(共11张PPT)
（人教版）9年级
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二次函数的图像与性质
二次函数
第22单元
开启函数和科技的奇妙之旅
目录
1. 生活中的二次函数
2. AI绘制动态图像
3. 系数与图像的奥秘
4. 互动探究与实践
5. 总结与展望
图片导入
案例1：
-篮球投球轨迹
图片导入
案例2：
桥梁拱形（对比实景）
图片导入
案例3：喷泉轨迹（实拍图）
互动提问
提问“你还能发现哪些二次函数实例？”
绘制动态图
演示：
用GeoGebra AI输入y = x ，瞬间生成平滑抛物线
动态演示改变a值（如1→-1），图像开口方向与宽窄变化
展示Python代码绘制带数据标注的函数图像
视觉：分屏对比手绘与AI绘图效率
绘制动态图
重点：
- a决定开口方向与大小（动态箭头标注）
- b影响对称轴（双图像同步联动展示）
- c确定与y轴交点（闪烁特效突出）
- AI应用：输入参数自动生成对应图像并分析
互动探究与实践
- 任务：
- 小组挑战：给定函数，用AI绘制并描述性质
- 创意设计：用二次函数图像创作艺术图案
- 工具：推荐Geogebra等AI数学在线工具实现可视化
总结与展望
总结：思维导图梳理知识要点
- 展望：AI在函数分析、科学研究中的应用前景
- 寄语：“用数学之美，创科技未来
布置作业
基础作业： 基础作业为课本习题，巩固本节课的基础知识
拓展作业：拓展作业为利用AI绘图工具绘制不同形式的二次函数图象，并分析其性质
实践作业为寻找生活中更多二次函数的应用实例，并尝试用所学知识进行简单分析。二次函数的图象与性质教学设计
学科 数学 年级 9年级 课型 新授课 设计者 刘平
课题 二次函数的图象与性质（人教版） 课时 2
课标要求 《义务教育数学课程标准》对二次函数图像与性质的要求如下： 1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2. 会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。 3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，能说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。 4. 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。 5. 知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
教材分析 1. 概念引入：教材通常从生活实际问题或数学问题情境出发，如矩形场地面积与边长的关系、自由落体运动的高度与时间关系等，引导学生列出函数表达式，通过观察、分析这些表达式的共同特征，归纳出二次函数的概念，明确其一般形式y = ax2+bx + c（a≠0），使学生理解二次函数产生的实际背景和数学本质。 2. 图象绘制与性质探究：先介绍用描点法绘制二次函数y = ax2（a≠0）的图象，从简单形式入手，让学生熟悉绘制函数图象的基本步骤，观察图象形状为抛物线，进而探究a的正负对开口方向的影响。在此基础上，逐步拓展到y = ax2+c 、y = a(x - h)2、y = a(x - h)2+k以及y = ax2+bx + c（a≠0）的图象，通过图象的平移变换，分析顶点坐标、对称轴、开口大小等性质随函数表达式变化的规律，借助图象直观呈现函数的增减性、最值等性质，建立函数表达式与图象性质之间的紧密联系。 3. 知识综合应用：结合方程、不等式知识，利用二次函数图象求解一元二次方程的近似解，确定一元二次不等式的解集；设置实际应用问题，如销售利润问题、抛物线形建筑问题等，让学生将实际问题转化为二次函数模型，运用函数性质解决问题，实现知识的综合运用与迁移。
学情分析 1. 知识储备：学生已掌握一次函数、反比例函数的基本概念、图象及性质，熟悉函数研究的一般方法，具备一定的函数思维与数形结合意识。但对于二次函数中复杂的图象变化规律、系数对函数性质的综合影响，理解难度较大，需在已有知识经验基础上逐步引导。 2. 能力水平：初三学生具备一定的自主探究与逻辑推理能力，但面对抽象的数学概念和复杂的实际问题时，分析问题、建立数学模型的能力仍需加强。在二次函数学习中，部分学生可能在图象绘制、性质归纳及实际问题转化等环节存在困难，需关注个体差异，分层教学。 3. 学习心理：处于升学备考阶段，学生学习压力较大，对重要知识点的学习积极性较高，但也容易因知识难度产生畏难情绪。教学中需通过趣味性、实践性活动激发学习兴趣，增强学习信心。
