2025年天津市中考数学模拟练习卷（一）（含解析）

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2025年天津市中考数学模拟练习卷（一）
本试卷分为第I卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。试卷满分 120分。考试时间100分钟。
答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
2．下图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．据2025年4月2日《天津日报》报道，2025年第一季度，天津轨道交通日均客运量约为1697200人次，较2024年同期增长约．将数据1697200用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
5．估计2的值应在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
9．若一元二次方程的两个根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
10．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论：
①的长可以是；
②当矩形菜园的面积为时，的长为；
③当矩形菜园的面积最大时，的长为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．不透明袋子中装有8个球，其中有3个绿球、2个红球、3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
14．计算：（﹣2a2）3的结果是 ．
15．计算 的结果等于 ．
16．若一次函数（为常数）的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是 ．（写出一个即可）．
17．如图，在四边形中，，，，．
（1）的长为 ；
（2）若点是的中点，点在边上，且，连接，则的长为 ．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点均在格点上．
（I）线段的长为 ；
（II）若点在线段上，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使为等边三角形且的周长最小，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，第19-20题，每题8分，第21-25题，每题10分，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________；
(2)解不等式②，得________：
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________．
20．浓情端午浸润书香，某校为了了解学生每天课余阅读时长（单位：），随机抽查了该校a名学生，根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为________，图①中m的值为________；
(2)求统计的这组学生阅读时长数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据样本数据，若该校共有学生1200名，估计该校学生中阅读时长不少于的学生人数约为多少？
21．已知，为的直径，弦，连接，，．
(1)如图①，求和的度数；
(2)如图②，过点D作的切线，与的延长线交于点G，的半径为4，求线段的长．
22．综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用所学知识要测量一把椅子的高度．如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面示意图，椅子高为，椅面宽为，椅脚高为，点A，B，C依次在同一条直线上，且，，，从点A测得点D，E的俯角分别为和．已知，求椅子的高度（结果取整数）．参考数据：，．
23．已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
小张离开A地的时间 30 50 80 100
小张离B地的距离 120 86
(2)填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________；
(3)当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形中，且，，点，点E在y轴正半轴上，且．
(1)填空：如图①，点E的坐标为________，点B的坐标为________；
(2)将沿x轴水平方向向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为，，，设，与四边形重叠部分的面积为S．
①如图②，当边与交于点G，边与交于点H，且与四边形重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
(1)若．
①求点P和点B的坐标；
②点P为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标；
(2)点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标．
《2025年天津市中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B C D A C A D
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从正面看到的图形判断即可，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】
解：立体图形的主视图是，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义；根据轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、不能看作轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、能看作轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不能看作轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不能看作轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．
将1697200写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：．
故选B．
5．C
【分析】先确定的范围＜＜3，即可得出答案
【详解】∵<7<9，
∴＜＜3，
∴5<2<6，
故选C.
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，确定的范围是解题关键.
6．D
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
7．A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质成为解题的关键．
根据反比例函数性质可得反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此即可解答．
【详解】解：，，
∴反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，
，，
，，
．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
故选：．
9．A
【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握二元一次方程中，两根、有如下关系：成为解题的关键．
由根与系数的关系可得，将展开为，最后将整体代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，
∴．
故选A．
10．D
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线的尺规作图法成为解题的关键．
由三角形内角和可得，再根据作图过程可得平分，即，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由作图过程可得：平分，
∴，
∴．
故选D．
11．B
【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据旋转的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质逐项判定即可．
【详解】解：A．由旋转可知，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意；
B．∵把以点B为中心顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即B选项正确，符合题意；
C．∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
D．由不能证明平分，即不能证明，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
12．C
【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解．
【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点，
∴，，
∵篱笆的长度是，
∴，
∴，
∵的长不超过，
∴，
∴，
∴的长可以是，故①正确；
②设，则，
∴，
当时，解得，，
∵，
∴，
∴的长为，故②错误；
③∵，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确；
综上，正确结论有个，
故选：．
13．
【分析】此类题目重点在于理解概率的基本概念和计算方式．
依据古典概型概率计算方法，用红球个数除以球的总个数来求概率．
【详解】解：因为球一共有8个，红球有个，
所以随机取出一个球是红球的概率．
故答案为：．
14．﹣8a6
【分析】根据积的乘方的运算法则进行计算即可得.
【详解】解：（﹣2a2）3
=（-2）3 （a2）3
=﹣8a6，
故答案为：﹣8a6.
【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键.
15．
【分析】利用平方差公式进行计算即可.
【详解】
故填13.
【点睛】本题考查平方差公式及二次根式的运算，熟练掌握公式是解题关键.
