第1章　三角函数 4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
4.3　诱导公式与对称　4.4　诱导公式与旋转
A级必备知识基础练
1.[探究点一]sin 570°的值是(　　)
A.- B.　
C. D.-
2.[探究点三]若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是(　　)
A.-a B.-a
C.a D.a
3.[探究点四](多选)在△ABC中,三个内角分别为A,B,C.下列结论错误的是(　　)
A.sin(B+C)=cos A
B.若cos A>0,则△ABC为锐角三角形
C.cos(B+C)=sin A
D.若sin(π-A)=sin B,则A=B
4.[探究点一]sin+cos-=　　　　　.
5.[探究点三]化简=　　　.
6.[探究点二]已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求的值.
B级关键能力提升练
7.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是(　　)
A. B. C.- D.-
8.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)且f(4)=3,则f(2 026)=　　　　　,f(k)=　　　　　(k∈Z).
9.已知角α的始边为x轴的非负半轴,终边经过点P(m,-m-1),且cos α=.
(1)求实数m的值;
(2)若m>0,求的值.
C级学科素养创新练
10.是否存在角α,β,α∈-,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos-β,cos(-α)=-cos(π+β)同时成立 若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
注:对任意角α,有sin2α+cos2α=1成立.
4.3　诱导公式与对称
4.4　诱导公式与旋转
1.A　sin 570°=sin(360°+210°)=sin 210°=sin(180°+30°)=-sin 30°=-.
2.B　sin(180°+α)+cos(90°+α)=-sin α-sin α=-a,
故sin α=,
cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-a.
3.ABC　sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,故A错误;
若cos A>0,则角A为锐角,不能说明△ABC为锐角三角形,故B错误;
cos(B+C)=cos(π-A)=-cos A,故C错误;
sin(π-A)=sin A=sin B,则A=B或A+B=π(舍去),故D正确.故选ABC.
4.　sin+cos-=sinπ-+cos=sin+cos.
5.-1　原式=
==-1.
6.解 由sin(α-3π)=2cos(α-4π),得sin(α-π)=2cos α,
即sin α=-2cos α.
∴
=
=
=-.
7.D　sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin[(75°+α)-90°]+cos [180°-(75°+α)]
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)
=-2cos(75°+α)=-.
8.3　±3　∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,
∴f(2 026)=asin(2 026π+α)+bcos(2 026π+β)
=asin α+bcos β=3.
当k为偶数时,设k=2n,
f(k)=asin(kπ+α)+bcos(kπ+β)=asin(2nπ+α)+bcos(2nπ+β)=asin α+bcos β=3.
当k为奇数时,设k=2n+1,
∴f(k)=asin(kπ+α)+bcos(kπ+β)
=asin(2nπ+π+α)+bcos(2nπ+π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asin α-bcos β=-3.
9.解 (1)根据三角函数的定义可得
cos α=,
解得m=0或m=3或m=-4.
(2)由(1)知m=0或m=3或m=-4,
因为m>0,所以m=3,所以cos α=,sin α=-,
由诱导公式,可得
=
=-=-.
10.解假设存在角α,β满足条件,
则由题可得
由①2+②2得sin2α+3cos2α=2.
由sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,所以cos α=±.
因为α∈-,所以α=±.
当α=时,cos β=,因为0<β<π,所以β=;
当α=-时,cos β=,
因为0<β<π,所以β=,此时①式不成立,故舍去.
所以存在α=,β=满足条件.
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