/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025年中考数学5月模拟押题卷（四川卷）02
(考试时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．
1．下面各数中，最小的是（B）
A．－ B．－π C．0 D.
2．函数y＝ 的自变量x的取值范围是（B）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＞2且x≠0
3．下列计算中正确的是（B）
A．a2·a3＝a6 B．(a3)4＝a12 C．(3a)2＝6a2 D．(a＋1)2＝a2＋1
4．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（C）
A．自 B．立 C．科 D．技
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（D）
A．26° B．38° C．42° D．52°
6．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，C是AB的中点，则点C所表示的数是（A）
A．－1 B．1 C. D．－
7．下列说法中正确的是（B）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0
C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
D．一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数和众数都是6
8．关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为（A）
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
【解析】α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ，由根与系数的关系得m2－3m－4＝0，∴m＝－1或4.再由Δ≥0，得m≤1，∴m＝－1.
如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（D）
A B C D
10.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（A）
A.＝－40 B.－40＝
C.＋40＝ D.＋40＝
11．如图，AB是半径为6的⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，AC与BD相交于点E.若E为AC的中点，则BD的长为（C）
A．4 B．6 C．8 D．4
【解析】先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据垂径定理得到OC⊥BD，DF＝BF，则可证明OF为△ABD的中位线，∴AD＝2OF，证明△ADE≌△CFE得到AD＝CF，∴CF＝2OF，∴OF＝2，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到BD的长．
12．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋1＝0一定有两个不等的实数根；④a＞.其中正确的个数是（D）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与y轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线与y轴的交点在(0，－1)的下方，即可判断③；由对称轴方程得到b＝－2a，由x＝－1时，y＝0得到即a－b＋c＝0，则c＝－3a，∴－3a＜－1，则可判断④.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．计算：－＝11.
14．分解因式：7x4－7x2＝7x2(x＋1)(x－1)．
15．已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝36.
16．如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A按逆时针旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是
(－2，－6)．
17．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是.
【解析】找出点E关于AC的对称点E′，连接FE′与AC的交点P′，即为PE＋PF取得最小值时点P的位置，再设法求出的值即可．
18．如图，点A1，A2，A3，…，An在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，直线y＝x与反比例函数y＝交于点A1，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则点Bn(n为正整数)的坐标是(0，2)．
【解析】由题意得△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1(1，1)，∴OB1＝2，设A2(m，2＋m)，则有m(2＋m)＝1，解得m＝－1(负值舍去)，∴OB2＝2，设A3(a，2＋a)，则有a(2＋a)＝1，解得a＝－，∴OB3＝2，同理可得OB4＝2，∴OBn＝2，∴Bn(0，2)．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．(8分)计算：|3－|＋－6tan 30°＋()2.
解：原式＝2－3＋4－6×＋5＝6.
20．(8分)先化简，再求值：÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．
解：原式＝÷＝·＝，
∵x≠0且x－2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x＝1，
则原式＝＝－1.
21．(10分)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(x≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
解：(1)∵一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，
∴k＝1×3＝－3a，∴k＝3，a＝－1，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵一次函数y＝mx＋n图象过A(－3，－1)，B(1，3)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋2.
(2)在一次函数y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝－2，
∴C(－2，0)，D(0，2)，
∴S△OBD＝×2×1＝1，∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为，
∴×2×＝4，解得t＝－，
∴点P的坐标为.
22.(10分)某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九(1)班的所有学生在家劳动时间(单位：h)，并进行了统计和整理，绘制成如图所示的统计表和不完整的统计图．
类别 劳动时间x
A 0≤x<1
B 1≤x<2
C 2≤x<3
D 3≤x<4
E 4≤x
根据图表信息回答以下问题：
(1)九(1)班的学生共有50人，补全条形统计图；
(2)若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3 h及以上的学生人数；
(3)已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
解：(1)补全条形统计图如图所示．
(2)由题意得800×＝208(人)．
答：估计周末在家劳动时间在3 h及以上的学生人数为208.
(3)列表如下：
女1 女2 男1 男2 男3
女1 女1，女2 女1，男1 女1，男2 女1，男3
女2 女2，女1 女2，男1 女2，男2 女2，男3
男1 男1，女1 男1，女2 男1，男2 男1，男3
男2 男2，女1 男2，女2 男2，男1 男2，男3
男3 男3，女1 男3，女2 男3，男1 男3，男2
由表格可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女的结果共有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是＝.
