2025苏科版九年级数学下册期末综合素质测试卷（含答案）

2025苏科版九年级数学下册期末综合素质测试卷
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．对于函数y＝(x－2)2＋5，下列结论错误的是(　　)
A．图像顶点是(2，5) B．图像开口向上
C．图像关于直线x＝2对称 D．函数最大值为5
2．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．在2024年的“世界无烟日”(5月31日)，某小组为了解本地区成年人的吸烟情况，随机调查了2 000个成年人，结果显示其中有200个成年人吸烟．对于本次调查，下列说法正确的是(　　)
A．调查的方式是普查 B．样本是200个吸烟的成年人
C．本地区只有1 800个成年人不吸烟 D．本地区约有10%的成年人吸烟
4.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图像可能为(　　)
5．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为(　　)
A．1：2 B.：2 C．1：4 D.：4
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是(　　)
A．sin C＝ B．sin C＝ C．sin C＝ D．sin C＝
7．如图，点A为反比例函数y＝－(x<0)图像上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x>0)的图像交于点B，则的值为(　　)
A. B. C. D.
8．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是(　　)
A．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．以上都有可能
二、填空题(每小题3分，共30分)
9．一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和n枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则n的值可能是________．
10．若抛物线y＝x2－2x＋ax＋2的对称轴是y轴，则a的值是________．
11．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩(单位：环)如图所示，现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是________．(填序号)
12．某县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 511
成活率 0.84 0.93 0.84 0.85 0.91 0.90
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植的成活率为________(保留1位小数)．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，AB＝2，则AC的长是________．
14．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度i为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了15 m，那么物体离地面的高度为________m.
15.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则关于x的不等式a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c≤0的解集为________．
16．如图，以点C(0，1)为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A(2，－1)的对应点D的坐标为________．
17．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是________．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
三、解答题(共66分)
19．(6分)计算：
(1)cos 30°＋tan 45°－tan 60°·cos2 45°；
(2)－12 024＋＋3tan 30°－(3－π)0＋|－2|.
20．(6分)如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.
(1)求证：△HCD∽△HDB.
(2)求DH长度．
21．(6分)一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)该隧道内设双行道，中间隔离带宽1 m，一辆货车高4 m，宽2.5 m，能否安全通过，为什么？
22．(8分)[2024南京鼓楼区模拟]今年是中国共产主义青年团成立103周年，某校组织学生进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩(满分100分)进行整理(成绩得分用a分表示)，其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
(1)x＝________，y＝________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这组数据的中位数是________，众数是________；
(3)若该校共有1 200名学生，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
(4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
23．(8分)综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度(如图①)．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36 m，EC⊥AB，垂足为C.在D处测得桥塔顶部B的仰角(∠CDB)为45°，测得桥塔底部A的俯角(∠CDA)为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角(∠CEB)为31°.(参考数据：tan 31°≈0.6，tan 6°≈0.1)
(1)求线段CD的长(结果取整数)；
(2)求桥塔AB的高度(结果取整数)．
24．(10分)如图①，D是等边三角形ABC的边AB上一点，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在边AC和BC上．
(1)若BF＝2AD，则＝________；
(2)若BD＝2AD，△ADE与△BFD的周长分别为C1，C2，求C1：C2的值；
(3)如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE向下翻折至△FDE，连接BF，BC平分∠ABF.若BF＝20，CE＝1，求AC的长．
25．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1(a，b为常数，a＞0)．
(1)若抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，求抛物线对应的函数表达式；
(2)当b＝1时，过点C(－1，a)，D(1，a＋2)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD.求证：MD平分∠CMN；
(3)当a＝1，b≤－2时，过直线y＝x－1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最大值为4，求b的值．
26．(12分)定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
(1)如图①，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠C＝30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由；
(2)如图②，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，连接AD，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值；
(3)如图③，l1∥l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”三角形ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，＝，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，线段A′C交l1于点D.当点B′落在直线l1上时，的值为________．
参考答案
一、1.D　2.D　3.D　4.A　5.C　6.C　7.A　8.A
二、9.12　10.2　11.①②　12.0.9　13.2　14.3
15．－1≤x≤1　16.(－1，2)　17.
18．a≤－1或≤a＜
三、19.解：(1)原式＝＋1－×＝＋1－×＝1.
(2)原式＝－1＋4＋3×－1－(－2)＝－1＋4＋－1－＋2＝4.
20．(1)证明：∵DH∥AB，∴∠A＝∠HDC.
又∵∠CBD＝∠A，∴∠HDC＝∠CBD.
又∵∠H＝∠H，∴△HCD∽△HDB.
(2)解：∵DH∥AB，∴＝.
∵AC＝3CD，∴＝.
∴CH＝1.∴BH＝BC＋CH＝3＋1＝4.
由(1)知△HCD∽△HDB，
∴＝.∴DH2＝4×1＝4.
∴DH＝2(负值舍去)．
即DH的长度为2.
21．解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点P为(4，6)，∴y＝a(x－4)2＋6.
∵抛物线过点(0，2)，
∴a(0－4)2＋6＝2，解得a＝－.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋6.
