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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）04
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，数轴上表示的点是（C）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．人体内一种细胞的直径约为1.56 μm，相当于0.000 001 56 m，数字0.000 001 56用科学记数法表示为（C）
A．1.56×10－5 B．0.156×10－5 C．1.56×10－6 D．15.6×10－7
由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（B）
A. 3 B. 4 C. 5 D．6
4．下列运算中正确的是（B）
A．3a＋b＝3ab B．a3·a2＝a5
C．a8÷a2＝a4(a≠0) D．(a－b)2＝a2－b2
5．若＜m＜，则整数m的值为（B）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC.下列命题中是假命题的是（D）
若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示残缺圆形工件的半径，小明的解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为（C）
A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm
8．一组数据－10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列统计量中会发生变化的是（B）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，则下列结论中错误的是（C）
A．BD＝CE B．BF⊥CF C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°
【解析】作AM⊥BD于点M, AN⊥EC于点N，设AD交EF于点O.证明
△BAD≌△CAE，利用全等一一判断即可．
对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m，n)＝mn＋an－3(其中a为非零常数)；例如：f(1，2)＝1×2＋a×2－3；已知f(2，3)＝9，给出下列结论：①a＝2；②若f(1，n)＞0，则n＞1；③若f(m，m)＝2m，则m＝；④f(n，n)－2n有最小值，最小值为3.以上结论中正确的个数是（B）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】f(n，n)－2n＝n2＋2n－3－2n＝n2－3≥－3，故④不正确．
填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若|a－1|＋(b－3)2＝0，则＝2.
12．一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝9.
13．若关于x的方程－＝1无解，则k的值为4.
14．如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为100°.
15．已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则方程的另一个根为 4.
16．某次比赛中羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系y＝－x2＋x＋，则羽毛球飞出的水平距离为5m.
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；(2)以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G；(3)以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点H；(4)画射线AH；(5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M；(6)连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P.根据以上信息，下列五个结论中正确的是①②⑤.(选填序号)
①BD＝CD；②∠ABM＝15°；③∠APN＝∠ANP；④＝；⑤MC2＝MN·MB.
【解析】过点M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK＝30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设AP＝x，则PD＝AD－x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤.
如图，AB是半圆O的直径，C是 的中点，连接AC，BC，E是 的中点，连接EA，EB与AC交于点F，则 的值为.
【解析】连接OE交AC于点H，证△EHF∽△BCF即解．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)计算：|－2|＋2sin 60°－(－π)0.
解：原式＝2－＋2×－1＝2－＋－1＝1.
20．(6分)先化简，再求值：÷－，其中a，b满足b－2a＝0.
解：原式＝·－＝－＝，
∵b－2a＝0，∴b＝2a，∴原式＝＝.
21．(8分)《国家学生体质健康标准》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀(x≥240)，良好(225≤x<240)，及格(185≤x<225)，不及格(x<185)，其中x表示测试成绩(单位：cm)．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数(人数)分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数(人数) 40 70 60 30
b.本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求出p的值；
(2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名(从高到低)分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230 cm，请计算出乙同学的测试成绩是多少？
(3)请结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
解：(1)p＝40÷200×100%＝20%.
(2)2×228－230＝226 cm.∴乙同学的测试成绩是226 cm.
(3)从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；
从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平．
建议该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．(答案不唯一)
22．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)求证：四边形AFDE是正方形；
(2)若AD＝2，求四边形AFDE的面积．
(1)证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝DE.∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形．
(2)解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2，∴AF＝DF＝DE＝AE＝2.
∴S四边形AFDE＝2×2＝4.
23．(9分)一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3 km，且甲队单独修复60 km公路所需要的时间与乙队单独修复90 km公路所需要的时间相等．
(1)甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米？
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
解：(1)设甲队平均每天修复公路x km，则乙队平均每天修复公路
(x＋3)km，由题意，得
＝，解得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
x＋3＝9.
答：甲队平均每天修复公路6 km，则乙队平均每天修复公路9 km.
设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为(15－m)天，15天的工期，两队能修复公路w km，由题意，得
w＝6m＋9(15－m)＝－3m＋135，m≥2(15－m)，解得m≥10，
∵－3<0，∴w随m的增加而减少，
∴当m＝10时，w有最大值，w＝－3×10＋135＝105.
答：15天的工期，两队最多能修复公路105 km.
