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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）03
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表，其中最低海拔最低的大洲是（A）
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m －415 －28 －156 －40
A.亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（D）
A．ab＞0 B．a＋b＜0 C．|a|＞|b| D．a－b＜0
3．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图②，现将其中4个小正方体按图①方式摆放，则最后一个小正方体应放在（B）
A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
4．下列运算中正确的是（D）
A．2x2y－3xy2＝－x2y B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2 D．(x2y3)2＝x4y6
5．下列各式计算中正确的是（D）
A.＋＝ B．4－3＝1
C.÷2＝ D.×＝
6．如图，有以下几种推理：①若∠1＋∠2＝180°，则l1∥l2；②若∠3＝∠4，则∠1＋∠2＝180°；③若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；④若
∠3＋∠5＝180°，则∠1＋∠2＝180°.其中不成立的是（C）
A．①② B．③④ C．③ D．④
7．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如示意图，排污管道的横截面是直径为2 m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥横截面的面积为（A）
A.m2 B.m2 C.m2 D.m2
8．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（C）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝8，∠BDC＝
2∠A，E是BD的中点，则△BCE的面积是（B）
A．3 B．12 C．24 D．32
如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中“伪全等三角形”共有（D）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ABE中，∠B＝∠B，AB＝AB，AD＝AE.在△ACE和△ACD中，∠C＝∠C，AC＝AC，AE＝AD.
在△ABD和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，AD＝AD.在△ACE和△ABE中，∠B＝∠C，AE＝AE，AC＝AB.综上所述，共有4对“伪全等三角形”．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若m－n＝－2，则2－5m＋5n的值为12.
12．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是12.
13．关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为k≥8.
14．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为2.
15．“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，某村的水稻亩产量从2022年的670 kg增长到了2024年的780 kg，设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为670(1＋x)2＝780.
16．如图，桥拱呈抛物线形，其函数解析式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽为12 m，这时水面离拱桥的高度h是9 m.
如图，在△ABC中， AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为＋1.
18.如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，点D在AC上(不与A，C重合)，且AD＝1，连接BD，以DB为直角边向上作等腰Rt△BDE，∠BDE＝90°，连接CE，则CE的长为.
【解析】过点E作EF⊥AC的延长线于点F，证△BDC≌△DEF(AAS)，∴BC＝DF＝3，DC＝EF＝2，CF＝1.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)计算：(3－π)0＋(－)－2＋2sin 45°－|1－|.
解：原式＝1＋4＋2×－(－1)＝1＋4＋－＋1＝6.
20．(6分)先化简(a＋1－)÷，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
解：原式＝(－)÷＝·＝.
∵a≠1且a≠－2，∴当a＝0时，原式＝－1；当a＝2时，原式＝0.
21．(8分)根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩(x分)用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)Ⅰ)第2小组得分扇形统计图中，得分为“1分”这一项所对应的圆心角为 18°；
Ⅱ)请补全第1小组得分条形统计图；
(2)a＝5，b＝3.5，c＝3；
(3)已知该校共有4 200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分．
解：(1)Ⅱ)补全条形统计图如图所示．
(3)4 200×＝1 260(名)．
答：该校4 200名学生中大约有1 260名学生竞赛成绩不低于90分．
22．(8分)如图，在 ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若 ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE，
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，∵O为BF的中点，∴BO＝FO，
∴△AOF≌△EOB(AAS)，∴BE＝FA，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．
(2)解：∵AD＝BC，AF＝BE，∴DF＝CE＝1，∵ ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为20，∴AB＝5，∵四边形ABEF是菱形，
∴∠BAE＝∠BAD＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝5.
23．(9分)多年来张家界市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．
(1)求A，B两款文创产品每件的进价；
(2)已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：(1)设A款文创产品每件的进价是a元，则B款文创产品每件的进价是(a－15)元，根据题意，得 ＝，解得a＝80，
经检验，a＝80是原分式方程的解，∴80－15＝65(元)．
答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元．
(2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100－x)件，总利润为W元，根据题意，得80x＋65(100－x)≤7 400，解得x≤60，
∴W＝(100－80)x＋(80－65)(100－x)＝5x＋1 500，
∵k＝5＞0，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝1 800(元)．
答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，销售完后获得的利润最大为1 800元．
24．(9分)如图是东宝塔，建于隋开皇十三年，工艺精湛．某数学兴趣小组开展了测量“东宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
【方案设计】如图，宝塔EF垂直于地面，在地面上选取A处测得∠EAF的度数(点A，F在同一直线上)；接着在点A的正上方搭高度为5 m的平台，在D处测得∠EDH的度数．
【数据收集】通过实地测量：∠EAF＝43°，∠EDH＝36°.