23.(10分)2025年第12届世界运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1 kg A种食材和1 kg B种食材共需68元，购买5 kg A种食材和 3 kg B种食材共需280元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36 kg，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
解：(1)设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意得解得
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元．
(2)设A种食材购买x kg，则B种食材购买 kg，根据题意，得x≥2，解得x≥24，
设总费用为y元，根据题意，得
y＝38x＋30＝8x＋1 080，
∵8>0，∴y随x的增大而增大，当x＝24时，y最小，
∴最少总费用为8×24＋1 080＝1 272(元)．
故当A种食材购买24 kg，B种食材购买12 kg时，总费用最少，最少总费用为1 272元．
24．(10分)如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，直线PO交⊙O于点D，E，交AB于点C.
(1)求证：∠ADE＝∠PAE；
(2)若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
(1)证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA，∴∠OAE＋∠PAE＝90°.
∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.
(2)解：设CE＝x，则DE＝CD＋CE＝6＋x，∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE－CE＝，OP＝OE＋PE＝.
∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB.AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，∴＝，∴＝，即x2＋10x－24＝0.
解得x＝2或－12(不合题意，舍去)，∴CE＝2.
25．(10分)(1)问题背景：如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
(3)问题拓展：如图③，在(2)的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出 的值．
① ② ③
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴＝＝，即 ＝＝，
∴△BCD∽△FBE.
(2)证明：取BD的中点H，连接EH，HC，
∵E是AB的中点，H是BD的中点，∴EH＝AD，EH∥AD.
又∵AD＝2CF，∴EH＝CF，
∵AD∥BC，∴EH∥FC，∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，∴∠GFB＝∠HCB.
又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，∴HC＝BD＝BH，∴∠HBC＝∠HCB，
∴∠GBF＝∠GFB，∴BG＝FG.
(3)解：过点F作FM⊥AD交AD于点M，则四边形MFCD是矩形，连接AF，
∵AD＝2CF＝CD，∴AM＝MD＝FC＝AD，
设AD＝2a，则MF＝CD＝2a，AM＝a，
在Rt△AMF中，AF＝＝a，
∵AG＝FG，由(2)得BG＝FG，∴AG＝BG，
又∵E是AB的中点，∴EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∠BEG＝90°，
在△AFG和△BFG中，∴△AFG≌△BFG(SSS)，
设∠GBF＝∠GFB＝α，则∠GAF＝∠GFA＝α，
∴∠BGE＝∠GBF＋∠GFB＝2α.
又∵AD∥BC，∴∠MAF＝∠AFB＝∠GFA＋∠GFB＝2α，
∴∠MAF＝∠EGB.
又∵∠BEG＝∠FMA＝90°，
∴△BEG∽△FMA，∴＝＝＝＝.
26.(12分)如图，直线AB和抛物线的交点是A(0，－3)，B(4，5)，已知抛物线的顶点D的横坐标是1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值；
(3)在x轴上是否存在一点C，与A，B组成直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的顶点D的横坐标为1，
可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋c，
将A(0，－3)，B(4，5)代入得解得
则抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)作PQ⊥x轴交直线AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx－3，
代入B(4，5)得5＝4k－3，解得k＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x－3，
设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点Q的坐标为(m，2m－3)，
∴PQ＝2m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋4m，
∴S△PAB＝PQ·|xB|＝(－m2＋4m)×4＝－2(m－2)2＋8，
∵－2<0，
∴当m＝2，即点P的坐标为(2，－3)时，S△PAB有最大值，
最大值为8.
(3)存在，设点C的坐标(n，0)，
∵A(0，－3)，B(4，5)，则AB2＝(0－4)2＋(－3－5)2＝80.
AC2＝n2＋32＝n2＋9，
BC2＝(n－4)2＋(0－5)2＝(n－4)2＋25，
①当AB为斜边时，则n2＋9＋(n－4)2＋25＝80，
解得n＝2±，即点C的坐标为或；
②当BC为斜边时，则n2＋9＋80＝(n－4)2＋25，
解得n＝－6，即点C的坐标为(－6，0)；
③当AC为斜边时，则n2＋9＝(n－4)2＋25＋80，
解得n＝14，即点C的坐标为(14，0)．
综上所述，点C的坐标为(2＋，0)，(2－，0)，(－6，0)或
(14，0)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025年中考数学5月模拟押题卷（四川卷）02
(考试时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．
1．下面各数中，最小的是（B）
A．－ B．－π C．0 D.
