甘肃省天水市甘谷县模范初级中学2024 - 2025 学年度第二学期第一次模拟考试试题九年级数学（含答案）

2024 - 2025 学年度第二学期第一次模拟考试试题
九年级 数学
考生注意：本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确选项。
农历 2025 年是乙巳蛇年，数字 2025 的倒数是 （ ）
A. 2025 B. -2025 C. D. -
已知, 则 （ ）
A. - B. C. - D.
瓦当，是指中国古代建筑中覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡物，瓦当上常刻有文字、图案，属于中国特有的文化艺术遗产。下面 “瓦当” 图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
下列各式中，计算结果为的是 （ ）
A. B. C. D.
5. 新方向 [跨学科 音乐] 在音乐中，一个音符的时长可以用整式来表示。全音符的时长设为 t, 二分音符的时长是全音符时长的二分之一，即, 四分音符的时长是全音符时长的
四分之一，八分音符的时长是全音符时长的八分之一。若一首曲子中有 m 个四分音符和 n 个八分音符，那么这些音符的总时长 T 用整式表示为 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在菱形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，连接 BE, 若, 则的度数是 （ ）
A. B. C. D.
第 6 题图 第 7 题图
7. 如图，内接于,OC 为的半径，若,, 则 BC 的长为 （ ）
A. 3 B. C. D.
8. 热点信息 [甘肃省政府工作报告] 2025 年 1 月 20 日在甘肃省政府工作报告中指出：规模以上工业增加值增长，现代农业扩量提质，金融服务实体经济质效提升。全年经济运行逆势而进、向上向好、质量齐升。下面的统计图反映了 2020 - 2024 年某市 “三产” 产值增长率的情况。根据统计图提供的信息，下列结论错误的是 （ ）
A. 2020 - 2024 年，工业产值增长率先降低后提高
B.2024年，“三产”中服务业的产值增长率最高
C. 2020 - 2024 年，农业的产值增长率每年持续增加
D. 2020 - 2024 年，“三产” 中年产值增长率最小的是 2.3%
第 8 题图 图 1 图 2
第 10 题图
9. 数学文化 [增删算法统宗 六均输] 我国古典数学文献《增删算法统宗 六均输》中有一个 “隔沟计算” 的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌。” 其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊。如果乙给甲 9 只羊，那么甲的羊数为乙的 2 倍；如果甲给乙 9 只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，可列方程组为 （ ）
A. B. C. D.
10. 如图 1，在正方形中，是边的中点，动点从点出发，沿着Math input error的路径以的速度运动到点，设点的运动时间为，的面积为，与的函数图象如图 2 所示，则面积的最大值为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11. 写出一个比小的有理数：___________________
12. 当1≤x≤3 时，一次函数 y=（m+1）x++1有最大值 4，则负整数m的值为___________。
13. 中华文化 [七巧板] 七巧板，又称 “七巧图” 或 “智慧板”，是一种源自中国的古老智力游戏，体现了中国古代文化的智慧和趣味，广泛应用于数学教育，帮助学生建立数学逻辑思维。在一次数学活动课上，小智用七巧板拼了一个对角线长为 6 的正方形（如图 1），再用这副七巧板拼成一个矩形（如图 2），则矩形的对角线长为______。
图 1 图 2
第13 题图
第 14 题图
14. 地方特色 [敦煌莫高窟壁画] 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头 —— 敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画 4.5 万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力。如图，为莫高窟壁画纹样，小智发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有 5 个花朵图案，第②个图案中有 8 个花朵图案，第③个图案中有 11 个花朵图案，…，按此规律排列下去，则第个图案中花朵图案的个数为______。
如图，为三个内角平分线的交点，，将向下平移得到，、分别与相交于点、，则图中阴影部分的周长为______。
第15题图 图一 图二
第16题图
中华文化 [石磨的原理] 石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作 wèi），汉朝才叫作磨。其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”。图 1 是一种推磨工具模型，图 2 是它的示意图，图 3 是其简化图，点在中轴线上运动，点在以为圆心，长为半径的圆上运动，且。当点运动到点处时，点按逆时针方向旋转到处，则______。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 46 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（6 分）计算：。
18.（6 分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。
19.（6 分）已知，求的值。