16．2（b＞0的任意实数）
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
k＝ 2，
∴b＞0，
∴b＞0的任意实数．
故答案为：2．（b＞0的任意实数）
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数与坐标轴的交点特点及其增减性是解答此题的关键．
17．
【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）延长交的延长线于点，作于点，得到四边形是矩形，推出，，得到，证明，得到，，继而得到，利用勾股定理计算，即可得到答案．
【详解】解：（1）在中，，，，
，
故答案为：；
（2）如图，延长交的延长线于点，作于点，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18． 见解析
【分析】（I）结合网格特点，利用勾股定理计算即可得；
（II）取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求．
【详解】解：（I）由图可知，，
故答案为：．
（II）如图，取与网格线的交点，连接，取圆与网格线的交点，连接与相交于点，点即为圆心；取与网格线的交点，连接并延长，与网格线相交于点，连接；连接并延长，与圆相交于点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求．
证明：如图，取格点，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴对角线的交点为的中点，，
∵是等边三角形，
∴， ，的外接圆的圆心在上，
由网格可知，，
由圆周角定理得：是的外接圆的直径，
∴与的交点为的外接圆的圆心，
∴为的直径，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长为，
由垂线段最短可知，此时的值最小，
∴所作的为等边三角形且的周长最小．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，正确找出的外接圆的圆心是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集、根据数轴确定不等式组的解集等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先根据移项、合并同类项即可解答；
（2）先根据移项、合并同类项，再根据不等式的性质系数化为1即可解答；
（3）将（1）（2）所的到的解集表示到数轴上即可；
（4）根据（3）的数轴直接写出不等式组的解集即可 ．
【详解】（1）解：，
，
．
故答案为：．
（2）解：，
，
，
．
故答案为：．
（3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下：
（4）解：由（3）可得：该不等式组的解集为．
20．(1)75，16
(2)40，50，40
(3)768人
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、众数、中位数、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）用阅读20的学生数除以其所占的百分比即可解答；求出阅读20所占的百分比即可解答；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义求解即可；
（3）用学生乘以、所占的百分比的和即可解答．
【详解】（1）解：a的值为，
阅读所占的百分比为：，即．
故答案为：75，16．
（2）解：观察条形统计图．
这组学生阅读时长数据的平均数；
在这组数据中，50出现了24次，出现的次数最多，
这组数据的众数是50．
将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的数是40．
这组数据的中位数是40．
故答案为：40，50，40．
（3）解： ．
答：估计该校学生中每天课余阅读时长不少于的人数约为768人．
21．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）在中，为直径，，则，，由三角形外角的性质得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）连接，可得，，在中，，由此即可求解．
【详解】（1）解：在中，为直径，，
∴，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图②，连接，
由（1）得，，
为的切线，
，
，
为的直径，
在中，，
，
在中，，
，
．
22．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，先证明四边形是矩形，得到，，分别解和，根据，得到，进行求解即可．
【详解】解：，
．
，
．
，
．
四边形是矩形．
，．
在中，由题意，得：，
∴，
．
在中，，
．
∵，
∴，
解得：．
答：椅子高度约为．
23．(1)100，86
(2)64，2
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键．
（1）先求出小张前的速度，然后求出小张时，离B地的距离，最后根据图像得出时，离B地的距离，即可获得答案；
（2）根据图像求出A地到汽修厂的距离即可；根据图像求出小张从汽修厂出发到B地的速度即可；
（3）根据函数图像，分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：根据题意，小张前的速度为：
，
则时，小张离B地的距离为：
；
由图像可知，当小张离开A地时，距离B地，
填表如下：
小张离开A地的时间 30 50 80 100
小张离B地的距离 120 100 86 86
（2）解：根据图像得：A地到汽修厂的距离为；
小张从汽修厂出发到B地的速度为：
；
（3）解：根据函数图象可知：当时，小张离B地的距离为，
因此当时，；
当时，
设小张离B地的距离关于时间的函数解析式为，
将点、代入，
可得，
解得，
∴此时．
综上所述，小张离B地的距离关于时间的函数解析式为：
；
24．(1)，
(2)①；②
【分析】（1）利用三角函数可得，可得，如图，过作于，过作于，而，证明四边形为矩形，进一步解答可得；
（2）①如图，过作于，过作于，而，求解，，证明四边形为平行四边形；求解， ；再进一步可得答案；
②分情况讨论：当时，重叠部分的面积如图所示；当时，重叠部分的面积如图所示：当时，重叠部分如图②，当时，重叠部分的面积如图所示：再进一步的利用数形结合的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵点，点E在y轴正半轴上，且，
∴，
∴；
如图，过作于，过作于，而，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①如图，过作于，过作于，而，
同理可得：，，
在中，，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
②当时，重叠部分的面积如图所示；
结合（1）可得：，
∴，
∵，
∴；
当时，重叠部分的面积如图所示：
同理：，而，
∴是的中点，而，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，重叠部分如图②，
由①可知，；
对称轴为直线，
此时随的增大而减小；
当时，，当时，，
∴；
当时，重叠部分的面积如图所示：
∵，
∴为等边三角形，
此时，
∴，
过作于，
∴，，
∴，
当时，，当时，，
∴；
综上：；
【点睛】本题考查的动态几何，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，本题难度大，清晰的分类讨论是解本题的关键．
25．(1)①；②
(2)，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）①根据的值，求出的值，待定系数法求出函数解析式，进而求出点P和点B的坐标即可；②求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点E为，F为，分别求出，将转化为二次函数求最值即可；
（2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接，证明，得到点M在直线上运动，证明，得到，进而得到则的最小值即是的最小值，作点G关于直线的对称点，得到当P，M、三点共线时，的值最小，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
，
则抛物线的解析式为，
把代入上式得，
，
则点P的坐标为．
令，解得，，
点B的坐标为．
②，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线的解析式为
设点D的坐标为，则点E为，F为，
则，，
，
，
，则，
∴当时，取最大值，
故当取最大值时，点D的横坐标为．
（2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接．
，，
，
，，
；
，，
．
点M在直线上运动，
，，，
，
，
则的最小值即是的最小值．
作点G关于直线的对称点．
当P，M、三点共线时，的值最小．
即
，
顶点P为，
则，解得，（舍），
则．
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线解析式为，令，则，
，
．
综上：，
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