【问题解决】求宝塔EF的高度和地面A点与塔底F点之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，
tan 36°≈0.73，sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)
解：由题意得AD＝HF＝5 m，AF＝DH，
在Rt△EDH中，EH＝DH·tan∠EDH≈0.73DH，
在Rt△AEF中，EF＝AF·tan∠EAF≈0.93AF，
又∵HF＝EF－EH≈0.2AF＝5，
∴AF＝25.0 m．∴EF＝0.93AF≈23.3 m.
答：宝塔EF的高度约是23.3 m，地面A点与塔底F点之间的距离约是25.0 m.
25．(10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过，两点，其中a，b，c为常数，且ab>0.
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C.
Ⅰ)求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
Ⅱ)如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使＝？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)a＝1，c＝－3.
(2)Ⅰ)该二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，A(－3，0), B(1，0)．
Ⅱ)过点C作CF⊥PD于点F，过点E作EG⊥y轴，交BC于点G，
易得直线AC的解析式为y＝－x－3，直线BC的解析式为y＝3x－3.
设P(m，m2＋2m－3)，则E(m，－m－3)，D(m，0)，∵yG＝yE＝－m－3，且点G在直线BC上，∴3xG－3＝－m－3，xG＝－，∴G，
则PE＝－＝－m2－3m，CF＝－m，EG＝－－m＝－，OC＝3，
∴S△PCE＝PE·CF＝m(m2＋3m)，S△CBE＝EG·OC＝－2m，
∵＝，∴＝，解得m1＝，m2＝.
综上所述，存在点P使 ＝，此时点P的横坐标为或.
26．(10分)【问题背景】如图①，在平面直角坐标系中，B，D是直线y＝ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A.
【构建联系】(1)求证：函数y＝的图象必经过点C；
(2)如图②，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值；
【深入探究】(3)如图③，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E.当点E，A重合时，连接AC交BD于点P.以点O为圆心，AC长为半径作⊙O.若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
① ② ③
(1)证明：设B(m，am)，则A(m，)，∵AD∥x轴，∴D(，)，
∴C(，am)，
∴将x＝代入y＝中，得y＝am，∴函数y＝的图象必经过点C.
(2)解：∵B(1，2)，∴C(，2)，A(1，k)，∴D(，k)，∴DC＝k－2，
由折叠得BE＝BC＝－1，∠BED＝∠BCD＝90°，∴＝＝2＝，
过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F，
∵∠DHE＝∠DEB＝∠EFB＝90°，∴易证△DHE∽△EFB，
∴＝＝＝2，
∵BF＝1，DH＝，∴HE＝2，EF＝，∴HF＝2＋＝DC，
∴2＋＝k－2，∴k＝.
解：由折叠知AC⊥BD，∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP＝∠DBC＝45°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝AP，
∵BC∥x轴，∴y＝x，
①当⊙O过点B时，如图③所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵OP＝3，
∴OP＝OB＋BP＝AC＋BP＝3AP＝3，∴AP＝，∴AB＝AD＝AP＝2，BD＝2AP＝2，
BO＝AC＝2AP＝2，∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，∴＝＝，
∴＝＝，∴HO＝HD＝4，∴HA＝HD－DA＝2，∴A(2，4)，∴k＝8；
②当⊙O过点A时，根据对称知，⊙O必过点C，如答图，连接AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，∴AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形，
答图
∵OP⊥AC，∴∠AOP＝30°，∴AP＝tan 30°·OP＝＝PD，
AC＝BD＝2AP＝2，
∴AB＝AD＝AP＝2，OD＝OP＋PD＝3＋，∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
∴＝＝，∴＝＝，
∴HO＝HD＝3＋，∴HA＝HD－DA＝3－，
∴A(3－，3＋)，∴k＝6.
综上所述，当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8.
