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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）02
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组数中，互为相反数的是（A）
A．|－2 024|和－2 024 B．2 024和
C．|－2 024|和2 024 D．－2 024和
2．2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（C）
A．4.91×104 B．4.91×105 C．4.91×106 D．4.91×107
3．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（B）
A．热 B．爱 C．中 D．国
4．下列计算中正确的是（B）
A．a2·a3＝a6 B．－(a－b)＝－a＋b
C．a(a＋1)＝a2＋1 D．(a＋b)2＝a2＋b2
5．若y＝＋－3，则x＋y的值为（D）
A．1 B．5 C．－5 D．－1
6．下列命题中，是真命题的是（D）
A．若|x|＝2，则x＝2
B．任何一个角都比它的补角小
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．圆锥的侧面展开图是一个扇形
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（C）
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
8．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩(单位：分)分别为85，81，82，86，82，83，92，89.关于这组数据，下列说法中正确的是（D）
A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．方差是13
9．如图，在 ABCD中，O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确的个数为（C）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对实数x，y定义一种新运算△，规定：△(x，y)＝ax＋bxy－2(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：△(5，7)＝a×5＋b×5×7－2.若△(2，3)＝－5，△(－4，4)＝2，则下列结论正确的个数为（A）
①a＝－3，b＝；
②若△(d，d)＝－3d，则△(d，d)＝±6；
③若△(p，q)＝－6，则p，q有且仅有3组正整数解；
④如果△(nx，y)＝△(ny，x)，那么n＝0或x＝y.
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．分解因式：x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2.
12．在－2，π，，这4个数中随机选择1个数，是无理数的概率是.
13．不等式组的解集是1≤x<2.
14．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5cm.
15．已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则代数式 的值为1.
16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是2s.
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M 和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是 16.
如图，在平面直角坐标系中，A(－3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点C作CD⊥CA，且使CD＝CA，点D在第一象限，连接BD，若∠ABD＝90°，则点B的坐标为(0，3)．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)解不等式组：
解：解不等式①，得x≥－2，解不等式②，得x<9，
∴该不等式组的解集为－2≤x<9.
20．(6分)先化简，再求值：÷，其中m＝cos 60°.
解：原式＝·＝－m＋1，当m＝cos 60°＝时，原式＝.
21．(8分)4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格)．数据整理如下：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求出统计表中a，b，c的值；
(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
解：(1)由图表可知a＝8，b＝1－20%＝80%，c＝＝7.5.
(2)600×85%＝510(人)．
答：估计该校八年级学生成绩合格的有510人．
(3)根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势和七、八年级学生成绩数据的中等水平(答案不唯一)．
22．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由(1)可知四边形ADCE是矩形，∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，CE＝3，
∴AC＝，∵EF⊥AC，S△AEC＝AC·EF＝AE·CE，
∴EF＝＝＝.
23．(9分)“粮食生产根本在耕地，出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进1台甲种农耕设备和2台乙种农耕设备共需3.9万元；购进2台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需6.6万元．
(1)求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；
(2)若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
解：(1)购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元．
(2)设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备(2m－3)台，根据题意得
1．5m＋1.2(2m－3)≤10，解得m≤，
∵m为正整数，∴m的最大值为3.
答：最多可以购进甲种农耕设备3台．
24．(9分)桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
课题 古代典籍数学文化探究
工具 计算器、纸、笔等
示意图
说明 图②是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆．OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝4.2 m，OA∶OB＝2 ∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°
参考数据 sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75
计算 求点A位于最高点时到地面的距离．(结果精确到0.1 m)
解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点O作OC⊥AE，垂足为C，由题意，得
OM＝CE＝3，∠COM＝90°，∵∠AOM＝127°，∴∠AOC＝37°，
∵AB＝4.2，OA∶OB＝2∶1，∴OA＝AB＝2.8，
在Rt△AOC中，AC＝AO·sin 37°≈1.68，∴AE＝AC＋CE≈4.7(m)．
∴点A位于最高点时到地面的距离约为4.7 m .
25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′.将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
解：(1)∵抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a>0)与x轴交于A，B两点，
∴ax2－2ax－3a＝0，整理，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，则AB＝3－(－1)＝4.
