第1章　三角函数 习题课2——函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
习题课2——函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
A级必备知识基础练
1.[探究点二]把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y=sinx+的图象,则f(x)为 (　　)
A.sinx+ B.sinx+
C.sinx+ D.sinx-
2.[探究点三]设函数f(x)=sin2x+,x∈0,,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1A.π B. C. D.
3.[探究点一](多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则以下关于f(x)性质的叙述正确的是(　　)
A.最小正周期为π
B.是偶函数
C.直线x=-是其图象的一条对称轴
D.点-,0是其图象的一个对称中心
4.[探究点二]已知将函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的曲线和y=2sin x的图象相同,则函数y=f(x)的解析式为　　　　　　　　.
5.[探究点二]已知函数f(x)=3sinx-,x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的简图;
(2)先把函数f(x)图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数f1(x)的图象;然后把函数f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f2(x)的图象;再把函数f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式.
B级关键能力提升练
6.[2021全国乙,理7]把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sinx-的图象,则f(x)=(　　)
A.sin B.sin
C.sin2x- D.sin2x+
7.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分自变量、函数值如下表所示,下列结论正确的是(　　)
x
ωx+φ 0 π 2π
f(x) 3 1
A.函数的解析式为f(x)=2sin2x++1
B.函数f(x)图象的一条对称轴为x=-
C.-,2是函数f(x)的一个对称中心
D.函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向下平移2个单位长度所得的函数为偶函数
8.已知f(x)=Asin(A>0)的最大值为6.
(1)求A.
(2)将函数y=f(x)的图象先向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在区间上的值域.
C级学科素养创新练
9.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,0,若φ∈-.
(1)试求这条曲线的函数解析式;
(2)写出函数的单调区间.
习题课2——函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
1.C　用x-代换选项中的x,化简得到y=sinx+,就是f(x),代入选项C,有f(x)=sinx-=sinx+.
2.C　因为f(x)=sin2x+,x∈0,,由2x+得x=,则x1+x2=2×;由2x+得x=,则x2+x3=2×.故x1+2x2+x3=(x1+x2)+(x2+x3)=,故选C.
3.AC　由图象可知,A=2,设函数y=f(x)的最小正周期为T,则,则T=π,ω==2,此时,f(x)=2sin(2x+φ),f=2sin+φ=2,得sin+φ=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以当k=0时,φ=-,所以f(x)=2sin2x-,A选项正确;该函数既不是奇函数,也不是偶函数,B选项错误;f-=2sin-=-2,C选项正确;f-=2sin-=-2sin=-1≠0,D选项错误.
4.f(x)=sin2x-　y=2sin x图象向右平移个单位长度得y=2sinx-,然后把横坐标缩短为原来的一半得y=2sin2x-,
纵坐标再缩短为原来的得f(x)=sin2x-.
5.解(1)列表取值:描出五个关键点并用光滑的曲线连接,得到一个周期的简图.
x- 0 π 2π
x
f(x) 0 3 0 -3 0
(2)将f(x)=3sinx-的图象上所有点向左平移个单位长度得到f1(x)=3sinx+-=3sinx的图象.
把f1(x)=3sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)=3sinx的图象,把f2(x)=3sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)得到g(x)=sinx的图象.
所以g(x)的解析式为g(x)=sinx.
6.B　逆向考虑:y=sinx-的图象y=sinx+的图象y=sin的图象.
7.BC　对于A,由表格数据可得,Asin+B=A+B=3,Asin +B=-A+B=1,解得A=1,B=2,由ω+φ=ω+φ=2π,解得ω=2,φ=,所以函数的解析式为f(x)=sin2x++2,故选项A不正确;对于B,令2×-++kπ,解得k=-1∈Z,所以x=-是函数f(x)图象的一条对称轴,故选项B正确;对于C,2×-+=kπ,解得k=0∈Z,所以-,2是函数f(x)的一个对称中心,故选项C正确;对于D,函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=sin2x+++2=sin(2x+π)+2=2-sin 2x,再向下平移2个单位长度得y=2-sin 2x-2=-sin 2x是奇函数,故选项D不正确.故选BC.
8.解(1)因为A>0,所以由题意知A=6.
(2)由(1)得f(x)=6sin.
将函数y=f(x)的图象先向左平移个单位长度得到y=6sin=6sin的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=6sin的图象,因此g(x)=6sin.因为x∈,所以4x+.
故g(x)在区间上的值域为[-3,6].
9.解(1)依题意,A=,T=4×=4π,
因为T==4π,ω>0,所以ω=.
所以y=sinx+φ.
又因为曲线上的最高点为,
所以sin+φ=1.所以φ+=2kπ+,k∈Z.
因为-<φ<,所以φ=.
所以y=sinx+.
(2)令2kπ-x+≤2kπ+,k∈Z,
得4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为4kπ-,4kπ+(k∈Z).
令2kπ+x++2kπ,k∈Z,
所以4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为4kπ+,4kπ+(k∈Z).
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