2025年江苏省南京市中考数学模拟练习卷（一）（含解析）

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2025年江苏省南京市中考数学模拟练习卷（一）
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的倒数是（ ）
A．3 B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．化简的结果是 ．
8．化简的结果是 ．
9．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
10．如图，在中，弦和的延长线相交于点P，若，为，则为 °．
11．一个菱形的边长为，一条对角线长为，则该菱形的高是 cm．
12．化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ．
13．将一次函数的图象绕其与轴的交点顺时针旋转，得到的图象对应的函数表达式是 ．
14．反比例函数的图象如图所示，若点在该图象上，则的最小值是 ．
15．已知某二次函数图象上有四点，且满足，则将从小到大排列是 ．
16．如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．化简：
18．解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
19．甲、乙两校参加市英语口语比赛，两校参赛人数相等．比赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分，组委会将甲、乙两所学校的成绩整理并绘制成统计图，已知乙学校有人的成绩是等级．根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)将甲学校的成绩统计图补充完整；
(2)补全下面的表格，并根据表格回答问题；
学校 平均分 中位数 众数
甲学校
乙学校
(3)根据上面的表格对甲、乙两所学校的总体情况做出评价，并说明理由．
20．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后，甲从中任意摸出2个球，放回袋中再次搅匀后，乙再从中任意摸出2个球．
(1)求甲摸到的2个球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的概率是 ．
21．某项工程，需要在规定的时间内完成．若由甲队去做，恰能如期完成；若由乙队去做，需要超过规定日期三天．现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？
22．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
(1)求证：是菱形；
(2)若，，求的长．
23．如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，．
(1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度；
(2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，）
24．团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图①所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲车改变速度前的速度是 ，乙车行驶 到达绥芬河；
(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式，不用写出自变量的取值范围；
(3)在图②中，画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象．
25．如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
26．在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．
(1) ；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；
(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为 ．
27．【综合与实践】
如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
【特例感知】
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
【类比迁移】
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，如图3．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
《2025年江苏省南京市中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B A C C A
1．D
【分析】此题考查倒数，掌握求一个数的倒数的方法是解题的关键．根据乘积是1的两个数互为倒数，据此解答．
【详解】解：的倒数是，
故选：D
2．B
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
4．C
【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．
【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接，
设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理得，，
和的每一组对应顶点到点C的距离都相等，
两个格点和的旋转中心是点C，
故选：C.
5．C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
6．A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．
7．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据同底数幂乘法法则即可计算．
【详解】解：原式．
故答案为：
8．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先将被开方数化为假分数，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得，，然后把所给代数式通分后代入求解即可．掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根与系数的关系得，
，，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形外角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，最后再根据圆周角定理求出的度数即可．
【详解】解：如图，连接．
，
，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质是解题的关键．设菱形中，，，于点E，连接交于点O，由，，得，则，由，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图，菱形中，，，于点E，连接交于点O，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
该菱形的高是，
故答案为：．
12．16
【分析】本题主要考查三元一次方程组，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据化学方程式左右两边的C，H，O原子的个数相等，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
b的值为16．
故答案为：16．
13．
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法确定一次函数解析式，利用直线与两坐标轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得，掌握旋转的性质是解本题的关键．
【详解】解：在一次函数中，
令，则可得，解得，
令，则，
直线经过点，．
将一次函数的图象绕与轴的交点顺时针旋转，如图所示：
，
，
，
，
，
，
点坐标为
设对应的函数解析式为：，
将点、代入得，
解得，
旋转后对应的函数解析式为：，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，不等式的性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据题意得出，再结合即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点在反比例函数的图象上，
．
，
且当时等号成立，
，
则的最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】根据二次函数的性质，结合点A、B、C、D的横坐标，即可得出对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性，即可得到的大小关系．
【详解】解：二次函数图象上有四点，且满足，
∵A的横坐标B的横坐标C的横坐标2，且A的纵坐标C的纵坐标B的纵坐标，
∴抛物线开口向下（），
若开口向上，离对称轴越远，纵坐标越大，无法满足，
∵且，
∴对称轴在0和2之间，
∵且，
∴对称轴在0和1之间，