24．(9分)“金娃娃”雕塑造型憨态可掬，神态逼真(如图①)．某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高度”的实践活动，具体过程如下：
[方案设计]如图②，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离AE为19.81 m，雕塑AE垂直于地面，雕塑底部还有一个底座BE(点A，B，C，D，E均在同一平面内，AB⊥BD)，在地面上选取一点D测得∠ADB和∠CDB的度数．
[数据收集]实地测量底座BE的高度为1.5 m，∠ADB＝42°，∠CDB＝35°.
[问题解决]求雕塑主体“金娃娃”AC的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，
sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
解：∵AE＝19.81，BE＝1.5，∴AB＝AE＋BE＝21.31，
在Rt△ABD中，∠ADB＝42°，∴BD＝≈23.68，
在Rt△BCD中，∠CDB＝35°，∴BC＝BD·tan 35°≈16.576，
∴AC＝AB－BC＝21.31－16.576≈4.7(m)．
∴雕塑主体“金娃娃”AC的高度约为4.7 m.
25．(10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.其中A(－3，0)，D(－1，－4)．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N.若 是一个定值，求点P的坐标．
解：(1)该抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)分别过点F，G作x轴，y轴的垂线交于点H，
∵点P在对称轴上，设P(－1，m)，设直线FG的解析式为y＝px＋q，则－p＋q＝m，
∴q＝p＋m，
∴直线FG的解析式为y＝px＋p＋m，
联立
整理得x2＋(2－p)x－3－p－m＝0，
∴xF＋xG＝p－2，xFxG＝－3－p－m，
设M(xM，yM)，∵M是线段FG的中点，
∴xM＝＝，yM＝，
∴M，
将x＝代入y＝x2＋2x－3，得y＝，
∴N，∴MN＝，
在Rt△FGH中，FG2＝FH2＋GH2＝(yG－yF)2＋(xG－xF)2＝(1＋p2)(xG－xF)2，
∵(xG－xF)2＝(xG＋xF)2－4xFxG＝(p－2)2－4(－3－p－m)＝p2＋4m＋16，
∴FG2＝(1＋p2)(p2＋4m＋16)，令＝t，
∴FG2＝t2MN2，
∴(1＋p2)(p2＋4m＋16)＝t2，
整理得(t2－16)p2＋(4m＋16)t2－16＝0，
∵t是定值，∴t的取值与p无关，
∴t2－16＝0，且(4m＋16)t2－16＝0，
解得t＝4，m＝－，
∴点P的坐标为.
26．(10分)综合与实践：如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E.
(1)【观察感知】如图②，通过观察，线段AB与DE的数量关系是
AB＝DE；
(2)【问题解决】如图③，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 ＝；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长．
解：(2)∵∠CBD＝∠A＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠ACB，
又∵CB＝BD，∴△ABC≌△EDB(AAS)，∴DE＝AB＝2，BE＝AC＝6，
∴AE＝AB＋BE＝8，
∵∠DEB ＋∠A＝180°，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，
∴＝，∴＝，
∴EF＝4，∴BF＝BE＋EF＝10，∴S△BDF＝×10×2＝10.
(3)如图③，过点N作NM⊥AF于点M，易知△ABC∽△MNB，
∴＝＝，
∴＝，即MN＝BM，又∵MN∥AC，∴△EMN∽△EAC，∴＝，
设BM＝x，则ME＝BE－BM＝6－x，＝，解得x＝，
∴＝＝.
(4)如答图①，当P在点B的左侧时，过点P作PQ⊥BC于点Q,
tan∠BCP＝＝，
设PQ＝2a，则CQ＝3a, 又∵AC＝6，AB＝2，∠BAC＝90°，
∴tan∠ABC＝＝3，BC＝2，∴tan∠PBQ＝＝3，∴BQ＝PQ＝a，∴BC＝CQ＋BQ＝a，∴a＝2，
解得a＝，在Rt△PBQ中，PB＝＝a＝，
∴AP＝PB－AB＝；
如答图②，当P在点B的右侧时，过点P作PT⊥BC交CB的延长线于点T，
∵∠ABC＝∠PBT，∠A＝∠T＝90°，∴∠BPT＝∠ACB，
∴tan∠BPT＝＝tan∠ACB＝，
设BT＝b，则PT＝3b，BP＝b，∵tan∠BCP＝＝，
∴＝，解得b＝，∴BP＝b＝，∴AP＝AB＋BP＝.
综上所述，线段AP的长为 或 .
