2024-2025学年人教A版数学必修第二册8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含详解)

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名称 2024-2025学年人教A版数学必修第二册8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定 同步练习(含详解)
格式 doc
文件大小 438.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-19 21:50:10

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文档简介

第8章 8.6 8.6.2 第1课时直线与平面垂直的判定
一、选择题
1.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是( )
A.(0°,90°)         B.[0°,90°]
C.(0°,90°] D.[0°,180°]
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的平面的个数是( )
A.1      B.2
C.3      D.6
3.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有直角三角形的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(多选题)如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论正确的是( )
A.CF⊥平面PAD B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB D.CD∥平面PAF
6.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
7.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的有( )
A.BC⊥平面PAB
B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC
D.PB⊥平面ADC
8.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为6,侧棱长为8,D是侧面BB1C1C的两条对角线的交点,则直线AD与底面ABC所成角的正切值为( )
A. B.2
C. D.
二、填空题
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,则正确结论为___.
①直线MB与直线B1D1相交,直线MB 平面ABC1;
②直线MB与直线D1C平行,直线MB⊥平面A1C1D;
③直线MB与直线AC异面,直线MB⊥平面ADC1B1;
④直线MB与直线A1D垂直,直线MB∥平面B1D1C.
10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为  .
11.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影是△ABC的___.(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)
12.三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,O是垂足,若点P到AB,BC,AC的距离相等,则O是三角形ABC的___心.
13.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形A1B1C1D1满足条件___时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).
三、解答题
14.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
15.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
16.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,且BC=DC=DB=AA1=2,E是BC的中点.
(1)求证:直线DE⊥平面B1BCC1;
(2)求直线BD1与平面D1DCC1所成角的正弦值.
第8章 8.6 8.6.2 第1课时直线与平面垂直的判定
一、选择题
1.B
[解析] 由线面角的定义知B正确.
2.B
[解析] 仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.
3.BD
[解析] 对于A,由AD∥CE,且AB与CE成45°的角,不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由于AB⊥DE,AB⊥CE,由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面CDE;对于C,AB与CE成60°的角,不垂
直,则直线AB与平面CDE不垂直;对于D,有DE⊥AB,同理可得AB⊥CE,所以AB⊥平面CDE.
4.D
[解析] ∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥AD,PA⊥BC,PA⊥CD.
BC⊥平面PAB BC⊥PB,
由 CD⊥平面PAD CD⊥PD.
∴△PAB,△PAD,△PBC,△PCD都是直角三角形.
5.BCD
[解析] ∵六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,∴AF∥CD,由线面平行的判定定理,可得CD∥平面PAF,故D正确;
∵DF⊥AF,DF⊥PA,又AF∩PA=A,
∴DF⊥平面PAF,故B正确;
由正六边形的性质可知,CF∥AB,由线面平行的判定定理,可得CF∥平面PAB,故C正确;
∵CF与AD不垂直,∴CF⊥平面PAD不正确.故选BCD.
6.C
[解析] 取BD中点O,连接AO、CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
∴BD⊥平面AOC,BD⊥AC,
又BD、AC异面,∴选C.
7.ABC
[解析] ∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,故A正确;
由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,
又PA=AB,D是PB的中点,
∴AD⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,
∴AD⊥平面PBC,∴AD⊥PC,故B正确;
由AD⊥平面PBC,∴C正确,故选ABC.
8.D
[解析] 取BC中点E,连接DE,AE,
由正三棱柱知DE⊥平面ABC,且DE=4,
因为AE是斜线AD在底面上的射影,
所以∠DAE为直线AD与底面ABC所成角,
在正三角形中AE=×6=3,
直线AD与底面ABC所成角的正切值为==.故选D.
二、填空题
9. _④__.
[解析] 对于①,因为B∈平面DD1B1B,M 平面DD1B1B,D1B1 平面DD1B1B,所以直线MB与直线B1D1为异面直线,故错误;
对于②,因为A1B∥D1C,A1B∩BM=B,所以直线MB与直线D1C不平行,故错误;
对于③,直线MB与直线AC异面,若直线MB⊥平面ADC1B1,则直线MB⊥BC,因为CB⊥平面ABA1B1,所以直线MB 平面ABB1A1,这与M 平面ABB1A1矛盾,故错误;
对于④,连接A1B、BD,设正方体的棱长为2,则A1M=,A1B=2,BM==,
所以A1B2=A1M2+BM2,所以直线MB与直线A1D垂直,
在正方体中,BD∥D1B1,BD 平面D1B1C,B1D1 平面D1B1C,
所以BD∥平面D1B1C,A1B∥D1C,A1B 平面D1B1C,CD1 平面D1B1C,
所以A1B∥平面D1B1C,又A1B∩BD=B,所以平面D1B1C∥平面A1BD, MB 平面A1BD,所以直线MB∥平面B1D1C,故正确.
故答案为④.
10.  .
[解析] 如图,连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=,
则tan∠FEB=.
11. _外心__
[解析] P到△ABC三顶点的距离都相等,则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等,所以是外心.
12. _内__.
[解析] 由于点P到△ABC的三边AB,BC,AC的距离相等,易得点O到边AB,BC,AC的距离相等,故点O是三角形ABC的内心.
13. A1C1⊥B1D1__
[解析] 连接A1C1,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可得CC1⊥平面A1B1C1D1,因为B1D1 平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1D1,当A1C1⊥B1D1时,因为CC1∩A1C1=C1,所以B1D1⊥平面A1C1C,则A1C 平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.
三、解答题
14.
[证明] (1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
又已知SA=SB,所以易证△ADS≌△BDS.
所以∠SDA=∠SDB=90°,所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
15.
[解析] (1)证明:直三棱柱
ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1,
则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.
在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin ∠AC1D==,
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
16.
[解析] (1)证明:∵BC=DC=DB=2,∴△BDC为等边三角形,又E是BC的中点. ∴DE⊥BC,
∵CC1⊥平面ABCD,且DE在平面ABCD内,CC1⊥DE,
∵CC1在平面B1BCC1内,CB在平面B1BCC1内,且CC1∩BC=C,
所以DE⊥平面B1BCC1.
(2)∵BC=DC=DB=2,∴△BDC是等边三角形,取DC中点O,则BO⊥CD,
又CC1⊥平面ABCD,BO 平面ABCD,所以BO⊥CC1,
又CD∩CC1=C,CD 平面D1DCC1,CC1 平面D1DCC1,
所以BO⊥平面D1DCC1,
∴∠BD1O是直线BD1与平面D1DCC1所成角,
在Rt△BOD1中,∵BC=DC=DB=2,所以BO=,
∵DD1=BD=2,所以BD1==2,
∴sin∠BD1O===.