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2025年中考数学5月模拟押题卷（湖南卷）03
(考试时量：120分钟，满分：120分)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表，其中最低海拔最低的大洲是（A）
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m －415 －28 －156 －40
A.亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
2．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（D）
A．ab＞0 B．a＋b＜0 C．|a|＞|b| D．a－b＜0
3．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图②，现将其中4个小正方体按图①方式摆放，则最后一个小正方体应放在（B）
A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置
4．下列运算中正确的是（D）
A．2x2y－3xy2＝－x2y B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2 D．(x2y3)2＝x4y6
5．下列各式计算中正确的是（D）
A.＋＝ B．4－3＝1
C.÷2＝ D.×＝
6．如图，有以下几种推理：①若∠1＋∠2＝180°，则l1∥l2；②若∠3＝∠4，则∠1＋∠2＝180°；③若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；④若
∠3＋∠5＝180°，则∠1＋∠2＝180°.其中不成立的是（C）
A．①② B．③④ C．③ D．④
7．工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如示意图，排污管道的横截面是直径为2 m的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1 m，则淤泥横截面的面积为（A）
A.m2 B.m2 C.m2 D.m2
8．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（C）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝8，∠BDC＝
2∠A，E是BD的中点，则△BCE的面积是（B）
A．3 B．12 C．24 D．32
如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中“伪全等三角形”共有（D）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ABE中，∠B＝∠B，AB＝AB，AD＝AE.在△ACE和△ACD中，∠C＝∠C，AC＝AC，AE＝AD.
在△ABD和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，AD＝AD.在△ACE和△ABE中，∠B＝∠C，AE＝AE，AC＝AB.综上所述，共有4对“伪全等三角形”．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若m－n＝－2，则2－5m＋5n的值为12.
12．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是12.
13．关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为k≥8.
14．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，则CD的长为2.
15．“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，某村的水稻亩产量从2022年的670 kg增长到了2024年的780 kg，设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为670(1＋x)2＝780.
16．如图，桥拱呈抛物线形，其函数解析式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽为12 m，这时水面离拱桥的高度h是9 m.
如图，在△ABC中， AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为＋1.
18.如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝3，∠ACB＝90°，点D在AC上(不与A，C重合)，且AD＝1，连接BD，以DB为直角边向上作等腰Rt△BDE，∠BDE＝90°，连接CE，则CE的长为.
【解析】过点E作EF⊥AC的延长线于点F，证△BDC≌△DEF(AAS)，∴BC＝DF＝3，DC＝EF＝2，CF＝1.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(6分)计算：(3－π)0＋(－)－2＋2sin 45°－|1－|.
解：原式＝1＋4＋2×－(－1)＝1＋4＋－＋1＝6.
20．(6分)先化简(a＋1－)÷，再从－2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
解：原式＝(－)÷＝·＝.
∵a≠1且a≠－2，∴当a＝0时，原式＝－1；当a＝2时，原式＝0.
21．(8分)根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩(x分)用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4 a
第2小组 b 3.5 5
第3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)Ⅰ)第2小组得分扇形统计图中，得分为“1分”这一项所对应的圆心角为 18°；
Ⅱ)请补全第1小组得分条形统计图；
(2)a＝5，b＝3.5，c＝3；
(3)已知该校共有4 200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分．
解：(1)Ⅱ)补全条形统计图如图所示．
(3)4 200×＝1 260(名)．
答：该校4 200名学生中大约有1 260名学生竞赛成绩不低于90分．
22．(8分)如图，在 ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若 ABCD的周长为22，CE＝1，∠BAD＝120°，求AE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥BE，
∴∠AFB＝∠EBF，∠FAE＝∠BEA，∵O为BF的中点，∴BO＝FO，
∴△AOF≌△EOB(AAS)，∴BE＝FA，∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形．
(2)解：∵AD＝BC，AF＝BE，∴DF＝CE＝1，∵ ABCD的周长为22，
∴菱形ABEF的周长为20，∴AB＝5，∵四边形ABEF是菱形，
∴∠BAE＝∠BAD＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝5.
23．(9分)多年来张家界市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．
(1)求A，B两款文创产品每件的进价；
(2)已知A款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
解：(1)设A款文创产品每件的进价是a元，则B款文创产品每件的进价是(a－15)元，根据题意，得 ＝，解得a＝80，
经检验，a＝80是原分式方程的解，∴80－15＝65(元)．
答：A款文创产品每件的进价是80元，B款文创产品每件的进价是65元．
(2)设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品(100－x)件，总利润为W元，根据题意，得80x＋65(100－x)≤7 400，解得x≤60，
∴W＝(100－80)x＋(80－65)(100－x)＝5x＋1 500，
∵k＝5＞0，W随x的增大而增大，∴当x＝60时，W最大＝1 800(元)．
答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，销售完后获得的利润最大为1 800元．
24．(9分)如图是东宝塔，建于隋开皇十三年，工艺精湛．某数学兴趣小组开展了测量“东宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
【方案设计】如图，宝塔EF垂直于地面，在地面上选取A处测得∠EAF的度数(点A，F在同一直线上)；接着在点A的正上方搭高度为5 m的平台，在D处测得∠EDH的度数．
【数据收集】通过实地测量：∠EAF＝43°，∠EDH＝36°.
