第1章　三角函数 8　三角函数的简单应用--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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§8　三角函数的简单应用
A级必备知识基础练
1.[探究点一]如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(单位:s)满足函数解析式θ=sin2t+,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是(　　)
A. B.2,
C.,π D.2,π
2.[探究点三]若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内,且均为正圆,又知这两种转动同向,且月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时,月、地、日相对位置的示意图),则月球绕地球一周所用的时间T为(　　)
A.24.5天 B.27.3天
C.28.5天 D.29.5天
3.[探究点二]一根长为l的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s与时间t的函数关系式是s=3cost+,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1时,线长l=　　　　　.(用g表示)
4.[探究点二]有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的位移s(单位:cm)关于时间t(单位:s)的函数解析式是s=Asin(ωt+φ),t≥0,A>0,ω>0,0<φ<,函数图象如图所示,则函数的解析式为s=　　　　　　　　.
5.[探究点二]通常情况下,同一地区一天中的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.某地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式;
(2)该地区某高中将在某天上午9时举行期末考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗
B级关键能力提升练
6.某座拱桥的主体造型为:桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知拱桥部分长552 m,两端引桥各有190 m,主桁最高处距离桥面89.5 m,则将下列函数等比例放大后,与主桁形状最相似的是(　　)
A.y=0.45cosx B.y=4.5cosx
C.y=0.9cosx D.y=9cosx
7.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<.则下列叙述错误的是(　　)
A.R=6,ω=,φ=-
B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减
D.当t=20时,|PA|=6
8.春节期间,某地昼夜气温呈周期性变化,温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ≤π),且在每天凌晨2时达到最低温度-3 ℃,在下午14时达到最高温度9 ℃,从2时到14时为半个周期.
(1)求这段时间气温随时间变化的函数解析式.
(2)这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0 ℃
注:一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
C级学科素养创新练
9.在某景区的一家专门为游客提供住宿的客栈中,工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多,浪费很严重.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物
§8　三角函数的简单应用
1.A　当t=0时,θ=sin,由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆的频率为.
2.B　地球从E1到E2,用时29.5天,绕太阳公转扫过的弧度为θ=×2π,同时,月球绕地球旋转扫过的弧度为2π+θ=1+×2π,即旋转1+×2π用时29.5天,所以旋转2π弧度用时T=29.5×≈27.3(天).
3.　由题可知T=,所以=2π,则l=.
4.6sin2πt+(t≥0)　根据图象,知T=.所以T=1,则ω==2π.
因为当t=时,函数取得最大值,
所以2π×+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=.
又当t=0时,s=3,所以3=Asin,则A=6.
所以函数的解析式为s=6sin2πt+(t≥0).
5.解 (1)由题意知解得
易知=14-2,所以T=24,所以ω=,
由8sin·2+φ+6=-2,得sin+φ=-1,故+φ=-+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<π,得φ=-,所以y=8sinx-+6(x∈[0,24)).
(2)当x=9时,y=8sin·9-+6=8sin+6<8sin+6=10.
所以届时学校后勤应该开空调.
6.A　设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为f(x)=Acos ωx,可得函数的周期为T=552+190×2=932,即ω=,又由2A=89.5,解得A=,所以函数的解析式为f(x)=cosx,按1∶100的比例等比例放大,可得g(x)=cosx,对比选项,可得与函数y=0.45cosx最相似.故选A.
7.C　由题意,R==6,T=60=,
所以ω=,当t=0时,-3=6sin φ,即sin φ=-,
因为|φ|<,所以φ=-,故A正确;
f(t)=6sint-,当t∈[35,55]时,t-∈π,,所以点P到x轴的距离的最大值为6,故B正确;易知y=t-在R上单调递增,
当t∈[10,25]时,t-∈,
故函数y=f(t)在[10,25]上先增后减,故C不正确;
当t=20时,t-,点P的纵坐标为6,|PA|==6,故D正确.故选C.
8.解(1)依题意,解得A=6,b=3.
根据题意,=14-2=12,T=24,则ω=.
又x=2时,y=-3,则6sin×2+φ+3=-3,
且-π<φ≤π,解得φ=-,
所以所求的解析式为y=6sinx-+3;
(2)由y=6sinx-+3=0得sinx-=-,所以x-=2kπ-x-=2kπ+,k∈Z.
由0≤x<24,解得x=6或x=22,即在每天的6时或22时的气温为0 ℃.
9.解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.
根据①,可知这个函数的周期是12;
由②,可知f(2)为最小值,f(8)为最大值,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③,可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得=12,故ω=,A=200,B=500-200=300.
当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,
故sin2×+φ=-1,且sin8×+φ=1.
又|φ|<π,故φ=-.
所以一年中入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为f(x)=200sinx-+300(x=1,2,…,12).
(2)由已知条件,可知200sinx-+300≥400,
化简得sinx-≥,
即2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N+,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.
即客栈在6,7,8,9,10月份要准备400份以上的食物.
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