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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）04
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，数轴上表示的点是（C）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．人体内一种细胞的直径约为1.56 μm，相当于0.000 001 56 m，数字0.000 001 56用科学记数法表示为（C）
A．1.56×10－5 B．0.156×10－5 C．1.56×10－6 D．15.6×10－7
由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（B）
A. 3 B. 4 C. 5 D．6
4．下列运算中正确的是（B）
A．3a＋b＝3ab B．a3·a2＝a5
C．a8÷a2＝a4(a≠0) D．(a－b)2＝a2－b2
5．若＜m＜，则整数m的值为（B）
A．2 B．3 C．4 D．5
如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC.下列命题中是假命题的是（D）
若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示残缺圆形工件的半径，小明的解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为（C）
A．50 cm B．35 cm C．25 cm D．20 cm
8．一组数据－10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列统计量中会发生变化的是（B）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
9．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，则下列结论中错误的是（C）
A．BD＝CE B．BF⊥CF C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°
【解析】作AM⊥BD于点M, AN⊥EC于点N，设AD交EF于点O.证明
△BAD≌△CAE，利用全等一一判断即可．
对实数m，n定义一种新运算，规定：f(m，n)＝mn＋an－3(其中a为非零常数)；例如：f(1，2)＝1×2＋a×2－3；已知f(2，3)＝9，给出下列结论：①a＝2；②若f(1，n)＞0，则n＞1；③若f(m，m)＝2m，则m＝；④f(n，n)－2n有最小值，最小值为3.以上结论中正确的个数是（B）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】f(n，n)－2n＝n2＋2n－3－2n＝n2－3≥－3，故④不正确．
填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若|a－1|＋(b－3)2＝0，则＝2.
12．一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝9.
13．若关于x的方程－＝1无解，则k的值为4.
14．如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为100°.
15．已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则方程的另一个根为 4.
16．某次比赛中羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系y＝－x2＋x＋，则羽毛球飞出的水平距离为5m.
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．(1)以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；(2)以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G；(3)以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点H；(4)画射线AH；(5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M；(6)连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P.根据以上信息，下列五个结论中正确的是①②⑤.(选填序号)
①BD＝CD；②∠ABM＝15°；③∠APN＝∠ANP；④＝；⑤MC2＝MN·MB.
【解析】过点M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK＝30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设AP＝x，则PD＝AD－x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤.
如图，AB是半圆O的直径，C是 的中点，连接AC，BC，E是 的中点，连接EA，EB与AC交于点F，则 的值为.
【解析】连接OE交AC于点H，证△EHF∽△BCF即解．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)计算：|－2|＋2sin 60°－(－π)0.
解：原式＝2－＋2×－1＝2－＋－1＝1.
20．(6分)先化简，再求值：÷－，其中a，b满足b－2a＝0.
解：原式＝·－＝－＝，
∵b－2a＝0，∴b＝2a，∴原式＝＝.
21．(8分)《国家学生体质健康标准》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀(x≥240)，良好(225≤x<240)，及格(185≤x<225)，不及格(x<185)，其中x表示测试成绩(单位：cm)．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a．本校测试成绩频数(人数)分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数(人数) 40 70 60 30
b.本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228 p 85%
c．本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223 23% 91%
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求出p的值；
(2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名(从高到低)分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是230 cm，请计算出乙同学的测试成绩是多少？
(3)请结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议．
解：(1)p＝40÷200×100%＝20%.
(2)2×228－230＝226 cm.∴乙同学的测试成绩是226 cm.
(3)从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；
从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平．
建议该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近优秀的学生，提高优秀成绩的人数．(答案不唯一)
22．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)求证：四边形AFDE是正方形；
(2)若AD＝2，求四边形AFDE的面积．
(1)证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝DE.∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形．
(2)解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2，∴AF＝DF＝DE＝AE＝2.
∴S四边形AFDE＝2×2＝4.
23．(9分)一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3 km，且甲队单独修复60 km公路所需要的时间与乙队单独修复90 km公路所需要的时间相等．
(1)甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米？
(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
解：(1)设甲队平均每天修复公路x km，则乙队平均每天修复公路
(x＋3)km，由题意，得
＝，解得x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
x＋3＝9.
答：甲队平均每天修复公路6 km，则乙队平均每天修复公路9 km.
设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为(15－m)天，15天的工期，两队能修复公路w km，由题意，得
w＝6m＋9(15－m)＝－3m＋135，m≥2(15－m)，解得m≥10，
∵－3<0，∴w随m的增加而减少，
∴当m＝10时，w有最大值，w＝－3×10＋135＝105.
答：15天的工期，两队最多能修复公路105 km.