(2)当a＝1时，抛物线L：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则C(1，－4)，
设D(n，n2－2n－3)，0则S△ABD＝AB·|yD|＝－×4×(n2－2n－3)＝－2n2＋4n＋6，
设直线AD的解析式为y＝k(x＋1)，∵点D在直线AD上，
∴n2－2n－3＝k(n＋1)，
解得k＝n－3，则直线AD的解析式为y＝(n－3)(x＋1)，
答图①
设直线AD与抛物线对称轴交于点E，则E(1，2n－6)，如答图①.
∴S△ACD＝CE·(xD－xA)＝[2n－6－(－4)]·(n＋1)＝n2－1，
∵S△ACD＝S△ABD，∴－2n2＋4n＋6＝n2－1，
解得n1＝－1(舍去)，n2＝，∴D(，－)，
过点D作DH⊥AB于点H，则BH＝3－＝，DH＝，
则tan∠ABD＝＝.
答图②
(3)设D(n，an2－2an－3a)，直线AD的解析式为y＝k1(x＋1)，
则an2－2an－3a＝k1(n＋1)，解得k1＝an－3a，
∴直线AD的解析式为y＝a(n－3)(x＋1)，
过点D作DM⊥AB于点M，如答图②.
则AM＝n＋1，DM＝－an2＋2an＋3a，∵AD＝DE，∴EM＝n＋1，
将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′，
即将△ADB沿x轴正方向平移(n＋1)个单位长度，沿y轴正方向平移(－an2＋2an＋3a)个单位长度，
∵抛物线L为y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，
∴抛物线L′的解析式为
y＝a(x－1－n－1)2－4a＋(－an2＋2an＋3a)
＝ax2＋(－2an－4a)x＋6an＋3a.
∵ax2－2ax－3a＝ax2＋(－2an－4a)x＋6an＋3a，整理，得
(n＋1)x＝3n＋3，解得x＝3，
∴抛物线L′与L交于定点(3，0)．
26．(10分)【问题探究】
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线；
(2)【知识迁移】如图②，在菱形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心的⊙O与AD相切于点M.
Ⅰ)若＝，则＝；
Ⅱ)若tan B＝，AC＝2，求阴影部分面积．
① ②
(1)证明：过点O作OK⊥AC于点K，∵AC＝CE，∴∠OAK＝∠E，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，AD⊥OD，∴∠OAD＝∠E，
∴∠OAD＝∠OAK，
∵AD⊥OD，OK⊥AC，∴OD＝OK，又∵OD为⊙O的半径，
∴点K在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．
(2)解：Ⅰ)过点O作OG⊥AC于点G，连接OM，延长MO交BE于点F，
∵⊙O与AD相切于点M，∴OM⊥AD，∵AC＝CE，∴∠OAG＝∠E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BE，AB＝AD，∴∠OAD＝∠E，
∴∠OAD＝∠OAG，
又∵OG⊥AC，OM⊥AD，∴OG＝OM，
∵AD∥CE，∴△AOD∽△EOC，∴＝，
∵＝，AC＝CE，AB＝AD，∴＝＝，∴＝，
∴＝＝.
Ⅱ)过点A作AH⊥BC于点H，∵tan B＝＝，∴设AH＝4x，BH＝3x，
∴AB＝BC＝＝5x，∴CH＝BC－BH＝5x－3x＝2x，
∵AC＝2，∴在Rt△AHC中，AH2＋CH2＝AC2，即(4x)2＋(2x)2＝(2)2，
解得x＝1(负值已舍去)，∴BC＝AD＝5，AH＝4，
∴S△ACD＝S△ABC＝BC·AH＝10，
S△ACD＝S△AOD＋S△AOC＝AC·OG＋AD·OM，
即OM＝10，解得OM＝20－8，
∴S阴影＝S△ACD－S圆＝10－(20－8)2π＝10－(360－160)π.
