第1章　三角函数 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§3　弧度制
3.1　弧度概念　3.2　弧度与角度的换算
A级必备知识基础练
1.[探究点二]将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　)
A.--8π B.-8π
C.-10π D.-10π
2.[探究点四]已知扇形的弧长为6,圆心角弧度数为3,则其面积为(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
3.[探究点一]若α=-10,则α为第　　　　　象限角.
4.[探究点三]已知α=1 690°.
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).
B级关键能力提升练
5.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},则P∩Q=(　　)
A.
B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|0≤α≤π}
6.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是　　　　弧度,扇形的面积是　　　　.
7.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图所示放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,求点A走过的路程.
C级学科素养创新练
8.已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
§3　弧度制
3.1　弧度概念
3.2　弧度与角度的换算
1.D　-1 485°=-5×360°+315°,315°=315×,所以-1 485°化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为-10π,故选D.
2.B　设扇形的半径为R,由题意可得=3,则R=2,所以扇形的面积为×6×2=6.
3.二　易知-4π+<-10<-4π+π,故-10为第二象限角.
4.解 (1)1 690°=1 440°+250°
=4×360°+250°=4×2π+.
(2)∵θ与α终边相同,∴θ=2nπ+π(n∈Z).
又θ∈(-4π,4π),∴-4π<2nπ+π<4π,
∴-∴θ的值是-,-.
5.B　当k=-1,0时,集合P和Q的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k取其他值时,集合P和Q无公共元素,故P∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.
6.π-2　2(π-2)　设扇形的弧长为l,圆心角为α,
故由题得2α+2×2=2π,所以α=π-2,
扇形的面积S=l·r=·(2π-4)·2=2(π-2).
7.解 因为圆O的半径为1,正方形的边长为1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了2圈,而自身滚动了3圈.
设第i(i∈N+)次滚动点A的路程为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,
所以点A所走过的路程为3(A1+A2+A3+A4)=π.
8.解(1)由题意可得2r+αr=C,则αr=C-2r,
得扇形面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-,
故当r=时,S取得最大值,此时α==2.
(2)由题意可得S=αr2,则αr=,
得扇形周长C=2r+αr=2r+≥4,
当且仅当2r=,即r=时取等号,
此时C取得最小值4,α==2.
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