核心素养目标 1. 知识与技能：学生能熟练掌握二次函数的概念、表达式及图象性质，准确运用配方法将一般式化为顶点式，能结合图象解决与二次函数相关的方程、不等式问题，并灵活运用二次函数模型解决实际问题。 2. 过程与方法：通过AI辅助探究、小组合作学习等方式，提升学生自主探索、合作交流及数学建模能力，强化数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用。 3. 情感态度与价值观：在探究二次函数图象之美与解决实际问题的过程中，培养学生对数学的审美情趣，增强学习数学的成就感与自信心，提升应用数学知识解决实际问题的意识。
教学重点 1. 二次函数的概念：准确理解二次函数的定义及一般形式，明确各项系数的意义和限制条件，是后续学习图象与性质、应用的基础。 2.二次函数的图象与性质：熟练掌握二次函数图象的绘制方法，理解图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等性质，以及这些性质与函数表达式中系数的关系，是学生运用二次函数解决问题的关键。 3.二次函数的实际应用：学会将实际问题转化为二次函数模型，运用函数性质解决实际问题，培养学生的数学建模能力和应用意识。
教学难点 1.理解二次函数图象与系数的关系：系数a、b、c的变化对二次函数图象的形状、位置产生综合影响，学生难以直观理解其内在联系，需要通过大量的图象观察、数据分析和推理才能掌握。 2. 运用二次函数解决实际问题：实际问题情境复杂，学生需要从问题中抽象出数学模型，选择合适的函数表达式，分析问题中的数量关系，对学生的综合应用能力要求较高。
教学方法 采用讲授法、探究法、AI辅助教学法相结合的方式。利用AI绘图工具、智能题库等资源，辅助学生直观理解函数图象变化规律；通过小组合作探究、实际问题情境创设，引导学生主动参与学习。
教学过程（教学环节可结合学科特点自行设置）
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：情境导入（5分钟） 展示生活中二次函数的实例视频，如喷泉的水流轨迹、篮球的抛物线运动、拱形桥梁等，引导学生观察这些现象的共同特点。 提出问题：“这些优美的曲线能用数学知识来描述吗？”引发学生思考，导入新课。 认真观看视频，积极思考教师提出的问题，尝试用已有的知识进行初步分析和讨论。 从生活实际出发，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣和探究欲望，同时为引入二次函数的概念做好铺垫。
环节二：概念讲解（8分钟） 给出一些函数表达式，如y = x2，y = 2x2+3x - 1，y = -3x2+ 2x等，引导学生观察这些函数的共同特征，总结二次函数的定义。 - 借助AI课件，动态展示二次函数一般式y = ax2+bx + c（a≠0）中各项系数的意义，强调a≠0的条件，并通过改变a、b、c的值，让学生直观感受函数表达式的变化。 观察函数表达式，小组讨论交流，尝试归纳二次函数的定义。 认真观看AI课件演示，思考系数变化对函数表达式的影响，积极回答教师的提问。 让学生通过自主观察和讨论，总结二次函数的概念，培养学生的归纳概括能力。利用AI课件直观展示系数的作用，帮助学生更好地理解二次函数的本质特征，突破概念教学的难点。
环节三：AI辅助探究图象性质（15分钟） 介绍AI绘图工具（如GeoGebra）的基本操作方法，引导学生使用该工具绘制y = x2的图象。 - 提出探究任务：“改变二次项系数a的值，观察图象的开口方向、大小有什么变化？”“改变b、c的值，图象的位置又会如何移动？” - 在学生探究过程中，教师巡视指导，解答学生遇到的问题，组织学生进行小组交流，分享探究发现。 学习AI绘图工具的使用方法，独立绘制y = x2的图象。 - 按照探究任务，改变函数表达式中的系数，观察图象的变化，记录观察结果，在小组内交流讨论自己的发现。 利用AI绘图工具，让学生能够快速、准确地绘制二次函数图象，并通过改变系数动态观察图象变化，直观感受函数图象与系数之间的关系，培养学生的自主探究能力和数形结合思维。小组交流分享可以促进学生之间的思想碰撞，加深对知识的理解。