【问题解决】求宝塔EF的高度和地面A点与塔底F点之间的距离．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，
tan 36°≈0.73，sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)
解：由题意得AD＝HF＝5 m，AF＝DH，
在Rt△EDH中，EH＝DH·tan∠EDH≈0.73DH，
在Rt△AEF中，EF＝AF·tan∠EAF≈0.93AF，
又∵HF＝EF－EH≈0.2AF＝5，
∴AF＝25.0 m．∴EF＝0.93AF≈23.3 m.
答：宝塔EF的高度约是23.3 m，地面A点与塔底F点之间的距离约是25.0 m.
25．(10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过，两点，其中a，b，c为常数，且ab>0.
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴 交于点C.
Ⅰ)求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
Ⅱ)如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE.是否存在点P，使＝？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)a＝1，c＝－3.
(2)Ⅰ)该二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，A(－3，0), B(1，0)．
Ⅱ)过点C作CF⊥PD于点F，过点E作EG⊥y轴，交BC于点G，
易得直线AC的解析式为y＝－x－3，直线BC的解析式为y＝3x－3.
设P(m，m2＋2m－3)，则E(m，－m－3)，D(m，0)，∵yG＝yE＝－m－3，且点G在直线BC上，∴3xG－3＝－m－3，xG＝－，∴G，
则PE＝－＝－m2－3m，CF＝－m，EG＝－－m＝－，OC＝3，
∴S△PCE＝PE·CF＝m(m2＋3m)，S△CBE＝EG·OC＝－2m，
∵＝，∴＝，解得m1＝，m2＝.
综上所述，存在点P使 ＝，此时点P的横坐标为或.
26．(10分)【问题背景】如图①，在平面直角坐标系中，B，D是直线y＝ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A.
【构建联系】(1)求证：函数y＝的图象必经过点C；
(2)如图②，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值；
【深入探究】(3)如图③，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E.当点E，A重合时，连接AC交BD于点P.以点O为圆心，AC长为半径作⊙O.若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
① ② ③
(1)证明：设B(m，am)，则A(m，)，∵AD∥x轴，∴D(，)，
∴C(，am)，
∴将x＝代入y＝中，得y＝am，∴函数y＝的图象必经过点C.
(2)解：∵B(1，2)，∴C(，2)，A(1，k)，∴D(，k)，∴DC＝k－2，
由折叠得BE＝BC＝－1，∠BED＝∠BCD＝90°，∴＝＝2＝，
过点A作AH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F，
∵∠DHE＝∠DEB＝∠EFB＝90°，∴易证△DHE∽△EFB，
∴＝＝＝2，
∵BF＝1，DH＝，∴HE＝2，EF＝，∴HF＝2＋＝DC，
∴2＋＝k－2，∴k＝.
解：由折叠知AC⊥BD，∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP＝∠DBC＝45°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝AP，
∵BC∥x轴，∴y＝x，
①当⊙O过点B时，如图③所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵OP＝3，
∴OP＝OB＋BP＝AC＋BP＝3AP＝3，∴AP＝，∴AB＝AD＝AP＝2，BD＝2AP＝2，
BO＝AC＝2AP＝2，∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB，∴＝＝，
∴＝＝，∴HO＝HD＝4，∴HA＝HD－DA＝2，∴A(2，4)，∴k＝8；
②当⊙O过点A时，根据对称知，⊙O必过点C，如答图，连接AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，∴AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形，
答图
∵OP⊥AC，∴∠AOP＝30°，∴AP＝tan 30°·OP＝＝PD，
AC＝BD＝2AP＝2，
∴AB＝AD＝AP＝2，OD＝OP＋PD＝3＋，∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
∴＝＝，∴＝＝，
∴HO＝HD＝3＋，∴HA＝HD－DA＝3－，
∴A(3－，3＋)，∴k＝6.
综上所述，当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8.
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