对于B，令x＝－1，得32 021＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021①，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021②.①＋②，可得32 021－1＝2(a0＋a2＋…＋a2 020)，所以a0＋a2＋…＋a2 020＝，故B正确；对于C，①－②，得32 021＋1＝－2(a1＋a3＋…＋a2 021)，所以a1＋a3＋…＋a2 021＝－，故C错误；对于D，令x＝0，得a0＝1，令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋…＋＝－1，故D正确．故选ABD.
8. AC 因为(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，对上式两边同时求导，得1＋2(1＋x)＋…＋n(1＋x)n-1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1.令x＝1，得1＋2×2＋…＋n·2n-1＝a1＋2a2＋…＋nan＝321.令Sn＝1＋2×2＋…＋n·2n-1①，即Sn＝321，所以2Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n②.由①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1＝－321，解得n＝6，故A正确；对于B，C，因为(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，所以令x＝1，得2＋22＋…＋26＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝＝126；令x＝0，得6＝a0，所以a1＋a2＋…＋an＝126－6＝120，故B错误，C正确；对于D，(1＋2x)6的展开式共7项，二项式系数为C，最大的二项式系数为C，所以(1＋2x)6展开式中二项式系数最大的项为第四项，故D错误．故选AC.
9. －20 若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则2n＝64，n＝6，所以(x－)6展开式的通项为Tr＋1＝C·(－1)rx6-2r.令6－2r＝0，得r＝3，所以常数项为－C＝－20.
10. 10 由题意，得S＝a＋C＋C＋C＋C＋…＋C＝a＋227＝(9－1)9＋a＝C×99－C×98＋C×97－C×96＋…＋C×9－C＋a＝9(98－C×97＋…＋C)＋a－1.因为a≥3，所以S能被9整除的正整数a的最小值是a－1＝9，得a＝10.
11. 1 023 令x＝0，得a0＝1；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝45＝1 024，则－a1＋a2－a3＋a4－a5＝45－1＝1 023.又因为(1－3x)5展开式的通项为Tr＋1＝C(－3x)r＝(－3)rC·xr，r＝0，1，2，3，4，5，所以ar＝(－3)rC，r＝0，1，2，3，4，5.当r＝0，2，4时，ar>0；当r＝1，3，5时，ar<0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－a1＋a2－a3＋a4－a5＝1 023.
12. (1) 因为二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共11项，所以n＝10.
因为(x＋3)10展开式的通项为Tr＋1＝C·x10-r·3r，所以第4项T4＝C·x10-3·33＝3 240x7.
(2) 由(2－1)10＝210C－29C＋28C－…＋22C－2C＋C＝1，得210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C＝1－1＝0.
13. (1) 因为f(x)＝(2x＋3)n展开式的二项式系数和为512，所以2n＝512，解得n＝9.
令x＝－1，得a0＝1，
令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝39，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝39－1＝19 682.
(2) 由(1)知f(x)＝(2x＋3)9.
因为(2x＋3)9＝[2(x＋1)＋1]9，所以展开式的通项为Tr＋1＝C·29-r·(x＋1)9-r，
所以a2＝C·22＝144.
(3) 因为f(17)＋5＝379＋5＝(1＋36)9＋5＝C369＋C368＋…＋C36＋1＋5＝C369＋C368＋…＋C36＋6.
又C369＋C368＋…＋C36＋6能被6整除，
所以f(17)＋5能被6整除．
一、 单项选择题
1 (2024青岛月考)在(－)n(n∈N*)的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项的系数之和为( )
A. 32 B. －32
C. 0 D. 1
2 32 022除以10的余数是( )
A. 0 B. 1
C. 3 D. 9
3 (2024泰州月考)(x2＋)6的展开式中系数最大的项为( )
A. 第2项
B. 第3项
C. 第4项
D. 第2项或第3项
4 若(1＋2x)(1－x＋x2)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a1＋a2＋…＋a21的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5 (2024金华期末)若(1＋x)(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＋a3＋a5的值为( )
A. －1 B. 2 C. 1 D. 0
6 (2024秦皇岛月考)已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则a3的值为( )
A. 240 B. －240
C. 280 D. －280
二、 多项选择题
7 已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021，则下列结论中正确的是( )
A. 展开式中所有项的二项式系数之和为22 021
B. 展开式中所有奇数项系数之和为
C. 展开式中所有偶数项系数之和为
D. ＋＋＋…＋＝－1
8 (2024苏州期中)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且存在正整数n，满足a1＋2a2＋…＋nan＝321，则下列结论中正确的是( )
A. n＝6
B. a1＋a2＋…＋an＝119
C. (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n展开式中所有项的系数之和为126
D. (1＋2x)n展开式中二项式系数最大的项为第三项和第四项
三、 填空题
9 若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则常数项为________．
10 (2024莆田月考)满足S＝a＋C＋C＋C＋C＋…＋C(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值为________．
11 (2024西安月考)若(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________．
四、 解答题
12 在二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1) 求展开式的第4项；
(2) 求210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C的值．
13 (2024咸阳月考)已知f(x)＝(2x＋3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x＋3)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n.