24．(9分)“金娃娃”雕塑造型憨态可掬，神态逼真(如图①)．某数学兴趣小组开展了“测量金娃娃高度”的实践活动，具体过程如下：
[方案设计]如图②，从获取的信息已知雕塑顶端到底座上边缘的距离AE为19.81 m，雕塑AE垂直于地面，雕塑底部还有一个底座BE(点A，B，C，D，E均在同一平面内，AB⊥BD)，在地面上选取一点D测得∠ADB和∠CDB的度数．
[数据收集]实地测量底座BE的高度为1.5 m，∠ADB＝42°，∠CDB＝35°.
[问题解决]求雕塑主体“金娃娃”AC的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，
sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
解：∵AE＝19.81，BE＝1.5，∴AB＝AE＋BE＝21.31，
在Rt△ABD中，∠ADB＝42°，∴BD＝≈23.68，
在Rt△BCD中，∠CDB＝35°，∴BC＝BD·tan 35°≈16.576，
∴AC＝AB－BC＝21.31－16.576≈4.7(m)．
∴雕塑主体“金娃娃”AC的高度约为4.7 m.
25．(10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D.其中A(－3，0)，D(－1，－4)．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N.若 是一个定值，求点P的坐标．
解：(1)该抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)分别过点F，G作x轴，y轴的垂线交于点H，
∵点P在对称轴上，设P(－1，m)，设直线FG的解析式为y＝px＋q，则－p＋q＝m，
∴q＝p＋m，
∴直线FG的解析式为y＝px＋p＋m，
联立
整理得x2＋(2－p)x－3－p－m＝0，
∴xF＋xG＝p－2，xFxG＝－3－p－m，
设M(xM，yM)，∵M是线段FG的中点，
∴xM＝＝，yM＝，
∴M，
将x＝代入y＝x2＋2x－3，得y＝，
∴N，∴MN＝，
在Rt△FGH中，FG2＝FH2＋GH2＝(yG－yF)2＋(xG－xF)2＝(1＋p2)(xG－xF)2，
∵(xG－xF)2＝(xG＋xF)2－4xFxG＝(p－2)2－4(－3－p－m)＝p2＋4m＋16，
∴FG2＝(1＋p2)(p2＋4m＋16)，令＝t，
∴FG2＝t2MN2，
∴(1＋p2)(p2＋4m＋16)＝t2，
整理得(t2－16)p2＋(4m＋16)t2－16＝0，
∵t是定值，∴t的取值与p无关，
∴t2－16＝0，且(4m＋16)t2－16＝0，
解得t＝4，m＝－，
∴点P的坐标为.
26．(10分)综合与实践：如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E.
(1)【观察感知】如图②，通过观察，线段AB与DE的数量关系是
AB＝DE；
(2)【问题解决】如图③，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 ＝；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长．
解：(2)∵∠CBD＝∠A＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠ACB，
又∵CB＝BD，∴△ABC≌△EDB(AAS)，∴DE＝AB＝2，BE＝AC＝6，
∴AE＝AB＋BE＝8，
∵∠DEB ＋∠A＝180°，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，
∴＝，∴＝，
∴EF＝4，∴BF＝BE＋EF＝10，∴S△BDF＝×10×2＝10.
(3)如图③，过点N作NM⊥AF于点M，易知△ABC∽△MNB，
∴＝＝，
∴＝，即MN＝BM，又∵MN∥AC，∴△EMN∽△EAC，∴＝，
设BM＝x，则ME＝BE－BM＝6－x，＝，解得x＝，
∴＝＝.
(4)如答图①，当P在点B的左侧时，过点P作PQ⊥BC于点Q,
tan∠BCP＝＝，
设PQ＝2a，则CQ＝3a, 又∵AC＝6，AB＝2，∠BAC＝90°，
∴tan∠ABC＝＝3，BC＝2，∴tan∠PBQ＝＝3，∴BQ＝PQ＝a，∴BC＝CQ＋BQ＝a，∴a＝2，
解得a＝，在Rt△PBQ中，PB＝＝a＝，
∴AP＝PB－AB＝；
如答图②，当P在点B的右侧时，过点P作PT⊥BC交CB的延长线于点T，
∵∠ABC＝∠PBT，∠A＝∠T＝90°，∴∠BPT＝∠ACB，
∴tan∠BPT＝＝tan∠ACB＝，
设BT＝b，则PT＝3b，BP＝b，∵tan∠BCP＝＝，
∴＝，解得b＝，∴BP＝b＝，∴AP＝AB＋BP＝.
综上所述，线段AP的长为 或 .
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