2．函数y＝ 的自变量x的取值范围是（B）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＞2且x≠0
3．下列计算中正确的是（B）
A．a2·a3＝a6 B．(a3)4＝a12 C．(3a)2＝6a2 D．(a＋1)2＝a2＋1
4．全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（C）
A．自 B．立 C．科 D．技
5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（D）
A．26° B．38° C．42° D．52°
6．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，C是AB的中点，则点C所表示的数是（A）
A．－1 B．1 C. D．－
7．下列说法中正确的是（B）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．一组数据2，2，2，2，2，2，2，它的方差是0
C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
D．一组数据4，6，7，6，7，8，9，它的中位数和众数都是6
8．关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为（A）
A．－1 B．－4 C．－4或1 D．－1或4
【解析】α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ，由根与系数的关系得m2－3m－4＝0，∴m＝－1或4.再由Δ≥0，得m≤1，∴m＝－1.
如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（D）
A B C D
10.某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（A）
A.＝－40 B.－40＝
C.＋40＝ D.＋40＝
11．如图，AB是半径为6的⊙O的直径，BD是弦，C是的中点，AC与BD相交于点E.若E为AC的中点，则BD的长为（C）
A．4 B．6 C．8 D．4
【解析】先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据垂径定理得到OC⊥BD，DF＝BF，则可证明OF为△ABD的中位线，∴AD＝2OF，证明△ADE≌△CFE得到AD＝CF，∴CF＝2OF，∴OF＝2，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到BD的长．
12．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点(－1，0)，对称轴为直线x＝1.有下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋1＝0一定有两个不等的实数根；④a＞.其中正确的个数是（D）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】根据抛物线的开口方向和对称轴以及与y轴的交点即可判断①；利用抛物线的对称轴即可判断②；由抛物线与y轴的交点在(0，－1)的下方，即可判断③；由对称轴方程得到b＝－2a，由x＝－1时，y＝0得到即a－b＋c＝0，则c＝－3a，∴－3a＜－1，则可判断④.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．计算：－＝11.
14．分解因式：7x4－7x2＝7x2(x＋1)(x－1)．
15．已知xy＝2，x－3y＝3，则2x3y－12x2y2＋18xy3＝36.
16．如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A按逆时针旋转90°后得到△AO1B1，则点B1的坐标是
(－2，－6)．
17．如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE＋PF取得最小值时，的值是.
【解析】找出点E关于AC的对称点E′，连接FE′与AC的交点P′，即为PE＋PF取得最小值时点P的位置，再设法求出的值即可．
18．如图，点A1，A2，A3，…，An在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，直线y＝x与反比例函数y＝交于点A1，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则点Bn(n为正整数)的坐标是(0，2)．
【解析】由题意得△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，∵A1(1，1)，∴OB1＝2，设A2(m，2＋m)，则有m(2＋m)＝1，解得m＝－1(负值舍去)，∴OB2＝2，设A3(a，2＋a)，则有a(2＋a)＝1，解得a＝－，∴OB3＝2，同理可得OB4＝2，∴OBn＝2，∴Bn(0，2)．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．(8分)计算：|3－|＋－6tan 30°＋()2.
解：原式＝2－3＋4－6×＋5＝6.
20．(8分)先化简，再求值：÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．
解：原式＝÷＝·＝，
∵x≠0且x－2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x＝1，
则原式＝＝－1.
21．(10分)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(x≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
解：(1)∵一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，
∴k＝1×3＝－3a，∴k＝3，a＝－1，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵一次函数y＝mx＋n图象过A(－3，－1)，B(1，3)，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝x＋2.
(2)在一次函数y＝x＋2中，
当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，x＝－2，
∴C(－2，0)，D(0，2)，
∴S△OBD＝×2×1＝1，∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为，
∴×2×＝4，解得t＝－，
∴点P的坐标为.
22.(10分)某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九(1)班的所有学生在家劳动时间(单位：h)，并进行了统计和整理，绘制成如图所示的统计表和不完整的统计图．
类别 劳动时间x
A 0≤x<1
B 1≤x<2
C 2≤x<3
D 3≤x<4
E 4≤x
根据图表信息回答以下问题：
(1)九(1)班的学生共有50人，补全条形统计图；
(2)若九年级学生共有800人，请估计周末在家劳动时间在3 h及以上的学生人数；
(3)已知E类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
解：(1)补全条形统计图如图所示．
(2)由题意得800×＝208(人)．
答：估计周末在家劳动时间在3 h及以上的学生人数为208.
(3)列表如下：
女1 女2 男1 男2 男3
女1 女1，女2 女1，男1 女1，男2 女1，男3
女2 女2，女1 女2，男1 女2，男2 女2，男3
男1 男1，女1 男1，女2 男1，男2 男1，男3
男2 男2，女1 男2，女2 男2，男1 男2，男3
男3 男3，女1 男3，女2 男3，男1 男3，男2
由表格可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女的结果共有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是＝.
