第二十七章相似单元自测题 （含解析）人教版九年级数学下册

人教版九年级数学下册第二十七章 相似 单元自测题
一、单选题
1．下列两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．用放大镜将图形放大，应该属于（　　）
A．平移变换 B．相似变换 C．对称变换 D．旋转变换
3．如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O．若AB＝1，CD＝2，BO∶CO＝(　　)
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
4．若 且相似比为1：4，则 与 的面积比为（　　）
A．1：4 B．4：1 C．1：16 D．16：1
5．如图，△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则ΔA′B′C′面积为（　　）
A． B．6 C．4 D．
6．如图，从图甲到图乙的变换是（　　）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
7．下列判断正确的是（　　）
A．任意两个等腰直角三角形相似 B．任意两个直角三角形相似
C．任意两个等腰三角形相似 D．菱形都相似
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3.线段PE的两个端点都在AB上，且PE＝1，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，空白部分面积S四边形DPEC的大小变化的情况是（　　）
A．一直减小 B．一直增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
9．如图，三个边长相等的正方形如图摆放，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形.其中BC∶B1C1=1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　）
A．1∶4 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶3
二、填空题
11．若两个相似三角形的周长比是，则对应中线的比是　 　.
12．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．已知点B′的坐标是（3，﹣1），则点B的坐标是　 　.
13．在一张比例尺为1︰50000的地图中，小明家到动车站的距离有0.2米，则小明家到动车站的实际距离是　 　 米．
14．如图，已知是一块含有角的直角三角板，点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，则k的值为 　 　.
三、作图题
15．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），C（5，4）．
⑴画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
⑵以点P（1，﹣1）为位似中心，在如图所示的网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
⑶画出△ABC绕点C逆时针旋转90°的△A′B′C′，并写出线段BC扫过的面积
16．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．
⑴画出关于x轴成轴对称的；
⑵画出以点O为位似中心，位似比为1∶2的．
四、解答题
17．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？
18．已知如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边上的高，求证：CD2＝AD BD.
19．将图中的四边形作下列运动，画出相应的图形，并写出各个顶点的坐标；
①关于y轴对称的四边形A′B′C′D′；
②以坐标原点O为位似中心，放大到原来的2倍的四边形A″B″C″D″．
五、综合题
20．如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为　 　.
21．如图，D，E，F是边上的点，，.
（1）求证：
（2）若D是的中点.直接写出的值.
22．如图，在中，点是上的点，过点作交于点，，过作交于点.
（1）若，求线段的长；
（2）若的面积为16，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角一定相等，故两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的判定：所有的对应边成比例，且所有的对应角分别相等的两个多边形相似，可对A，B作出判断；利用相似三角形的判定定理及等腰三角形的性质，可对C，D作出判断.
2．【答案】B
【解析】【分析】本题考查对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，采用排除法选出正确答案．
解答：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴.
故答案为：A.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△AOB∽△DOC，进而根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：16，
故答案为：C.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：△ABC与ΔA′B′C′位似，位似中心为点O，，
，
△ABC的面积为9，
ΔA′B′C′面积为.
故答案为：C.
【分析】根据位似的两个图形一定相似，进而根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可.
6．【答案】D
【解析】【分析】本题考查轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换，根据概念结合图形，采用排除法选出正确答案。
【解答】从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换。
故选D．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵任意两个等腰直角三角形的对应角相等，故任意两个等腰直角三角形相似，故此选项正确；
B、任意两个直角三角形不一定相似，故此选项错误；
C、任意两个等腰三角形不一定相似，故此选项错误；
D、菱形不一定相似，故此选项错误；
故选：A．
【分析】直接利用相似图形的性质进而分析得出答案．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
AB＝ ＝5，
如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵S△ABC＝ AC BC＝ AB CH，
∴CH＝
由图知，∠ADP＝∠ACB＝90°，
∴DP∥CB，
∴△ADP∽△ACB，
设AP＝x，则AD＝ x，DP＝ x，BE＝4﹣x，
∴S四边形DPEC＝S△ABC﹣S△ADP﹣S△CEB
＝ （4﹣x），
＝﹣
＝﹣ ，
由题意知，0≤x≤4，
又﹣ ＜0，
∴根据二次函数的图象及性质可知，S四边形DPEC的值先增大，后减小.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理可得AB的值，过点C作CH⊥AB于H，根据等面积法可得CH的值，易证△ADP∽△ACB，设AP＝x，则AD＝x，DP＝x，BE＝4-x，然后根据S四边形DPEC＝S△ABC-S△ADP-S△CEB表示出S四边形DPEC，接下来利用二次函数的性质进行解答即可.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接，
设正方形的边长为，则，，，
，，
，
四边形、是正方形，
，，，，
，，
即，
∽，
，
，
．
．
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为，则，，，则，证出∽，由三角形外角的性质得出，即可得出结论。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，BC∶B1C1=1∶2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长之比=BC∶B1C1=1∶2.