(1) 求a1＋a2＋a3＋…＋an的值；
(2) 求a2的值；
(3) 求证：f(17)＋5能被6整除．
7．4.2 二项式系数的性质及应用
1. D 由题意，C＋C＋…＋C＝2n＝32，解得n＝5，则二项式(－)5的所有项的系数之和为(－)5＝1.
2. D 32 022＝(10－1)1 011＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…＋C10－C＝C101 011－C101 010＋C101 009－C101 008＋…－C102＋1 010×10＋10－1＝10(C101 010－C101 009＋C101 008－C101 007＋…－C10＋1 010)＋9，故32 022除以10的余数是9.
3. B (x2＋)6的展开式通项公式为Tr＋1＝C(x2)6-r()r＝x12-3r，设第r＋1项为系数最大的项，则有解得≤r≤，即r＝2.故系数最大的项为第3项．
4. C 令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋…＋a21＝3，所以a1＋a2＋…＋a21＝2.
5. C 令x＝1，得(1＋1)(2－1)5＝2＝a0＋a1＋a2＋…＋a6；令x＝－1，得(1－1)(2＋1)5＝0＝a0－a1＋a2－…＋a6，故(a0＋a1＋a2＋…＋a6)－(a0－a1＋a2－…＋a6)＝2－0＝2，即2(a1＋a3＋a5)＝2，故a1＋a3＋a5＝1.
6. D 令x＝，得(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，即(1－m)7＝－128＝(－2)7，故m＝3，即(2x－m)7＝(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7.又[－1－2(1－x)]7展开式的通项为Tk＋1＝C(－1)7-k[－2(1－x)]k＝(－1)7-k(－2)kC(1－x)k.令k＝3，得T4＝(－1)4×(－2)3×C(1－x)3＝－280(1－x)3，所以a3＝－280.
7. ABD 对于A，二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝22 021，故A正确；对于B，令x＝－1，得32 021＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021①，令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021②.①＋②，可得32 021－1＝2(a0＋a2＋…＋a2 020)，所以a0＋a2＋…＋a2 020＝，故B正确；对于C，①－②，得32 021＋1＝－2(a1＋a3＋…＋a2 021)，所以a1＋a3＋…＋a2 021＝－，故C错误；对于D，令x＝0，得a0＝1，令x＝，得0＝a0＋＋＋…＋，所以＋＋…＋＝－1，故D正确．故选ABD.
8. AC 因为(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，对上式两边同时求导，得1＋2(1＋x)＋…＋n(1＋x)n-1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1.令x＝1，得1＋2×2＋…＋n·2n-1＝a1＋2a2＋…＋nan＝321.令Sn＝1＋2×2＋…＋n·2n-1①，即Sn＝321，所以2Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n②.由①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1＝－321，解得n＝6，故A正确；对于B，C，因为(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，所以令x＝1，得2＋22＋…＋26＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝＝126；令x＝0，得6＝a0，所以a1＋a2＋…＋an＝126－6＝120，故B错误，C正确；对于D，(1＋2x)6的展开式共7项，二项式系数为C，最大的二项式系数为C，所以(1＋2x)6展开式中二项式系数最大的项为第四项，故D错误．故选AC.
9. －20 若(x－)n的二项展开式中所有项的二项式系数之和为64，则2n＝64，n＝6，所以(x－)6展开式的通项为Tr＋1＝C·(－1)rx6-2r.令6－2r＝0，得r＝3，所以常数项为－C＝－20.
10. 10 由题意，得S＝a＋C＋C＋C＋C＋…＋C＝a＋227＝(9－1)9＋a＝C×99－C×98＋C×97－C×96＋…＋C×9－C＋a＝9(98－C×97＋…＋C)＋a－1.因为a≥3，所以S能被9整除的正整数a的最小值是a－1＝9，得a＝10.
11. 1 023 令x＝0，得a0＝1；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝45＝1 024，则－a1＋a2－a3＋a4－a5＝45－1＝1 023.又因为(1－3x)5展开式的通项为Tr＋1＝C(－3x)r＝(－3)rC·xr，r＝0，1，2，3，4，5，所以ar＝(－3)rC，r＝0，1，2，3，4，5.当r＝0，2，4时，ar>0；当r＝1，3，5时，ar<0，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－a1＋a2－a3＋a4－a5＝1 023.
12. (1) 因为二项式(x＋3)n(n∈N*)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，所以展开式中共11项，所以n＝10.
因为(x＋3)10展开式的通项为Tr＋1＝C·x10-r·3r，所以第4项T4＝C·x10-3·33＝3 240x7.
(2) 由(2－1)10＝210C－29C＋28C－…＋22C－2C＋C＝1，得210－29C＋28C－…＋24C－23C＋22C－2C＝1－1＝0.
13. (1) 因为f(x)＝(2x＋3)n展开式的二项式系数和为512，所以2n＝512，解得n＝9.
令x＝－1，得a0＝1，
令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝39，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a9＝39－1＝19 682.
(2) 由(1)知f(x)＝(2x＋3)9.
因为(2x＋3)9＝[2(x＋1)＋1]9，所以展开式的通项为Tr＋1＝C·29-r·(x＋1)9-r，
所以a2＝C·22＝144.
(3) 因为f(17)＋5＝379＋5＝(1＋36)9＋5＝C369＋C368＋…＋C36＋1＋5＝C369＋C368＋…＋C36＋6.
又C369＋C368＋…＋C36＋6能被6整除，
所以f(17)＋5能被6整除．