2024-2025学年北师大版数学必修第二册 3.3.1二倍角公式 同步练习(含详解)

第四章　§3　3.1二倍角公式
一、选择题
1．若sin＝，则cos α等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．cos 2－cos 2＝(　　)
A． B．
C． D．
3．函数y＝的最小正周期是(　　)
A． B．
C．π D．2π
4．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示，即＝2sin 18°，设m＝，则＝(　　)
A． B．
C．m D．
5．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A． B．
C． D．
6．已知α∈(0，π)，且cos 2α－sin 2α－1＝0，则cos α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
7．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于(　　)
A．10° B．20°
C．70° D．80°
8．在△ABC中，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin Asin B，则一定成立的是(　　)
A．A＝ B．A＝
C．A＝C D．C＝
9．(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
10．(多选)已知函数f(x)＝，则有(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
二、填空题
11．若sin ＝， 则cos 2θ＝_________.
13．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝_________.
14．若tan＝，则tan 2α＋＝_________.
15．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝_________；sin θ＝_________.
三、解答题
16．求下列各式的值：
(1)；
(2)2tan 15°＋tan215°；
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
17．(1)证明：cos 2α＋cos 2β＝2cos(α＋β)cos(α－β)；
(2)若sin α＋sin β＝a，cos α＋cos β＝b，其中实数a，b不全为零．
①求cos(α－β)；②求cos(α＋β)．
18．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
第四章　§3　3.1二倍角公式
一、选择题
1．C
　cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．D
　由题意，cos 2－cos 2＝cos 2－cos 2＝cos 2－sin 2＝cos＝.故选D．
3．B
y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.
4．A
依题意，＝＝sin 162°＝sin 18°＝.故选A．
5. C
　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，
∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－1，
又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.
6．B
　因为cos 2α－sin 2α－1＝0，即sin 2α＋1－cos 2α＝0，
所以2sin αcos α＋sin2α＝0，从而sin α(2cos α＋sin α)＝0，
因为α∈(0，π)，所以0又sin2α＋cos 2α＝1②，
联立①②解得或(舍去)．
所以cos α＝－.故选B．
7．C
由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.所以α＝70°.
8．D
　由题设，1－2sin2A＋1－2sin2B－(1－2sin2C)＝1－2sin Asin B，
所以sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，结合正弦边角关系知：a2＋b2－c2＝ab，
又cos C＝＝，09．BC
A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC．
10．BCD
　因为f(x)＝＝＝
－tan x，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD．
二、填空题
11．－
　由sin＝cos θ＝，
得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
12．－2
　原式＝＝＝－2.
13．　
　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.
∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.
14．　2
　由tan＝＝，可求得tan α＝，
∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.
15．－　
　∵θ∈，
∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.
∴cos 2θ＝－
＝－＝－.
又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，
∴sin2θ＝＝＝，
∴sin θ＝.
三、解答题
16．
　(1)原式
＝
＝
＝
＝＝＝8.
(2)原式＝tan 30°(1－tan215°)＋tan215°
＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.
(3)方法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝＝·＝.
方法二：令x＝sin 10°sin 50°sin 70°，y＝cos 10°cos 50°cos 70°，则xy＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°，
＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝sin 20°sin 80°sin 40°
＝cos 10°cos 50°cos 70°＝y.
∵y≠0，∴x＝.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.
17．
(1)证明：2cos(α＋β)cos(α－β)＝2(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)
＝2cos 2αcos 2β－2sin2αsin2β
＝2··－2··
＝
＝cos 2α＋cos 2β.
(2)由sin α＋sin β＝a两边平方得sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝a2，
cos α＋cos β＝b两边平方得cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝b2，
①两式相加可得：2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝a2＋b2，
即2＋2cos(α－β)＝a2＋b2则cos(α－β)＝＝－1，
②两式相减可得：cos 2α－sin2α＋cos 2β－sin2β＋2cos αcos β－2sin αsin β＝b2－a2
cos 2α＋cos 2β＋2cos(α＋β)＝b2－a2，
由(1)知，cos 2α＋cos 2β＝2cos(α＋β)cos(α－β)，
则2cos(α＋β)cos(α－β)＋2cos(α＋β)＝b2－a2，
2cos(α＋β)＝b2－a2，则cos(α＋β)＝.
18．
(1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，
所以cos ＝.
所以sin 2α＝－cos
＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.