∴对称轴到0的距离最近，其次是到2的距离，然后是到﹣2的距离，到4的距离最远，
∴最小，其次，第三，最大，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质．圆O与相切时的角落时到达不了的地方，设，，则，，再有等积法求a的值，再求面积即可．
【详解】解：与相切时的角落是到达不了的地方，
，过点作交于点，过点作，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
故不能被该圆形铁片到达的部分的面积是．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得．
【详解】解：
．
18．，不等式组的最小整数解为-2．
【分析】先分别计算不等式求出不等式组的解集，再求出不等式组的最小整数解即可．
【详解】
解得
解得
即不等式组的解集为
故不等式组的最小整数解为．
【点睛】本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)90，90，80，100
(3)见解析
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数，
（1）根据乙学校有人的成绩是等级求出参赛人数，根据两校参赛人数相等即可求出甲学校等级的人数，将甲学校的成绩统计图补充完整即可；
（2）根据中位数和众数的确定方法确定甲学校和乙学校的中位数和众数即可；
（3）根据统计量的意义对甲、乙两所学校的总体情况做出评价，并说明理由即可．
【详解】（1）解：乙学校有人的成绩是等级，占，
参赛人数为：(人)，
两校参赛人数相等，
甲学校的成绩在组的人数为：(人)，
将甲学校的成绩统计图补充完整如下：
（2）每个学校的成绩都有个数据，
中位数为数据由小到大排列的第个数据，
甲学校成绩的中位数位于等级，即中位数为：分，
乙学校成绩的中位数位于等级，即中位数为：分，
甲学校成绩中等级有人，
甲学校成绩的众数为：分，
乙学校成绩中等级占%，是比例最大的，
乙学校成绩的众数为：分，
故答案为：，，，；
（3）答案不唯一，比如：
甲，乙两个学校成绩的平均数相同，
从中位数看，甲学校成绩的中位数高于乙学校的中位数，所以甲学校成绩好于乙学校；
从众数看，乙学校成绩的众数高于甲学校的众数，所以乙学校成绩好于甲学校．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．
（1）首先根据题意画出树状图，再利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列表，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：如图：
共有6种等可能情况，甲摸到的2个球颜色相同的情况有2种，
∴甲摸到的2个球颜色相同的概率为；
（2）解：如表：
白1白2 白1红 白2红
白1白2 （白1白2，白1白2） （白1红，白1白2） （白2红，白1白2）
白1红 （白1白2，白1红） （白1红，白1红） （白2红，白1红）
白2红 （白1白2，白2红） （白1红，白2红） （白2红，白2红）
共有9种等可能情况，甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的情况有5种，
∴甲、乙两人摸到的球颜色完全相同的概率为．
21．6天
【分析】关键描述语为：“由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成”；本题的等量关系为：甲2天的工作量＋乙规定日期的工作量＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：设规定的日期为x天，则乙队需要（x＋3）天，
根据题意得：，
解这个方程得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的根，
答：规定的日期为了6天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到甲乙两队各自的工作时间．
22．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
23．(1)铁塔的高度约为米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）设铁塔的高度为米，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据建立方程，解方程即可得；
（2）先求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形即可得．
【详解】（1）解：设铁塔的高度为米，
由题意得：，，米，
∵，
∴在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：铁塔的高度约为米．
（2）解：由题意得：，，
由（1）可知，米，
∵，
∴在中，米，
∵，
∴在中，（米），
故答案为：米．
24．(1)100，10
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．
（1）根据甲车用时行驶了即可得甲车改变速度前的速度；利用时间路程速度即可得乙车行驶到达绥芬河所需时间；
（2）先求出甲车行驶到达绥芬河所需时间为，再利用待定系数法求解即可得；
（3）分别求出当、和时，与之间的函数关系式，再画出函数图象即可得．
【详解】（1）解：甲车改变速度前的速度是，
乙车行驶到达绥芬河所需时间为，
故答案为：100，10．
（2）解：由题意得：甲车行驶到达绥芬河所需时间为，
设甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为，
将点和代入得：，
解得，
所以甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数表达式为．
（3）解：当时，，
当时，，
当时，，
综上，．
则画出甲、乙两车的距离（单位：）与所用时间之间的函数图象如图②所示：
25．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
连接，
平分，
，
，
，
是的直径，
，
．
26．(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出的值，从而可得点的坐标，再利用两点之间的距离公式计算即可得；
（2）根据一元二次方程根的判别式可得关于的一元二次方程没有实数根，由此即可得证；
（3）先求出，，再设点关于对称轴的对称点为点，则，分两种情况：①和②，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将代入得：，
将代入得：，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为
，
∴这个一元二次方程没有实数根，
∴不论为何值，函数的图象与轴没有公共点．
（3）解：由（1）已得：，
∴，
将点代入得：，
∴，
二次函数化成顶点式为，
∴其对称轴为直线，顶点坐标为，
设点关于对称轴的对称点为点，则，
∴抛物线在之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为．
则分以下两种情况：
①如图，当点在点左侧时，，即，
此时在图形内，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
②如图，当点在点右侧时，，即，
此时在图形内，点的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小，
∴，即，
令，则当时，，解得或，
∴二次函数与轴的交点坐标为和，抛物线的开口向上，其对称轴为直线，
∴不等式的解集为或（不符合题设，舍去），
∴此时的取值范围是；
综上，的取值范围是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
27．（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或
【分析】（1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得；
（3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值；
②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得．
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：，．
（2），，证明如下：
∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
（3）①当时，，
∴，，
∵，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形．
如图，过点作于点，则，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32．
②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，
由上已证：，即，
∴点在上，
由圆周角定理得：，
过点作于点，过点作于点，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴直径，
∴正方形的面积，
由（3）①已得：，
∴，
解得或，均符合题意，
所以的长度为或．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键．
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