(2)货车不能安全通过．理由如下：
＝3.5，3.5－2.5＝1，
当x＝1时，y＝＜4，
∴货车不能安全通过该隧道．
22．解：(1)30%；16%
将频数分布直方图补充完整如图．
(2)95；94
(3)1 200×＝192(名)，估计该校对团史掌握程度达到优秀的有192名学生．
(4)画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中被抽取的2人恰好是女生的结果有6种，
∴恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为＝.
23．解：(1)设CD＝x m，由DE＝36 m，
得CE＝CD＋DE＝(x＋36) m.
∵EC⊥AB，垂足为C，∴∠BCE＝∠ACD＝90°.
在Rt△BCD中，tan ∠CDB＝，∠CDB＝45°，
∴BC＝CD·tan ∠CDB＝x·tan 45°＝x m.
在Rt△BCE中，tan ∠CEB＝，∠CEB＝31°，
∴BC＝CE·tan ∠CEB＝[(x＋36)·tan 31°] m.
∴x＝(x＋36)·tan 31°.
解得x＝≈＝54.
故线段CD的长约为54 m.
(2)在Rt△ACD中，tan ∠CDA＝，∠CDA＝6°，
∴AC＝CD·tan∠CDA≈54×tan 6°≈54×0.1＝5.4(m)．
∴AB＝AC＋BC≈5.4＋54≈59(m)．
故桥塔AB的高度约为59 m.
24．解：(1)
(2)∵BD＝2AD，∴设DA＝x，则BD＝2x.
∴AB＝3x＝AC＝BC.
由折叠得DE＝EC，DF＝CF.
∵△ADE与△BFD的周长分别为C1，C2，
∴C1＝AD＋AE＋DE＝x＋AE＋EC＝x＋3x＝4x，
C2＝BD＋BF＋DF＝2x＋BF＋CF＝2x＋3x＝5x.
∴C1：C2的值为.
(3)如图，延长BF，AC交于点H，过点F作FN⊥AH于点N.
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°.
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABH＝2∠ABC＝60°.
∴△ABH是等边三角形．
∴BH＝AB＝AH，∠H＝60°，
又∵∠ACB＝90°，∴AC＝CH.
设AC＝CH＝y，则AB＝AH＝BH＝2y，
∴FH＝BH－BF＝2y－20，EH＝y＋1，AE＝y－1，
∵将△ADE沿DE向下翻折至△FDE，
∴EF＝AE＝y－1.
∵FN⊥AH，∠H＝60°，∴∠NFH＝30°.
∴NH＝FH＝y－10，FN＝(y－10)．
∴EN＝EH－NH＝11.
∵EF2＝EN2＋FN2，
∴(y－1)2＝121＋3(y－10)2，∴y＝14或15，∴AC的长为14或15.
25．(1)解：∵抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，
∴分别将A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－1中，
得解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.
(2)证明：连接CN，如图①.
∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1，
当x＝－1时，y＝a－2，
∴M(－1，a－2)．
当x＝1时，y＝a.∴N(1，a)．
∵C(－1，a)，N(1，a)，
M(－1，a－2)，
∴CN＝2，CM＝a－(a－2)＝2，
CM⊥CN.
在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2，
∴MN＝＝2.
易得DN＝a＋2－a＝2，
∴DN＝MN.∴∠NDM＝∠NMD.
∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD.
∴∠NMD＝∠CMD.∴MD平分∠CMN.
(3)解：当a＝1时，y＝x2＋bx－1.
设G(m，m－1)，则H(m，m2＋bm－1)，1≤m≤3，
令x2＋bx－1＝x－1，解得x1＝0，x2＝1－b.
∵b≤－2，∴x2＝1－b≥3，
∴点G在H的上方，如图②，
　　　
设GH＝t，则t＝－m2＋(1－b)m，
其对称轴为直线m＝，且≥，
①当≤≤3时，即－5≤b≤－2.
由图③可知，
当m＝时，t取得最大值，为＝4，
解得b＝－3或b＝5(舍去)，
②当＞3时，得b＜－5，
由图④可知，
当m＝3时，t取得最大值，为－9＋3－3b＝4，
解得b＝－(舍去)．
综上所述，b的值为－3.
26．解：(1)△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
理由：如图①，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D.
∵AC＝8，∠C＝30°，∴AD＝4，
∴＝.
∴△ABC是“准黄金”三角形．
(2)如图②.易知点A，D关于BC对称，∴BE⊥AD，AE＝ED.
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，∴＝.
不妨设AE＝4k，BC＝5k.
∵C是△ABD的重心，∴BC：CE＝2：1.
∴CE＝，∴BE＝.∴AB＝＝.
∴＝.
(3)　点拨：如图③，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，过点B′作B′G⊥BC于点G.
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，∴AE：BC＝4：5，∵AE＝4，∴BC＝5.
∵＝，∴AB＝2.
∴BE＝＝＝2.
∴EC＝BE＋BC＝7.
在Rt△CB′G中，易知∠CGB′＝90°，GB′＝4，CB′＝CB＝5，
∴CG＝＝＝3.
∵∠GCB′＝∠FCD，∠CGB′＝∠CFD＝90°，
∴△CGB′∽△CFD.
∴DF：CF：CD＝GB′：CG：CB′＝4：3：5.
则设DF＝4x，CF＝3x，CD＝5x.
易证△AEC∽△DFA，∴＝.∴＝，
解得AF＝7x.
∴AD＝＝＝x，
∴＝＝.