故答案为：C.
【分析】根据位似图形的周长比等于相似比进行解答.
11．【答案】2：5
【解析】【解答】解：两个相似三角形的周长比是2：5，
对应中线的比是2：5.
故答案为：2：5.
【分析】相似三角形的周长比、对应中线的比均等于相似比，据此解答.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如下图，过点B作BD⊥x轴于点D，过点B'作B'D'⊥x轴于点D'，
∵点C的坐标是（﹣1，0），点B′的坐标是（3，﹣1），
∴CD'=4，B'D'=1，
∵点C为位似中心，
∴△ABC∽△A'B'C'，相似比为1:2，
∴△BCD∽△B'CD'，相似比为1:2，
∴，
∴CD=2，BD=.
∴点B的坐标为（-3，）.
故答案为：（-3，）.
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，过点B'作B'D'⊥x轴于点D'，根据位似的两个图形是相似形、相似三角形的性质列式计算，求出CD和BD的长，得到点B的坐标即可.
13．【答案】10000
【解析】【解答】因为比例尺为1︰50000，小明家到动车站的图上距离有0.2米，所以实际距离为：0.2×50000=10000（米）．
故答案是10000．
【分析】考查比例尺．
14．【答案】-1
【解析】【解答】解：是一块含有角的直角三角板，
，，
，
由勾股定理得：，
，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
，
，
，
，
，
，
，
设、，
，，，，
，
，，
点A是函数的图象上一点，点B是函数的图象上一点，
，，
，
故答案为：.
【分析】由题意可得∠OAB=30°，∠AOB=90°，则AB=2OB，由勾股定理可得，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠BOD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ACO∽△BDO，设A（a，b），B（m，-n），则AC=a，OC=b，BD=m，OD=n，根据相似三角形的性质可得m=b，n=a，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得ab=3，-mn=k，据此求解.
15．【答案】解：⑴如图所示：△A1B1C1，即为所求；
⑵如图所示：△A2B2C2，即为所求；
⑶如图所示：△A′B′C′，即为所求．
∵BC=
∴线段BC扫过的面积为
【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）先根据旋转的性质得到对应点，再顺次连接得到△A'B'C'，根据图形的特点及扇形面积公式即可。
16．【答案】解：⑴由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），
则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1），
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到．
如图所示为所求；
⑵由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，和在同一侧
则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
连接各点，得．
第二种，在的对侧
A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2），
连接各点，得．
综上所述：如图所示为所求；
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质分别确定点A、B、C关于x轴成轴对称的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）分两种情况： 第一种，和在同一侧；第二种，在的对侧 ，根据位似图形的性质分别作图即可.
17．【答案】解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴＝，
即＝，
解得CM＝1.2，
∴DM＝2－1.2＝0.8，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC＝180°－120°＝60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin 60°＝2×＝，
菱形ECGF边CE上的高为3sin 60°＝3×＝，
∴阴影部分面积＝S△BDM＋S△DFM＝×0.8×＋×0.8×＝.
【解析】【分析】考查相似多边形的性质。
18．【答案】证明：∵CD是斜边AB上的高.
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD.
【解析】【分析】根据垂直的定义得∠ADC＝∠CDB＝90°， 根据同角的余角相等得∠A＝∠BCD，由两组角对应相等的两个三角形相似判断出△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论.
19．【答案】解：①如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求；
②如图所示：四边形A″B″C″D″即为所求．
【解析】【分析】①直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
20．【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【解析】【解答】解：（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAE=∠EAF，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠EAF=∠AEB，则∠BAE=∠AEB，推出AB=BE，同理可得AB=AF，则BE=AF，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）由（1）知：四边形ABEF是菱形，则AB=BE=EF=FA，根据平行四边形的性质可得FD=CE，EF=CD，则AB=BE=EF=FA=CD，使劲儿FD=CE=x，AF=BE=CD=y，则BC=x+y，根据相似图形的对应边成比例可得x，据此求解.
21．【答案】（1）证明：，
（2）解：且D为中点
∵D为中点
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AED=∠ABC，由已知条件可知∠ABC=∠EDF，则∠AED=∠EDF，推出DF∥AB，然后根据平行线的性质进行证明；
（2）由平行线的性质可得∠A=∠CDF，∠CFD=∠B，由两角对应相等的两个三角形相似可得△CDF∽△CAB，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴AE=2BE
又∵，
∴，
∴，
∴线段的长为10；
（2）解：∵，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴的面积为4.
【解析】【分析】（1）首先判断出△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DE的长；
（2）首先判断出△AED∽△ABC，由相似三角形对应边成比得 ， 再判断出△AED∽△DFC，由相似三角形对应边成比得 ， 进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求解.