第2章　平面向量及其应用 2.1　向量的加法--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
§2　从位移的合成到向量的加减法
2.1　向量的加法
A级必备知识基础练
1.[探究点四][2024陕西榆林高一期末]若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(　　)
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向正北方向航行(1+)km
D.向正东方向航行(1+)km
2.[探究点四]若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　)
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
3.[探究点三](多选)在 ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式中成立的是 (　　)
A.a+b=c B.a+d=b
C.b+d=a D.|a+b|=|c|
4.[探究点二]四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则等于(　　)
A. B. C. D.
5.[探究点三]已知下列各式:①;②()+;③;④.其中结果一定为0的是　　　　　.(填序号)
B级关键能力提升练
6.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.△ABC中,必有=0
B.若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
C.
D.|a|=5,|b|=3且c=a+b,则2≤|c|≤8
7.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,向量ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　　.(结果用ai,bj表示)
8.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:.
C级学科素养创新练
9.若P为△ABC的外心,且,则∠ACB=　　　　　.
§2　从位移的合成到向量的加减法
2.1　向量的加法
1.B　如图,
易知tan α=,所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°.|a+b|=2 km.故选B.
2.D　因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.
3.ABD　由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立;b+d=a不成立.故选ABD.
4.B　,故选B.
5.①④　①=0;
②()+=()+()=;
③+()=+0=;
④=()+()==0.
6.ACD　在△ABC中,=0,反之不成立,故A正确,B错误;C中,,故正确;
D中,∵c=a+b,∴|a|-|b|≤|c|≤|a|+|b|,∴5-3≤|c|≤5+3,即2≤|c|≤8,故正确.故选ACD.
7.b6　a2+a5+b2+b5+b7==b6.
8.证明 因为,
所以.
又因为=0,所以.
9.120°　由知,四边形ACBP为平行四边形.又因为P为外心,所以PA=PB=PC,所以四边形ACBP为菱形,所以PA=PC=AC,所以∠ACP=60°,∠ACB=120°.
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