20.（2022 年版新课标 新增一过圆外一点作圆的切线）（8 分）古希腊数学家欧几里得，被称为 “几何学之父”。在其所著的《几何原本》第三卷中有一个命题：“过已知点作直线切于已知圆”。 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接OP，分别以点O，P为圆心，大于长为半径作弧，在OP上方交于点M，在OP下方交于点N，连接MN，交OP于点A； ②以点A为圆心，AO长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接PQ，PR，则PQ，PR是的切线。 （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中补全图形，保留作图痕迹； （2）上述作图中用到了圆中一个很重要的定理，具体内容是________________________。
第 20 题图
21. 中华文化 [甘肃非遗资源]（10 分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，甘肃非物质文化遗产资源丰富、品类繁多。某中学为了让学生深入了解甘肃非物质文化遗产，于是让学生从 A. 格萨（斯）尔；B. 甘南藏戏；C. 洮岷花儿；D. 陇剧四个非物质文化遗产中选择一个进行讲解，小智和小慧都是讲解者，他们选择四个非物质文化遗产中的任意一个的可能性相同。 （1）若小智从以上非物质文化遗产中任选一个，求选中 C. 洮岷花儿的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求小智和小慧选中同一个非物质文化遗产的概率。
22.新情境 [激光电视]（10 分）大数据时代的降临带来了大量爆炸性的知识增长，其中很大一部分被转化为实用技术推入商用，激光电视就是近几年发展相当迅猛的一支。激光电视最值得一提的是对消费者眼睛的保护方面。根据 THX、ISF 观影标准，水平视角时，双眼处于肌肉放松状态，是享受震撼感官体验的客厅黄金观影位。如图，小智家决定换一台激光电视，他家客厅的观影距离（人坐在沙发A处眼睛到屏幕正中间的距离）为，请你计算一下小智家要选择电视屏幕宽（BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到。参考数据：，，，，，，，，，，， ）
四、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分。解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
23.（8 分）每年的 6 月 26 日是国际禁毒日，是为了引起世界各国对毒品问题的重视所设立的节日。为了进一步加强校园禁毒宣传力度，普及学生对毒品危害的认识，增强未成年人的法治意识、禁毒意识和自我保护意识，某学校开展 “远离毒品、关爱未来” 禁毒知识测试活动。现从该校七、八年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及 6 分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息。
信息一：七年级 20 名学生的测试成绩为；
信息二：八年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如下：
第23题图
信息三：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比，数据如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 写出表中m，n的值：，；
(2) 该校七、八年级共 1200 名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少；
(3) 你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握禁毒知识较好，请说明理由。
24.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点。 (1) 求反比例函数的表达式； (2) 新考法 过点A作x轴的平行线l，直线与直线l交于点B，与函数的图象交于点C，与x轴交于点D，当时，求b的取值范围。
第 24 题图
25.（10 分）如图，内接于，AB是的直径，点E在上，C是的中点，，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F，连接OC。
(1) 求证：CD是的切线；
第 25 题图
(2) 当的直径为10，时，求的值。
26.（10 分）【模型建立】 (1) 如图 1，四边形ABCD是正方形，点N，M分别在BC，CD边上，且，连接MN，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
(2) 如图 2，四边形ABCD是正方形，点N，M分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上，，连接MN，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
(3) 如图 3，在四边形ABCD中，，，，点N，M分别在边BC，CD上，，连接MN，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由。
第 26 题图
27.（12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E，顶点坐标为。 (1) 求抛物线的表达式；
(2) 新考法 当时，函数最大值与最小值的差为，求p的取值范围；
(3) 如图 2，连接BE，已知的面积为10。
①求点D的坐标；
②若M是线段OA上的一动点，N是线段AE上的一动点，且，求的最小值。
图一 图二
第 27 题图
答案
一、选择题
C
A
D
C
D
A
C
C
D
B
二、填空题
示例：-4
-1
6
135
三、解答题
解集：（数轴表示略）
-1
（1）作图略；（2）直径所对的圆周角是直角
（1）；（2）
四、解答题
（1），；（2）1020人；（3）八年级，理由略
（1）；（2）或
（1）证明略；（2）
（1）；（2）；（3）
（1）；（2）；（3）①；②最小值为