第8章 8.6 8.6.2 第2课时直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.(多选题)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中的真命题是( )
A.若m⊥n,n α,则m⊥α
B.若m⊥α,n α,则m⊥n
C.若m⊥α,n⊥α,则m∥n
D.若m α,n β,α∥β,则m∥n
2.空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直,则这条直线和三角形的边AB的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
3.已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列说法错误的是( )
A.若l⊥α,m⊥α,则l∥m
B.若l∥α,α∥β,则l∥β
C.若l∥α,l β,α∩β=m,则l∥m
D.若l与m异面,l α,l∥β,m β,m∥α,则α∥β
4.已知直线l∩平面α=点O,A∈l,B∈l,A α,B α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足为C,BD⊥平面α,垂足为D,AC=1,则BD=( )
A.2 B.1
C. D.
5.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=,AB=AC=2,则点A到平面PBC的距离为( )
A.1 B.
C. D.
6.如图所示,PA⊥矩形ABCD,下列结论中不正确的是( )
A.PD⊥BD
B.PD⊥CD
C.PB⊥BC
D.PA⊥BD
7.(多选题)如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列结论正确的是( )
A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
8.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是( )
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
二、填空题
9.正三棱锥的底面边长都是2,侧棱两两垂直,则顶点到底面的距离是 .
10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点B1到平面ABC1D1的距离为 .
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD,则EF与AA1的位置关系是___.
12.如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件___时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.)
13.如图,在△ABC中,AB⊥BC,D,E分别为AB,AC边的中点,且AB=4,BC=2,现将△ADE沿DE折起,使得A到A1的位置,且∠A1DB=60°,则A1C= .
三、解答题
14.如图,PA⊥正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.
15.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.
(1)证明:PC⊥BD;
(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.
16.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD和BC,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求直线SB与CD所成角的余弦值;
(2)求点C到平面SBD的距离.
第8章 8.6 8.6.2 第2课时直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.BC
2.B
[解析] 因为直线l和三角形所在的平面垂直,三角形的边AB在这个平面内,所以l⊥AB.
3.B
[解析] 根据垂直于同一平面的两条直线平行可知A正确;若l∥α,α∥β,则l∥β或l β,故B错误;根据直线与平面平行的性质定理可知C正确;假设α∩β=n,因为l α,l∥β,α∩β=n,所以l∥n,同理可得m∥n,所以l∥m,这与l与m异面相矛盾,故假设不成立,则α∥β,故D正确.
故选B.
4.A
[解析] 由相似比得BD=2.
5.A
[解析] 因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.
因为PA=,AB=AC=2,
所以PB=PC==,
又AB⊥AC,所以BC==2,
所以S△PBC=·BC·=×2×2=2.
设点A到平面PBC的距离为h,由VP-ABC=VA-PBC,得·PA·S△ABC=·h·S△PBC,
所以h==1,故选A.
6.A
[解析] 若PD⊥BD,则BD⊥平面PAD,
又BA⊥平面PAD,则过平面外一点有两条直线与平面垂直,不成立,故A不正确.
因为PA⊥矩形ABCD,所以PA⊥CD,AD⊥CD,
所以CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD,
同理可证PB⊥BC.因为PA⊥矩形ABCD,
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.
7.ABD
[解析] 由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,A正确;又BC⊥AC,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,B,D均正确.
8.B
[解析] 因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.故选B.
二、填空题
9 .
[解析] 设顶点到底面距离为h,由题意侧棱长为,则××22·h=×××,所以h=.
10. .
[解析] 由题设可得示意图如下,根据正方体的性质知:平面BB1C1⊥平面ABC1D1,又△BB1C1为等腰直角三角形,
∴△BB1C1斜边上的高,即为B1到平面ABC1D1的距离,又正方体棱长为1,
∴B1到平面ABC1D1的距离为.
故答案为.
11. _平行__.
[解析] ∵AA1⊥平面ABCD,EF⊥平面ABCD,
∴AA1∥EF.
12. BD⊥AC__
[解析] ∵四棱柱A1B1C1D1-ABCD是直四棱柱,
∴B1D1⊥A1A,若A1C⊥B1D1,
则B1D1⊥平面A1ACC1,∴B1D1⊥AC.
又∵B1D1∥BD,则有BD⊥AC1,
反之,由BD⊥AC亦可得A1C⊥B1D1.
故答案为BD⊥AC.
13. 2 .
[解析] 易知DE⊥BD,DE⊥A1D,因为A1D∩BD=D,所以DE⊥平面A1BD.
因为∠A1DB=60°,A1D=BD=2,所以A1B=2.易知BC∥DE,所以BC⊥平面A1BD,
所以BC⊥A1B,
从而A1C==2.
三、解答题
14.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.
因为AE 平面PAB,所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE,
因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.
因为PB 平面PBC,所以AE⊥PB.
15.
[解析] (1)证明:连接AC交BD于点O,连接PO.∵底面ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,BO=DO.
又∵PB=PD,∴PO⊥BD.
∵AC∩PO=O,AC 平面PAC,PO 平面PAC,
∴BD⊥平面PAC,
又PC 平面PAC,∴BD⊥AC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,∴BO=AB=1.
又∵PD=PB=2,∴PO=.
∵AO=AC=,PA=,∴PA2=PO2+AO2,
∴△PAO是等腰直角三角形,且∠POA=90°.
又∵E是PA的中点,∴S△PEC=S△PAC=·AC·PO=××2×=,∴VP-BEC=VB-PEC=·S△PEC·BO=××1=.
16.
[解析] (1)如图,延长DA到M,使得AM=1,连接SM,BM.
由DM∥CB,DM=CB,得四边形BCDM为平行四边形,从而BM∥CD,
∴∠SBM(或其补角)是直线SB与CD所成的角.
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,SA⊥AD.
又SA=AB=2,∴SM=BM=,SB=2,
取SB的中点N,连接MN,
则MN⊥SB,BN=,
则cos∠SBM===.
故直线SB与CD所成角的余弦值为.
(2)由(1)知N为SB的中点,如图,连接DN设点C到平面SBD的距离为d.
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,SA⊥AD.
又SA=AB=BC=2,AD=1,
∴SB=2,SD=BD=,∴DN=,
S△SBD=·SB·DN=×2×=,
又S△BCD=·CB·AB=×2×2=2,
由VS-BCD=VC-SBD,得·S△BCD·SA=·S△SBD·d,
即×2×2=××d,解得d=.
故点C到平面SBD的距离为.
(2)如图,作CN⊥PB于N,而AB⊥平面PBC,
所以AB⊥CN,CN⊥平面PAB,
又DM⊥平面PAB,所以DM∥CN,
所以DM∥平面PBC;
DM⊥AB,AB∥CD,所以DM⊥CD,
又CD⊥AD,所以CD⊥平面ADM.