第二十六章 解直角三角形 单元测试（含详解） 冀教版数学九年级上册

第二十六章解直角三角形
综合素质评价
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1．cos 45°的值为(　　)
A． B．1 C． D．
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(　　)
A．3　　　 B． C． D．
3．如图，若点A的坐标为(1，)，则∠1＝(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为(　　)
A． B． C． D．1
5．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是(　　)
A．45° B．60° C．90° D．105°
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝8，AC＝15，设∠BCD＝α，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
8．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20 n mile.客轮以60 n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行 h到达B处，那么tan∠ABP的值等于(　　)
A. B．2 C. D.
9．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　)
A. B. C. D.
10．如图，设∠DAO＝α，AD∥BC，且与BC的距离为60 cm，若AO＝100 cm，则点O到BC的距离OE是(　　)
A．(60＋100sin α) cm
B．(60＋100cos α) cm
C．(60＋100tan α) cm
D．以上选项都不对
11．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，则坝底AD的长度为(　　)
A．26 m B．28 m C．30 m D．46 m
12．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为(　　)
A. B．4 C. D．4
13．如图①是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm(如图②)，边缘AC＝BD＝60 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　)
A．(60＋8)cm B．(60＋8)cm
C．64 cm D．68 cm
14．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝，则下列结论中正确的有(　　)
①DE＝3 cm；
②BE＝1 cm；
③菱形的面积为15 cm2；
④BD＝2 cm.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为(　　)
A．30° B．150°
C．60°或120° D．30°或150°
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是(　　)
A. B. C. D．3
二、填空题(17，19题每题3分，18题4分，共10分)
17．cos 60°＋sin 45°＋tan 30°＝________．
18．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为________，△ABC的面积为________．
19．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝________．
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)
20．计算：
(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；
(2)(－1)0＋＋|－2|＋tan 60°.
21．在△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知c＝2，∠A＝30°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝5，∠A＝45°，求∠B，b，c.
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sin A＝，求AD的长．
23．如图①，“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．如图②，航拍无人机以9 m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6 s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150 m，则这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
24．如图，湖边A，B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A，B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A，B两点之间的距离．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
25．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短的边长为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；
(2)在(1)的条件下，连接AD，求tan ∠BAD的值．
26．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN＝30°.在阳光下，小明观察到AB在地面上的影长为120 cm，在坡面上的影长为180 cm.同一时刻，小明测得直立于地面长60 cm的木杆的影长为 90 cm(其影子完全落在地面上)．求立柱AB的高度．
答案
一、1.C
2．A　【点拨】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴∠A的正切值为＝＝3.
3．C　【点拨】过点A作x轴的垂线，垂足为M.
∵点A的坐标为(1，)，∴OM＝1，AM＝.
∵tan∠1＝＝＝，∴∠1＝60°.
4．B　【点拨】如图，过点A作BC的垂线，垂足为D.
在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝4，则tan∠ABC＝＝.
5．C　【点拨】∵＋＝0，
∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－30°－60°＝90°.
6．D　【点拨】设MN与AC的交点为O，
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8,
∴AC＝＝＝10,
∴cos∠CAD＝＝＝.
又由作图知MN为AC的垂直平分线，
∴∠MOA＝90°，AO＝AC＝5，
∴在Rt△AOE中，cos∠EAO＝.
∵cos∠CAD＝cos∠EAO,
∴＝，∴AE＝.
7．D　【点拨】根据勾股定理可知，AB＝＝17.
由题易知∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝α.在Rt△ACB中，cosα＝＝.
8．A　【点拨】∵灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20 n mile，
∴AP＝20 n mile.
∵客轮以60 n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行 h到达B处，∴∠APB＝90°，BP＝60×＝40(n mile)，
∴tan∠ABP＝＝＝.
9．D　【点拨】根据题意可得，AB＝4，AF＝AD＝BC＝5，
∠AFE＝∠D＝∠B＝90°，
∴∠BAF＋∠AFB＝∠EFC＋∠AFB。
∴∠BAF＝∠EFC.
∴cos∠EFC＝cos∠BAF＝＝.
故选D.
10．A　【点拨】根据题意可得，O到AD的距离＝100 sin α cm.
∵AD与BC的距离为60 cm，
∴OE＝(60＋100 sinα)cm.故选A.
11．D　【点拨】过点B作AD的垂线，垂足为E.
∵坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，
∴AE＝1.5BE＝18 m.