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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）02
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各组数中，互为相反数的是（A）
A．|－2 024|和－2 024 B．2 024和
C．|－2 024|和2 024 D．－2 024和
2．2023年我国汽车出口491万辆，首次超越日本，成为全球第一大汽车出口国，其中491万用科学记数法表示为（C）
A．4.91×104 B．4.91×105 C．4.91×106 D．4.91×107
3．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（B）
A．热 B．爱 C．中 D．国
4．下列计算中正确的是（B）
A．a2·a3＝a6 B．－(a－b)＝－a＋b
C．a(a＋1)＝a2＋1 D．(a＋b)2＝a2＋b2
5．若y＝＋－3，则x＋y的值为（D）
A．1 B．5 C．－5 D．－1
6．下列命题中，是真命题的是（D）
A．若|x|＝2，则x＝2
B．任何一个角都比它的补角小
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．圆锥的侧面展开图是一个扇形
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（C）
A. 50° B. 100° C. 130° D. 150°
8．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩(单位：分)分别为85，81，82，86，82，83，92，89.关于这组数据，下列说法中正确的是（D）
A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．方差是13
9．如图，在 ABCD中，O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确的个数为（C）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对实数x，y定义一种新运算△，规定：△(x，y)＝ax＋bxy－2(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：△(5，7)＝a×5＋b×5×7－2.若△(2，3)＝－5，△(－4，4)＝2，则下列结论正确的个数为（A）
①a＝－3，b＝；
②若△(d，d)＝－3d，则△(d，d)＝±6；
③若△(p，q)＝－6，则p，q有且仅有3组正整数解；
④如果△(nx，y)＝△(ny，x)，那么n＝0或x＝y.
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．分解因式：x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2.
12．在－2，π，，这4个数中随机选择1个数，是无理数的概率是.
13．不等式组的解集是1≤x<2.
14．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5cm.
15．已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则代数式 的值为1.
16．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是2s.
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M 和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是 16.
如图，在平面直角坐标系中，A(－3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点C作CD⊥CA，且使CD＝CA，点D在第一象限，连接BD，若∠ABD＝90°，则点B的坐标为(0，3)．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)解不等式组：
解：解不等式①，得x≥－2，解不等式②，得x<9，
∴该不等式组的解集为－2≤x<9.
20．(6分)先化简，再求值：÷，其中m＝cos 60°.
解：原式＝·＝－m＋1，当m＝cos 60°＝时，原式＝.
21．(8分)4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格)．数据整理如下：
学生成绩统计表
七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求出统计表中a，b，c的值；
(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
解：(1)由图表可知a＝8，b＝1－20%＝80%，c＝＝7.5.
(2)600×85%＝510(人)．
答：估计该校八年级学生成绩合格的有510人．
(3)根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势和七、八年级学生成绩数据的中等水平(答案不唯一)．
22．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长．
(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，
由(1)可知四边形ADCE是矩形，∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，CE＝3，
∴AC＝，∵EF⊥AC，S△AEC＝AC·EF＝AE·CE，
∴EF＝＝＝.
23．(9分)“粮食生产根本在耕地，出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进1台甲种农耕设备和2台乙种农耕设备共需3.9万元；购进2台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需6.6万元．
(1)求购进1台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备各需多少万元；
(2)若该合作社购进乙种农耕设备数比甲种农耕设备数的2倍少3台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台？
解：(1)购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元．
(2)设购进甲种农耕设备m台，则购进乙种农耕设备(2m－3)台，根据题意得
1．5m＋1.2(2m－3)≤10，解得m≤，
∵m为正整数，∴m的最大值为3.
答：最多可以购进甲种农耕设备3台．
24．(9分)桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图①所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
课题 古代典籍数学文化探究
工具 计算器、纸、笔等
示意图
说明 图②是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆．OM＝3 m，AB是杠杆，且AB＝4.2 m，OA∶OB＝2 ∶1.当点A位于最高点时，∠AOM＝127°
参考数据 sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75
计算 求点A位于最高点时到地面的距离．(结果精确到0.1 m)
解：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点O作OC⊥AE，垂足为C，由题意，得
OM＝CE＝3，∠COM＝90°，∵∠AOM＝127°，∴∠AOC＝37°，
∵AB＝4.2，OA∶OB＝2∶1，∴OA＝AB＝2.8，
在Rt△AOC中，AC＝AO·sin 37°≈1.68，∴AE＝AC＋CE≈4.7(m)．
∴点A位于最高点时到地面的距离约为4.7 m .
25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a＝1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD＝DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′.将抛物线L平移得到抛物线L′，使得点A′，B′都落在抛物线L′上．试判断抛物线L′与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
解：(1)∵抛物线L：y＝ax2－2ax－3a(a>0)与x轴交于A，B两点，
∴ax2－2ax－3a＝0，整理，得x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，B(3，0)，则AB＝3－(－1)＝4.
