第2章　平面向量及其应用 4.2　平面向量及运算的坐标表示--2025北师大版数学必修第二册同步练习题

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2025北师大版数学必修第二册
4.2　平面向量及运算的坐标表示
A级必备知识基础练
1.[探究点二]已知a-b=(1,2),a+b=(4,-10),则向量a等于(　　)
A.(-2,-2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(2,-2)
2.[探究点一]已知点A(1,3),B(4,-1),则向量=　　　　,与向量同方向的单位向量为　　　　　.
3.[探究点三]已知=(6,1),=(4,k),=(2,1).若A,C,D三点共线,则k=　　　　　.
4.[探究点二]向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则的值为　　　　　.
5.[探究点二]已知点A(-1,2),B(2,8),且=-,求点C,D和的坐标.
B级关键能力提升练
6.(多选)在下列向量组中,不能把向量a=(-3,7)表示出来的是(　　)
A.e1=(0,1),e2=(0,-2)
B.e1=(1,5),e2=(-2,-10)
C.e1=(-5,3),e2=(-2,1)
D.e1=(7,8),e2=(-7,-8)
7.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(　　)
A.-
B.,-
C.(-1,)
D.-
8.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k的值为(　　)
A.-2 B.
C.1 D.-1
9.已知向量=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为　　　　　.
10.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD交点P的坐标为　　　　　.
11.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
C级学科素养创新练
12.已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.
4.2　平面向量及运算的坐标表示
1.D　∵a-b=(1,2),∴2a-b=(2,4),
∴a=[(2a-b)+(a+b)]=(6,-6)=(2,-2).
2.(3,-4)　,-　∵=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),
∴与同方向的单位向量为=,-.
3.4　因为=(6,1),=(4,k),=(2,1),
所以=(10,k+1).
又A,C,D三点共线,
所以,
所以10×1-2(k+1)=0,解得k=4.
4.4　利用网格建立平面直角坐标系(图略),则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),有解得=4.
5.解 设C(x1,y1),D(x2,y2),
由题意可得=(x1+1,y1-2),=(3,6),
=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=-,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),
(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6)=(1,2),
则有
解得
∴C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0),
∴=(-2,-4).
6.ABD　因为A,B,D中都是两个共线向量,不能表示向量a,而C中两向量不共线,故C可以把向量a=(-3,7)表示出来.
7.D　因为=所在直线的倾斜角为30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°,所以A,B两点关于y轴对称,由此可知B点坐标为-,故的坐标是-,故选D.
8.C　因为A,B,C三点不能构成三角形,则A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.
9.　由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4).又,所以-4(-a+2)=-2(b+2),
整理得2a+b=2,所以(2a+b)=3+≥3+2=,当且仅当,即a=1-,b=-1时,等号成立.
10.　设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).
由B,P,D三点共线可设=λ=(5λ,4λ),λ∈R.
又因为=(5λ-4,4λ),
由共线得,(5λ-4)×6+12λ=0,
解得λ=,
所以=,
所以P的坐标为.
11.解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t),
则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
解得t=,所以=(4t,4t)=(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
(方法二)设P(x,y),则=(x,y),
因为共线,=(4,4),所以4x-4y=0. ①
又=(x-2,y-6),
=(2,-6),且向量共线,
所以-6(x-2)+2(6-y)=0. ②
解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
12.(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),
所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).
(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).
(3)解设向量c=(x3,y3),则
解得所以c=(1,3).
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