∵BC＝10 m，∴易得AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m) .
12．D　点拨：过点A作AE⊥PC于点E，
过点B作BF⊥QD于点F，如图．
∵AC＝60 cm，∠PCA＝30°，∴AE＝AC＝30 cm.
同理可得BF＝30 cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为30＋8＋30＝68(cm)．
故选D.
13．A　【点拨】如图，分别作AE⊥BC于E点，DF⊥BC，交BC的延长线于F点，则有AE＝DF，sin B＝sin 45°＝＝，
∴DF＝AE＝AB＝4.
∵∠DCF＝180°－∠BCD＝60°，∴sin∠DCF＝sin 60°＝＝，
∴CD＝＝＝，故选A.
14．C　【点拨】∵菱形ABCD的周长为20 cm，
∴菱形的边长AB＝AD＝20÷4＝5(cm)．
∵DE⊥AB，sinA＝，∴DE＝5×＝3(cm)，故①正确；
∵AE＝＝＝4(cm)，
∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，故②正确；
菱形的面积＝AB·DE＝5×3＝15(cm2)，故③正确；
在Rt△BDE中，BD＝＝＝(cm)，故④错误，
综上所述，正确的有①②③共3个．
15．D　【点拨】有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝，则∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝，则180°－∠BAC＝30°，所以∠BAC＝150°.
16．C　【点拨】∵P点坐标为(1，1)，
∴OP与x轴正方向的夹角为45°.
又∵OP∥AB，∴∠BAO＝45°.
∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝OB.
设OC＝x，则BC＝2OC＝2x，∴OB＝OA＝3x，
∴tan∠OAP＝＝＝.
二、17.2　【点拨】原式＝＋×＋×＝2.
18.；　【点拨】如图，过A作AD⊥BC.
在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，
∴AD＝AB·sinB＝1，
∴BD＝＝＝2.
在Rt△ACD中，tanC＝，
∴＝，即CD＝.
∴BC＝BD＋CD＝3，
AC＝＝＝.
∴S△ABC＝BC·AD＝.
19.　【点拨】∵大正方形ABCD的面积是100，
∴AD＝10.
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴易得DF－AF＝2.
设AF＝x，则DF＝x＋2.
由勾股定理得，x2＋(x＋2)2＝102，
解得x＝6或－8(负值舍去)，
∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝＝＝.
三、20.【解】(1)原式＝×＋1×＝＋＝.
(2)原式＝1＋9＋2－＋＝12.
21．【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.
∵sin A＝，sin B＝，
∴a＝c·sin A＝2×＝，
b＝c·sin B＝2×＝3.
(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.
∴b＝a＝5.
∴c＝＝10.
22．【解】(1)在Rt△ABE中，
∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝，
∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6.
在Rt△CDE中，
∵CD＝4，sin E＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝＝8.
∴BC＝BE－CE＝6－8.
(2)∵在Rt△ABE中，sin A＝＝，
∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.
由勾股定理可得AB＝3x，
又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.
∴BE＝8，AE＝10.
∴tan E＝＝＝＝，解得DE＝.
∴AD＝AE－DE＝10－＝.
23．【解】设直线AB与“南天一柱”所在直线相交于点D，如图．由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°.设CD＝x m.
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD＝＝≈0.75，
∴AD≈x m.
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD＝＝＝1，
∴BD＝x m.
∵AD－BD＝AB，
∴x－x≈9×6，∴x≈162.
∵162＞150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
24．【解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，
∴CD＝AC·sin37°≈80×0.60＝48(米)，
AD＝AC·cos37°≈80×0.80＝64(米)，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，tan∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30(米)，
∴AB＝AD＋BD≈64＋30＝94(米)．
答：A，B两点之间的距离约为94米．
25．【解】(1)如图所示，点D即为所求．
(2)如图，连接BD.
∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
BD＝＝＝.
易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°，∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2 .
∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.
∴tan ∠BAD＝＝＝.
26．【解】如图，延长AD交BN于点E，
过点D作DF⊥BN于点F，
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠DCF＝30°，
∴DF＝CD＝90 cm，CF＝CD·cos∠DCF＝180×＝90(cm)．
由题意得＝，即＝，
解得EF＝135 cm，
∴BE＝BC＋CF＋EF＝120＋90＋135＝(255＋90)cm，
由题意得＝，
∴＝，
解得AB＝(170＋60)cm.
答：立柱AB的高度为(170＋60)cm.