(2)当a＝1时，抛物线L：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则C(1，－4)，
设D(n，n2－2n－3)，0则S△ABD＝AB·|yD|＝－×4×(n2－2n－3)＝－2n2＋4n＋6，
设直线AD的解析式为y＝k(x＋1)，∵点D在直线AD上，
∴n2－2n－3＝k(n＋1)，
解得k＝n－3，则直线AD的解析式为y＝(n－3)(x＋1)，
答图①
设直线AD与抛物线对称轴交于点E，则E(1，2n－6)，如答图①.
∴S△ACD＝CE·(xD－xA)＝[2n－6－(－4)]·(n＋1)＝n2－1，
∵S△ACD＝S△ABD，∴－2n2＋4n＋6＝n2－1，
解得n1＝－1(舍去)，n2＝，∴D(，－)，
过点D作DH⊥AB于点H，则BH＝3－＝，DH＝，
则tan∠ABD＝＝.
答图②
(3)设D(n，an2－2an－3a)，直线AD的解析式为y＝k1(x＋1)，
则an2－2an－3a＝k1(n＋1)，解得k1＝an－3a，
∴直线AD的解析式为y＝a(n－3)(x＋1)，
过点D作DM⊥AB于点M，如答图②.
则AM＝n＋1，DM＝－an2＋2an＋3a，∵AD＝DE，∴EM＝n＋1，
将△ADB沿DE方向平移得到△A′EB′，
即将△ADB沿x轴正方向平移(n＋1)个单位长度，沿y轴正方向平移(－an2＋2an＋3a)个单位长度，
∵抛物线L为y＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a，
∴抛物线L′的解析式为
y＝a(x－1－n－1)2－4a＋(－an2＋2an＋3a)
＝ax2＋(－2an－4a)x＋6an＋3a.
∵ax2－2ax－3a＝ax2＋(－2an－4a)x＋6an＋3a，整理，得
(n＋1)x＝3n＋3，解得x＝3，
∴抛物线L′与L交于定点(3，0)．
26．(10分)【问题探究】
(1)如图①，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心，OD为半径作⊙O.求证：AC是⊙O的切线；
(2)【知识迁移】如图②，在菱形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，AC＝CE，连接AE交CD于点O，以点O为圆心的⊙O与AD相切于点M.
Ⅰ)若＝，则＝；
Ⅱ)若tan B＝，AC＝2，求阴影部分面积．
① ②
(1)证明：过点O作OK⊥AC于点K，∵AC＝CE，∴∠OAK＝∠E，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，AD⊥OD，∴∠OAD＝∠E，
∴∠OAD＝∠OAK，
∵AD⊥OD，OK⊥AC，∴OD＝OK，又∵OD为⊙O的半径，
∴点K在⊙O上，∴AC是⊙O的切线．
(2)解：Ⅰ)过点O作OG⊥AC于点G，连接OM，延长MO交BE于点F，
∵⊙O与AD相切于点M，∴OM⊥AD，∵AC＝CE，∴∠OAG＝∠E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BE，AB＝AD，∴∠OAD＝∠E，
∴∠OAD＝∠OAG，
又∵OG⊥AC，OM⊥AD，∴OG＝OM，
∵AD∥CE，∴△AOD∽△EOC，∴＝，
∵＝，AC＝CE，AB＝AD，∴＝＝，∴＝，
∴＝＝.
Ⅱ)过点A作AH⊥BC于点H，∵tan B＝＝，∴设AH＝4x，BH＝3x，
∴AB＝BC＝＝5x，∴CH＝BC－BH＝5x－3x＝2x，
∵AC＝2，∴在Rt△AHC中，AH2＋CH2＝AC2，即(4x)2＋(2x)2＝(2)2，
解得x＝1(负值已舍去)，∴BC＝AD＝5，AH＝4，
∴S△ACD＝S△ABC＝BC·AH＝10，
S△ACD＝S△AOD＋S△AOC＝AC·OG＋AD·OM，
即OM＝10，解得OM＝20－8，
∴S阴影＝S△ACD－S圆＝10－(20－8)2π＝10－(360－160)π.
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