23.(10分)2025年第12届世界运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1 kg A种食材和1 kg B种食材共需68元，购买5 kg A种食材和 3 kg B种食材共需280元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共36 kg，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
解：(1)设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意得解得
答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元．
(2)设A种食材购买x kg，则B种食材购买 kg，根据题意，得x≥2，解得x≥24，
设总费用为y元，根据题意，得
y＝38x＋30＝8x＋1 080，
∵8>0，∴y随x的增大而增大，当x＝24时，y最小，
∴最少总费用为8×24＋1 080＝1 272(元)．
故当A种食材购买24 kg，B种食材购买12 kg时，总费用最少，最少总费用为1 272元．
24．(10分)如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，直线PO交⊙O于点D，E，交AB于点C.
(1)求证：∠ADE＝∠PAE；
(2)若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
(1)证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，∴AO⊥PA，∴∠OAE＋∠PAE＝90°.
∵DE是⊙O的直径，∴∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.
(2)解：设CE＝x，则DE＝CD＋CE＝6＋x，∴OA＝OE＝，
∴OC＝OE－CE＝，OP＝OE＋PE＝.
∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB.AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，∴＝，∴＝，即x2＋10x－24＝0.
解得x＝2或－12(不合题意，舍去)，∴CE＝2.
25．(10分)(1)问题背景：如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
(2)问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG；
(3)问题拓展：如图③，在(2)的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出 的值．
① ② ③
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴＝＝，即 ＝＝，
∴△BCD∽△FBE.
(2)证明：取BD的中点H，连接EH，HC，
∵E是AB的中点，H是BD的中点，∴EH＝AD，EH∥AD.
又∵AD＝2CF，∴EH＝CF，
∵AD∥BC，∴EH∥FC，∴四边形EHCF是平行四边形，
∴EF∥CH，∴∠GFB＝∠HCB.
又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，∴HC＝BD＝BH，∴∠HBC＝∠HCB，
∴∠GBF＝∠GFB，∴BG＝FG.
(3)解：过点F作FM⊥AD交AD于点M，则四边形MFCD是矩形，连接AF，
∵AD＝2CF＝CD，∴AM＝MD＝FC＝AD，
设AD＝2a，则MF＝CD＝2a，AM＝a，
在Rt△AMF中，AF＝＝a，
∵AG＝FG，由(2)得BG＝FG，∴AG＝BG，
又∵E是AB的中点，∴EF垂直平分AB，∴AF＝BF，∠BEG＝90°，
在△AFG和△BFG中，∴△AFG≌△BFG(SSS)，
设∠GBF＝∠GFB＝α，则∠GAF＝∠GFA＝α，
∴∠BGE＝∠GBF＋∠GFB＝2α.
又∵AD∥BC，∴∠MAF＝∠AFB＝∠GFA＋∠GFB＝2α，
∴∠MAF＝∠EGB.
又∵∠BEG＝∠FMA＝90°，
∴△BEG∽△FMA，∴＝＝＝＝.
26.(12分)如图，直线AB和抛物线的交点是A(0，－3)，B(4，5)，已知抛物线的顶点D的横坐标是1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值；
(3)在x轴上是否存在一点C，与A，B组成直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的顶点D的横坐标为1，
可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋c，
将A(0，－3)，B(4，5)代入得解得
则抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)作PQ⊥x轴交直线AB于点Q，
设直线AB的解析式为y＝kx－3，
代入B(4，5)得5＝4k－3，解得k＝2，
∴直线AB的解析式为y＝2x－3，
设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点Q的坐标为(m，2m－3)，
∴PQ＝2m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋4m，
∴S△PAB＝PQ·|xB|＝(－m2＋4m)×4＝－2(m－2)2＋8，
∵－2<0，
∴当m＝2，即点P的坐标为(2，－3)时，S△PAB有最大值，
最大值为8.
(3)存在，设点C的坐标(n，0)，
∵A(0，－3)，B(4，5)，则AB2＝(0－4)2＋(－3－5)2＝80.
AC2＝n2＋32＝n2＋9，
BC2＝(n－4)2＋(0－5)2＝(n－4)2＋25，
①当AB为斜边时，则n2＋9＋(n－4)2＋25＝80，
解得n＝2±，即点C的坐标为或；
②当BC为斜边时，则n2＋9＋80＝(n－4)2＋25，
解得n＝－6，即点C的坐标为(－6，0)；
③当AC为斜边时，则n2＋9＝(n－4)2＋25＋80，
解得n＝14，即点C的坐标为(14，0)．
综上所述，点C的坐标为(2＋，0)，(2－，0)，(－6，0)或
(14，0)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