环节四：归纳总结（7分钟） 组织各小组代表汇报探究成果，教师对学生的汇报进行补充和完善，利用AI课件系统地梳理二次函数图象的性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等与系数的关系。 引导学生用数学语言准确描述这些性质，帮助学生构建完整的知识体系。 小组代表积极汇报探究发现，其他学生认真倾听，补充不同观点。 跟随教师的引导，理解和记忆二次函数图象的性质，参与讨论如何用准确的数学语言进行描述。 通过学生汇报和教师总结，将学生的探究成果进行系统整理，强化学生对二次函数图象性质的理解和记忆，培养学生的归纳总结能力和数学表达能力。
环节五：巩固练习（10分钟） 通过AI智能题库，根据学生的学习情况，推送分层练习题。基础题考查二次函数的概念和简单图象性质的应用；提高题涉及图象性质的综合运用；拓展题则是与实际生活相结合的二次函数问题。 教师在学生练习过程中巡视，及时发现学生存在的问题，进行个别指导和集中讲解。 学生完成AI智能题库推送的练习题，遇到困难时先独立思考，尝试解决，也可与同学交流讨论。 认真听取教师的讲解，及时订正错误，总结解题方法和思路。 利用AI智能题库实现分层练习，满足不同层次学生的学习需求，让每个学生都能在练习中有所收获。通过练习，巩固所学知识，提高学生运用二次函数知识解决问题的能力，同时教师可以根据学生的练习情况及时反馈教学效果。
总结评价 引导学生回顾本节课的主要内容，包括二次函数的概念、图象性质以及探究过程中运用的方法。 强调数形结合思想在二次函数学习中的重要性，鼓励学生在今后的学习中继续运用这种思想方法。 学生自主回顾本节课所学知识，积极发言，分享自己的学习收获和体会。 帮助学生梳理知识脉络，强化重点内容，加深对所学知识的理解和记忆，培养学生的反思总结能力，同时让学生进一步体会数形结合思想的魅力。
分层作业 基础作业： 基础作业为课本习题，巩固本节课的基础知识拓展作业：拓展作业为利用AI绘图工具绘制不同形式的二次函数图象，并分析其性质；实践作业为寻找生活中更多二次函数的应用实例，并尝试用所学知识进行简单分析。分层布置作业，让学生在巩固知识的基础上，进一步提升运用知识的能力和实践探究能力，同时鼓励学生将数学学习与生活实际相结合，感受数学的应用价值。
板书设计 二次函数图像与性质板书设计图 标题：二次函数的图像与性质布局：黑板分三部分（左、中、右），核心内容用图形、表格、公式标注，辅以色彩区分。 左侧：核心概念区 1. 定义y = ax2+ bx + c \ (a ≠ 0) - 关键点： a ≠ 0（决定“二次”特性） 最高次数为 2，整式形式 2. 表达式形式一般式：y = ax2 + bx + c 顶点式：y = a(x-h)2 + k 交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 中间：图像演示与平移规律 1. 基础图像：y = ax2 - 示例：y = x2 （开口向上，顶点 (0,0)，对称轴 x=0） - 列表描点：x = -2,-1,0,1,2 对应 y=4,1,0,1,4 - 绘制抛物线（用平滑曲线，标注顶点和对称轴） 2. a对开口的影响 - a > 0：开口向上（如 y = 2x2 ，用实线绘制，开口较“窄”） - a < 0：开口向下（如 y = -x2 ，用虚线绘制，开口方向相反） - 标注：|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽 3. 平移规律 - 上下平移：y = ax2 to y = ax2 + k（上加下减，用向上/向下箭头表示） - 左右平移：y = ax2 to y = a(x-h)2 （左加右减，用向左/向右箭头表示） - 顶点式图像：由 y = ax2 平移得到 y = a(x-h)2 + k，标注顶点 (h,k) 和对称轴 x=h。 右侧：性质总结与公式推导 1. 性质对比表(见课本） 性质 开口方向 向上（有最小值） 向下（有最大值） 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 左减右增 左增右减 2. 配方法推导顶点式(见课本） - 标注：顶点坐标公式、对称轴公式用 蓝色 突出。 底部：核心总结
教学反思 在教学过程中，充分发挥AI技术的优势，极大地提升了学生的学习兴趣和参与度。通过AI辅助探究，学生更直观地理解了二次函数图象与系数的关系，有效突破了教学重难点。但在教学中也发现部分学生对AI工具的操作不够熟练，影响了探究效率，今后应加强对学生使用相关工具的培训和指导。同时，在小组合作学习中，要更加关注个别学习困难学生的参与度，确保全体学生都能在课堂学习中有所进步。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
